浙江台州市书生中学2026-2027学年九年级上学期第二次学情自测数学试题

九年级第二次独立作业（数学） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．2026的相反数是（　　） A．﹣2026 B．2026 C． D． 2．已知∠α和∠β是对顶角，若∠α＝30°，则∠β的度数为（　　） A．30° B．60° C．70° D．150° 3．地球与月球之间的平均距离大约为384000km，384000用科学记数法可表示为（　　） A．3.84×103 B．3.84×104 C．3.84×105 D．3.84×106 4．如图，将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是（　　） A． B． C． D． 5．已知反比例函数y（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（　　） A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（3，0） D．（﹣3，0） 6．如图，在平面直角坐标系中△AOB与△COD是位似图形，以原点O为位似中心，若CD＝3AB，B点坐标为（2，1），则点D的坐标为（　　） A．（4，2） B．（4，6） C．（6，3） D．（6，2） 第6题图 第8题图 第9题图 7．中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为x，琎价为y，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 8．某中学举办了“文明城市，你我同行”的知识竞赛．经过对竞赛成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图（A：59分及以下；B：60﹣69分；C：70﹣79分；D：80﹣89分；E：90﹣100分），根据图中提供的信息，以下说法正确的是（　　） A．该校八年级学生有1200人 B．80﹣89分段的人数是300人 C．在扇形统计图中，“70﹣79分”部分所对应的圆心角的度数是108° D．59分及以下的人数最少 9．如图，菱形ABCD的边长为2，以A为圆心，AB长为半径作弧，分别与BC，CD交于E，F两点，若与的长之比为1：2，则的长为（　　） A．π B． C． D． 10．如图1，在Rt△ABC中，点D为斜边AC上的定点，点P从点A出发，依次沿AB，BC两边运动，运动到点C时停止，设点P的运动路程为x（0≤x≤17），DP2为y，如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点E（0，a2），点M，N分别为两段曲线的最低点，它们的纵坐标相同，横坐标差为8，且图象经过点F（17，b2），下列选项正确的是（　　） A．a＝2b B．a+b＝13 C．ab＝36 D．a2+b2＝100 第10题图 第13题图 第16题 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算：　 　 ． 12．不等式组的解集是 　 　 ． 13．如图，热气球探测器显示，从热气球A处测得一栋楼顶部C处的仰角是37°，测得这栋楼的底部B处的俯角是60°，热气球与这栋楼的水平距离是36米，那么这栋楼的高度是　 　 米（精确到0.01米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， 14．现有六张分别标有数字1，3，4，5，7，8的卡片，其中标有数字1，4，7的卡片在甲手中，标有数字3，5，8的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，则甲出的卡片数字比乙大的概率为　 　 ． 15．已知：点P（m，n）在直线y＝﹣x+5上，也在双曲线y上，则m2+n2的值为 　 　 ． 16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC＝CD＝2，连结AC，BD，若△ABD与△CBD的面积相等，则AC的长为　 　 ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）先化简，再求值：（2a+b）2﹣（b﹣2a）（b+2a），其中a＝﹣2，b＝1． 18．（8分）解分式方程：． 19．（8分）如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与B、C不重合），AE⊥DG于E，CF⊥DG于F． （1）求证：△AED≌△DFC； （2）求证：AE＝FC+EF． 20．（8分）共享单车是高校学生最喜爱的“绿色出行”方式之一，某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了部分学生出行使用共享单车的情况，并整理成如下统计表： 使用次数 0 1 2 3 4 5 人数 1 9 14 13 11 2 根据以上信息，解答下列问题： （1）这组数据的中位数是　 　 ，众数是　 　 ； （2）若该校某天有2000名学生出行，请你估计这天使用共享单车的次数在4次及4次以上的学生人数． 21．（8分）跟华罗庚学猜数： 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试： ①∵，又∵1000＜59319＜1000000， ∴，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又∵93＝729，能确定59319的立方根的个位数是9． ③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． （1）现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是　 　 位数； ②它的立方根的个位数字是　 　 ； ③19683的立方根是　 　 ． （2）求110592的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 22．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D在边AC上，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E． （1）求证：AE平分∠BAC． （2）若AB＝6，AD＝8，求BE的长． 23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线为y＝ax2﹣4ax+3a+1（a为常数，a＜0）． （1）当a＝﹣1时，求抛物线的顶点坐标； （2）将抛物线向下平移1个单位后与x轴交于A，B两点，求AB的长； （3）当t≤x≤t+2（0≤t≤1）时，y的最大值与最小值之差为5，求a的取值范围． 24．（12分）如图1，在△ABC中，点D，E分别在AB，BC边上，连结AE，CD，DE，AB＝CD，EB＝ED，DE平分∠BDC． （1）求证：∠DEB＝∠AEC． （2）若BE＝4，CE＝6，求AC． （3）如图2，过点A作AB的垂线交ED延长线于点F，作CG⊥AE，垂足为G，求的值． 周练数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C A B C B C C C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．　1　 ． 12．　　 ．13．　89.28　 米 14．　　 ．15． 　29　 ．16．　　 ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）先化简，再求值：（2a+b）2﹣（b﹣2a）（b+2a），其中a＝﹣2，b＝1． 【解答】解：（2a+b）2﹣（b﹣2a）（b+2a） ＝4a2+4ab+b2﹣b2+4a2 ＝8a2+4ab， 当a＝﹣2，b＝1时，原式＝8×（﹣2）2+4×（﹣2）×1＝8×4+（﹣8）＝32﹣8＝24． 18．（8分）解分式方程：． 【解答】解：， 方程两边同时乘3（x+2），得3x﹣3（x+2）＝x﹣4， 去括号，得3x﹣3x﹣6＝x﹣4， 解得：x＝﹣2， 检验：把x＝﹣2代入3（x+2）＝0， ∴x＝﹣2是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 19．（8分）如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与B、C不重合），AE⊥DG于E，CF⊥DG于F． （1）求证：△AED≌△DFC； （2）求证：AE＝FC+EF． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADC＝90°， ∴∠ADE+∠CDF＝90°， ∵AE⊥DG，CF⊥DG， ∴∠AED＝∠DFC＝90°， ∴∠DAE+∠ADE＝90°， ∴∠DAE＝∠CDF， 在△AEE和△DFC中， ， ∴△AED≌△DFC（AAS）； （2）∵△AED≌△DFC， ∴AE＝DF，ED＝FC， ∵DF＝ED+EF＝FC+EF． ∴AE＝FC+EF． 20．（8分）共享单车是高校学生最喜爱的“绿色出行”方式之一，某高校为了解本校学生出行使用共享单车的情况，随机调查了部分学生出行使用共享单车的情况，并整理成如下统计表： 使用次数 0 1 2 3 4 5 人数 1 9 14 13 11 2 根据以上信息，解答下列问题： （1）这组数据的中位数是　3　 ，众数是　2　 ； （2）若该校某天有2000名学生出行，请你估计这天使用共享单车的次数在4次及4次以上的学生人数． 【解答】解：（1）这组数据的中位数是第25、25个数据的平均数，而这2个数据分别为3、3， 所以这组数据的中位数是3，众数是2， 故答案为：3，2； （2）2000520（名）， 答：估计这天使用共享单车的次数在4次及4次以上的学生人数约为520名． 21．（8分）跟华罗庚学猜数： 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的方法试一试：①∵，又∵1000＜59319＜1000000， ∴，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又∵93＝729，能确定59319的立方根的个位数是9． ③若划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． （1）现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空： ①它的立方根是　两　 位数； ②它的立方根的个位数字是　7　 ； ③19683的立方根是　27　 ． （2）求110592的立方根．（过程可按题目中的步骤写） 【解答】解：（1）①∵， ∵1000＜19683＜1000000， ∴10100， ∴能确定19683的立方根是个两位数． ②19683的个位数是3， ∵73＝343，能确定59319的立方根的个位数是7． ③若划去19683后面的三位683得到数19， 而， 则23， ∴2030， 由此确定19683的立方根的十位数是2， 因此19683的立方根是27． 故答案为：①两；②7；③27； （2）①∵， ∵1000＜110592＜1000000， ∴10100， ∴能确定110592的立方根是个两位数． ②110592的个位数是2， ∵83＝512，能确定110592的立方根的个位数是8． ③若划去110592后面的三位592得到数110， 而， 则45， ∴4050， 由此确定110592的立方根的十位数是4， 因此110592的立方根是48． 22．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D在边AC上，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E． （1）求证：AE平分∠BAC． （2）若AB＝6，AD＝8，求BE的长． 【解答】（1）证明：如图1，∠B＝90°，BC与⊙O相切，连接OE， ∴AB⊥BC，OE⊥BC， ∴OE∥AB， ∴∠BAE＝∠OEA， ∵OA＝OE， ∴∠OEA＝∠OAE， ∴∠BAE＝∠OAE， ∴AE平分∠BAC； （2）解：如图2，AD＝8，作OF⊥AB， ∴OD＝OA＝4， ∵∠OEB＝∠B＝∠OFB＝90°， ∴四边形OEBF为矩形， ∴OE＝BF＝4，BE＝OF， ∵AB＝6， ∴AF＝6﹣4＝2， 在直角三角形AOF中，由勾股定理得：． 23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线为y＝ax2﹣4ax+3a+1（a为常数，a＜0）． （1）当a＝﹣1时，求抛物线的顶点坐标； （2）将抛物线向下平移1个单位后与x轴交于A，B两点，求AB的长； （3）当t≤x≤t+2（0≤t≤1）时，y的最大值与最小值之差为5，求a的取值范围． 【解答】解：（1）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线为y＝ax2﹣4ax+3a+1（a为常数，a＜0）． 当a＝﹣1时，抛物线为y＝﹣x2+4x﹣2＝﹣（x﹣2）2+2． ∴抛物线的顶点坐标为（2，2）； （2）抛物线向下平移1个单位后为y＝ax2﹣4ax+3a， 令y＝0，即ax2﹣4ax+3a＝0， ∴a（x2﹣4x+3）＝0 ∴a（x﹣1）（x﹣3）＝0， 解得x＝1或x＝3， ∴抛物线与x轴的交点分别为（1，0），（3，0）， ∴AB＝3﹣1＝2； （3）y＝ax2﹣4ax+3a+1＝a（x﹣2）2﹣a+1， ∴对称轴为直线x＝2， ∵a＜0， ∴抛物线开口向下， ∵0≤t≤1，t≤x≤t+2， ∴当x＝2时，y取到最大值为1﹣a， 当x＝t时，y取到最小值，最小值为at2﹣4at+3a+1， ∵y的最大值与最小值之差为5， ∴（1﹣a）﹣（at2﹣4at+3a+1）＝5， 化简得：a（t﹣2）2＝﹣5，即， ∵0≤t≤1， ∴﹣2≤t﹣2≤﹣1， ∴1≤（t﹣2）2≤4， ∴． 24．（12分）如图1，在△ABC中，点D，E分别在AB，BC边上，连结AE，CD，DE，AB＝CD，EB＝ED，DE平分∠BDC． （1）求证：∠DEB＝∠AEC． （2）若BE＝4，CE＝6，求AC． （3）如图2，过点A作AB的垂线交ED延长线于点F，作CG⊥AE，垂足为G，求的值． 【解答】（1）证明：∵EB＝ED， ∴∠EBA＝∠EDB， ∵DE平分∠BDC， ∴∠EDC＝∠EDB＝∠EBA， 在△ABE和△CDE中， ， ∴△ABE≌△CDE（SAS）， ∴∠AEB＝∠CED， ∴∠AEB﹣∠AED＝∠CED﹣∠AED， 即∠DEB＝∠AEC． （2）解：如图，过点A作AF⊥BC交BC于点F， ∵△ABE≌△CDE， ∴AE＝CE＝6， ∴∠EAC＝∠ACB， ∵∠DEB＝∠AEC， ∴，即∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， ∵BE＝4，CE＝6， ∴BC＝BE+CE＝10，AE＝CE＝6， ∴， ∴EF＝CE﹣CF＝1， ∴， ∴． （3）解：过点A作BC的平行线交FD于点M，作EN⊥AM， ∴∠CEG＝∠EAN，∠CGE＝∠ENA， ∵EA＝EC， ∴△CEG≌△EAN（AAS）， ∴EG＝AN， ∵∠DEB＝∠AEC，∠EMA＝∠DEB， ∴∠EMA＝∠EAM， ∴EM＝EA， ∴AM＝2AN， ∵∠MAD＝∠B＝∠BDE＝∠MDA， ∴MA＝MD， ∵∠FAD＝90°， ∴∠F＝∠FAM， ∴MF＝MA， ∴FD＝2AM＝4AN， ∴． 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $