15.3 等腰三角形 题型专练 2026--2027学年人教版八年级数学上册

人教版（2024）八年级上册 15.3 等腰三角形 题型专练 【题型1】作三角形 【典例】如图是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（   ） A．已知两边及夹角 B．已知三边 C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角 【举一反三1】如图，小明在纸上画了一个三角形，不料被墨水污染了一部分，小刚可以画出一个与小明画的一样的（全等的）三角形，则这两个三角形全等的判定依据是__________． 【举一反三2】如图，已知线段a，b和． 求作：，使得，，．（不写作法，不下结论，保留清晰的作图痕迹） 【举一反三3】（1）尺规作图：如图，在直线上求作一点，使得到射线，的距离相等（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的基础上，已知，与相交于点C，求证：是等腰三角形． 【题型2】等腰三角形的概念 【典例】如图，在△ABD中，AB=BD，则这个三角形的底角是（ ）. A．∠ABD B．∠BAC C．∠ADB D．∠C 【举一反三1】如果等腰三角形有一个内角等于，那么这个三角形的最小内角的度数为 __________ . 【举一反三2】如图，AC=BC.请写出等腰△ABC的腰、底边、顶角和底角. 【举一反三3】如图，点A在BC上，∠D=90°，AD=CD，AB=AC，请写出等腰△ABC和等腰△ADC的腰、底边、顶角和底角. 【题型3】等腰三角形性质与判定 【典例】如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO；②BE=CD；③OB=OC；④OE=OD．从上述四个条件中，选取两个条件，不能判定△ABC是等腰三角形的是（　　） A．①② B．①③ C．③④ D．②③ 【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转∠α(0°<∠α<75°)，与射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A'CD处，射线CA'与射线AB相交于点E.若△A'DE是等腰三角形，则∠α的度数为__________ . 【举一反三2】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，BE＝2，则DE的长是 __________ ． 【举一反三3】如图，已知点D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC. (1)求证：△ABC是等腰三角形； (2)作∠ACE的平分线交AF于点G，若∠B＝40°，求∠AGC的度数. 【题型4】等边三角形的性质 【典例】如图，将三个大小不同的等边三角形的一个顶点重合放置，则α、β、γ三个角的数量关系为（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作x轴的垂线，垂足为；以为边在右侧作等边三角形，再过点作x轴的垂线，垂足为；以为边在右侧作等边三角形 …按此规律继续作下去，得到等边三角形 则点的纵坐标为__________ ． 【举一反三2】如图，已知等边△ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则∠EFD的度数为__________ . 【举一反三3】如图，以△ABC的两边AB、AC向外作等边三角形ABE和等边三角形ACD，连接BD、CE，相交于O． （1）试写出图中和BD相等的一条线段并说明你的理由； （2）求出BD和CE的夹角大小，若改变△ABC的形状，这个夹角的度数会发生变化吗？请说明理由． 【举一反三4】已知：如图，等边三角形ABC中，D为AC边的中点，过C作CE∥AB，且AE⊥CE， 那么∠CAE=∠ABD吗？请说明理由． 【题型5】等边三角形的判定 【典例】三角形中任意一角的平分线都是这角对所边上的中线，对这个三角形最准确的判断是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【举一反三1】如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达A点时，M、N同时停止运动．点M、N运动（　　）s后，可得到等边△AMN． A．1 B．0.5 C．4 D．2 【举一反三2】如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12 cm，现有两点M，N分别从点A，点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1 cm/s，点N的速度为2 cm/s．当点N第一次到达A点时，M，N同时停止运动．点M，N运动（　　）s后，可得到等边△AMN． A．1 B．0.5 C．4 D．2 【举一反三3】在△ABC中，∠A=60°，∠B=__________度时，△ABC是等边三角形． 【举一反三4】如图，AC与BD相交于点O，若OA＝OB，∠A＝60°，且AB∥CD，求证：△OCD是等边三角形． 【举一反三5】如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝60°，点M、N分别在AB、AD边上，MC＝NC，求证：△AMN是等边三角形． 【题型6】等边三角形的性质和判定 【典例】如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，下面结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形；④PQ∥AC．其中结论正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三1】如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆的CD部分的长度与支杆BC的长度相等，点E在DC的延长线上，且∠BCE＝2∠BCD，若CD的长度为30cm，则此时B，D两点之间的距离为 __________cm． 【举一反三2】如图，在中，，，垂直平分线段. (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长. 【举一反三3】动点问题是数学学习中常见的问题，解决此类问题的关键是动中求静，运用分类讨论及数形结合的思想灵活解决问题．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，点P在线段BA上从点B出发向点A运动（点P不与点A重合），点P运动的速度为2cm/s；点Q在线段CB上从点C出发向点B运动（点Q不与点B重合），点Q运动的速度为3cm/s，设点P，Q同时运动，运动时间为t s． （1）在点P，Q运动过程中，经过几秒时△PBQ为等边三角形？ （2）在点P，Q运动过程中，若某时刻△PBQ为直角三角形，请计算运动时间t． 【题型7】含30°角的直角三角形的性质 【典例】如图，在等边△ABC中，AB=8，E是BA延长线上一点，且EA=4，D是BC上一点，且ED=EC，则BD的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【举一反三1】如图，等边中，，点D是高上一点，过点D作，分别交于点E，F，连接，当时，（   ） A． B． C．1 D． 【举一反三2】如图，在中，，，，为的中点．若动点以的速度从点出发，沿→→运动，设点的运动时间为，连接，当为直角三角形时，的值为（  ） A． B．或 C．或 D．，或 【举一反三3】如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，那么__________ ＝AB，如果D是AB的中点，那么__________ 是等边三角形. 【举一反三4】如图，在Rt中，，以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，连接两弧交点，交，于，两点，若，，则的长度是__________． 【举一反三5】(人教课本P86习题T12)如图，在 中,,交 于点 .若 ,求 的长. 【题型8】等腰直角三角形的性质与判定 【典例】七巧板是我国古代的一项发明，被誉为“东方魔板”，19世纪传到国外被称为“唐图”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．如图，在七巧板铺成的正方形地板上，一个小球自由滚动，则小球停留在阴影部分的概率为（    ） A． B． C． D． 【举一反三1】某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成．如图①，当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块；如图②，当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块；如图③，当正方形地砖有3块时，等腰直角三角形地砖有10块；…；以此类推，当人行道有20块正方形地砖时，等腰直角三角形地砖的块数为（    ） A．38 B．40 C．42 D．44 【举一反三2】如图所示，在边长为1的小正方形网格中，若的顶点都在格点上，则__________ ． 【举一反三3】图1是一种升降阅读架，由面板、支撑轴和底座构成，图2是其侧面结构示意图，面板固定在支撑轴端点C处，支撑轴长，支撑轴与底座所成的角，求端点C到底座的距离． 【题型9】两腰相等 【典例】工人师傅准备把一根长为的木条截成三段，围成一个等腰三角形支架，若第一段木条的长为，则第二段木条的长是（    ） A． B． C． D． 【举一反三1】已知a，b是等腰三角形的两边长，且满足，则此三角形的周长为（　　） A．9 B．12 C．15 D．12或15 【举一反三2】已知等腰三角形的周长为18，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长为__________ . 