15.3.1 等腰三角形《知识解读·题型专练》 2026-2027学年人教版数学八年级上册

15.3.1 等腰三角形（知识解读） 【人教版2024】 题型归纳 【题型·1·等边对等角】 2 【题型·2.三线合一】 4 【题型·3·根据等角对等边证明等腰三角形】 6 【题型·4·根据等角对等边证明边相等】 8 【题型·5·根据等角对等边求边长】 10 【题型·6·含 30 度角的直角三角形】 13 【题型·7.格点图中画等腰三角形】 15 【题型·8·找出图中的等腰三角形】 18 【题型·9.等腰三角形的性质和判定】 21 【随堂检测】 26 知识点1 等腰三角形的概念，性质和判定 1.等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 3.判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释： (1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 知识点2 含 30°角的直角三角形 1.定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 几何语言: 在Rt▲ABC，∠C=90°，∠A=30° →(BC是30°角∠A对的直角边，AB是斜边) 【题型·1·等边对等角】 【例1】若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：若的角为底角，则两底角和为，不符合三角形内角和； ∴ 的角为这个等腰三角形的顶角， ∴这个等腰三角形的底角度数为． 【变式1-1】如果等腰三角形一个底角是，那么顶角是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和为即可计算出顶角度数． 【详解】解：∵等腰三角形的两个底角相等，一个底角为， ∴另一个底角也为， ∵三角形内角和为， ∴顶角． 【变式1-2】如图，，点E在线段上，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由全等三角形的对应角相等得出，，再结合等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【变式1-3】 如图，在中，，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，等边对等角，由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，再由三角形内角和定理可求出的度数． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：A． 【题型·2.三线合一】 【例2】如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆．工程人员这种操作方法的依据是（     ） A．等角对等边 B．等腰三角形三线合一的性质 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 【答案】B 【详解】解：，， ， 故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”的性质． 【变式21】新情境如图所示的人字梯撑开后的主视图是一个等腰三角形，且，取底边的中点为，连接．已测得，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形等边对等角求出顶角度数，结合三线合一性质计算即可求解． 【详解】解：，， ， ， ，为的中点， 平分， ． 【变式2-2】如图，在中，是底边上的高，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，掌握这一性质是关键；由是等腰底边上的高，则D点是底边的中点，则，从而可求解． 【详解】解：∵是底边上的高， ∴D点是底边的中点， ∴． 故选B． 【变式2-3】如图，AD，CE分别是的中线和高．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据等腰三角形的性质求出，再结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， 是 的中线， ∴ 也是△ABC 的角平分线， ∴， ∵是 的高线， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形知识，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定，三线合一，三角形的内角和定理． 【题型·3·根据等角对等边证明等腰三角形】 【例3】一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是等腰三角形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定，根据三角形内角和定理求出另外一个内角的度数，再根据有两个内角相等的三角形是等腰三角形进行判断即可． 【详解】解：A、另外一个内角的度数为，则该三角形是等腰三角形，符合题意； B、另外一个内角的度数为，则该三角形不是等腰三角形，不符合题意； C、另外一个内角的度数为，则该三角形不是等腰三角形，不符合题意； D、另外一个内角的度数为，则该三角形不是等腰三角形，不符合题意； 故选：A． 【变式3-1】下面是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，根据题意结合等角对等边进行画图求解即可． 【详解】解：A、如图所示，可以裁成两个等腰三角形，不符合题意； B、如图所示，可以裁成两个等腰三角形，不符合题意； C、如图所示，可以裁成两个等腰三角形，不符合题意； D、不可以裁成两个等腰三角形，符合题意； 故选D． 【变式3-2】在中，，，则是（     ） A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和，等腰三角形的判定，根据三角形的内角和求出即可判断． 【详解】在中，，， ∴， ∴是等腰三角形， 故选：B． 【变式3-3】在中，已知，则是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理求出三个内角的度数即可判断． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形内角和定理和等腰三角形的判定定理，运用了方程的思想．熟知三角形的内角和是是解题的关键． 【题型·4·根据等角对等边证明边相等】 【例4】如图，在中，已知．求证：． 【答案】 证明： 在中，三角形内角和为，，， ， ， ． 【分析】根据三角形内角和可得出，再根据等角对等边即可得解． 【详解】略． 【变式4-1】已知：如图，，、相交于点O，求证：． 【答案】 证明：在和中， ∴， ∴， ∴． 【分析】找到隐含的公共边这一条件，通过先证明，从而得到，最后利用等角对等边即可证明结论． 【详解】略 【变式4-2】如图，在和中，，．求证：． 【答案】 证明： ，，， ． ． ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，先根据，，，证明，故，最后由等角对等边，得，即可作答． 【详解】略 【变式4-2】如图，是等腰三角形的底边上的高，，交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 【答案】(1) 证明： 是等腰三角形的底边上的高， ， ， 根据平行线的性质得，， ， 是等腰三角形； (2) 证明：是等腰三角形的底边上的高， ∴， ， ， ， ， ， 由（1）得是等腰三角形； ∴， ． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据等腰三角形的三线合一得，再结合平行线的性质，得，即，进行作答． （2）根据等腰三角形的性质得，再结合平行线的性质，得，故，又因为等角对等边，得，由（1）得是等腰三角形，则，即可作答． 【详解】（1）略 （2）略 【题型·5·根据等角对等边求边长】 【例5】如图，在中，和的角平分线交于点，过点作交于点，交于点．若， (1)求的长度； (2)若的周长为25，，求的周长． 【答案】(1)7 (2)15 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义及等腰三角形的判定， 对于（1），先根据角平分线定义得，再根据“两直线平行内错角相等”得，进而得出，同理可得,然后根据得出答案； 对于（2），先根据题意求出，再根据的周长得出答案． 【详解】（1）解：是的平分线， ． ， ， 即， ； 同理是的平分线 ， ； ， ； 即， , ； （2）解：的周长为25，， ， 的周长． 【变式5-1】如图，在中，的平分线交于点，过点作，交于点．若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的定义，等角对等边，平行线的性质等知识，先根据角平分线的定义，得出，结合平行线的性质可知，继而得到，从而得解． 【详解】解：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 【变式5-2】如图，在中，，．若的周长为17，求的长． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边得到，进而根据已知的三角形的周长求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，的周长为17， ∴， 解得． 【变式5-3】如图，上午时，一条船从海岛出发，以海里小时的速度向正北方向航行，时到达海岛处．在海岛测得灯塔在北偏西的方向上，在海岛测得灯塔在南偏西的方向上，求海岛到灯塔的距离． 【答案】海岛到灯塔的距离为海里 【分析】根据题意可得：海里，，从而利用三角形内角和定理可得，进而可得，然后利用等角对等边即可解答． 【详解】解：由题意得： 海里，， ， ， 海里， 海岛到灯塔的距离为海里． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 【题型·6·含 30 度角的直角三角形】 【例6】如图，梯子与地面的夹角，梯子上端靠墙，底端到墙角距离，则梯子的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知，结合可得，再利用含角的直角三角形性质求解即可． 【详解】解：∵墙与地面垂直， ， ， ， ， ， ． 【变式6-1】在中，，，，则的长等于（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，据此即可求出的长． 【详解】解：∵ 在中，， ∴ 所对的直角边 ∵ ∴ ． 【变式6-2】如图，某商场楼层之间的手扶电梯示意图，其中，分别表示地面的水平线．已知，m．那么乘电梯从点到点上升的高度是（    ） A．4 B．4.1 C．4.2 D．4.3 【答案】B 【分析】过作交的延长线于，则，求出，再由含角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，过作交的延长线于，则， ，∵， ∴， ∵， ∴，即. 【变式6-3】如图，已知线段，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线，与线段交于点，在直线上取一点，连接，已知，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．12 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，含30度角的直角三角形，根据作图可知：，得到，再根据含30度角的直角三角形的性质，即可得出结果． 【详解】解：由作图可知：， ∴， ∵，， ∴； 故选C． 【题型·7.格点图中画等腰三角形】 【例7】如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，如果点C也是图形中的格点，且为等腰三角形，所有符合条件的点C有（    ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题考查了作图与应用，解题的关键是掌握等腰三角形的定义，学会运用数形结合的思想解决问题． 根据等腰三角形的定义和网格的特点即可求解． 【详解】解：如图所示： ，故为等腰三角形， ，故为等腰三角形， ，故为等腰三角形， ，故为等腰三角形， ，故为等腰三角形， 则一共有5个等腰三角形， 故选：B． 【变式7-1】如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据题意、画出符合实际条件的图形以及掌握数形结合的思想是解答本题的关键． 根据题意并结合图形，分为等腰底边和为等腰的腰两种情况分别解答即可． 【详解】解：如图：分情况讨论： ①为等腰底边时，符合条件的C点有0个； ②为等腰的腰时，符合条件的C点有8个； 故共有8个点． 故选：D． 【变式7-2】在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图是的正方形网格，已知A，B是两格点，在网格中找一点C，使得为等腰直角三角形，则这样的点C有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为腰；②为底边． 【详解】解：如图，①是腰时，红色的4个点可以作为点C，②是底边时，黑色的2个点都可以作为点C，所以，满足条件的点C的个数是． 故选：A． 【变式7-3】在如图所示的正方形网格中，点、均在格点（小正方形的顶点）上，连接，以为一边，在格点上找一点，使得为等腰三角形的点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键；因此此题可根据等腰三角形的定义在格点上分以为腰和底进行求解即可． 【详解】解：如图， ∴使得为等腰三角形的点有4个； 故选D． 【题型·8·找出图中的等腰三角形】 【例8】如图，在中，，点在内，，图中一共有（    ）个等腰三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形； ， ∴是等腰三角形， 综上分析可知：等腰三角形有：， 故选：A． 【变式8-1】如图，在中，，，平分交于点，交于点，则图中共有等腰三角形（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质，由已知条件利用相关的性质求得各个角相等是本题的关键．根据等腰三角形的判定和性质定理以及平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴为等腰三角形，， ∵ ∴， ∴，为等腰三角形， ∵平分， ∴， ∴，为等腰三角形， ， ∴，为等腰三角形， ∵，， ∴ ∴，为等腰三角形． 综上所述：共有5个等腰三角形． 故选C． 【变式8-2】如图所示，共有等腰三角形（    ） A．2 B．3 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形，结合三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形，， ∴ ， ∴，， ∴、是等腰三角形， ∵，， ∴，， ∴、是等腰三角形， 故图中共有5个等腰三角形， 故选：C． 【变式8-3】如图，已知线段的端点在直线上（与不垂直）请在直线上另找一点，使是等腰三角形，这样的点能找（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】直线可为等腰三角形的底边，也可为腰长，所以应分开来讨论． 【详解】解：当为腰长时，存在个角等腰三角形； 如图 同理当为底边时，有个． 如图 所以题中共有个点使其为等腰三角形． 故选：C． 【点睛】此题考查等腰三角形的判定，关键是直线可为等腰三角形的底边，也可为腰长解答． 【题型·9.等腰三角形的性质和判定】 【例9】如图，在中，，D是上的一点，过点D作于点E，分别延长和，交于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：， ， ， ，， ， ∵， ∴， ，即是等腰三角形； (2)11 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定以及余角的性质和含角的直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质以及含角的直角三角形的性质是解决本题的关键． （1）根据得到，结合垂直以及等角的余角相等即可证明； （2）结合方程思想以及含角的直角三角形的性质，然后根据已知条件计算即可． 【详解】（1）略 （2）在中，， ， 设，则， ， ， ，即． 【变式9-1】如图，，是的角平分线，，交于点E．请判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】 ． 理由如下： ， ． ， ，． ． ． ． 是的角平分线， ． ， ， ． ． ． 【分析】此题考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的概念等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由等边对等角得到，然后结合平行线的性质得到，然后由角平分线得到，进而求解即可． 【详解】解：略． 【变式9-2】如图，在中，，，的平分线交边于点，为的中点，连接． (1)求证：为等腰三角形． (2)求的度数． 【答案】(1) 证明：，， ， 平分， ， ， ， 为等腰三角形； (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理． （1）先利用三角形的内角和求出，再利用角平分线的定义求出，得到，最后根据等角对等边即可求证； （2）由（1）可得，根据等腰三角形三线合一即可求得的度数． 【详解】（1） 略 （2）解：， ， ，为的中点， ∴平分， ； 【变式9-3】如图，平分，，垂足为，． (1)求证：是等腰三角形； (2)，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，直角三角形的内角和关系，熟练掌握等腰三角形的判定方法：等角对等边是解题的关键． （1）利用，求出，结合平分，判定，即可证明； （2）利用，结合直角三角形两锐角互余和直角定义得出，即可证，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 随堂检测 【随堂检测】 1．若等腰三角形的顶角为，则它的底角度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的两个底角相等，结合三角形内角和定理进行解答即可． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角为， ∴两底角的和为， ∵等腰三角形两底角相等， ∴底角度数为． 2．如图，在中，，则的长是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据30度角的性质作答即可． 【详解】解：∵， ∴． 3．如图，在中，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质等边对等角求出，再根据三角形内角和定理求出，根据三角形外角的性质即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 4．如图，下列关于和的说法中正确的是（   ） A．是等腰三角形 B．是等腰三角形 C．和均是等腰三角形 D．和均不是等腰三角形 【答案】A 【详解】解：的第三个内角为，有两个角都是，故是等腰三角形； 的第三边的长不确定，故不一定是等腰三角形； 故选：A． 5．如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点O旋转了，小孩的位置从点A运动到了点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用旋转的性质以及三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵， ∴． 6．如图，在中，，分别是线段，的垂直平分线，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出，，再由等腰三角形的性质得到，，求得，于是得到． 【详解】解：，分别是线段，的垂直平分线， ，． ，． ． ， ． ． ． 7．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图①所示的“三等分角仪”能三等分任意一角．如图②，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，点可在槽中滑动，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 设，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得，再根据三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 8．如图，中，，于点D，于点E，于点F，，则____________． 【答案】 【分析】首先根据在中，，于点，得到是的中线，进而得到，再利用不同的方式表示的面积，化简即可得到与的关系，最后进行求解得到答案． 【详解】解：∵在中，，于点， ∴是的中线， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴． 9．如图，在的正方形网格中，点A，B均在格点处，若点C也在格点处，且是等腰三角形，则满足条件的点C的位置有__________处． 【答案】8 【详解】解：如图，点，，，，，，，即为所求． ∴满足条件的点C的位置有8处． 10．如图，在中，，于点D，E为上一点，且，连接．若，求的度数． 【答案】 【分析】先根据垂直定义可得：，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得：，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得：，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：，， ， ， ， ． 11．图①所示的是高铁站入口的双翼闸门． 如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角为．求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度． 【答案】 【分析】此题主要考查了含角的直角三角形的性质．过点作于点，过点作于点．根据含角的直角三角形的性质得到，同理可得．再由双翼边缘的端点与之间的距离即可求出答案． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点． ． 在中，， ． 同理可得：． 双翼边缘的端点与之间的距离为20， ． 当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.3.1 等腰三角形（知识解读） 【人教版2024】 题型归纳 【题型·1·等边对等角】 2 【题型·2.三线合一】 3 【题型·3·根据等角对等边证明等腰三角形】 4 【题型·4·根据等角对等边证明边相等】 4 【题型·5·根据等角对等边求边长】 5 【题型·6·含 30 度角的直角三角形】 7 【题型·7.格点图中画等腰三角形】 7 【题型·8·找出图中的等腰三角形】 8 【题型·9.等腰三角形的性质和判定】 10 【随堂检测】 11 知识点1 等腰三角形的概念，性质和判定 1.等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 3.判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释： (1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. （2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形． 知识点2 含 30°角的直角三角形 1.定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 几何语言: 在Rt▲ABC，∠C=90°，∠A=30° →(BC是30°角∠A对的直角边，AB是斜边) 【题型·1·等边对等角】 【例1】若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】如果等腰三角形一个底角是，那么顶角是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，，点E在线段上，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 如图，在中，，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型·2.三线合一】 【例2】如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆．工程人员这种操作方法的依据是（     ） A．等角对等边 B．等腰三角形三线合一的性质 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 【变式21】新情境如图所示的人字梯撑开后的主视图是一个等腰三角形，且，取底边的中点为，连接．已测得，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在中，是底边上的高，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式2-3】如图，AD，CE分别是的中线和高．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【题型·3·根据等角对等边证明等腰三角形】 【例3】一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是等腰三角形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-1】下面是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】在中，，，则是（     ） A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【变式3-3】在中，已知，则是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【题型·4·根据等角对等边证明边相等】 【例4】如图，在中，已知．求证：． 【变式4-1】已知：如图，，、相交于点O，求证：． 【变式4-2】如图，在和中，，．求证：． 【变式4-2】如图，是等腰三角形的底边上的高，，交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 【题型·5·根据等角对等边求边长】 【例5】如图，在中，和的角平分线交于点，过点作交于点，交于点．若， (1)求的长度； (2)若的周长为25，，求的周长． 【变式5-1】如图，在中，的平分线交于点，过点作，交于点．若，，求的长． 【变式5-2】如图，在中，，．若的周长为17，求的长． 【变式5-3】如图，上午时，一条船从海岛出发，以海里小时的速度向正北方向航行，时到达海岛处．在海岛测得灯塔在北偏西的方向上，在海岛测得灯塔在南偏西的方向上，求海岛到灯塔的距离． 【题型·6·含 30 度角的直角三角形】 【例6】如图，梯子与地面的夹角，梯子上端靠墙，底端到墙角距离，则梯子的长度为（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】在中，，，，则的长等于（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式6-2】如图，某商场楼层之间的手扶电梯示意图，其中，分别表示地面的水平线．已知，m．那么乘电梯从点到点上升的高度是（    ） A．4 B．4.1 C．4.2 D．4.3 【变式6-3】如图，已知线段，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线，与线段交于点，在直线上取一点，连接，已知，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．12 【题型·7.格点图中画等腰三角形】 【例7】如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，如果点C也是图形中的格点，且为等腰三角形，所有符合条件的点C有（    ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【变式7-1】如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式7-2】在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图是的正方形网格，已知A，B是两格点，在网格中找一点C，使得为等腰直角三角形，则这样的点C有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【变式7-3】在如图所示的正方形网格中，点、均在格点（小正方形的顶点）上，连接，以为一边，在格点上找一点，使得为等腰三角形的点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型·8·找出图中的等腰三角形】 【例8】如图，在中，，点在内，，图中一共有（    ）个等腰三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 【变式8-1】如图，在中，，，平分交于点，交于点，则图中共有等腰三角形（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式8-2】如图所示，共有等腰三角形（    ） A．2 B．3 C．5 D．4 【变式8-3】如图，已知线段的端点在直线上（与不垂直）请在直线上另找一点，使是等腰三角形，这样的点能找（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【题型·9.等腰三角形的性质和判定】 【例9】如图，在中，，D是上的一点，过点D作于点E，分别延长和，交于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【变式9-1】如图，，是的角平分线，，交于点E．请判断与的大小关系，并说明理由． 【变式9-2】如图，在中，，，的平分线交边于点，为的中点，连接． (1)求证：为等腰三角形． (2)求的度数． 【变式9-3】如图，平分，，垂足为，． (1)求证：是等腰三角形； (2)，求的长． 随堂检测 【随堂检测】 1．若等腰三角形的顶角为，则它的底角度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，则的长是（    ） A． B．1 C． D． 3．如图，在中，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，下列关于和的说法中正确的是（   ） A．是等腰三角形 B．是等腰三角形 C．和均是等腰三角形 D．和均不是等腰三角形 5．如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点O旋转了，小孩的位置从点A运动到了点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，分别是线段，的垂直平分线，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图①所示的“三等分角仪”能三等分任意一角．如图②，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，点可在槽中滑动，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．如图，中，，于点D，于点E，于点F，，则____________． 9．如图，在的正方形网格中，点A，B均在格点处，若点C也在格点处，且是等腰三角形，则满足条件的点C的位置有__________处． 10．如图，在中，，于点D，E为上一点，且，连接．若，求的度数． 11．图①所示的是高铁站入口的双翼闸门． 如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角为．求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $