15.3.1等腰三角形（分层作业，16大题型）数学新教材人教版八年级上册

分层作业 15.3.1 等腰三角形 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 等边对等角 题型02 等角对等边 题型03 找出图中的等腰三角形 题型04 等腰三角形的判定 题型05 三线合一 题型06 含30◦角的直角三角形 B组 能力进阶 题型01 根据三线合一证明 题型02 等腰三角形的性质与判定的综合应用 题型03 垂直平分线的作图痕迹解决问题 题型04 其他图形的作图痕迹解决问题 题型05 利用等腰三角形的性质求线段 题型06 利用等腰三角形的性质求角 题型07 三角形的三边关系与等腰三角形 C组 思维拔高 题型01 格点中画等腰三角形 题型02 直线上已知两点确定第三点构成等腰三角形 题型03 求与图形中任两点构成等腰三角形的点 等边对等角题型01 1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50°，则这个等腰三角形的底角为(   ) A．70° B．20° C．70°或20° D．40°或140° 【答案】C 【详解】解：①当该等腰三角形为钝角三角形时， ∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°， ∴底角=（90°-50°）=20°， ②当该等腰三角形为锐角三角形时， ∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°， ∴底角= [180°-（90°-50°）]=70°． 故选C． 2．下列说法不正确的是（   ） A．等腰三角形的底角是锐角 B．等腰三角形的角平分线、中线和高重合 C．等腰三角形两腰上的高相等 D．等腰三角形的两底角相等 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟悉掌握等腰三角形的特点是解题的关键． 根据等腰三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：A：等腰三角形的两底角相等都小于，故A说法正确，A不符合题意； B：等腰三角形只有底边上的角平分线，中线和高重合，故B说法错误，B符合题意； C：等腰三角形两腰上的高相等说法正确，故C不符合题意； D：等腰三角形的两底角相等说法正确，故D不符合题意； 故选：B． 3．（25-26八年级上·福建龙岩·月考）如图，在中，，点D是的中点，，垂足分别为．求证：． 【答案】 证明：是边的中点， ， 又，， ， 又∵， ∴， 在和中， ． ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用全等三角形的判定方法，比较简单． 利用“”证明即可得到：． 【详解】略 4．（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F．求证：． 【答案】 证明：∵是等腰三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，根据等边对等角，得到，等角的余角相等，结合对顶角相等，得到，即可得证． 【详解】略 等角对等边题型02 1．如图，中，、平分、且相交于点D，过D作直线平行于，交、于E、F，当的位置及大小变化时，线段和的大小关系（　 ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定定理，平行线的性质定理，角平分线的定义是解题的关键． 由平行线的性质和角平分线的定义可得，则，同理可得，则，可得答案． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， 同理， ， 即． 故选：B． 2．如图，在中，，和的平分线分别交于点G，F．若，则的值为 _______． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形的角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定；掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 由角平分线与平行线易得，从而得到，同理可得，再根据即可得答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：6． 3．如图，在中，平分，平分，过点作直线，交、于点、，若，，则的周长等于多少？    【答案】15 【分析】利用平行线的性质和角平分线的定义可得到，所以可得，同理可得，从而得，的周长即为，可得出答案． 【详解】解：∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴的周长． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，由条件得到，是解题的关键． 4．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，，相交于点，，． 求证：． 【答案】 证明：， 在和中， ， ， ， ． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先证，根据全等三角形的性质得出，根据等角对等边即可得证． 【详解】略 5．（25-26八年级上·辽宁大连·月考）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问思：如图1，在中，是上一点，点D在上，，连接，求证：． 小明通过探究发现，由已知条件，能够证明，然后考虑将通过旋转，使与重合，和重合，因此得到辅助线：在上截取，连接，从而可证（如图2），使问题得到解决． 请回答： （1）根据阅读材料请回答：与全等的依据是________（填“”“”“”“”或“”中的一个）； （2）证明小明发现的结论： 参考小明思考问题的方法，解决下面的问题； （3）如图3，和中，，连接，作交延长线于点G，交于点，求k的值． 【答案】； 证明：， ， 是的外角， ，， ， ， ，， ， ， ， ； ． 【分析】作辅助线构建全等三角形，利用三角形外角定理可得：，由，可得；根据证明三角形全等； 由可知，根据全等三角形的性质可得：，根据外角定理证明，根据等角对等边可得：，所以； 仿照作辅助线在上取一点，使，证明和，利用全等三角形对应边相等可证，可得：． 【详解】解：如下图所示，在上截取，连接， 是的外角， ， ，， ， ， 在和中，， ， 故答案为：； 略 解：如下图所示，在上取一点，使，连接， ， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质找边之间的关系． 找出图中的等腰三角形题型03 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，点在内，，图中一共有（    ）个等腰三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形； ， ∴是等腰三角形， 综上分析可知：等腰三角形有：， 故选：A． 2．如图，中，，，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的定义利用作图的方法找出符合条件的点即可． 【详解】解：如图所示： 以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3；以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2；以C为圆心，BC为半径画弧，交直线m于点P5与P1两点重合． 因此出现等腰三角形的点P的位置有4个． 故选：C． 【点睛】此题考查等腰三角形的定义和判定，利用作图找等腰三角形是一种常见的方法． 3．如图，，，则图中的等腰三角形有 ___________个． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理． 利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形． 【详解】∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． 综上所述：图中等腰三角形有6个． 故答案为：6 4．有两个三角形，它们的三个角分别为：①；②．怎样把它们分别分成两个等腰三角形？画出图形试试看． 【答案】 解：①如图， ②如图， 【分析】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是依据等腰三角形角的特点，尝试在较大角中分割出与已有角相等的角，从而构造等腰三角形．根据等腰三角形两底角相等的性质，通过在大角中作出合适角度，构造出两个等腰三角形． 【详解】①，， ∴，都是等腰三角形． ②，， ∴，是等腰三角形． 5．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，和的平分线交于点．过作交于，交于． (1)探究，，之间的等量关系． (2)若，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？如果有请写出来；（1）中的结论还成立吗？无需证明． 【答案】(1) (2)有等腰，等腰，仍成立 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，平行线的性质．熟练掌握利用了等腰三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据角平分线的性质，可得与，与的关系，根据平行线的性质，可得与，与的关系，根据等腰三角形的判定，可得与，与的关系，根据线段的和差，可得答案； （2）根据等腰三角形的判定，可得等腰三角形，根据角平分线的性质，可得与，与的关系，根据平行线的性质，可得与，与的关系，根据等腰三角形的判定，可得与，与的关系，根据线段的和差，可得答案． 【详解】（1）解： ，理由如下： 平分，平分， ，． ， ，， ，， ，． ， ； （2）解：有等腰三角形，等腰，等腰，仍成立， 理由如下： 平分，平分， ，． ， ，， ，， ，． ∴，都是等腰三角形， ， ． 等腰三角形的判定题型04 1．下列条件能判断△ABC为等腰三角形的是（　　） A．∠A＝30°，∠B＝60° B．∠A＝40°，∠B＝80° C．∠A＝50°，∠B＝65° D．∠A＝60°，∠B＝70° 【答案】C 【分析】先根据三角形内角和定理求出∠C的度数，然后根据等角对等边进行求解即可 【详解】解：A、∠C＝180°−∠A−∠B＝90°，没有相等的角，则不是等腰三角形，A选项不符合题意； B、∠C＝180°−∠A−∠B＝60°，没有相等的角，则不是等腰三角形，B选项不符合题意； C、∠C＝180°−∠A−∠B＝65°，则∠B=∠C，是等腰三角形，C选项符合题意； D、∠C＝180°−∠A−∠B＝50°，没有相等的角，则不是等腰三角形，，D选项不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定定理和三角形内角和公式，理解等腰三角形的判定定理是关键． 2．下列三角形中，等腰三角形的个数是（  ）   A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据题图所给信息，根据边或角分析即可 【详解】解：第一个图形中有两边相等，故第一个三角形是等腰三角形， 第二个图形中的三个角分别为50°，35°，95°，故第二个三角形不是等腰三角形； 第三个图形中的三个角分别为100°，40°，40°，故第三个三角形是等腰三角形； 第四个图形中的三个角分别为90°，45°，45°，故第四个三角形是等腰三角形； 故答案为：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 3．在一个三角形中，有两个内角分别为，那么这个三角形按边分类是_______三角形． 【答案】等腰 【分析】根据三角形的内角和等于180°和三角形的分类，解答此题即可． 【详解】解：由三角形的内角和求另一个角的度数：180°-120°-30°=60°-30°=30°， 这个三角形的三个内角为： 所以这个三角形按边分是等腰三角形． 故答案为：等腰． 【点睛】本题主要考查三角形的分类及三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的分类标准，是解答此题的关键． 4．如图，已知，与交于O，．求证：△OAB是等腰三角形．    【答案】 证明：∵， ∴在和中， ， ， ， ， 即是等腰三角形． 【分析】利用定理得出即可得出，再利用等腰三角形的判定得出即可． 【详解】略 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，根据已知得出是解题关键． 5．小明在学习完“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合”，继续探索，他猜想“如果三角形的一条角平分线是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形”并进行了证明． (1)请根据以上命题和图形写出已知和求证： 已知：________________________________________________________， 求证：________________________________________________________． (2)请证明以上命题． 【答案】(1)如图，在中，平分，为中点； 为等腰三角形． (2) 证明：如图，过点分别作：，垂足分别为：， 则：， ∵平分， ∴， ∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 【分析】（1）根据命题和图形写出已知和求证即可； （2）过点分别作：，证明，得到，从而推出，即可得证． 【详解】（1）已知：如图，在中，平分，为中点，求证：为等腰三角形． 故答案为：如图，在中，平分，为中点；为等腰三角形． （2）略 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，以及角平分线的性质．熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，利用证明三角形全等，是解题的关键． 三线合一题型05 1．如图，已知等腰的底边在轴上，且，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点A作AC⊥OB于点C，根据等腰三角形的性质和勾股定理得OC=4，AC=3，进而即可求解． 【详解】过点A作AC⊥OB于点C， ∵， ∴OC=BO=4，AC=， ∴点A的坐标是：， 故选C． 【点睛】本题主要考查几何图形与点的坐标，掌握等腰三角形的性质与勾股定理，是解题的关键． 2．在等腰三角形中的定理“三线合一”中，不属于“三线”的是（     ） A．底边上的高 B．腰上的中线 C．底边上的中线 D．顶角的角平分线 【答案】B 【分析】本题主要考查的是等腰三角形的性质，根据等腰三角形的“三线合一”是指顶角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，据此进行分析即可得出结果． 【详解】解：等腰三角形的“三线合一”是指顶角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合， 故选项B不符合条件， 故选：B． 3．如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，轴，若，则点C的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形，三线合一，过点作轴，交于点，求出点坐标，根据三线合一，得到为的中点，进而求出点坐标即可． 【详解】解：过点作轴，交于点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∴，即：； 故选C． 4．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，且，则长为_________ 【答案】2 【分析】本题主要考查了等腰三角形的三线合一的性质．根据等腰三角形的性质得到即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：2． 5．如图，在中，于点D， 于点E，、 相交于点H，．试说明： (1)． (2)． 【答案】(1) ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴ （ASA）； (2) ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）利用同角的余角相等，得到，再利用垂直和，即可证明； （2）根据等腰三角形三线合一，得到，再根据全等的性质，，即可得解． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形的性质．通过已知条件证明三角形全等是解题的关键． 含30◦角的直角三角形题型06 1．如图所示，在中，，平分于点，如果， 那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了含的直角三角形的性质，角平分线的性质定理，掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵是的角平分线，， ∴， ∴， 故选：C ． 2．