【举一反三3】等腰三角形底边长为，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，其差为，则该等腰三角形的腰长为__________． 【举一反三4】在△ABC中，AB=AC，AC上的中线BD把三角形的周长分为24cm和30cm的两个部分，求三角形的三边长． 【题型10】等边对等角 【典例】如图，直线a∥b，点A在直线a上，点B在直线b上，AC＝BC，∠C＝120°，∠1＝44°，则∠2的度数为(　　) A．64° B．74° C．56° D．66° 【举一反三1】如图，中，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【举一反三2】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CE平分∠ACD，则∠1＝__________ . 【举一反三3】如图，在等腰中，，，点D，E分别为边上的动点，且，连接，当的值最小时，的大小是__________． 【举一反三4】已知：如图，在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B=∠C. 【题型11】三线合一 【典例】如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆DE⊥BC.工程人员这种操作方法的依据是(　　) A．等角对等边 B．等腰三角形三线合一的性质 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 【举一反三1】如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12cm2， 则图中阴影部分的面积为（　　） A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2 【举一反三2】如图，在中，，平分，交于点E，于点D，如果，，那么的长是__________ ． 【举一反三3】等腰中，，边的垂直平分线交边于点D，连接，若为等腰三角形，则的度数为__________ ． 【举一反三4】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC边的中点，连接AD，E为AD上一点，连接BE．若∠ABE＝25°，BE＝AE，求∠BAC的度数． 【题型12】等腰三角形性质与折叠 【典例】如图，在第1个中，，，在边上任取一点D，延长到，使，得到第2个，在边上取一点E，延长到，使，得到第3个，…按此做法继续下去，则第2026个三角形中以为顶点的底角度数是（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】如图，在中，，点是上一点，的垂直平分线交于点，将沿折叠，点恰好与点重合，则等于（   ） A． B． C． D． 【举一反三2】如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【举一反三3】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α角(0°<∠α<75°)，与射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A'CD处，射线CA'与射线AB相交于点E.若△A'DE是等腰三角形，则∠α的度数为__________ . 【举一反三4】折纸实验：如图，长方形纸带ABCD，E，F分别是边AD，BC上一点，∠DEF＝α(0°＜α＜90°且α≠60°)，将纸带ABCD沿EF折叠成图1，再沿GF折叠成图2． (1)当α＝25°时，则∠BFE＝　　 ；∠GFC'＝ 　 ； (2)两次折叠后，求∠NFE的大小(用含α的代数式表示)． 【题型13】等腰三角形的性质与尺规作图 【典例】如图，以AB为直径的半圆O上有两点D、E，ED与BA的延长线交于点C，且有DC＝OE，若∠C＝20°，则∠EOB的度数是（    ） A．40° B．50° C．60° D．80° 【举一反三1】如图，在中，，按如下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，则的度数为__________． 【举一反三2】如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E，则__________． 【举一反三3】尺规作图：经过已知直线上的一点作这条直线的垂线. 【题型14】等腰三角形性质的实际应用 【典例】“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意角，这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点Ｄ项，E可在槽中滑动．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【举一反三1】秋天，枫叶红了，我们不禁想起杜牧的诗“远上寒山石径斜，白云深处有人家．停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花．”这也让我们想起了岳麓山上的“爱晚亭”．如图，“爱晚亭”的顶端可看作等腰是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（   ） A． B．与的面积相等 C． D． 【举一反三2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是AB边上的点，在CD的右侧作等腰直角三角形CDE，且CD＝CE，斜边DE交AC边于点F，当△CDF为等腰三角形时，∠ADF＝__________ ． 【举一反三3】如图，五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，为了画出五角星，还需要知道∠AMB的度数，算一算∠AMB等于多少度． 【题型15】用定义判定等腰三角形 【典例】如图所示，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得△PAB、△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有（　　） A．1个 B．3个 C．5个 D．无数多个 【举一反三1】已知a，b，c是△ABC的三条边，且(a﹣b)2＝0，则△ABC的形状是__________． 【举一反三2】如图，将绕点A逆时针旋转得到，其中点B，C分别与点D，E对应，如果B，D，C三点恰好在同一直线上，下列结论：①是等腰三角形；②；③；④；⑤，其中正确的是__________.（填序号） 【举一反三3】如图，在四边形中，F是的延长线上一点，连接交于点E，，点G在边上，连接，平分.求证：是等腰三角形. 【题型16】用定义判定格点中的等腰三角形 【典例】如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A，B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是 （      ）  A．2 B．3 C．4 D．5 【举一反三1】如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A，B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是 A．5 B．6 C．8 D．9 【举一反三2】如图，在的正方形方格中，点A，B在格点（小正方形的顶点）上，若点C也在格点上，使为等腰三角形，则符合条件的格点C的个数是（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 【举一反三3】在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，点A的坐标为，点的坐标为为第一象限内的整点（在所给网格中），若不共线的三点构成轴对称图形，则点的坐标可以是__________．（写出不少于四个） 【举一反三4】图①，图②，图③都是4×4的正方形网格，B两点均在格点上，在给定的网格中 (1)在图①中，画出以AB为底边的等腰△ABC，并且点C为格点． (2)在图②中，画出以AB为腰的等腰△ABD，并且点D为格点． (3)在图③中，画出以AB为腰的等腰△ABE，并且点E为格点，所画的△ABE与图②中所画的△ABD不全等． 【举一反三5】如图所示的方格纸中，每一个小正方形的边长都是，网格中有一个格点三角形． (1)以直线为对称轴，在图中直接作出的轴对称图形． (2)在直线右侧，在外部，画出以为腰的一个等腰直角三角形． (3)计算的面积，并通过面积求出的长度． 【题型17】等角对等边 【典例】如图，∠ADE=∠AED=2∠B=2∠C，则图中共有等腰三角形个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【举一反三1】如图，已知，直线l与直线分别交于点A，B．按如下步骤作图：（1）以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线于点；（2）分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交直线于点；（3）分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【举一反三2】如图，在△ABC中，∠BAC：∠B：∠C=3：1：1，AD，AE将∠BAC三等分， 则图中等腰三角形的个数是__________． 【举一反三3】Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的高CD与角平分线BE交于点F. (1)求证：∠CAD=∠BCD； (2)求证：△CEF为等腰三角形. 【题型18】用等角对等边证明边相等 【典例】如图，中，点在边上，若，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三1】在中，已知，则（   ） A． B． C． D． 【举一反三2】如图，已知在中，，，直角的顶点P是的中点，两边、分别交、于点E、F．以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【举一反三3】如图，，，，判断__________．（请填，，） 【举一反三4】如图，和分别为的两个外角的平分线，过点D作分别交和的延长线于点E和F给出以下结论：①；②；③平分；④，其中正确的是__________． 【举一反三5】如图，和中，点在上，．求证：． 【题型19】用等角对等边求边长、周长或面积 【典例】若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　） A．9 B．7 C．12 D．9或12 【举一反三1】如图，的两个角平分线交于点，过点作的平行线交、于点、，已知，，则的周长为（   ） A．15 B．12 C．9 D．6 【举一反三2】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC，交AB于点E.若AB=9 cm，AE=5 cm，则DE的长为__________cm.  【举一反三3】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于E，交AC于F． (1)若∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，求∠BOE+∠COF的度数； (2)△AEF的周长为8cm，且BC＝4cm，求△ABC的周长． 【题型20】尺规作图中的等角对等边 【典例】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法错误的是(　　) A． B． C． D． 【举一反三1】如图，作线段，以点Ｂ项，A为圆心，大于的长为半径分别作弧交于Q、R，连接交于点M．以M为圆心，长为半径作弧，在弧上取一点C，连接、．在上取一点N，以为半径作弧交于点O，连接，以O、N为圆心、大于的长为半径作弧交于一点P，连接并延长交于D．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【举一反三2】如图，已知，直线l与直线分别交于点A，B．按如下步骤作图：（1）以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线于点；（2）分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交直线于点；（3）分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【举一反三3】如图，四边形中，，，，．以点为圆心，以长为半径作图，与相交于点，连接．以点为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，与相交于点，则的长为__________（用含的代数式表示）． 【举一反三4】如图，已知线段和． (1)请仅用无刻度直尺与圆规作，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)比较的长短，判断的形状． 【题型21】坐标轴上的点与已知点组成等腰三角形的个数 【典例】已知平面直角坐标系中有A(1，1)，B(2，0)两点．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 【举一反三1】如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【举一反三2】在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在x轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有（　　）个． A．4 B．5个 C．7个 D．8个 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（4，0），以AB为腰作等腰，点C在y轴上，则C点坐标为__________ . 【举一反三4】在平面直角坐标系中，一次函数（为常数）的图象与轴交于点，与正比例函数的图象交于点. (1)求一次函数的表达式： (2)当时，的取值范围是__________ ； (3)若一次函数的图象与轴交于点，点在轴的正半轴上（不包括坐标原点），且是等腰三角形.直接写出所有点的坐标. 人教版（2024）八年级上册 15.3 等腰三角形 题型专练（参考答案） 【题型1】作三角形 【典例】如图是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（   ） A．已知两边及夹角 B．已知三边 C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角 【答案】C 【举一反三1】如图，小明在纸上画了一个三角形，不料被墨水污染了一部分，小刚可以画出一个与小明画的一样的（全等的）三角形，则这两个三角形全等的判定依据是__________． 【答案】 【解析】解：已知：线段和，，求作：，使，，． 作法：（1）作； （2）在射线上截取线段； （3）以为顶点，以为一边作，交于点， 就是所求的三角形． 由作图可知，，， ∴． 【举一反三2】如图，已知线段a，b和． 求作：，使得，，．（不写作法，不下结论，保留清晰的作图痕迹） 【答案】解：如图，即为所求作的三角形． 【举一反三3】（1）尺规作图：如图，在直线上求作一点，使得到射线，的距离相等（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的基础上，已知，与相交于点C，求证：是等腰三角形． 【答案】解：（1）如图，点即为所求． （2）如图，与相交于点， ∵点在内，且点到射线，的距离相等， ∴是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【题型2】等腰三角形的概念 【典例】如图，在△ABD中，AB=BD，则这个三角形的底角是（ ）. A．∠ABD B．∠BAC C．∠ADB D．∠C 【答案】C 【解析】解：根据等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫等腰三角形，相等两边叫等腰三角形的腰，第三边叫底边，腰和底边的夹角叫底角，可知，C符合题意. 【举一反三1】如果等腰三角形有一个内角等于，那么这个三角形的最小内角的度数为 __________ . 【答案】或 【解析】当底角为时，则顶角的度数为， 此时该三角形的三个内角的度数分别为，，，则最小内角的度数为； 当顶角为时，则底角的度数为， 此时该三角形的三个内角的度数分别为，，，此时最小内角的度数为； 综上所述，这个三角形的最小内角的度数为或， 故答案为：或. 【举一反三2】如图，AC=BC.请写出等腰△ABC的腰、底边、顶角和底角. 【答案】解：根据等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫等腰三角形，相等两边叫等腰三角形的腰，第三边叫底边，腰和底边的夹角叫底角，两腰的夹角叫顶角. 等腰△ABC的腰为AC和CB，底边为AB，顶角为∠C，底角为∠CAB和∠CBA. 【举一反三3】如图，点A在BC上，∠D=90°，AD=CD，AB=AC，请写出等腰△ABC和等腰△ADC的腰、底边、顶角和底角. 【答案】解：根据等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫等腰三角形，相等两边叫等腰三角形的腰，第三边叫底边，腰和底边的夹角叫底角，两腰的夹角叫顶角. 等腰△ABC的腰为AB和AC，底边为BC，顶角为∠BAC，底角为∠ACB和∠B. 等腰△ADC的腰为AD和CD，底边为AC，顶角为∠D，底角为∠DAC和∠DCA. 【题型3】等腰三角形性质与判定 【典例】如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO；②BE=CD；③OB=OC；④OE=OD．从上述四个条件中，选取两个条件，不能判定△ABC是等腰三角形的是（　　） A．①② B．①③ C．③④ D．②③ 【答案】D 【解析】解：选①②可根据AAS证△EBO和△DCO全等，推出OB=OC，再得出∠CBO=∠BCO，两角相加得出∠ABC=∠ACB，正确；①③根据OB=OC，∠EBO=∠DCO，两角相加得出∠ABC=∠ACB，正确；③④根据SAS证△EBO和△DCO全等，推出∠EBO=∠DCO，再根据OB=OC，得∠CBO=∠BCO，两角相加得出∠ABC=∠ACB，正确；②③不能证明出△EBO和△DCO全等，错误；故选D． 【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转∠α(0°<∠α<75°)，与射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A'CD处，射线CA'与射线AB相交于点E.若△A'DE是等腰三角形，则∠α的度数为__________ . 【答案】5°或45°或 【解析】由折叠得∠ACD＝∠A'CD＝∠α＝∠ACA'，∠A'＝∠A＝30°. 如图1，当点A'位于AB下方时，分三种情况： 当A'D＝A'E时， ∠A'DE＝∠A'ED＝(180°－∠A')＝75°，∠AEC＝180°－∠A'ED＝105°. 所以∠ACE＝45°， 所以∠ACD＝∠A'CD＝∠α＝∠ACE＝22.5°； 当DA'＝DE时，∠DEA'＝∠A'＝30°， 易判断∠DEA'>30°， 所以此种情况不成立； 当ED＝EA'时， ∠EDA'＝∠A'＝30°， 所以∠DEA'＝180°－∠EDA'－∠A'＝120°. 因为∠A＋∠ACE＋∠AEC＝180°， ∠A'ED＋∠AEC＝180°， 所以∠A'ED＝∠A＋∠ACE. 所以∠ACE＝∠A'ED－∠A＝90°， 所以∠ACD＝∠A'CD＝∠α＝∠ACE＝45°. 如图2，当点A'位于AB上方时，分三种情况： 当A'D＝A'E时， ∠A'DE＝∠A'ED＝(180°－∠DA'E)＝∠CA'D＝15°， 所以∠ACA'＝180°－∠A－∠A'EA＝135°， 所以∠ACD＝∠A'CD＝∠α＝∠ACA'＝67.5°； 当DA'＝DE时，以及当ED＝EA'时，由等腰三角形的底角不可能为钝角，可判断这两种情况都不成立. 综上所述，若△A'DE是等腰三角形，则∠α的度数为22.5°或45°或67.5°. 【举一反三2】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，BE＝2，则DE的长是 __________ ． 【答案】2． 【解析】解：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵DE∥AB， ∴∠ABD＝∠BDE， ∴∠DBE＝∠BDE， ∴DE＝BE， ∵BE＝2， ∴DE＝2． 【举一反三3】如图，已知点D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC. (1)求证：△ABC是等腰三角形； (2)作∠ACE的平分线交AF于点G，若∠B＝40°，求∠AGC的度数. 【答案】(1)证明　∵AF平分∠DAC， ∴∠DAF＝∠CAF， ∵AF∥BC， ∴∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB， ∴∠B＝∠ACB， ∴△ABC是等腰三角形. (2)解　∵AB＝AC，∠B＝40°， ∴∠ACB＝∠B＝40°， ∴∠BAC＝100°， ∴∠ACE＝∠BAC＋∠B＝140°， ∵CG平分∠ACE， ∴∠ACG＝∠ACE＝70°， ∵AF∥BC， ∴∠AGC＝180°－∠BCG＝180°－40°－70°＝70°. 【题型4】等边三角形的性质 【典例】如图，将三个大小不同的等边三角形的一个顶点重合放置，则α、β、γ三个角的数量关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图， 由图形得，，， ∴，，， ∴， ∴， 故选：B. 【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作x轴的垂线，垂足为；以为边在右侧作等边三角形，再过点作x轴的垂线，垂足为；以为边在右侧作等边三角形 …按此规律继续作下去，得到等边三角形 则点的纵坐标为__________ ． 【答案】 【解析】已知点的坐标是， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴点的纵坐标为， 同理，，， ∴点的纵坐标为， 根据此规律即可得到点的纵坐标为． 故答案为：． 【举一反三2】如图，已知等边△ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则∠EFD的度数为__________ . 【答案】 【解析】由翻折性质可知∠AFE=∠EFD，∠EDF=∠A， 因为△ABC为等边三角形， 所以∠A=∠B=∠C=60°， 所以∠EDF=∠A=60°， 因为ED⊥BC，所以∠EDB=90°， 所以∠FDB=30°， 所以∠BFD=180°-∠B-∠FDB=90°， 所以∠AFD=180°-∠BFD=90°， 所以∠EFD=×90°=45°. 【举一反三3】如图，以△ABC的两边AB、AC向外作等边三角形ABE和等边三角形ACD，连接BD、CE，相交于O． （1）试写出图中和BD相等的一条线段并说明你的理由； （2）求出BD和CE的夹角大小，若改变△ABC的形状，这个夹角的度数会发生变化吗？请说明理由． 【答案】解：（1）EC=BD， 理由为：∵△ABE和△ACD都为等边三角形，∴∠EAB=∠DAC=60°，AE=AB，AD=AC，∴∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，在△AEC和△ABD中，AE=AB，∠EAC=∠BAD，AC= AD，∴△AEC≌△ABD（SAS），∴EC=BD；（2）BD和CE的夹角大小为60°，若改变△ABC的形状，这个夹角的度数不变，理由为：∵△ADC为等边三角形，∴∠ADC=∠ACD=60°，∵△AEC≌△ABD，∴∠ACE=∠ADB，∵∠EOD为△COD的外角， ∴∠EOD=∠ODC+∠OCD=∠ODC+∠ACD+∠ACE=∠ODC+∠ADB+∠ACD=∠ADC+∠ACD=120°，即∠DOC=60°，则BD和CE的夹角大小为60°． 【举一反三4】已知：如图，等边三角形ABC中，D为AC边的中点，过C作CE∥AB，且AE⊥CE， 那么∠CAE=∠ABD吗？请说明理由． 【答案】解：∠CAE=∠ABD， 理由如下：∵△ABC为等边三角形，D为AC边上的中点， ∴AC=BA，∠BAC=∠BCA=60°，BD⊥AC，∴∠BDA=90°， ∵AE⊥CE， ∴∠AEC=∠BDA=90°，又∵CE∥AB，∴∠ACE=∠BAD， ∴90°﹣∠ACE=90°﹣∠BAD，即∠CAE=∠ABD． 【题型5】等边三角形的判定 【典例】三角形中任意一角的平分线都是这角对所边上的中线，对这个三角形最准确的判断是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】解：如图，AD是△ABC的角平分线和中线，作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE=DF．∵AD是中线，∴BD=CD．∴Rt△BDE≌Rt△CDF．∴∠B=∠C．∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．等边三角形是一特殊的等腰三角形，所以等边三角形中任意一角的平分线都是这角所对边上的中线．故选：C． 【举一反三1】如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达A点时，M、N同时停止运动．点M、N运动（　　）s后，可得到等边△AMN． A．1 B．0.5 C．4 D．2 【答案】C 【解析】解：设点M、N运动x s后，可得到等边△AMN， ∴AM＝x cm，AN＝AB﹣BN＝（12﹣2x）cm， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝60°， ∴AM＝AN时，△AMN是等边三角形， ∴x＝12﹣2x， ∴x＝4， ∴点M、N运动4s后，可得到等边△AMN． 故选：C． 【举一反三2】如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12 cm，现有两点M，N分别从点A，点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1 cm/s，点N的速度为2 cm/s．当点N第一次到达A点时，M，N同时停止运动．点M，N运动（　　）s后，可得到等边△AMN． A．1 B．0.5 C．4 D．2 【答案】C 【解析】解：设点M，N运动x s后，可得到等边△AMN， ∴AM＝x cm，AN＝AB﹣BN＝（12﹣2x）cm， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝60°， ∴AM＝AN时，△AMN是等边三角形， ∴x＝12﹣2x， ∴x＝4， ∴点M，N运动4 s后，可得到等边△AMN． 【举一反三3】在△ABC中，∠A=60°，∠B=__________度时，△ABC是等边三角形． 【答案】60 【解析】解：因为三内角都相等的三角形是等边三角形，即每个角均为60°，所以∠B=60°． 【举一反三4】如图，AC与BD相交于点O，若OA＝OB，∠A＝60°，且AB∥CD，求证：△OCD是等边三角形． 【答案】证明：∵OA＝OB， ∴∠A＝∠B＝60°， 又∵AB∥DC， ∴∠A＝∠C＝60°，∠B＝∠D＝60°， ∴△OCD是等边三角形． 【举一反三5】如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝60°，点M、N分别在AB、AD边上，MC＝NC，求证：△AMN是等边三角形． 【答案】证明：连接AC， ∵AB⊥BC，AD⊥CD， ∴∠B＝∠D＝90°， 在Rt△ABC和Rt△ADC中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）， ∴BC＝DC， 在Rt△MBC和Rt△NDC中， ， ∴Rt△MBC≌Rt△NDC（HL）， ∴BM＝DN， ∵AB＝AD， ∴AM＝AN， ∵∠BAD＝60°， ∴△AMN是等边三角形． 【题型6】等边三角形的性质和判定 【典例】如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，下面结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA=60°；③△BPQ为等边三角形；④PQ∥AC．其中结论正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】解：∵△ABD、△BCE为等边三角形，∴AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，∴∠ABE=∠DBC，∠PBQ=60°，在△ABE和△DBC中，∵ AB=DB，∠ABE=∠DBC，BE=BC∴△ABE≌△DBC（SAS），∴①正确；∵△ABE≌△DBC，∴∠BAE=∠BDC，∵∠BDC+∠BCD=180°﹣60°﹣60°=60°，∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°，∴②正确；在△ABP和△DBQ中，∵∠BAP=∠BDQ，AB=DB，∠ABP=∠DBQ=60°，∴△ABP≌△DBQ（ASA），∴BP=BQ，∴△BPQ为等边三角形，∴③正确；∵BP=BQ，∠PBQ=60°，∴△BPQ是等边三角形，∴∠PQB=60°，∴∠PQB=∠QBC，∴PQ∥AC，故④正确．故选D． 【举一反三1】如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆的CD部分的长度与支杆BC的长度相等，点E在DC的延长线上，且∠BCE＝2∠BCD，若CD的长度为30cm，则此时B，D两点之间的距离为 __________cm． 【答案】30． 【解析】解：如图，连接BD， ∵∠BCE＝2∠BCD，且∠BCD+BCE＝180°， ∴∠BCD＝60°， ∵BC＝CD， ∴△BCD是等边三角形， ∴BD＝CD＝30cm， 此时B，D两点之间的距离为30cm， 故答案为：30． 【举一反三2】如图，在中，，，垂直平分线段. (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长. 【答案】(1)证明： ， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形. (2)解：由（1）得，是等边三角形， 在中， ∵， ∴， ∴. 【举一反三3】动点问题是数学学习中常见的问题，解决此类问题的关键是动中求静，运用分类讨论及数形结合的思想灵活解决问题．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，点P在线段BA上从点B出发向点A运动（点P不与点A重合），点P运动的速度为2cm/s；点Q在线段CB上从点C出发向点B运动（点Q不与点B重合），点Q运动的速度为3cm/s，设点P，Q同时运动，运动时间为t s． （1）在点P，Q运动过程中，经过几秒时△PBQ为等边三角形？ （2）在点P，Q运动过程中，若某时刻△PBQ为直角三角形，请计算运动时间t． 【答案】解：（1）∵点P运动的速度为2cm/s，点Q运动的速度为3cm/s， ∴BP＝2t（cm），BQ＝（6﹣3t）（cm）， 当PB＝BQ时，△PBQ是等边三角形， ∴2t＝6﹣3t， ∴t＝1.2， ∴在点P，Q运动过程中，经过1.2秒时△PBQ为等边三角形． （2）①当∠BPQ＝90°时， ∵∠B＝60°， ∴∠BQP＝30°， ∴PB＝BQ， ∴2t＝（6﹣3t）， ∴t＝， ②当∠BQP＝90°时，∠BPQ＝30°， ∴BQ＝PB， ∴6﹣3t＝×2t， ∴t＝1.5， ∴在点P，Q运动过程中，若△PBQ为直角三角形，t＝s或t＝1.5s． 【题型7】含30°角的直角三角形的性质 【典例】如图，在等边△ABC中，AB=8，E是BA延长线上一点，且EA=4，D是BC上一点，且ED=EC，则BD的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】解：过点E作EF⊥BC于F；如图所示：则∠BFE=90°，∵△ABC是等边三角形，∠B=60°，∴∠FEB=90°﹣60°=30°，∵BE=AB+AE=8+4=12，∴BF=BE=6，∴CF=BC﹣BF=2，∵ED=EC，EF⊥BC，∴DF=CF=2，∴BD=BF﹣DF=4；故选：B． 【举一反三1】如图，等边中，，点D是高上一点，过点D作，分别交于点E，F，连接，当时，（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】解：∵在等边中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【举一反三2】如图，在中，，，，为的中点．若动点以的速度从点出发，沿→→运动，设点的运动时间为，连接，当为直角三角形时，的值为（  ） A． B．或 C．或 D．，或 【答案】D 【解析】解：∵，，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴； 当为直角三角形时，分两种情况，和； 当点从移动时，由题意，得，则 ①当，则， ∴， ∴； ②当，则， ∴，即， ∴； 当点从时，则， ①时，则， ∴， ∴； ②当，则， ∴，即， ∴（舍去）； 综上,或或． 【举一反三3】如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，那么__________ ＝AB，如果D是AB的中点，那么__________ 是等边三角形. 【答案】BC ； △BCD 【举一反三4】如图，在Rt中，，以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，连接两弧交点，交，于，两点，若，，则的长度是__________． 【答案】 【解析】解：如图所示，连接， 由作图可知是的垂直平分线， ， ，， ，， ， 在中，， ． 【举一反三5】(人教课本P86习题T12)如图，在 中,,交 于点 .若 ,求 的长. 【答案】解　. . 在 Rt 中,∵, . , . 是 的一个外角, , , . 【题型8】等腰直角三角形的性质与判定 【典例】七巧板是我国古代的一项发明，被誉为“东方魔板”，19世纪传到国外被称为“唐图”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．如图，在七巧板铺成的正方形地板上，一个小球自由滚动，则小球停留在阴影部分的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：由七巧板的特点可知，阴影部分的面积是大正方形面积的， ∴一个小球自由滚动，则小球停留在阴影部分的概率为， 故选D． 【举一反三1】某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成．如图①，当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块；如图②，当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块；如图③，当正方形地砖有3块时，等腰直角三角形地砖有10块；…；以此类推，当人行道有20块正方形地砖时，等腰直角三角形地砖的块数为（    ） A．38 B．40 C．42 D．44 【答案】D 【解析】解：观察图①可知等腰直角三角形地砖：， 观察图②可知等腰直角三角形地砖：， 观察图③可知等腰直角三角形地砖：， 归纳得有块正方形地砖时，等腰直角三角形地砖的块数为， ∴当人行道有块正方形地砖时，等腰直角三角形地砖的块数为， 故选D． 【举一反三2】如图所示，在边长为1的小正方形网格中，若的顶点都在格点上，则__________ ． 【答案】 【解析】如图，延长至点D，连接， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 【举一反三3】图1是一种升降阅读架，由面板、支撑轴和底座构成，图2是其侧面结构示意图，面板固定在支撑轴端点C处，支撑轴长，支撑轴与底座所成的角，求端点C到底座的距离． 【答案】解：过点C作于点F，如图所示： ，， ∴， ∴， 为等腰直角三角形， ∴， ， 端点C到底座的距离为． 【题型9】两腰相等 【典例】工人师傅准备把一根长为的木条截成三段，围成一个等腰三角形支架，若第一段木条的长为，则第二段木条的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：当边长为的边为底边时，两腰长， 此时三角形另两边长分别为，，能组成三角形； 当边长为的边为腰长时，另一腰长， 则底边长 ， 不满足三角形任意两边之和大于第三边，故不能组成三角形； 综上所述，三角形另边长分别为，． 【举一反三1】已知a，b是等腰三角形的两边长，且满足，则此三角形的周长为（　　） A．9 B．12 C．15 D．12或15 【答案】C 【解析】解：∵，， ∴a﹣3＝0，6﹣b＝0， 解得：a＝3，b＝6， 分两种情况： 当腰为3，底边长为6时， ∵3+3＝6， ∴不能组成三角形； 当腰为6，底边长为3时， ∴这个三角形的周长＝6+6+3＝15； 综上所述：此三角形的周长为15， 故选：C． 【举一反三2】已知等腰三角形的周长为18，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长为__________ . 【答案】8或5 【解析】当腰为5时，另一腰也为5，则底为， ∵，符合题意， 当底为5时，腰为，符合题意， ∴该三角形的底边长为8或5. 故答案为：8或5. 【举一反三3】等腰三角形底边长为，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，其差为，则该等腰三角形的腰长为__________． 【答案】9 【解析】解∶如图，    为中线， ． 若， ． ． 若， ． ． ， (舍去)． 【举一反三4】在△ABC中，AB=AC，AC上的中线BD把三角形的周长分为24cm和30cm的两个部分，求三角形的三边长． 【答案】解：设三角形的腰AB=AC=xcm若AB+AD=24cm， 则：x+12x=24，∴x=16， 三角形的周长为24+30=54（cm）， 所以三边长分别为16cm，16cm，22cm； 若AB+AD=30cm，则：x+12x=30， ∴x=20∵三角形的周长为24+30=54（cm）， ∴三边长分别为20cm，20cm，14cm， 因此，三角形的三边长为16cm，16cm，22cm或20cm，20cm，14cm． 【题型10】等边对等角 【典例】如图，直线a∥b，点A在直线a上，点B在直线b上，AC＝BC，∠C＝120°，∠1＝44°，则∠2的度数为(　　) A．64° B．74° C．56° D．66° 【答案】B 【解析】∵AC＝BC，∠ACB＝120°， ∴∠CBA＝∠CAB， ∵a∥b， ∴∠2＝∠CBA+∠1＝30°+44°＝74°． 【举一反三1】如图，中，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解： 的垂直平分线交边于点E， 的垂直平分线交边于点N， ，， ，， ， ， ， ． 【举一反三2】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CE平分∠ACD，则∠1＝__________ . 【答案】55° 【解析】∵AB＝AC，∠A＝40°， ∴∠B＝∠ACB＝×(180°－40°)＝70°， ∴∠ACD＝110°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠1＝∠ACD＝55°. 【举一反三3】如图，在等腰中，，，点D，E分别为边上的动点，且，连接，当的值最小时，的大小是__________． 【答案】． 【解析】解：如图，将拼接到，连接交于点， 则， ，，， ， 当A，，三点共线，即点与点重合时，的值最小， ，， ， ，， ， 即最小时，的度数为． 【举一反三4】已知：如图，在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B=∠C. 【答案】证明　方法一　如图，取BC的中点D，连接AD. ∵AB=AC，BD=CD，AD=AD， ∴△ABD△ACD(SSS). ∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等). 方法二　作顶角∠BAC的角平分线AD， 则∠BAD=∠CAD， 在△ABD和△ACD中，∵ ∴△ABD△ACD(SAS)， ∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等). 方法三　在△ABC和△ACB中， ∵ ∴△ABC△ACB(SAS)， ∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等). 【题型11】三线合一 【典例】如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆DE⊥BC.工程人员这种操作方法的依据是(　　) A．等角对等边 B．等腰三角形三线合一的性质 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 【答案】B 【解析】根据题意，得AB=AC，BE=CE， ∴AE⊥BC，即DE⊥BC， 故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”. 【举一反三1】如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12cm2， 则图中阴影部分的面积为（　　） A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2 【答案】C 【解析】解：∵S△ABC=12cm2，∴阴影部分面积=12÷2=6cm2．故选：C． 【举一反三2】如图，在中，，平分，交于点E，于点D，如果，，那么的长是__________ ． 【答案】2 【解析】∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴． 故答案为：2． 【举一反三3】等腰中，，边的垂直平分线交边于点D，连接，若为等腰三角形，则的度数为__________ ． 【答案】或 【举一反三4】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC边的中点，连接AD，E为AD上一点，连接BE．若∠ABE＝25°，BE＝AE，求∠BAC的度数． 【答案】解 ∵BE＝AE， ∴∠BAD＝∠ABE＝25°， ∵AB＝AC，点D为BC边的中点， ∴AD平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠BAD＝50°． 【题型12】等腰三角形性质与折叠 【典例】如图，在第1个中，，，在边上任取一点D，延长到，使，得到第2个，在边上取一点E，延长到，使，得到第3个，…按此做法继续下去，则第2026个三角形中以为顶点的底角度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在中，，， ， ，是的外角， ； 同理可得，， 第个三角形中以为顶点的底角度数是． 第2026个三角形中以为顶点的底角度数是， 故选：D． 【举一反三1】如图，在中，，点是上一点，的垂直平分线交于点，将沿折叠，点恰好与点重合，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠，点恰好与点重合， ∴， ∵， ∴， 解得，． 【举一反三2】如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：如图所示，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵在和中 ∴， ∴， ∴， ∵与关于对称， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【举一反三3】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α角(0°<∠α<75°)，与射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A'CD处，射线CA'与射线AB相交于点E.若△A'DE是等腰三角形，则∠α的度数为__________ . 【答案】\mathrm{ 【解析】<p>由折叠得∠<em>ACD</em>=∠<em>A'CD</em>=∠<em>α</em>=\(\dfrac{1}{2} ∠ACA'，∠A'=∠A=30°. 当点A'位于AB下方时，分三种情况： 当A'D=A'E时， ∠A'DE=∠A'ED=(180°-∠A')=75°. 因为∠ACE=180°-∠AEC-∠A=∠A'ED-∠A=45°， 所以∠ACD=∠A'CD=∠α=∠ACE=22.5°； 当DA'=DE时，∠DEA'=∠A'=30°， 易判断∠DEA'>30°， 所以此种情况不成立； 当ED=EA'时，如图， ∠EDA'=∠A'=30°， 所以∠DEA'=180°-∠EDA'-∠A'=120°. 因为∠ACE=180°-∠AEC-∠A=∠A'ED-∠A=90°， 所以∠ACD=∠A'CD=∠α=∠ACE=45°. 当点A'位于AB上方时，分三种情况： 当A'D=A'E时，如图， ∠A'DE=∠A'ED=(180°-∠DA'E)=∠CA'D=15°， 所以∠ACA'=180°-∠A-∠A'EA=135°， 所以∠ACD=∠A'CD=∠α=∠ACA'=67.5°； 当DA'=DE时，以及当ED=EA'时，由等腰三角形的底角不可能为钝角，可判断这两种情况都不成立. 综上所述，若△A'DE是等腰三角形，则∠α的度数为22.5°或45°或67.5°. 【举一反三4】折纸实验：如图，长方形纸带ABCD，E，F分别是边AD，BC上一点，∠DEF＝α(0°＜α＜90°且α≠60°)，将纸带ABCD沿EF折叠成图1，再沿GF折叠成图2． (1)当α＝25°时，则∠BFE＝　　 ；∠GFC'＝ 　 ； (2)两次折叠后，求∠NFE的大小(用含α的代数式表示)． 【答案】解 (1)如题图2，由折叠可得，∠DEF＝∠GEF＝α， ∴∠DEG＝2α， ∵AD∥BC， ∴当α＝25°时，∠BFE＝25°； ∴∠BGE＝25°×2＝50°， ∵ED'∥FC'， ∴∠CFC'＝∠CGD'＝∠BGE＝50°， ∴∠GFC'＝180°﹣50°＝130°. (2)分两种情况： 当α＜60°时，如题图2，由折叠可得，∠DEF＝∠GEF＝α， ∴∠DEG＝2α， ∵AD∥BC， ∴∠FGD'＝∠DEG＝2α，∠EFG＝∠DEF＝α， 又∵FC'∥GD'， ∴∠GFC'＝180°﹣∠FGD'＝180°﹣2α， ∴∠GFN＝180°﹣2α， ∴∠NFE＝∠GFN﹣∠EFG＝180°﹣2α﹣α＝180°﹣3α； 当60°＜α＜90°时，如图所示，同理可得，∠GFN＝180°﹣2α，∠EFG＝α， ∴∠NFE＝∠EFG﹣∠GFN＝α﹣(180°﹣2α)＝3α﹣180°. 综上所述，∠NFE的度数为180°﹣3α或3α﹣180°． 【题型13】等腰三角形的性质与尺规作图 【典例】如图，以AB为直径的半圆O上有两点D、E，ED与BA的延长线交于点C，且有DC＝OE，若∠C＝20°，则∠EOB的度数是（    ） A．40° B．50° C．60° D．80° 【答案】C 【解析】解：∵CD＝OD＝OE， ∴∠C＝∠DOC＝20°， ∴∠EDO＝∠E＝40°， ∴∠EOB＝∠C+∠E＝20°+40°＝60°． 故选：C． 【举一反三1】如图，在中，，按如下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，则的度数为__________． 【答案】 【解析】解：∵在中，，， ∴， 根据作图痕迹，得平分， ∴， ∴． 【举一反三2】如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E，则__________． 【答案】． 【解析】解：由作法知，， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【举一反三3】尺规作图：经过已知直线上的一点作这条直线的垂线. 【答案】已知：直线AB和AB上一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C． 作法：如图，（1）在直线AB上取一点D，使点D与点C不重合，以点C为圆心，CD长为半径作弧，交AB于D，E两点； （2）分别以点D和点E为圆心，大于DE长为半径作弧，两弧相交于点F； （3）作直线CF． 则直线CF就是所求作的垂线． 这样作图的依据是：等腰三角形的“三线合一”，两点确定一条直线． 【题型14】等腰三角形性质的实际应用 【典例】“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任意角，这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点Ｄ项，E可在槽中滑动．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵， ∴，， ∴， ∴． 【举一反三1】秋天，枫叶红了，我们不禁想起杜牧的诗“远上寒山石径斜，白云深处有人家．停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花．”这也让我们想起了岳麓山上的“爱晚亭”．如图，“爱晚亭”的顶端可看作等腰是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（   ） A． B．与的面积相等 C． D． 【答案】D 【解析】解：Ａ项，∵， ∴是的角平分线， 故此选项不符合题意； Ｂ项，如图，过点D作于点E，作于点F， ∵与的面积相等， ∴， ∵， ∴， ∴点D在的角平分线上， 即是的角平分线， 故此选项不符合题意； Ｃ项，∵，， ∴， ∴是的角平分线， 故此选项不符合题意； Ｄ项，当时，不能确定是的角平分线， 故此选项符合题意． 【举一反三2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是AB边上的点，在CD的右侧作等腰直角三角形CDE，且CD＝CE，斜边DE交AC边于点F，当△CDF为等腰三角形时，∠ADF＝__________ ． 【答案】15°或 【解析】①当CD＝CF时， ∴∠CFD＝∠CDF＝45°， ∵∠A＝30°， ∴∠ADF＝45°﹣30°＝15°； ②当CD＝DF时， ∴∠CFD（180°﹣45°）＝67.5°， ∵∠A＝30°， ∴∠ADF＝67.5°﹣30°＝37.5°； ③当CF＝DF时， ∴∠FCD＝∠CDF＝45°， ∴∠CFD＝90°， ∵∠A＝30°， ∴∠ADF＝90°﹣30°＝60°． 综上所述：当△CDF为等腰三角形时，∠ADF＝15°或37.5°或60°． 故答案为：15°或37.5°或60°． 【举一反三3】如图，五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，为了画出五角星，还需要知道∠AMB的度数，算一算∠AMB等于多少度． 【解析】解：如图，连接MN，则点C、N、M、B在同一直线上， 【题型15】用定义判定等腰三角形 【典例】如图所示，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得△PAB、△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有（　　） A．1个 B．3个 C．5个 D．无数多个 【答案】C 【解析】解：如图，作AB或DC的垂直平分线交l于P，如图， 在l上作点P，使PA=AB，PD=DC，同理，在l上作点P，使PC=DC，AB=PB，如图， 在长方形外l上作点P，使AB=BP，DC=PC，同理，在长方形外l上作点P，使AP=AB，PD=DC，故答案为5，选C. 【举一反三1】已知a，b，c是△ABC的三条边，且(a﹣b)2＝0，则△ABC的形状是__________． 【答案】等腰三角形 【解析】∵(a﹣b)2＝0， ∴a﹣b＝0， ∴a＝b， ∴△ABC是等腰三角形. 【举一反三2】如图，将绕点A逆时针旋转得到，其中点B，C分别与点D，E对应，如果B，D，C三点恰好在同一直线上，下列结论：①是等腰三角形；②；③；④；⑤，其中正确的是__________.（填序号） 【答案】①②④⑤ 【解析】∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴ ∴，，， ∴是等腰三角形；故①正确； ∴，， ∴，故④正确； ∵， ∴，故⑤正确； 如图所示，设与交于点F， ∵， ∴，故②正确， 由题意无法证明，故③错误， 综上所述，正确的是①②④⑤. 故答案为：①②④⑤. 【举一反三3】如图，在四边形中，F是的延长线上一点，连接交于点E，，点G在边上，连接，平分.求证：是等腰三角形. 【答案】证明：平分， ， ， ， ， 是等腰三角形. 【题型16】用定义判定格点中的等腰三角形 【典例】如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A，B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是 （      ）  A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】如图.分情况讨论： ①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的C点有0个； ②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个. 故共有3个点. 【举一反三1】如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A，B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是 A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【解析】如图，分三种情况： 当BA=BC时，以点B为圆心，BA长为半径作圆，点C1，C2，C3即为所求； 当AB=AC时，以点A为圆心，AB长为半径作圆，点C4，C5，C6，C7，C8即为所求； 当CA=CB时，作AB的垂直平分线，与正方形网格的交点不在格点上， 综上所述，满足条件的格点C的个数是8. 【举一反三2】如图，在的正方形方格中，点A，B在格点（小正方形的顶点）上，若点C也在格点上，使为等腰三角形，则符合条件的格点C的个数是（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】解：如图所示：    符合条件的点的个数有6个． 【举一反三3】在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，点A的坐标为，点的坐标为为第一象限内的整点（在所给网格中），若不共线的三点构成轴对称图形，则点的坐标可以是__________．（写出不少于四个） 【答案】或或或或或或（答案不唯一） 【解析】解：依题意，由不共线的，，三点构成轴对称图形， ∴是等腰三角形， 则以为圆心，为半径画弧，与网格顶点相交，即为满足条件的C点； 或以B为圆心，为半径画弧，与网格顶点相交，即为满足条件的C点； 或为底边，作其的垂直平分线，与网格顶点相交，即为满足条件的C点； 如图，共有符合要求的点有7个． 其中点坐标为或或或或或或 故答案为或或或或或或（答案不唯一） 【举一反三4】图①，图②，图③都是4×4的正方形网格，B两点均在格点上，在给定的网格中 (1)在图①中，画出以AB为底边的等腰△ABC，并且点C为格点． (2)在图②中，画出以AB为腰的等腰△ABD，并且点D为格点． (3)在图③中，画出以AB为腰的等腰△ABE，并且点E为格点，所画的△ABE与图②中所画的△ABD不全等． 【答案】(1)如图①中，△ABC即为所求； (2)如图②中，△ABD即为所求； (3)如图③中，△ABE即为所求． 【举一反三5】如图所示的方格纸中，每一个小正方形的边长都是，网格中有一个格点三角形． (1)以直线为对称轴，在图中直接作出的轴对称图形． (2)在直线右侧，在外部，画出以为腰的一个等腰直角三角形． (3)计算的面积，并通过面积求出的长度． 【答案】解：（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）的面积 ， ∴， ∴． 【题型17】等角对等边 【典例】如图，∠ADE=∠AED=2∠B=2∠C，则图中共有等腰三角形个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】解：∵∠ADE=∠AED，∴AD=AE，∴△ADE是等腰三角形，∵∠ADE=2∠B，∴∠B=∠BAD，∴AD=BD，∴△ABD是等腰三角形，∵∠AED=2∠C，∴∠C=∠EAC，∴AE=EC，∴△AEC是等腰三角形，∵∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形．故选C． 【举一反三1】如图，已知，直线l与直线分别交于点A，B．按如下步骤作图：（1）以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线于点；（2）分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交直线于点；（3）分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：连接， 由题意得平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 【举一反三2】如图，在△ABC中，∠BAC：∠B：∠C=3：1：1，AD，AE将∠BAC三等分， 则图中等腰三角形的个数是__________． 【答案】6 【解析】解：∵∠BAC：∠B：∠C=3：1：1，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠BAC=120°，∠B=30°，∠C=30°，∵AD，AE将∠BAC三等分，∴∠BAD=∠DAE=∠EAC=30°，∴∠ADE=∠AED=∠BAE=∠CAD=60°，∴AD=BD，AD=AE，AE=CE，AB=AC，AB=BE，AC=CD，∴△ABD，△ADE，△AEC，△ABC，△ABE，△ACD是等腰三角形，∴图中等腰三角形的个数是6，故答案为：6． 【举一反三3】Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的高CD与角平分线BE交于点F. (1)求证：∠CAD=∠BCD； (2)求证：△CEF为等腰三角形. 【答案】证明　(1)∵CD是△ABC的高， ∴CD⊥AB， ∴∠ADC=∠BDC=90°. ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠CAD=∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠CAD=∠BCD. (2)由(1)得∠BDC=90°， ∵BE是∠ABC的平分线， ∴∠CBE=∠ABE. ∵∠ACB=∠ADC=90°， ∴∠ABE+∠BFD=∠CBE+∠CEB=90°， ∴∠CEF=∠BFD. ∵∠BFD=∠CFE， ∴∠CEF=∠CFE， ∴CE=CF， ∴△CEF为等腰三角形. 【题型18】用等角对等边证明边相等 【典例】如图，中，点在边上，若，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵是的一个外角， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【举一反三1】在中，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：在中，， 则：； 无法得到． 【举一反三2】如图，已知在中，，，直角的顶点P是的中点，两边、分别交、于点E、F．以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【解析】解：∵，，点P是的中点， ∴，,， ，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，，故①正确； ∴是等腰直角三角形，故②正确； ∴，故③正确； 没有条件得出，故④错误． 【举一反三3】如图，，，，判断__________．（请填，，） 【答案】 【解析】解：如图，设交于点Ｅ， ∵， ∴， ∴， 又， ∴，即． 【举一反三4】如图，和分别为的两个外角的平分线，过点D作分别交和的延长线于点E和F给出以下结论：①；②；③平分；④，其中正确的是__________． 【答案】②③④ 【解析】解：∵和分别为的两个外角的平分线， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴ ∴，故①错误； ∵和分别为的两个外角的平分线， ∴平分，故③正确； ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，故④正确， 综上所述，其中正确的是②③④． 【举一反三5】如图，和中，点在上，．求证：． 【答案】证明： 在与中， ， ， ． 【题型19】用等角对等边求边长、周长或面积 【典例】若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　） A．9 B．7 C．12 D．9或12 【答案】C 【解析】（1）若2为腰长，5为底边长， 由于，则三角形不存在； （2）若5为腰长，则，符合三角形的两边之和大于第三边. 所以这个三角形的周长为. 故选：C. 【举一反三1】如图，的两个角平分线交于点，过点作的平行线交、于点、，已知，，则的周长为（   ） A．15 B．12 C．9 D．6 【答案】A 【解析】解：∵的两个角平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为 ． 【举一反三2】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC，交AB于点E.若AB=9 cm，AE=5 cm，则DE的长为__________cm.  【答案】4 【解析】∵DE∥BC， ∴∠EDB=∠DBC， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， ∴∠EDB=∠ABD， ∴DE=EB， ∵AB=9 cm，AE=5 cm， ∴DE=EB=9-5=4(cm). 【举一反三3】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于E，交AC于F． (1)若∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，求∠BOE+∠COF的度数； (2)△AEF的周长为8cm，且BC＝4cm，求△ABC的周长． 【答案】解 (1)∵EF∥BC， ∴∠OCB＝∠COF，∠OBC＝∠BOE， 又BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线， ∴∠COF＝∠FCO∠ACB＝30°， ∠BOE＝∠OBE∠ABC＝20°， ∴∠BOE+∠COF＝50°. (2)∵∠COF＝∠FCO， ∴OF＝CF， ∵∠BOE＝∠OBE， ∴OE＝BE， ∴△AEF的周长＝AF+OF+OE+AE＝AF+CF+BE+AE＝AB+AC＝8cm， ∴△ABC的周长＝8+4＝12(cm)． 【题型20】尺规作图中的等角对等边 【典例】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，其作法错误的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由作法知AD＝AC， ∴△ACD是等腰三角形，故选项A不符合题意； 由作法知，所作图形是线段BC的垂直平分线， ∴不能推出△ACD和△ABD是等腰三角形，故选项B符合题意； 由作法知，所作图形是线段AB的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∴△ABD是等腰三角形，故选项C不符合题意； ∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝60°， 由作法知，AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝30°＝∠B， ∴DB＝DA， ∴△ABD是等腰三角形，故选项D不符合题意. 【举一反三1】如图，作线段，以点Ｂ项，A为圆心，大于的长为半径分别作弧交于Q、R，连接交于点M．以M为圆心，长为半径作弧，在弧上取一点C，连接、．在上取一点N，以为半径作弧交于点O，连接，以O、N为圆心、大于的长为半径作弧交于一点P，连接并延长交于D．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：根据作图可知，垂直平分，是的平分线，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【举一反三2】如图，已知，直线l与直线分别交于点A，B．按如下步骤作图：（1）以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线于点；（2）分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交直线于点；（3）分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：连接， 由题意得平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【举一反三3】如图，四边形中，，，，．以点为圆心，以长为半径作图，与相交于点，连接．以点为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，与相交于点，则的长为__________（用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】解：由作法得，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【举一反三4】如图，已知线段和． (1)请仅用无刻度直尺与圆规作，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)比较的长短，判断的形状． 【答案】解：（1）作图如下： （2）， ， 为等腰三角形． 【题型21】坐标轴上的点与已知点组成等腰三角形的个数 【典例】已知平面直角坐标系中有A(1，1)，B(2，0)两点．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】分三种情况讨论如下： ①当AB为腰，点A为顶点时， 以点A为圆心，以AB为半径画弧，与坐标轴交于点O，C，如图1所示， ∵点C于点A，B在同一条直线上，不能构成三角形， ∴该点不符合题意， ∵OA＝AB， ∴△ABO是等腰三角形， ∴点O是满足条件的点； ②当AB为腰，点B为顶点时， 以点B为圆心，以AB为半径画弧，与坐标轴交于点C，C'，如图2所示， ∵BC＝AB＝BＣ＇， ∴△ABC和△ABＣ＇均是等腰三角形， 故点C，C＇是满足条件的点； ③当AB为底边时，作AB的垂直平分线交x轴于C，交y轴于C'，如图3所示， ∵CA＝CB，AC'＝BC'， ∴△ABC和△ABC'均是等腰三角形， 故点C，C'是满足条件的点， 综上所述，满足条件的点C的个数是5． 【举一反三1】如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】如图，当AB为腰时，点C的个数为2， 当AB为底时，点C的个数为1. 【举一反三2】在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在x轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有（　　）个． A．4 B．5个 C．7个 D．8个 【答案】A 【解析】解：如图，使△AOP是等腰三角形的点P有4个．故选A． 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（4，0），以AB为腰作等腰，点C在y轴上，则C点坐标为__________ . 【答案】(0，+1)，(0，1-)，(0，-1) 【解析】∵A (0，1)，B(4，0)，∴OA=1，OB=4，∴AB==，则以A为圆心、AB长为半径的圆与y轴的交点为(0，+1)，(0，1-). 以B为圆心、AB长为半径的圆与y轴的交点为(0，-1)； 故答案为：(0，+1)，(0，1-)，(0，-1). 【举一反三4】在平面直角坐标系中，一次函数（为常数）的图象与轴交于点，与正比例函数的图象交于点. (1)求一次函数的表达式： (2)当时，的取值范围是__________ ； (3)若一次函数的图象与轴交于点，点在轴的正半轴上（不包括坐标原点），且是等腰三角形.直接写出所有点的坐标. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)答案见解析 【解析】(1)把点B的坐标代入得，解得， ∴点B的坐标为， 把点A和点B的坐标代入得， 解得， ∴一次函数的解析式为； (2)∵， ∴， 解得， ∴当时，的取值范围是； (3)在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，则点P的横坐标为，即点P的坐标为； 当时， ∵， ∴， ∴点P的坐标为； 当时，则此时点P与点O重合，不符合题意； 综上所述，点P的坐标为或. 学科网（北京）股份有限公司 $