专题15.1 图形的轴对称《知识解读·题型专练》（专题训练）2026-2027学年八年级数学上册人教版

专题15.1 图形的轴对称（专题训练） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型·1轴对称图形的识别】 1 【题型·2成为轴对称的两个图形的识别】 2 【题型·3·根据成轴对称图形的特征进行判断】 3 【题型·4·根据成轴对称图形的特征求解】 4 【题型·5·台球桌面上的轴对称问题】 5 【题型·6·轴对称中的光线反射问题】 6 【题型·7·折叠问题】 8 【题型·8·线段垂直平分线的性质】 9 【题型·9.线段垂直平分线的判定】 10 【题型·10.作已知线段的垂直平分线】 12 【题型·11.作垂线(尺规作图)】 13 【题型·12互逆命题的判定】 13 【题型·1轴对称图形的识别】 1．下列图形中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列几个标志中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3．下列图案中不是轴对称图形的是（     ） A．B． C． D． 4．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【题型·2成为轴对称的两个图形的识别】 5．下面是四位同学分别以直线l为对称轴作出的轴对称图形，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 6．甲在照镜子，如图，镜子里哪个是他的像？（   ） A． B． C． D． 7．如图，哪一个选项中的右边图形与左边图形成轴对称（   ）． A． B． C． D． 8．下列四组图形中，每组中的两个图形成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【题型·3·根据成轴对称图形的特征进行判断】 9．如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 10．如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 11．如图，与关于直线对称，交于点．有下列结论：①；②；③；④垂直平分．其中不正确的是（    ）． A．① B．② C．③ D．④ 12．如图，与关于直线对称，为上任一点（不与共线），下列结论中错误的是（   ） A． B．垂直平分 C． D．直线的交点不一定在上 【题型·4·根据成轴对称图形的特征求解】 13．如图，与关于直线对称，且，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 14．如图所示，内有一点，点关于的对称点是点关于的对称点是，分别交，于，点，若的长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 15．如图，中，点在边上，分别画出点关于、的对称点、，并连接、．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 16．如图，和关于直线l对称，点A、B、D的对应点分别为点F、E、C，点B、C、D、E在同一条直线上，若，则的长度为______． 【题型·5·台球桌面上的轴对称问题】 17．如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球，每当球碰到长方形桌的边时会反弹，反弹的方向与原来的方向关于垂直于长方形桌边的直线对称，则球最后落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 18．如图，动点P从出发，沿所示的方向运动，到时记为第一次反弹，以后每当碰到矩形的边时记一次反弹，反弹时反射角等于入射角．那么点P第2019次反弹时碰到矩形边上的点的坐标为（　　） A． B． C． D． 19．如图动点从出发，沿如图所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第2014次碰到长方形的边时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型·6·轴对称中的光线反射问题】 20．如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔所处的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为（两束光线关于过点且垂直于的直线对称），且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 21．小明同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角的度数为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线）的夹角，则反射光束与天花板所形成的角的度数为（   ） A． B． C． D． 22．光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射光线刚好与平行，则的度数为______． 23．如图所示，是光在进入单反相机中的五棱镜时两次全反射的光路图，已知，光从点平行于进入棱镜，在边上点处反射，到达边点处，经过再一次反射，然后沿垂直边方向，从点处离开棱镜，若，则的度数为________． 【题型·7·折叠问题】 24．如图，为一长方形纸带，，将沿折叠，，两点分别与、对应，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 25．如图，小明将一张纸片沿进行折叠，使点落在点处，与边相交于点．若，，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 26．如图1，在长方形中，点E在边上，连接，，且，分别沿直线，，折叠并压平，如图2，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 27．如图1，四边形是长方形纸带，其中，，将纸带沿折叠成图2，则图2中的度数是（     ） A． B． C． D． 28．如图，将一正方形纸片沿图1中的对角线对折一次得图2，再沿图2中的斜边上的中线对折一次得图3，然后用剪刀沿图3中的虚线剪去一个角得图4，将图4展开铺平后的平面图形是（     ） A． B． C． D． 29．长方形 内有一点，、分别为边、 上两点，连 ，过点作折痕，交 于点，交 于点，沿折痕将 折叠，使得点落在线段 上 处（如图1），再过点作折痕，交 于点，沿折痕将 折叠，点落在直线上 处（如图2），连 和 ，若 ， （如图3），则（     ） A． B． C． D． 【题型·8·线段垂直平分线的性质】 30．陕西省某景区规划在一片三角形草坪上修建一座以兵马俑为主题的观景台，如图所示，要求观景台到三角形草坪三个顶点的距离相等，则观景台应建在（   ） A．三条高线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条边的垂直平分线的交点处 D．三条角平分线的交点处 31．如图，在中，，是的垂直平分线，若，则的长为（    ） A．5 B．6 C．3 D．4 32．如图，在中，，边的垂直平分线和边的垂直平分线与边分别相交于点E、F，连接，则的周长为（　　） A．12 B．18 C．24 D．不能确定 33．如图，在中，，，观察尺规作图的痕迹可知：是线段的垂直平分线且交于点D，是的平分线且交于点E，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型·9.线段垂直平分线的判定】 34．如图所示， 在中， ， ， ，垂足分别为、， 、 相交于点，求证：垂直平分 ． 35．如图，四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． (1)求证：． (2)若，求证：直线垂直平分． 36．如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O． (1)若，求的周长． (2)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由． 37．如图，与相交于点O，，． (1)求证：； (2)若平分，求证：垂直平分． 【题型·10.作已知线段的垂直平分线】 38．如图，已知．请你用尺规作图法作直线，使得点、关于直线对称．（不写作法，保留作图痕迹） 39．如图所示，已知，点D为边上一点（点D不与点B，C重合）．尺规作图：作直线，使得点A与点D关于直线对称，直线交直线于M，交直线于N；（保留作图痕迹，不要求写作法） 40．如图，在中，，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线，交于点，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，求的度数． 【题型·11.作垂线(尺规作图)】 41．如图，已知，点D在边上，请利用直尺和圆规在上求作一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 42．如图，已知，利用尺规作图作的边上的中线和高． 【题型·12互逆命题的判定】 43．定理“等腰直角三角形的两个锐角都是”的逆定理是(   ) A．两个锐角都是的三角形是等腰直角三角形 B．等腰直角三角形的角都是 C．两个角不是的三角形不是等腰直角三角形 D．有一个角是的三角形是等腰直角三角形 44．下列关于命题“同位角相等”的说法，正确的是（   ） A．原命题、逆命题都是真命题 B．原命题为假命题，逆命题为真命题 C．原命题为真命题，逆命题为假命题 D．原命题、逆命题都是假命题 45．对于命题“若，则”下面四组关于的值中，能说明这个命题的逆命题是假命题的是（   ） A． B． C． D． 46．“两条直线平行，同位角相等”的逆命题可以写成______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15.1 图形的轴对称（专题训练） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型·1轴对称图形的识别】 1 【题型·2成为轴对称的两个图形的识别】 3 【题型·3·根据成轴对称图形的特征进行判断】 5 【题型·4·根据成轴对称图形的特征求解】 8 【题型·5·台球桌面上的轴对称问题】 10 【题型·6·轴对称中的光线反射问题】 13 【题型·7·折叠问题】 16 【题型·8·线段垂直平分线的性质】 20 【题型·9.线段垂直平分线的判定】 22 【题型·10.作已知线段的垂直平分线】 26 【题型·11.作垂线(尺规作图)】 28 【题型·12互逆命题的判定】 29 【题型·1轴对称图形的识别】 1．下列图形中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B、是轴对称图形，故该选项符合题意； C、不是轴对称图形，故该选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故该选项不符合题意． 2．下列几个标志中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的定义，寻找是否存在一条直线使图形沿其折叠后重合． 【详解】解：A、该图形找不到对称轴，不是轴对称图形； B、该图形找不到对称轴，不是轴对称图形； C、该图形能找到2条对称轴，所以是轴对称图形； D、该图形找不到对称轴，不是轴对称图形． 3．下列图案中不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不符合题意； B．该图形不是轴对称图形，符合题意； C．该图形是轴对称图形，不符合题意； D．该图形是轴对称图形，不符合题意． 4．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：ACD选项美术字都不是轴对称图形； B选项美术字是轴对称图形． 【题型·2成为轴对称的两个图形的识别】 5．下面是四位同学分别以直线l为对称轴作出的轴对称图形，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形的作图，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．图中作出的图形是关于直线l的轴对称图形，故A不符合题意； B．图中作出的图形是关于直线l的轴对称图形，故B不符合题意； C．图中作出的图形不是关于直线l的轴对称图形，故C符合题意； D．图中作出的图形是关于直线l的轴对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 6．甲在照镜子，如图，镜子里哪个是他的像？（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了镜面对称，正确把握镜面对称的定义是解题关键．直接利用镜面对称的定义得出答案． 【详解】解：由镜面对称的性质，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即可得出只有B与原图形成镜面对称． 故选：B． 7．如图，哪一个选项中的右边图形与左边图形成轴对称（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了成轴对称图形的相关概念，掌握成轴对称图形的概念是解答本题的关键．根据成轴对称图形的相关概念逐项判断即可解答． 【详解】解：A、不符合成轴对称图形的相关概念，故A不符合题意； B、不符合成轴对称图形的相关概念，故B不符合题意； C、符合成轴对称图形的相关概念，故C符合题意； D、不符合成轴对称图形的相关概念，故D不符合题意； 故选：C． 8．下列四组图形中，每组中的两个图形成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，直线两旁的部分能够互相重合的两个图形叫做这两个图形成轴对称，根据轴对称图形的概念一一判断即可． 【详解】A、不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B、是轴对称图形，故B选项符合题意； C、不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故D选项不符合题意； 故选：B． 【题型·3·根据成轴对称图形的特征进行判断】 9．如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的特征，关于直线对称的两个图形全等，对应角相等，对应点的连线被对称轴垂直平分，由此逐一判断各选项即可． 【详解】解：根据轴对称图形的特征可知，，，， 但无法判断与的位置关系，当与对称轴不平行时，对称后的与的延长线会相交，并不一定满足平行关系， 选项不符合题意，选项符合题意． 10．如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称的基本性质：对应角相等、对应边相等、对应点的连线被对称轴垂直平分，据此逐项分析． 【详解】解：选项，∵与关于直线对称， ∴， ∴， ∴选项正确． 选项，∵与关于直线对称， ∴， ∴， 同时延长和会相交一点， ∴不一定成立， ∴选项符合题意． 选项，∵与关于直线对称， ∴与为对应点， ∴对称轴垂直平分， ∴成立， ∴选项正确． 选项，∵与关于直线对称， ∴与为对应点， ∴对称轴垂直平分， ∵交于点， ∴成立， ∴选项正确． 11．如图，与关于直线对称，交于点．有下列结论：①；②；③；④垂直平分．其中不正确的是（    ）． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的性质，熟记轴对称的性质对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等是解题的关键． 根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点， ∴，，垂直平分， ∴，， 综上可知：①②④正确，③错误， 故选：C． 12．如图，与关于直线对称，为上任一点（不与共线），下列结论中错误的是（   ） A． B．垂直平分 C． D．直线的交点不一定在上 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称，根据轴对称的性质逐项判断即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵与关于直线对称， ∴，该选项正确，不合题意； 、∵与关于直线对称， ∴垂直平分，该选项正确，不合题意； 、∵与关于直线对称， ∴，该选项正确，不合题意； 、∵与关于直线对称， ∴直线的交点一定在上，该选项错误，符合题意； 故选：． 【题型·4·根据成轴对称图形的特征求解】 13．如图，与关于直线对称，且，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的性质推出，再根据三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵与关于直线对称，且，， ∴， ∴， ∴， 即的度数为． 14．如图所示，内有一点，点关于的对称点是点关于的对称点是，分别交，于，点，若的长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质可得，，进而根据三角形的周长公式，即可求解． 【详解】解：∵点关于的对称点是点关于的对称点是， ∴，． ∵， ∴． 15．如图，中，点在边上，分别画出点关于、的对称点、，并连接、．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键；根据轴对称的性质进行计算即可． 【详解】解：由题知， ，， 点关于和的对称点分别为和， ，， 故选：D． 16．如图，和关于直线l对称，点A、B、D的对应点分别为点F、E、C，点B、C、D、E在同一条直线上，若，则的长度为______． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据成轴对称图形的特征进行求解，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先根据成轴对称图形的性质得出，再根据全等三角形的性质求解． 【详解】解：∵和关于直线l对称，点A、B、D的对应点分别为点F、E、C，点B、C、D、E在同一条直线上， ∴， 与是对应边， ∴， 故答案为：2． 【题型·5·台球桌面上的轴对称问题】 17．如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球，每当球碰到长方形桌的边时会反弹，反弹的方向与原来的方向关于垂直于长方形桌边的直线对称，则球最后落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 则球最后落入的球袋是2号袋． 故选：B． 18．如图，动点P从出发，沿所示的方向运动，到时记为第一次反弹，以后每当碰到矩形的边时记一次反弹，反弹时反射角等于入射角．那么点P第2019次反弹时碰到矩形边上的点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了规律型中点的坐标，根据部分点的坐标找出变化规律是解题的关键．设点P第n次反弹时碰到矩形边上的点为Pn（n为自然数），根据反弹补充图形，根据坐标的变化找出变化规律“次反弹一个循环”，依此规律即可得出结论． 【详解】解：设点P第n次反弹时碰到矩形边上的点为（n为自然数），如图， 观察，发现规律： ， ∴次反弹一个循环， ∵， ∴和相同， 故选：D． 19．如图动点从出发，沿如图所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第2014次碰到长方形的边时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反弹时反射角等于入射角作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2014除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：如图，经过6次反弹后点回到出发点， ∵， ∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组第4次碰到矩形的边， ∴点P的坐标为． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了点坐标的规律探索，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 【题型·6·轴对称中的光线反射问题】 20．如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔所处的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为（两束光线关于过点且垂直于的直线对称），且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，反射角等于入射角，由题意得，，然后通过三角形内角和定理即可求解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∵，, ∴， ∴， 故选：． 21．小明同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角的度数为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线）的夹角，则反射光束与天花板所形成的角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，证明，结合平行线的性质可得，，进而解得的值，再由镜面反射的特性，可知，即可求得的值，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：根据题意，可知，，， 如下图，过点作， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由镜面反射的特性，可知， ∴， ∴． 22．光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射光线刚好与平行，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据平行线的性质和反射的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 根据题意可得，， ∴， ∴， ∵， ∴． 23．如图所示，是光在进入单反相机中的五棱镜时两次全反射的光路图，已知，光从点平行于进入棱镜，在边上点处反射，到达边点处，经过再一次反射，然后沿垂直边方向，从点处离开棱镜，若，则的度数为________． 【答案】/64度 【分析】本题主要考查轴对称，平行线的性质的应用，灵活运用平行线的性质是解题的关键． 由平行线的性质推出，由光的反射定律得到，求出，由直角三角形的性质求出，即可求出的度数． 【详解】解：如图：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由光的反射定律得到：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型·7·折叠问题】 24．如图，为一长方形纸带，，将沿折叠，，两点分别与、对应，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由折叠的性质，得到和相等，作为第一个关键关系．因为，根据平行线的内错角相等，得到与相等．因为是直线，平角为，所以，结合已知的，联立方程求解． 【详解】解：根据折叠的性质：； ∵长方形中， ∴， 因此． ∵ ， 代入得：， ∵， ∴联立两个方程：， 解得， 因此． 25．如图，小明将一张纸片沿进行折叠，使点落在点处，与边相交于点．若，，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠的性质与平行线的性质解得，再利用三角形内角和为求解即可． 【详解】解：由折叠的性质得， ∵， ∴， ∴， 在中，． 26．如图1，在长方形中，点E在边上，连接，，且，分别沿直线，，折叠并压平，如图2，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用折叠的性质、角的和差关系，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，，， ， ， ， ， ． 27．如图1，四边形是长方形纸带，其中，，将纸带沿折叠成图2，则图2中的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平行线的性质得，，再根据折叠的性质、角的和差即可求解． 【详解】解：图1中，∵， ∴，， ∴． 图2中，由折叠的性质得， ∴． 28．如图，将一正方形纸片沿图1中的对角线对折一次得图2，再沿图2中的斜边上的中线对折一次得图3，然后用剪刀沿图3中的虚线剪去一个角得图4，将图4展开铺平后的平面图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由折叠可知，图3中剪去的切口是斜向的，且没有经过折叠的顶点（即正方形的中心）．由于剪裁的斜线不是垂直或平行于折痕的，展开后的四边形是菱形，不会是正方形，将图4展开铺平后的平面图形是一个正方形中间有一个倾斜的菱形空洞．而且剪下的菱形的对角线与正方形的对角线共线，只有选项C符合． 29．长方形 内有一点，、分别为边、 上两点，连 ，过点作折痕，交 于点，交 于点，沿折痕将 折叠，使得点落在线段 上 处（如图1），再过点作折痕，交 于点，沿折痕将 折叠，点落在直线上 处（如图2），连 和 ，若 ， （如图3），则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由折叠得， ，则，过点 作 ，则，则 ， ，根据平行线的性质推出 ，最后利用三角形内角和求出答案． 【详解】解：由折叠得 ，， ， ， 过点 作 ， ∴， ∴，， ， ， ． 【题型·8·线段垂直平分线的性质】 30．陕西省某景区规划在一片三角形草坪上修建一座以兵马俑为主题的观景台，如图所示，要求观景台到三角形草坪三个顶点的距离相等，则观景台应建在（   ） A．三条高线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条边的垂直平分线的交点处 D．三条角平分线的交点处 【答案】C 【分析】根据线段的垂直平分线的性质可得答案． 【详解】解：的三边的垂直平分线交于一点，且这一交点到三角形三个顶点的距离相等． ∴观景台应建在三条边的垂直平分线的交点处． 31．如图，在中，，是的垂直平分线，若，则的长为（    ） A．5 B．6 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据垂直平分线的性质可得，由即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴． ∵， ∴． 32．如图，在中，，边的垂直平分线和边的垂直平分线与边分别相交于点E、F，连接，则的周长为（　　） A．12 B．18 C．24 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵边的垂直平分线和边的垂直平分线与边分别相交于点E，F， ∴， ∵， ∴，即的周长为24． 33．如图，在中，，，观察尺规作图的痕迹可知：是线段的垂直平分线且交于点D，是的平分线且交于点E，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形内角和定理可得，由作图可得平分，垂直平分，从而得出，，由等边对等角得出，求出的度数，即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由作图可得：平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【题型·9.线段垂直平分线的判定】 34．如图所示， 在中， ， ， ，垂足分别为、， 、 相交于点，求证：垂直平分 ． 【答案】 证明：，， ， 在和 中 ， ， ，, 点、在的垂直平分线上， 垂直平分． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，垂直平分线的判定；证明，得出，根据等角对等边可得，,即可得证． 【详解】略 35．如图，四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． (1)求证：． (2)若，求证：直线垂直平分． 【答案】(1) 证明：， ， 即， 在和中， ， ， ； (2) 连接， 证明：，， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ∴点在的垂直平分线上， 又， ∴点在的垂直平分线上， 垂直平分． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定定理（如）以及垂直平分线的性质是解题的关键． （1）通过角的和差关系得到，再结合已知条件用ASA证明，从而证得． （2）利用和推出是的垂直平分线，结合全等三角形的性质得到，再结合，证明垂直平分． 【详解】（1）略 （2）略 36．如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O． (1)若，求的周长． (2)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1)10 (2) 解：点O在的垂直平分线上，理由如下： 如图，连接， ∵分别垂直平分， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上． 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． （1）利用线段垂直平分线的性质得出相等线段，然后利用等量代换进行求解即可； （2）连接，得出相等线段，利用线段垂直平分线的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）解：∵的垂直平分线分别交于点D，E， ∴， ∴， ∴的周长为10； （2）略 37．如图，与相交于点O，，． (1)求证：； (2)若平分，求证：垂直平分． 【答案】(1) 证明：在与中， ， ∴， ∴． (2) 证明：由（1）得， ∴， ∴点O在线段的垂直平分线上， ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴点E在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）证明，即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得，证明出，得到，再由垂直平分线的判定即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【题型·10.作已知线段的垂直平分线】 38．如图，已知．请你用尺规作图法作直线，使得点、关于直线对称．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】如图所示，直线即为所求． 【分析】作边的垂直平分线即可； 【详解】略 39．如图所示，已知，点D为边上一点（点D不与点B，C重合）．尺规作图：作直线，使得点A与点D关于直线对称，直线交直线于M，交直线于N；（保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】直线即为所求作； 【分析】连接，作直线的垂直平分线交直线于M，交直线于N即可. 【详解】解：略. 40．如图，在中，，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线，交于点，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，求的度数． 【答案】(1) 解：如图所示，直线垂直平分，交于点， (2) 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质以及三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质，属于基础题． （1）根据尺规作线段垂直平分线的方法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质以及等边对等角可得，然后利用三角形外角的性质求出，进而利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得垂直平分线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【题型·11.作垂线(尺规作图)】 41．如图，已知，点D在边上，请利用直尺和圆规在上求作一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】满足题意的点E如图所示： 【分析】过点D作的垂线，其与的交点即为点，则，故，即可作答． 【详解】略 42．如图，已知，利用尺规作图作的边上的中线和高． 【答案】解：如图，中线，高线即为所求作． ． 【分析】先作线段的垂直平分线交于E，则为中线；再过点A作的垂线，垂足为H即可． 【详解】略． 【题型·12互逆命题的判定】 43．定理“等腰直角三角形的两个锐角都是”的逆定理是(   ) A．两个锐角都是的三角形是等腰直角三角形 B．等腰直角三角形的角都是 C．两个角不是的三角形不是等腰直角三角形 D．有一个角是的三角形是等腰直角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了逆定理．原定理的条件是“等腰直角三角形”，结论是“两个锐角都是”，逆定理需将条件和结论互换．逆定理是原命题的条件与结论互换，需严格对应． 【详解】解：∵ 原定理：若三角形是等腰直角三角形，则两个锐角都是． ∴ 逆定理：若两个锐角都是，则三角形是等腰直角三角形． 故选：A． 44．下列关于命题“同位角相等”的说法，正确的是（   ） A．原命题、逆命题都是真命题 B．原命题为假命题，逆命题为真命题 C．原命题为真命题，逆命题为假命题 D．原命题、逆命题都是假命题 【答案】D 【分析】本题主要考查命题真假判断，逆命题的书写，熟练掌握平行线性质是解题关键． 写出原命题和逆命题，然后根据平行线性质、对顶角进行判断即可． 【详解】解：原命题：同位角相等是假命题，只有两直线平行，才成立； 逆命题：相等的角是同位角，是假命题，有可能是对顶角， ∴ 原命题和逆命题都是假命题， 故选：D． 45．对于命题“若，则”下面四组关于的值中，能说明这个命题的逆命题是假命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查互逆命题，举反例．原命题的逆命题是“若，则”．要说明逆命题是假命题，需找到一组a、b的值，满足但不满足．逐项验证选项即可． 【详解】解：∵ 原命题的逆命题为“若，则”． A、，，则，，逆命题成立，不合题意； B、，则，，逆命题不成立，符合题意； C、，则，，逆命题成立，不合题意； D、，则，，逆命题成立，不合题意． 故选：B． 46．“两条直线平行，同位角相等”的逆命题可以写成______． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查了逆命题，掌握命题的基本知识是解题的关键．把一个命题的题设和结论互换就得到它的逆命题． 【详解】解：命题“两直线平行，同位角相等．”的题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”． 所以它的逆命题是“同位角相等，两直线平行．” 故答案为：同位角相等，两直线平行． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $