第二十八章 旋转（单元自测卷·重庆专用）数学新教材人教版九年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(重庆专用) 第二十八章 旋转 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．篆字保存着古代象形文字的明显特点，下列几个篆字中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 3．如图，将绕着直角顶点旋转得到，经过点，，则旋转角的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在正方形网格中，，，，，，，，均为格点．若将绕点逆时针方向旋转，点落在点，则点的落在（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 5．在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形．当点落在线段的延长线上时，与相交于点，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 6．如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，，将绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 7．如图，正方形中，，点是的中点，连接，将绕点的逆时针旋转得到线段，连接并延长交延长线于点，连接，则长为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在的正方形网格中，由旋转得到，其旋转中心是（     ） A．点P B．点Q C．点M D．点N 9．已知正方形边长为8，P在边上运动，连接，将线段绕着点B逆时针旋转，到线段，连接，线段的最小值为（     ） A．4 B．8－ C．4+4 D．4 10．如图，中，，．是内一点，将绕点逆时针旋转得到，延长线交于点，延长线交于点，连接．下列结论：①；②；③；④平分．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．如图，绕顶点顺时针旋转得到．若，，则的度数为________． 12．在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转到点，则点的坐标为______． 13．如图，在中，，，，点是边的中点．将绕着点逆时针旋转到的位置，点恰好在边上，点是点的对应点，则、两点间的距离为________． 14．点关于原点的对称点在第三象限，那么m的取值范围是______． 15．如图，菱形的对角线交于坐标原点，若点的坐标为，则点的坐标是_____． 16．如图，将矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，E、F分别是、的中点，若，，则的长为 _____ ． 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）如图，将等腰直角绕点逆时针旋转，得到，点落在边上，连接，． (1)求的度数． (2)若，求的长． 18．（8分）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转60°能与重合． (1)请用尺规作图法，作的垂直平分线，垂足为F﹔（不要求写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）问情况下，连接，求证：（填空）． 证明：（2）∵点F是边中点， ∴___________， ∵， ∴， ∴________， ∵将绕点C顺时针旋转60°得到， ∴， ∴________， 在和中， ∴． 19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，，将绕原点O顺时针旋转得到（分别是A，B的对应点）． (1)在图中画出，点的坐标为 ； (2)若点位于内（不含边界），点为点M绕原点O顺时针旋转的对应点，直接写出的纵坐标n的取值范围 ． 20．（10分）如图，点是等边内一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，，． (1)求证：； (2)若，，，请直接写出的度数． 21．（10分）如图，在中，，点，分别在，边上，，连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 22．（10分）如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)请画出将绕点顺时针旋转得到的； (2)请用无刻度的直尺作出的角平分线（保留作图痕迹，不写作法） 23．（10分）如图，点是等边内一点，连接、、，将绕点按顺时针方向旋转得，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，，试判断的形状，并说明理由． 24．（10分）如图，矩形中，，将矩形绕点A旋转得到矩形．使点B的对应点落在上，交于点E，在上取点F，使．    (1)求证：； (2)求的度数； (3)若，求的长． 25．（10分）如图，在中，过点作交于点，过点作交于点，与交于点，为射线上一点，为直线上一动点，连接． (1)如图，若，与重合且，当，时，求的长； (2)如图，若，，，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图，若为等边三角形，且，将绕点顺时针旋转至，连接，，和，当有最小值时，请直接写出的值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试卷 第1页（共4页） 试卷 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测（重庆专用） 第二十八章旋转 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.篆字保存着古代象形文字的明显特点，下列几个篆字中，是中心对称图形的是() 搏美 【答案】B 【分析】根据中心对称图形的性质逐项判断即可. 【详解】解：A中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意： B中图形是中心对称图形，故本选项符合题意： C中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意： D中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意， A(-5,6) 2.在平面直角坐标系中，点 关于原点对称的点的坐标是() A.（5-6) B.(5-6) c.(56) D.(6-5) 【答案】B 【分析】关于原点对称的两个点，横纵坐标均互为相反数即可得到答案， 【详解】解：在平面直角坐标系中，关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数， 已知点A的坐标为 -5,6),-5的相反数为5,6的相反数为6。 ∴点关于原点对称的点的坐标为 5,-6) 3.如图，将Rt△ABC绕着直角顶点A旋转得到Rt△ADE,DE经过点B,∠C=34°，则旋转角的度数为 1/30 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D C A.34° B.56° C.68° D.78° 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，三角形内角和，求得∠DAB的度数即可； 【详解】解：RtAABC,∠BAC=90°，∠C=34°， .∠ABC=90°-∠C=56°， 根据旋转的性质，得∠DAB=∠CAE,AD=AB,∠E=∠C, ∠ABD=∠ADB E B C 设∠DAB=∠CAE=a, ÷∠ABD=∠ADB=180P-∠DAB=90°-_ 2 2, :∠CAE=180°-∠2-∠C,∠CBE=180°-∠1-∠E,且∠2=∠1， ∴.∠CBE=∠CAE=a. :∠ABD+∠ABC+∠CBE=180° ∴.90° 2a+56°+a=180° 1 20=34 解得a=68°， 故∠DAB=∠CAE=68°： 4.如图，在正方形网格中，A,B,C,D,E,F,G,H均为格点.若将△ABC绕点A逆时针方向 2130 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 旋转，点B落在点D,则点C的落在() G E H D A.点E B.点F C.点G D.点H 【答案】A 【分析】本题考查了画旋转图形.根据旋转的性质作出图形即可. 【详解】解：点C落在点E, G 故选：A 5.在矩形ABCD中，AB=6,AD=3,将矩形ABCD绕点D顺时针旋转得到矩形AB'C"D.当点B落在 线段BC的延长线上时，A'B与CD相交于点H,则线段B'H的长为() C B B H D 15 9 B.4 1 A. C.4 D.3 【答案】A 【详解】解：连接BD,BD 矩形ABCD绕点D顺时针旋转得到矩形A'B'CD,AB=6,AD=3, 3/30 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B H D ..AB=DC=A'B'=6 AD=A'D=3 ∠BAD=∠BA'D=∠BCD=∠DCB'=9O°，BD=B'D, ,在RtABAD和RI△DCB'中 BD=DB' AB=CD, △ABD≌ACDB'(HL) ∴.AD=CB'=3 在△CHB'和△AHD中， 「∠CHB'=∠A'HID ∠HCB'=∠HA'D CB'=A'D △CHB'≌△A'HD(AAS) .CH=A'H,B'H=DH, 设B'H=DH=x,则CH=A'H=6-x 根据勾股定理，得B'H=CH+CB2, 故=(6-+3 解得t5 4 5 故BH的长为4 6.如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB=∠B=30°，OA=2,将 △AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B的坐标是() 4/30 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 d B A.（,2+5 B.（3,3) c.（5,2+5) D.（-3,2) 【答案】B 【详解】如图，过点B作BC⊥x轴于点C,过点B作BDLy轴于点D, B 0 ,△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点为B, .OB=OB,∠B0B'=90° ∴.∠B'OD=90°-∠DOB=∠BOC, [∠B'DO=∠BCO ∠B'OD=∠BOC B'O=BO △COB≌aDOB'(AAS) .OC=OD,BC=B'D ∠AOB=∠OBA=30°，OA=2. :.OA=AB=2,∠CAB=∠AOB+∠AB0=60° ∴.∠ABC=30° 5/30 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 &4C=4=lc=aB-4c=5, ∴.OC=OA+AC=3. .OC=OD=3.BC-BD= 点B再第二象限， -V3,3) 故坐标为 7.如图，正方形ABCD中，AD=2,点E是CD的中点，连接AE,将AE绕点E的逆时针旋转9O°得到 线段FE,连接BF并延长交DC延长线于点G,连接DF,则DF长为() D A.3 B.3.5 C.0 D.丽 【答案】C 【分析】过点F作FH1CD交DC的延长线于点H,证明 ,△ADE≌△EHF(AAS) 得到 EH -AD=2.FH-DE-DH=DE+EH-3 根据勾股定理即可求出 DF=10 【详解】解：过点F作FH⊥CD交DC的延长线于点H, G A B ,四边形ABCD是正方形，AD=2, ∠D=90°，CD=AD=2, ,点E是CD的中点， .DE=1 ,将AE绕点E的逆时针旋转90°得到线段FE, 6/30 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 、.AE=EF,∠AEF=90° :.∠AED+∠FEH=90° ,∠DAE+∠AED=90°， ∴.∠DAE=∠FEH, 在△ADE和△EHF中， ∠D=∠EHF=90° ∠DAE=∠FEH AE=EF △ADE≌△EHF(AAS) 、.EH=AD=2,FH=DE=1, .DH=DE+EH=3, DF-DI+F-0 8.如图，在4×4的正方形网格中，△4B'C由△ABC旋转得到，其旋转中心是() ⑨才AN A.点P B.点O C.点M D.点N 【答案】A 【分析】根据旋转的性质可知：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，通过观察网格确定垂直平分线的 交点即可得出答案 【详解】解：连接AA',BB,由图可知，点A与点A在同一条竖直网格线上， 7130 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 且点M为线段AA'的中点， ∴.线段AA'的垂直平分线是经过点P、M的水平直线，即旋转中心在直线PM上. 又，在网格中，点P到点B的距离为2个单位长度，点P到点B的距离为2个单位长度， .PB=PB', ∴点P在线段BB的垂直平分线上. ∴旋转中心是点P 9.己知正方形ABCD边长为8，P在边AD上运动，连接BP,将线段BP绕着点B逆时针旋转45°，到线 段BE,连接AE,线段AE的最小值为() E P D A.4 B.84V2 C.442 D.42 【答案】B 【详解】解：如图所示，将线段BA绕着点B逆时针旋转45°，到线段BH,连接HE,过点A作AT⊥BH 于点T, E P D B 由正方形的性质可得∠BAD=90°、 8/30 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由旋转的性质可得BH=BA,BE=BP,∠ABH=45°=∠PBE .∠ABP=∠HBE=45°-∠ABE :△BMP2aBHE(SAS) ·∠BHE=∠BAP=90°，即HE⊥BH, :点H为定点， ∴，点B在射线HE上运动， ∴.当AE⊥EH时，AE有最小值， 又，AT⊥BH, ∴.此时有∠ATH=∠ATB=∠H=∠AEH=90°， ∴，四边形AEHT是矩形， ∴AE=HT: 在Rt△ABT中，∠ABT=45°， .△ABT是等腰直角三角形， .AT=BT, 4B=VAT2+BT=V2BT=8 :B7=4V2 :H7=BH-B7=8-4V2 :B=8-45,即4的最小值为8-45 10.如图，△ACB中，AB=AC,∠BAC=90°.D是△ACB内一点，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到 △ACE,BD延长线交CE于点F,ED延长线交BC于点G,连接AF,下列结论：①∠AED=45°；② BF⊥CE:③∠CGE=∠BAD;④FA平分∠BFE.其中正确的个数是() G 9/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【详解】解：，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE, 、.∠ACE=∠ABD,∠DAE=90,AD=AE, ∴.△ADE是等腰直角三角形， ∠AED=45°，故结论①正确，符合题意： 根据旋转的性质可得∠ADB=∠AEC, ∴.∠ADB+∠ADF=∠AEC+∠ADF=180° ∴.∠DFE=360°-∠DAE-（∠ADF+∠AEC)=90° ∴.BF⊥CE 故结论②正确，符合题意： AB=AC,∠BAC=90°， .∠ACB=45° ∴.∠CGE=180°-∠CEG-∠ACE-∠ACB=135°-∠CEG-∠ACE. :∠BAD=∠CAE=180°-∠AEG-∠CEG-∠ACE=135°-∠CEG-∠ACE, ∴.∠CGE=∠BAD,故结论③正确，符合题意： 如图，过点A作AM⊥BF,AN⊥FE分别交BF于点M,交CE的延长线于点N, B C:∠BFE=90° :.∠MAN=360°-∠AMF-∠ANF-∠BFE=90°， :∠DAE=90°， .∠DAE-∠MAE=∠MAN-∠MAE, 即∠DAM=∠EAN. ·.'AD=AE,∠AMD=∠ANE=90° 10/30 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△AMD≌△AWE(AAS) ∴AM=AN,即点A在∠BFE的平分线上， ∴.FA平分∠BFE 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.如图，△ABC绕顶点A顺时针旋转43°得到△ADE.若∠BAE=17，∠D=45°，则∠C的度数为 D 【答案】75° 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得∠B,∠CAE的度数，再求 出∠BAC的度数，由三角形内角和定理可得答案。 【详解】解：由旋转的性质可得∠CAE=43°，∠B=∠D=45°， .∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°， .∠C=180°-∠B-∠C=75°， 故答案为：75° 12.在平面直角坐标系x0 中，将点 A(3,1) 绕原点顺时针旋转90°到点B,则点B的坐标为 【答案】 (1,-3) 【分析】根据愿意标出点A,分别过点4B作》轴的垂线，垂足为点M,N, △AOM≌AOBN(AAS) ,证 即可求解。 【详解】解：分别过点A,B作y轴的垂线，垂足为点M,N,则∠AMO=∠ONB=90° 11/30 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 3 2 1 A 1234x -3 B -4 由题意得，OA=OB,∠AOB=90°，AM=3,OM=1, ∴∠AOM=∠OBN=90°-∠BAN. △AOM≌aOBN(AAS) .BN =OM =1,ON =AM=3. 六点8的坐标为么-3列 13.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5,BC=12,点M是边AC的中点.将△ABC绕着点A逆时 针旋转到△ADE的位置，点D恰好在边AC上，点M'是点M的对应点，则M、M两点间的距离为 M D B 213 【答案】 【分析】连接EC,根据旋转可知△ABC≌△ADE,可求DE,DC的长，在Rt△CDE中，由勾股定理可 求EC长，再根据中位线定理可求MM',即M、M'两点间的距离. 【详解】解：连接EC, 12/30 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M M 在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5,BC=12, :AC=VAB2+BC2=V52+122=13 根据旋转可得△ABC≌△ADE, AD=AB=5,DE=BC=12,∠ADE=∠B=90°， .DC=AC-AD=13-5=8,∠EDC=90°， 在Rt△CDE中，∠EDC=90°，DC=8,DE=12, EC=VCD2+DE2=V82+122=413 :点M是边AC的中点， ∴点M'是边AE的中点， MW'-Bc=2而， 即M、M”两点间的距离为23 14.点 (m+1,2) 关于原点的对称点P在第三象限，那么m的取值范围是 【答案】m>l 【分析】根据关于原点对称的性质求出点Q的坐标，再结合点Q在第三象限列出关于的不等式，即可求 解. P(m+l,2) 【详解】解：点 关于原点的对称点为点 Q(-m-1,-2) :点Q在第三象限，且-2<0， .-m-1<0。 解得m>1. 13/30 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 15.如图，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O,若点A的坐标为(-3,2)，则点C的坐标是 【答案】(3，-2) 【分析】根据菱形的性质及对角线交于坐标原点O可得点A与点C关于原点中心对称，根据关于原点对称 的点的横坐标与纵坐标都互为相反数即可得出答案. 【详解】解：：菱形ABCD的对角线交于坐标原点O, 点A与点C关于原点中心对称， :点A的坐标为(-3,2)， ∴点C的坐标是(3，-2) 16.如图，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转0°得到矩形AB'CD',E、F分别是BD、B'D'的中点，若 AB=lcm,BC=7cm,则EF的长为一cm. B 【答案】5 【分析】连接CE,CF,根据矩形的性质可得∠BCD=9O°，AB=CD=lcm,然后在RIABCD中，利用勾 CE=52 cm 股定理求出BD的长，再利用直角三角形斜边上的中线可得 2 ,最后根据旋转的性质可得： CE=CF,∠ECF=9O°，从而利用等腰直角三角形的性质进行计算，即可解答. 14/30 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：连接CE,CF, ,四边形ABCD是矩形， ∠BCD=90°，AB=CD=lcm. .BC=7cm. BD=BC+CD-5(cm) 点E是BD的中点， CE-1BD-52 2 2 cm 由旋转得：CE=CF,∠ECF=90°， EF-CB+C-5em 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(8分)如图，将等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE,点D落在边AC上，连接EC, BE」 B (1)求∠ECA的度数. (2)若AB=1,求BE的长. 【答案】(1)67.5° 15/30 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ®6 【详解】(I)解：将等腰直角三角形△ABC绕点A旋转得到△ADE, .AE=AC,∠DAE=∠BAC :△ABC是等腰直角三角形， .AB=AC,∠ABC=90° ∴.∠BAC=45°=∠DAE. ∠ECA=180°-45 -=67.5° 2 (2)解：，△ABC是等腰直角三角形， .AB=AC=1,∠ABC=90° 根据勾股定理，得4C=VAB2+BC=V2 AE=AC=V2∠BAE=∠DAE+∠BAC=90° 由(1)得 根据勾股定理，得BE=VAB+AE2=V5 18.(8分)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°能与△DEC重 合. D B (1)请用尺规作图法，作AC的垂直平分线，垂足为F;(不要求写作法，保留作图痕迹) (2)在(I)问情况下，连接DF,求证：△CFD≌△ABC(填空)， 证明：(2)，点F是边AC中点， ∴.CF= 16/30 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BCA=30°，∠ABC=90°， .BA=)AC,∠A=60, 2 .AB= ,将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC, .AC=CD,∠FCD=60° .∠A= 在△ABC和aCFD中， AB=CF ∠A=∠FCD △ABC≌△CFD(SAS) 【答案】(1) 解：如图，直线I即为所求作AC的垂直平分线： (2) 24C;cF:∠FCD:4C=CD 【详解】(1)略 (2)证明：点F是边AC中点， CF-7AC ·∠BCA=30°，∠ABC=90°. 1 &BM=24C,A=60°， ∴AB=CF 17/30 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC, 、.AC=CD,∠FCD=60°， ∴.∠A=∠FCD, 在△ABC和aCFD中， AB=CF ∠A=∠FCD AC=CD △ABC≌ACFD(SAS) 故答案为：24C,CF,∠FCD:AC=CD 【点睛】本题考查了尺规作图-作已知线段的垂直平分线，旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质等知 识，理解题意，熟知相关知识，并根据已知条件灵活应用是解题关键. 19,（10分如图，在平面直角坐标系0中，4(-24)，B(-20）,将△01B绕原点0顺时针旋转90°得 到△OAB(A,B分别是A,B的对应点)· 18/30 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 3 2 ⊙ 5-4-3-2-10 2 345 (1)在图中画出△OAB,点A的坐标为_： (2)若点M(m,2)位于△OAB内（不含边界），点M'为点M绕原点O顺时针旋转90°的对应点，直接写出 M'的纵坐标n的取值范围_. 【答案】(1) 解：由旋转作图，如图1，△OAB即所求， B 2 B 5-4-3-2-10 3 、 图1 (4,2) (2)1<n<2 【分析】本题考查了旋转作图，旋转的性质.熟练掌握旋转的性质是解题的关键。 (1)根据旋转的性质作图，然后作答即可： (2)由旋转的性质可确定点M旋转后对应点M'在线段CD上，且不与点C,D重合，如图1，然后作答 19/30 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即可 【详解】(1)点的坐标为(4,2)， 故答案为：(4,2)； (2)解：M(m,2),-2<m<-1. “旋转后对应点M'在线段CD上，且不与点C,D重合，如图1， 1<n<2 20.(10分)如图，点O是等边△ABC内一点，将BO绕点B逆时针旋转60°得到BD,连接CD,AD, BO.CO.AD (1)求证：△BCO≌△BAD: (2)若OA=10,OB=6,OC=8,请直接写出∠B0C的度数. 【答案】(1) 证明：~BO绕点B逆时针旋转60°得到BD, ∴.BO=BD,∠OBD=60°， :△ABC是等边三角形。 ∴.BA=BC,∠CBA=60°， .LOBD=∠CBA, .∠CBO=∠ABD, 在△BCO和△BAD中， OB=BD ∠CBO=∠ABD BC=BA 20/30 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△BCO≌ABAD(SAS) (2)∠B0C=150° 【详解】(1)略 (2)解：BO=BD,∠OBD=60°， .△OBD是等边三角形 ∴.OD=OB=6,∠ODB=60°， △BCO≌ABAD」 .AD=OC=8.∠BOC=∠ADB, OA=10 .AD2+0D2=82+62=100OA2=100 ∴.0A=AD2+OD2 ∴.∠AD0=90°， .∠ADB=∠ADO+∠BDO=150°， ∴.∠BOC=∠ADB=150° 21.(10分)如图，在△ABC中，∠ABC=75°，点D,F分别在AC,AB边上，BF=BC,连接BD, 将线段BD绕点B逆时针旋转75°到BE,连接EF. (I)求证：△BCD≌aBFE: (2)若EF∥BD,求∠BDC的度数. 【答案】(1)证明：，线段BD绕点B逆时针旋转75°到BE, ∴BD=BE,∠EBD=75°. 又∠ABC=75°， ∴.∠EBF=∠CBD 21130 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△BEF与△BDC中， BE=BD ∠EBF=∠CBD BF=BC· .△BEF≌ABDC(SAS) (2)1050 BEF≌△BDC(SAS) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，证明 是解题的关 键。 (1)根据旋转的性质和已知条件利用SAS证明△BEF≌△BDC即可； (2)根据平行线的性质和全等的性质即可得到∠BDC的度数. 【详解】(1)略 (2)解：由(1)可知，△BEF≌aBDC, .∠BDC=∠E, :EFI‖BD,∠EBD=75°， ∴.∠E+∠EBD=180°， .∠E=105°， .∠BDC=105° 22.(10分)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线 的交点) B A (1)请画出将△ABC绕点O顺时针旋转180°得到的△A'B'C'； (2)请用无刻度的直尺作出△AB'C'的角平分线CP(保留作图痕迹，不写作法) 22/30 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1) 解：如图，△ABC即为所求： Q A (2) 如图，射线CP即为所求 B 23.(10分)如图，点O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC,将△BOC绕点C按顺时针方向旋转 60°得△ADC,，连接OD B (1)求证：△COD是等边三角形： (2)若OA=6,OC=8,OB=10,试判断△AOD的形状，并说明理由. 【答案】(1) 证明：△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC, .C0=CD,∠OCD=60°， ∴.△COD是等边三角形， 23/30 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2) △AOD是直角三角形，理由如下： ~△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC, ∴.AD=BO=10 :△COD是等边三角形， ∴.OD=OC=8, 在△AOD中， OA=6,OD=8,AD=10, .0A2+0D2=AD2 .△AOD是直角三角形 24.(10分)如图，矩形ABCD中，AC=2AB,将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB'C"D'.使点B的 对应点B落在AC上，B'C交AD于点E,在B'C'上取点F,使B'F=AB D D B (1)求证：AE=CE: (2)求∠BFB的度数； 3)若B=2V2 求BF的长 【答案】(1)见解析 (2)15° 3)2+25 【详解】(I)证明：，四边形ABCD是矩形， .∠BAD=∠ABC=90° ,在Rt△ABC中，AC=2AB, 24/30 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ACB=30°，∠BAC=60° ·.∠DAC=60° 由旋转可得：AB=AB,∠BAC'=∠BAC=60°，∠ACB=∠ACB'=30°， .∠EAC'=∠AC'B=30°， .'AF=C'E: (2)解：由(1)可知，AB=AB,∠BAC=60°， ∴.△BAB是等边三角形， ∠AB'B=60°，AB=BB, 由旋转的性质可得，∠ABC=∠AB'C'=90°， .∠BB'F=∠AB'B+∠AB'F=60°+90°=150°. .AB=B'F, ∴BB'=B'F, ∴∠FBB'=∠B'FB=15°： (3)解：连接AF,过A作AM⊥BF, 由(2)可知，△ABB为等边三角形， :1B=AB=2V2 ÷1B=BF=2V2 又，AB=B'F,∠ABC=∠ABF=90°， .AB'E 是等腰直角三角形， ：AF2=2AB2,即AF2=2×(22, AF=4, BB=B'F,∠BB'F=150°， ∴.∠B'FB=∠B'BF=15°， .∠AFM=30°，∠ABF=45°， .AM BM, 在RIAMB中，AM2+BM2=AB,即2BM2=(22, 25/30 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得BM=2, .AM=2, 在RtAMF中，AM2+MF2=AF2,即22+MF2=42, MF=2√3 解得 BF=2+2W5 D B 25.(10分)如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC交BC于点D,过点B作BE⊥AC交AC于点E, AD与BE交于点F,H为射线BA上一点，G为直线AC上一动点，连接HG. H H A A G E E E(G F B D C B D B D 图1 图2 图3 备用图 (1)如图1，若AB=AC,G与E重合且HG∥AD,当∠H=22.5°，AH=4时，求BE的长： (2)如图2，若BF=AC,AB=AH,∠H+∠C=75°，猜想线段AE,AG,GH之间的数量关系，并证明 你的猜想； ⊙)加图3，若△1BC为等边三角形，B=H且DF=5,将HG绕点S限时针旋转60至GK,连接4K, CK,BK和K,当CK+BK有最小值时，请直接写出MK+AG的值。 26/30 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)4 (2)猜想：2AE+2AG=G, 证明：如图，延长GA至点J,使得=GM,作I1GJ于点I,设∠C=a, H B :AD⊥BC,BE⊥AC, ∴.∠BEA=∠BEC=∠ADB=∠ADC=90°， ÷∠DBF=180°-∠BEC-∠C=90°-a,∠DAC=180°-∠ADC-∠C=90°-a, ∴∠DBF=∠DAC, 在△ACD和△BFD中， ∠DAC=∠DBF ∠ADC=∠ADB AC=BF ÷aMCD≌aBFD(AMS) .AD=BD, ∴.△ABD是等腰直角三角形， ∠ABD=∠BAD=45° :∠BMC=∠BAD+∠DAC=135°-a, ·∠AHG+∠C=75° .∠AHG=75°-a, .∠BAC=∠AHG+∠AGH, ∴.∠AGH=∠BAC-∠AHG=60°， GJ=GH :.△GHW是等边三角形， 27130 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Ⅲ⊥G, =GU=G，∠HM=90°=2 2 2 在△ABE和△AHI中， ∠BAE=∠HAI ∠BEA=∠HIA AB=AH △ABE≌△AHI(AAS) ∴AI=AE, .GI AI +AG AE+AG, 4+6-号，即2E+2a6=6m 3)6 【详解】(1)解：：HG∥AD,且G与E重合， ∴.∠BAD=∠H=22.5°， AB=AC,AD⊥BC, ∴.∠BAD=∠CAD=22.5°， .HG∥AD ∴.∠CAD=∠AEH=22.5°， :∠AEm=∠H=22.5°， .AB All 4, ,BE⊥AC,∠BAC=∠BAD+∠CAD=45°， ∴.△ABE是等腰直角三角形， ∴AE=BE=4: (2)略 (3)解：如图，延长CA至点I,使得AI=AC,连接HⅢ，连接HE, 28/30 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B C :△ABC是等边三角形， .∠BAC=∠ABC=60°，AB=AC=BC, ∴.∠IAH=∠BAC=60°， :AD⊥BC,BE⊥AC, ÷∠AD8-,∠E=专∠c=30,0-D-c, 2 在RtBDF中，∠CBE=30°，DF=5 :F=2=2V5 由勾股定理可得，BD=VBF2-DF2=25-（V5=3, .'AB AC BC 2BD =6, AI=AC,AH=AB, ..AI =All =6, 又，∠IAH=60°， ∴，△AHⅢ是等边三角形， ∴.∠I=∠AHI=60°，HI=A=6, 由旋转的性质可得，GH=GK,∠HGK=60°， .AGHK是等边三角形， ∴∠Gl=60°，GH=HK, ∠AHI=∠G=60°， ∴.∠AHI+∠AHG=∠GH+∠AHG,即∠GHI=∠KHM, 在△GHI和△KHA中， 29/30 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 HI=AH ∠GHI=∠KHA GH=HK AGHI≌△KHA(SAS) ∴.∠AIH=∠HlAK=60°， .'∠C4H=180°-∠BAC=120°， ∴.∠CAK=∠HAK=60°， 在△AIK和△ACK中， AH=AC ∠HAK=∠CAK AK=AK △AHK≌△ACK(SAS) .CK=HK, .CR+EK=m+E≥EH, ∴当E、K、H三点共线时，CK+EK取得最小值， 如图，E、K、H三点共线时，点G在线段A上， G B D △GHI≌△KHA, ∴.AK=GI, ∴.AK+AG=AI=6 30/30可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测（重庆专用) 第二十八章旋转（参考答案） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A 0 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.75° 12.(0,-3) 13.213 14.m>-1 15.(3,-2) 16.5 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(8分)(1)解：将等腰直角三角形△ABC绕点A旋转得到△ADE, .AE=AC,∠DAE=∠BAC ,△ABC是等腰直角三角形， .AB=AC,∠ABC=90° ∴.∠BAC=45°=∠DAE, :∠ECA=180°-45 =67.5° 2 …小分 (2)解：，△ABC是等腰直角三角形， .AB=AC=1,∠ABC=90° 根据勾股定理，得4C=√AB+BC=V2 1/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE=AC=V2∠BAE=∠DAE+∠BAC=90° 由(1)得 根据勾股定理，得BE=VAB+AE2=V5 8分 18.(8分)(1)如图，直线1即为所求作AC的垂直平分线： D .4分 (2)证明：：点F是边AC中点， C=;4C 2 :∠BCA=30°，∠ABC=90° AB4-4C4=60 .AB=CF, ,将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC, :.AC=CD,∠FCD=60°， .∠A=∠FCD 在△ABC和△CFD中， AB=CF ∠A=∠FCD AC=CD .△ABC≌aCFD(SAS) 1 放答案为：24C,CR,∠FCD:4C=CD:8分 2/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B 19.(10分)(1) 解：由旋转作图，如图1，aOAB即所求， 4 B C B D -5-4-3-2-19 12.3.4.5 .4分 2 3 4 图1 (4,2) ;6分 (2)解：.M(m,2),-2<m<-1 ∴旋转后对应点M'在线段CD上，且不与点C,D重合，如图1， 1<n<2.10分 20.(10分)(1) 证明：~BO绕点B逆时针旋转60°得到BD, .BO=BD,∠OBD=60°， :△ABC是等边三角形. .BA=BC,∠CBA=60°. 3/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠OBD=∠CBA, .∠CBO=∠ABD, 在△BCO和△BAD中， OB=BD ∠CBO=∠ABD BC=BA ∴△BCO≌ABAD(SAS) 5分 (2)解：BO=BD,∠OBD=60°， .△OBD是等边三角形， .OD=OB=6,∠ODB=60°， .△BCO≌△BAD .AD=OC=8,∠BOC=∠ADB, OA=10 .AD2+0D2=82+62=1000A2=100 ..OA2=AD2+OD2 .∴∠AD0=90° .∠ADB=∠ADO+∠BDO=150°， .∠B0C=∠ADB=150°.10分 21.(10分)(I)证明：，线段BD绕点B逆时针旋转75°到BE, ∴.BD=BE,∠EBD=75°， 又∠ABC=75°， .∠EBF=∠CBD. 在△BEF与△BDC中， BE=BD ∠EBF=∠CBD BF=BC· 4/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△BEF≌ABDC(SAS) 5分 (2)解：由(1)可知，△BEF≌aBDC, .∠BDC=∠E, ·EFI‖BD,∠EBD=75°， ∴.∠E+∠EBD=180°， ∴∠E=105°， .∠BDC=105°.10分 22.(10分)(1) 解：如图，△AB'C'即为所求： 0 A 5分 (2) 如图，射线CP即为所求. A 10分 B 23.(10分)(1) 证明：：△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC, .C0=CD,∠OCD=60°， .△COD是等边三角形.4分 5/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2) △AOD是直角三角形，理由如下： :△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC, .AD=B0=10 :△COD是等边三角形， ..OD=OC=8, 在△AOD中， OA=6,OD=8,AD=10, ∴.OA2+OD2=AD2 ∴△A0D是直角三角形.10分 24.(10分)(1)证明：四边形ABCD是矩形， .∠BAD=∠ABC=90° ,在Rt△ABC中，AC=2AB」 ∴.∠ACB=30°，∠BAC=60°， .∠DAC=60°， 由旋转可得：AB=AB,∠B'AC'=∠BAC=60°，∠ACB=∠AC"B'=30°， .∠EAC'=∠AC"B'=30° .AE=C"E:3分 (2)解：由(1)可知，AB'=AB,∠BAC=60°， ∴△BAB是等边三角形， .∠ABB=6O°，AB=BB', 由旋转的性质可得，∠ABC=∠AB'C'=90°， .∠BB'F=∠AB'B+∠ABF=60°+90°=150°， AB=B'F, ∴.BB=B'F, .∠FBB=∠B'FB=15°：6分 (3)解：连接AF,过A作AM⊥BF, 由(2)可知，△ABB为等边三角形， 6/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB'=AB=2v2 AB'=B'F=2√2 又：AB=B'F,∠ABC=∠AB'F=90°， 、AMBF是等腰直角三角形， ·AF2=2AB2,即AF2=2x22, .AF=4, .BB=B'F,∠BB'F=150°， ∴.∠B'FB=∠B'BF=15°， .∠AFM=30°，∠ABF=45°」 ∴.AM=BM, 在R△AMB中，AM2+BM2=AB,即2BM2=(22, 解得BM=2, .AM=2, 在Rt△AMF中，AM2+MF2=AF2,即22+MF2=42, 解得M=2V5 BF=2+2V3 D 10分 A D M B 25.(10分) (1)解：：HG∥AD,且G与E重合， 7/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BMD=∠H=22.5°， AB=AC,AD⊥BC, ∠BAD=∠CAD=22.5°， .HG∥AD .∠CAD=∠AEH=22.5°， ∠AEH=∠H=22.5°， ∴.AE=AH=4, :BE⊥AC,∠BAC=∠BAD+∠CAD=45°， .△ABE是等腰直角三角形， .AE=BE=4;3分 (2)猜想：2AE+2AG=GH, 证明：如图，延长GA至点J,使得G)=GH,作ILGJ于点I,设∠C=a, H G B D .AD⊥BC,BE⊥AC, ∴.∠BEA=∠BEC=∠ADB=∠ADC=90° :∠DBF=180°-∠BEC-∠C=90°-a,∠DAC=180°-∠ADC-∠C=90°-a, ∴.∠DBF=∠DAC, 在△ACD和△BFD中， I∠DAC=∠DBF ∠ADC=∠ADB AC=BF △ACD≌ABFD(AAS) .AD=BD, 8/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△ABD是等腰直角三角形， ∴.∠ABD=∠BAD=45°， .∠BAC=∠BAD+∠DAC=135°-a, :∠AHG+∠C=75°， ∴.∠Al6=75°-a, ,∠BAC=∠AHG+∠AGH, ∴.∠AGH=∠BAC-∠AHG=60°， .GJ=GH .△GHW是等边三角形， .HI⊥GJ, G=G=。6,∠HlA=900=∠BEM 2 2 在△ABE和△AHⅢ中， ∠BAE=∠HAI ∠BEA=∠HIA AB=AH △ABE≌AAHⅢ(AAS) .AI=AE. .GI AI AG AE +AG, ÷1E+G=号，即2+246=0m7分 (3)解：如图，延长CA至点I,使得AI=AC,连接HⅢ，连接HE, H 9/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,△ABC是等边三角形， ∠BAC=∠ABC=60°，AB=AC=BC, .∠IAH=∠BAC=60°， AD⊥BC,BE⊥AC, ·∠ADB=90P,∠CBE=5∠ABC=30°BD=CD=BC 在RIBDE 中， ∠CBE=30°DF=V5 :F=2F=2v5 由勾股定理可得，BD=VBF2-DF2=25-(=3, :'AB AC BC 2BD =6. AI=AC,AH=AB, ∴.AI=AH=6, 又：∠IAH=60°， ∴.△AHⅢ是等边三角形， ∴.∠I=∠AI=60°，HI=AH=6, 由旋转的性质可得，GH=GK,∠HGK=60°， ∴.△GHK是等边三角形， ∴.∠GHl=60°，GH=HK, .'∠AHL=∠G=60°， ∴.∠AHI+∠AHG=∠GH+∠AHG,即∠GI=∠M, 在△GI和△KHA中， 「HI=AH ∠GHⅢ=∠KHA GH=HK △GHI≌△KHA(SAS) ∴.∠AIH=∠HAK=60°， .∠GAH=180°-∠BAC=120°， 10/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠CAK=∠HAK=60°， 在△AM和△ACK中， AH=AC ∠HAK=∠CAK AK=AK .△AHK≌△ACK(SAS) ..CK=HK, ∴.CK+E=l+E≥EH, 当E、K、H三点共线时，CK+EK取得最小值， 如图，E、K、H三点共线时，点G在线段AI上， G B D .△GHI≌△KHM, .AK =GI .AM+AG=A1=6..10分 11/11命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测（重庆专用） 第二十八章旋转 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.篆字保存着古代象形文字的明显特点，下列几个篆字中，是中心对称图形的是() 2,在平面直角坐标系中，点1(-5,6 关于原点对称的点的坐标是() A（5,-6) B.(5,-6) c(5,6) D.(6-5) 3.如图，将Rt△ABC绕着直角顶点A旋转得到Rt△ADE,DE经过点B,∠C=34°，则旋转角的度数为 C A.34° B.56° C.68 D.78 4.如图，在正方形网格中，A,B,C,D,E,F,G,H均为格点.若将△ABC绕点A逆时针方向 旋转，点B落在点D,则点C的落在() 1/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G D A.点E B.点F C.点G D.点H 5.在矩形ABCD中，AB=6,AD=3,将矩形ABCD绕点D顺时针旋转得到矩形AB'CD.当点B落在 线段BC的延长线上时，A'B'与CD相交于点H,则线段B'H的长为() B H O 15 9 A.4 B.4 C.4 u胃 6.如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠A0B=∠B=30°，OA=2,将 △AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B的坐标是() B A.（1,2+5 B.(3,3) c.（5,2+) D.（-3,2) 7.如图，正方形ABCD中，AD=2,点E是CD的中点，连接AE,将AE绕点E的逆时针旋转90°得到 线段FE,连接BF并延长交DC延长线于点G,连接DF,则DF长为() D E G B 219 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.3 B.3.5 C.0 8.如图，在4×4的正方形网格中，△MB'C由△ABC旋转得到，其旋转中心是() P M B A.点P B.点O C,点M D.点N 9.己知正方形ABCD边长为8，P在边AD上运动，连接BP,将线段BP绕着点B逆时针旋转45°，到线 段BE,连接AE,线段AE的最小值为() E D D B A.4 B.84V2 C.4+4v2 D.42 10.如图，△ACB中，AB=AC,∠BAC=90°，D是△ACB内一点，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到 △ACE,BD延长线交CE于点F,ED延长线交BC于点G,连接AF.下列结论：①∠AED=45°；② BF⊥CE;③∠CGE=LBAD;④FA平分∠BFE.其中正确的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 3/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.如图，△ABC绕顶点A顺时针旋转43°得到△ADE.若∠BAE=17°，∠D=45°，则∠C的度数为 D 12.在平面直角坐标系0中，将点(3，)绕原点顺时针旋转90到点B,则点8的坐标为一 13.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5,BC=12,点M是边AC的中点.将△ABC绕着点A逆时 针旋转到△ADE的位置，点D恰好在边AC上，点M'是点M的对应点，则M、M'两点间的距离为 M M B 14.点 (m+1,2) 关于原点的对称点P在第三象限，那么m的取值范围是 15.如图，菱形ABCD的对角线交于坐标原点O,若点A的坐标为(-3,2)，则点C的坐标是 16.如图，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°得到矩形A'B'CD',E、F分别是BD、B'D'的中点，若 AB=lcm,BC=7cm,则EF的长为cm。 4/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(8分)如图，将等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE,点D落在边AC上，连接EC, BE. B (I)求∠ECA的度数. (2)若AB=1,求BE的长. 18.(8分)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°能与△DEC重 合 D E (I)请用尺规作图法，作AC的垂直平分线，垂足为F；(不要求写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)问情况下，连接DF,求证：△CFD≌△ABC(填空). 证明：(2)：点F是边AC中点， ∴.CF= :∠BCA=30°，∠ABC=90°， 5/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.BA=)4C,A=60 2 ∴.AB= ,将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC, .AC=CD,∠FCD=60° .∠A= 在△ABC和aCFD中， ( AB=CF ∠A=∠FCD △ABC≌△CFD(SAS) 19,(10分)如图，在平面直角华标系0中，1(-24)，B(-2,0）,将△01B绕原点0顺时针旋转0°得 到△OAB(A,B分别是A,B的对应点)· 2 B -5-4-3-219 2345x (1)在图中画出△OA'B',点A的坐标为： (2)若点M(m,2)位于△0AB内（不含边界），点M'为点M绕原点0顺时针旋转90°的对应点，直接写出 M'的纵坐标n的取值范围_. 20.(10分)如图，点O是等边△ABC内一点，将BO绕点B逆时针旋转60°得到BD,连接CD,AD, BO,CO,AD. 619 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：△BCO2aBAD: (2)若OA=10,OB=6,OC=8,请直接写出∠BOC的度数 21.(10分)如图，在△ABC中，∠ABC=75°，点D,F分别在AC,AB边上，BF=BC,连接BD, 将线段BD绕点B逆时针旋转75°到BE,连接EF. (1)求证：△BCD≌△BFE: (2)若EF∥BD,求∠BDC的度数. 22.(10分)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线 的交点) B (1)请画出将△ABC绕点O顺时针旋转180°得到的△AB'C': (②)请用无刻度的直尺作出△4'B'C'的角平分线C"P(保留作图痕迹，不写作法) 23.(10分)如图，点O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC,将△BOC绕点C按顺时针方向旋转 60°得△ADC,连接OD 719 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (I)求证：△COD是等边三角形： (2)若OA=6,OC=8,OB=10,试判断△A0D的形状，并说明理由. 24.(10分)如图，矩形ABCD中，AC=2AB,将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB'C"D'.使点B的 对应点B落在AC上，B'C交AD于点E,在B'C上取点F,使B'F=AB. D D D (I)求证：AE=CE: (2)求∠BFB'的度数； 3)若1B=2V ,求BF的长 25.(I0分)如图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC交BC于点D,过点B作BE⊥AC交AC于点E, AD与BE交于点F,H为射线BA上一点，G为直线AC上一动点，连接HG. H H H A G E E(G G B D C B D B D C B D 图1 图2 图3 备用图 (1)如图1，若AB=AC,G与E重合且HG∥AD,当∠H=22.5°，AH=4时，求BE的长： 8/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，若BF=AC,AB=AH,∠H+∠C=75°，猜想线段AE,AG,GH之间的数量关系，并证明 你的猜想： )如图3，若△MBC为等边三角形，MB=且DF=5,将HG绕点G顺时针旋转60°至GK,连接K, CK,BK和孤，当CK+欧有最小值时，请直接写出K+AG的值 919