如图，点C为直线上一个定点，点D为直线上一个动点，直线外有一点P，，当最短时，则的长是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，垂线段最短，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 根据垂线段最短可得：当时，最短，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：当时，最短， 在中，， ， 故选：B． 3．如图，已知点A1的坐标为(0，1)，点A2在x轴的正半轴上，且∠A1A2O＝30°，过点A2作A2A3⊥A1A2，交y轴于点A3；过点A3作A3A4⊥A2A3，交x轴于点A4；过点A4作A4A5⊥A3A4，交y轴于点A5；……；按此规律进行下去，则点A2021的坐标为（    ） A．(0，31011) B．(﹣31011，0) C．(0，31010) D．(﹣31010，0) 【答案】C 【分析】通过解直角三角形可得出点A2的坐标，同理可得出点A3，A4，A5，A6，A7，…的坐标，根据坐标的变化可得出变化规律“点A4n＋1的坐标为(0，32n)（n为正整数）”，再结合2021＝505×4＋1即可得出点A2021的坐标，此题得解． 【详解】解：∵∠A1A2O＝30°，OA1＝1， ∴OA2＝， ∴点A2的坐标为(，0)， 同理，A3(0，﹣3，)，A4(﹣3，0)，A5(0，9)，A6(9，0)，A7(0，﹣27)，…， ∴点A4n＋1的坐标为(0，32n)（n为正整数）． ∵2021＝505×4＋1， ∴点A2021的坐标为(0，31010)． 故选：C． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律问题、直角三角形的性质等，熟练掌握基本的图形性质是解决此类题的关键. 4．如图，在中，是的中点，且，则的长是_____________． 【答案】 【分析】连接，先由三角形内角和定理求出的度数，再由线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理求出及的度数，由直角三角形中的角所对的直角边是斜边的一半即可解答． 【详解】解：如图，连接． 在中，． ∵是的中点，且， ∴垂直平分， ， 在中， ， ． ， ． 【点睛】本题考查了直角三角形及线段垂直平分线的性质，根据题意作出辅助线是解题的关键． 5．如图，已知，，，请在边上求作一点P，使．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】根据含30度角的直角三角形的性质，作即可 【详解】如图所示，以为圆心，为半径作弧，交于点，分别以为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点，点即为所求， 理由：， 【点睛】本题考查了作垂线，含30度角的直角三角形的性质，掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 根据三线合一证明题型01 1．（25-26八年级上·福建·月考）如图，在中，，是的中线，．求证： ． 【答案】 证明：是中线，， 是角平分线，是高， 是直角三角形，， ， ， ． 【分析】本题考查等腰三角形性质，平行线判定．利用等腰三角形性质得到是角平分线，推出，即可证明． 【详解】略 2．（24-25八年级上·北京·期末）已知，，，是的平分线，交于点D，点E是上一点，作，交延长线于点F．求证：．    【答案】 证明：， ， ， ． ，平分， ． 在和中， ， ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正确证明全等是解题的关键．根据等腰三角形的性质证明出即可． 【详解】略 3．（25-26八年级下·湖北武汉·学情自测）如图，在中，，点P为射线上一点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，即； (2) 证明：由（1）知， 又∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴． 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质即可证明； （2）可证明是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 4．如图，在中，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ， ， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴． (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由等边对等角以及三角形内角和定理可得，进而得到，即，则；然后根据等腰三角形三线合一的性质成为解题的关键； （2）由30度所对的直角边是斜边的一半可得，同理可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴，   ∵，， ∴， ∴． 5．如图，在中，，与的角平分线交于点O，过点O作，分别交，于M，N，连接． (1)证明：是等腰三角形． (2) 与相等吗？对你的结论说明理由． (3)证明：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 又∵与的角平分线交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2) 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即； (3) 证明：由（1）得， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，即可得到答案． （2）根据得到，，则，得到，即可根据证明； （3）先证明，得到，再根据以及等腰三角形三线合一的性质即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 等腰三角形的性质与判定的综合应用题型02 1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）下列说法中，正确的有（   ）个． ①两个全等的三角形一定关于某直线对称； ②关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分； ③等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； ④等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质．利用轴对称的性质、等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①两个全等的三角形不一定关于某直线对称，原说法错误； ②关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分，原说法正确； ③等腰三角形底边的高和中线、顶角的角平分线互相重合，原说法错误； ④等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半，原说法正确； 正确的有2个， 故选：B． 2．如图，墨汁遮住了三角形的一部分，则这个三角形可能是______．（填其所有可能性的序号） ①直角三角形；②等腰三角形；③钝角三角形；④等边三角形 【答案】②③ 【分析】本题考查了三角形的分类，熟练掌握知识点是解题的关键． 由图可知可能为钝角三角形或等腰三角形． 【详解】解：由三角形中有一个角是钝角知该三角形可能为钝角三角形， 另外两个锐角可能相等，故可能为等腰三角形， 故答案为：②③． 3．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是网格中的两个格点，如果C也是网格中的格点，且使为等腰三角形，那么符合条件的点C有______个． 【答案】8 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，分情况讨论是解题的关键．结合图形，利用格点，分别讨论为等腰三角形的底边时和为等腰三角形其中的一条腰时的情况，即可解决． 【详解】解：如图，（1）为等腰三角形的底边时，符合条件的C点有4个； （2）为等腰三角形其中的一条腰时，符合条件的C点有4个； 故答案为8． 4．如图，在中，，点D是上一点，于点E，于点F． (1)若点D是的中点，求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ，点是的中点， ∴，， ， ， ， ∴； (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、垂线的定义、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，由等腰三角形的性质可得，，证明，即可得出； （2）先求出，由垂线的定义可得，求出，由等边对等角得出，即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， 在中，， ∴， ， ， ∴． 5．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是______．                          （2）求得的取值范围是 ．                          【问题解决】 （3）如图2，是的中线，交于E，交于F，且．求证：． 【答案】（1）； （2）； （3）证明：延长到M，使，连接， 是的中线， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是倍长中线构造全等三角形． （1）根据中线的性质可得，再根据证明全等即可得解； （2）根据三边关系即可得解； （3）先证明，可得，再根据等腰三角形的性质和判定即可得证． 【详解】（1）解：是边上的中线， ， ，， ， 故选：． （2）解： ， ， 在中，， ， ， 故选：． （3）略 垂直平分线的作图痕迹解决问题题型03 1．如图，用尺规作图“已知底边a和底边上的高线h，作等腰三角形”，有下列作法：①作线段；②作线段的垂直平分线m，交于点D；③在直线m上截取，连接．这样作法的根据是（    ） A．等腰三角形三线合一 B．等腰三角形两底角相等 C．等腰三角形两腰相等 D．等腰三角形的对称性 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的作法及性质，理解题意是解题关键． 根据作图方法结合等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据题意，作等腰三角形作法的依据是等腰三角形三线合一， 故选：A． 2．（2025·河南郑州·三模）如图．． (1)请用无刻度的直尺和圆规作边的垂直平分线，交边于点D，交于点E，连接（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若，求证． 【答案】(1) 如图，直线即为所求． (2) 证明：∵直线为线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 即． 【分析】本题考查了垂直平分线的基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的作图以及灵活运用所学知识点是解决本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）由线段垂直平分线的性质可得，进而可得，，根据，可得，即即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 3．小明发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形． 已知：在中，． 求作：线段，使得线段将分割成两个等腰三角形． 下面是小明设计的尺规作图的作法： ①作直角边的垂直平分线，与斜边相交于点； ②连接． 则线段为所求． (1)请你按照小明设计的作法，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：直线是线段的垂直平分线，点在直线上， ．（ ）（填推理的依据） ． ， ． ． ． ．（ ）（填推理的依据） 和都是等腰三角形． 【答案】(1) 如图所示，即为所求： (2)线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等；；；同一个三角形中，等角对等边 【分析】本题考查了作图——尺规作图、等腰三角形的判定、垂直平分线的性质： （1）根据作法补全图形即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得，再根据角的等量代换得，进而可证得，由等腰三角形的判定即可求证结论； 熟练掌握尺规作法作垂直平分线的方法及等腰三角形的判定的解题的关键． 【详解】（1）解：作法：①以点为圆心，大于为半径画弧，以点为圆心，以相同长度为半径画弧，与前弧相交， ②连接两个交点得直线交于点， ③连接， （2）略 4．（24-25八年级上·北京·期中）如图，射线平分． (1)按要求尺规作图：作线段的垂直平分线交射线于点，连接、．（保留作图痕迹） (2)请把以下解题过程补充完整： 求证：． 证明：在上截取，连接． 平分 在与中： （②） ， 点在线段的垂直平分线上 （③） （④） 点在射线上 【答案】(1)如图： ． (2)①；②；③线段垂直平分线的性质；④等边对等角 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练的作图是解本题的关键． （1）按题意作出图形即可； （2）根据全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定，逐步填写推理过程与推理依据即可． 【详解】（1）略 （2）略 5．已知：如图，在中，，． 求作：点，使得点在内，且． 下面是小华的解答过程，请补充完整： （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）; ①作线段的垂直平分线交于点； ②以点为圆心，长为半径作弧，与直线在内交于点．点就是所求作的点 （2）完成下面的证明 证明：连接． 点在线段的垂直平分线上， （ ）（填推理的依据）， ． ． ． ． ， ． ． 【答案】 （1）图形如图所示： （2）证明：连接，，． 点在线段的垂直平分线上， （线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等）， ． ． ． ． ， ． ． 【分析】（1）根据要求作出图形； （2）利用平行线的性质，等腰三角形的性质证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 其他图形的作图痕迹解决问题题型04 1．（2025·河北邯郸·模拟）如图，在中，．观察图中的尺规作图痕迹，可知的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作图、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等等知识点，由题意得直线是的垂直平分线，推出，；求出即可求解； 【详解】解：由尺规作图知，直线是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵， ． 故选：B 2．（24-25八年级上·广东东莞·期末）在平面直角坐标系中，点，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义及坐标与图形的性质；针对线段在等腰三角形中的地位，分类讨论用两圆一线的方式，找与轴的交点即可得到答案． 【详解】如图所示， 当点A是顶角顶点时，以A为圆心为半径的圆弧与轴有一个交点； 当点O是顶角顶点时，以O为圆心为半径的圆弧与轴有两个交点，即和； 当点P是顶角顶点时，作线段的垂直平分线，与轴有一个交点． 故符合条件的点一共个． 故选：C． 3．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D． （1）求作∠ABC的平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）若∠ABC的平分线分别交AD，AC于P，Q两点，证明：AP=AQ． 【答案】 （1）BQ就是所求的∠ABC的平分线，P、Q就是所求作的点． （2）∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠BPD+∠PBD=90°． ∵∠BAC=90°，∴∠AQP+∠ABQ=90°． ∵∠ABQ=∠PBD，∴∠BPD=∠AQP． ∵∠BPD=∠APQ，∴∠APQ=∠AQP，∴AP=AQ． 【分析】（1）作出角平分线BQ即可． （2）根据余角的定义得出∠AQP+∠ABQ=90°，根据角平分线的性质得出∠ABQ=∠PBD，再由∠BPD=∠APQ可知∠APQ=∠AQP，据此可得出结论． 【详解】略 4．（24-25八年级上·山西大同·期末）如图，，平分，交于点； (1)尺规作图：过作的垂线，垂足为（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的基础上，求证：． 【答案】(1) 如图，即为所求： (2) 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴点是的中点，即． 【分析】本题考查了作图-复杂作图，平行线的性质，等腰三角形的判定及性质，掌握相关的性质定理、正确推理论证是解题关键． （1）根据垂线的作法即可过作的垂线，垂足为； （2）根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，从而可得，，然后根据等腰三角形三线合一的性质分析证明． 【详解】（1）略 （2）略 5．如图，在中，，，． (1)作的平分线交于；（用尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）题的条件下，求证：． 【答案】(1) 即为所作： (2) 证明：∵， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据尺规作角平分线的方法，作图即可； （2）证明为等腰直角三角形，得到，角平分线结合三角形的内角和定义，推出，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 利用等腰三角形的性质求线段题型05 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在中，，，垂足为点，若，，则图中阴影部分的面积是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，垂直平分线的判定及性质，熟悉掌握垂直平分线的判定及性质是解题的关键． 利用等腰三角形的判定及性质判定出垂直平分，把右侧阴影部分三角形填补至左边空白部分，再通过面积公式运算即可． 【详解】解：∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴垂直平分， ∴右阴影部分三角形可填补至左边空白部分， ∴阴影部分的面积， 故选：D． 2．一个木工师傅测量了一个等腰三角形的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的数据弄混了，请你帮助他找出来，是第(    )组． A．13，12，12 B．12，12，8 C．13，10，12 D．5，8，4 【答案】C 【详解】试题分析：等腰三角形的高把等腰三角形分成两个直角三角形，腰为斜边，高和底边长一半为直角边，因此由三角形三边关系及勾股定理即可解答．每组线段中最长线段为腰，另两条线段中一条为高，一条为底，利用三角形三边关系定理判定即可得到哪条是底边，哪条是高．通过验证只有选项C符合题意． 考点：等腰三角形的性质、勾股定理的逆定理 点评：综合运用等腰三角形的三线合一以及勾股定理的逆定理、三角形三边关系定理进行判断． 3．（25-26八年级·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交边于点E、F．若D为边的中点，M为线段上的一个动点，则周长的最小值为__________． 【答案】9 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形三边关系， 连接，根据等腰三角形的性质得，再根据面积公式求出，然后根据线段垂直平分线的性质得，接下来根据三角形三边关系得即可得出答案. 【详解】解：如图，连接. ∵为边的中点， ∴. ∴， ∴. ∵垂直平分为线段上的一个动点， ∴. ∵ ∴, ∴, ∴周长的最小值为9. 故答案为：9. 4．（24-25七年级下·山西太原·月考）已知在中，． (1)的长可以是10吗？并说明理由． (2)若是等腰三角形，求的周长． 【答案】(1) 解：不可以． 理由：因为， 则， 即可得， 所以的长不可能是10． (2)16 【分析】本题考查了三角形的三边的关系，等腰三角形的性质，由三角形的三边关系可得出边长的长度范围，由长度范围确定三角形的腰长是解决本题的关键． （1）根据三角形的三边关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，计算出另外两边的和以及差即可判断． （2）由第一问的结论可知，的长的取值范围，再根据等腰三角形的腰长相等确定满足三角形的三边关系，进而可求解三角形的周长． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，满足三角形三边的条件，需， 因为是等腰三角形，， 所以， 所以的周长． 5．如图，在平面直角坐标系中，点B坐标为(-3，0)，点A是y轴正半轴上一点，且AB=5，点P是x轴上位于点B右侧的一个动点，设点P的坐标为（m，0） （1）点A的坐标为(   ) （2）当△ABP是等腰三角形时，求P点的坐标； （3）如图2，过点P作PE⊥AB交线段AB于点E，连接OE．若点A关于直线OE的对称点为A'，当点A'恰好落在直线PE上时，BE=________(直接写出答案) 【答案】（1）0，4；（2）P点的坐标为(3，0)、 (2，0)或；（3） 【分析】（1）在直角△AOB中，利用勾股定理求出OA，则A点坐标可知； （2） 当△ABP为等腰三角形时，可分三种情况讨论，①若AB=AP时，利用勾股定理求出OP，则P点坐标可知；②若BA=BP，P点坐标易求；③若PA=PB时，设P（x,0）,运用两点间距离公式列式可求P点坐标. （3）过O点作OG⊥AB，由角平分线性质定理，结合PE⊥AB，求得∠GEO=45°，再利用直角三角形的面积公式求得OG的长，则GE的长可知，利用勾股定理又可求出BG，于是BE的长可知. 【详解】（1）根据题意得： 在直角△AOB中，OA= ∴A点的坐标为（0,4） 故答案为：0，4 （2）当△ABP为等腰三角形时，分三种情况讨论 ①若AB=AP=5，OP=  ， ∴P(3，0)； ②若BA=BP=5，OP=BP-OB=5-3=2，∴P(2，0)； ③若PA=PB时，设P（x,0）, 则, ∴6x=7, 解得x=  ， ∴P( ，0) 故P点的坐标为：(3，0)、 (2，0)或( ，0) （3）如图，过O点作OG⊥AB， ∵E在AA'的垂直平分线上， ∴∠AEK=∠A'EK， ∴∠GEO=∠OEH， ∵∠AEA'=∠BEP=90°， ∴∠GEO=45°， ∴OG=GE， ∵S△AOB=OG×AB=OA×OB， ∴OG=  ， ∴GE=OG=  ， ∵BG=, ∴BE=BG+GE=+=. 故答案为：. 【点睛】本题考查的是平面直角坐标系中的动点与轴对称，等腰三角形的性质等，关键是要注意分类讨论思想的应用及用面积法求线段的长. 利用等腰三角形的性质求角题型06 1．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，的垂直平分线l交于点D．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键．根据线段垂直平分线的性质得出，结合等边对等角即可得出． 【详解】解：∵的垂直平分线l交于点D， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选A． 2．如图，等腰中，，，线段的垂直平分线交于，交于，连接，则等于________． 【答案】##30度 【分析】本题主要考查三角形内角和，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握等边对等角是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质，可得，又由等腰三角形的性质和三角形内角和定理，可求得与的度数，继而求得答案． 【详解】解：线段的垂直平分线交于，交于， ， ， 等腰中，，， ， ． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江西上饶·期中）如图，某笔直的小路一侧的公园内有一个景观亭，沿小路种植了三棵小树．经测量发现：景观亭到小树、小树的距离和小树到小树的距离相等（即）．图中所有点都在同一平面内，点在同一条直线上，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，外角的性质，解题的关键是熟练掌握等边对等角．根据等腰三角形的性质可得，再根据外角的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的内角和求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 4．在中，，，请将其分成三个三角形，使之符合： （1）三个三角形是全等的直角三角形． （2）三个三角形均为等腰三角形． 分别在图1、图2中画出分割线，并标出三角形的角度． 【答案】见解析 【分析】先将点C对折到点E，将对折后的纸片再沿DE对折.此题要理解折叠的实质是重合，根据重合可以得到BC＝BE，AD＝BD，∠DBE＝∠DAE＝30°，∠BDE＝∠ADE＝60°，∠AED＝∠BED＝90°. 【解答】(1) 如下图1 (2) 如下图2 . 5．某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB、AC上． 活动一：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直．（A1A2为第1根小棒） 数学思考： （1）小棒能无限摆下去吗？答：　 　．（填“能”或“不能”） （2）设AA1＝A1A2＝A2A3，求θ的度数； 活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第一根小棒，且A1A2＝AA1． 数学思考： （3）若已经摆放了3根小棒，则θ1＝　 　，θ2＝　 　，θ3＝　 　；（用含θ的式子表示） （4）若只能摆放5根小棒，求θ的范围． 【答案】（1）能；（2）22.5°；（3）2θ，3θ，4θ；（4）15°≤θ＜18° 【分析】（1）先根据已知条件∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒两端分别落在两射线上，从而判断出能继续摆下去． （2）利用等腰直角三角形的性质求解即可． （3）本题需先根据A1A2=AA1，得出∠A1AA2和∠AA2A1相等，即可得出θ1的值，同样道理得出θ2、θ3的值； （4）根据（3）的结论，和三角形外角的性质，即可推出不等式，解不等式即可． 【详解】解：（1）∵根据已知条件∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）小棒两端能分别落在两射线上， ∴小棒能继续摆下去． 故答案为能； （2）∵A1A2＝A2A3，A1A2⊥A2A3， ∴∠A2A1A3＝45°， ∴∠AA2A1+∠θ＝45°， ∵∠AA2A1＝∠θ， ∴∠θ＝22.5°； （3）∵A1A2＝AA1 ∴∠A1AA2＝∠AA2A1＝θ ∴∠A2A1A3＝θ1＝θ+θ ∴θ1＝2θ 同理可得：θ2＝3θ θ3＝4θ． 故答案为2θ，3θ，4θ； （4）由题意得：， ∴15°≤θ＜18°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，在解题时要注意根据题意找出规律并与等腰三角形的性质相结合是本题的关键． 三角形的三边关系与等腰三角形题型07 1．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形底边的长为(　　) A．17cm B．5cm C．5cm或17cm D．无法确定 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质和已知条件求出腰长和底边长，然后根据三边关系进行讨论，即可得出结论． 【详解】解：设等腰三角形的腰长是xcm，底边是ycm．根据题意，得： 或，解得或． 再根据三角形的三边关系，知：8，8，17不能组成三角形，应舍去．所以它的底边是5cm． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质；解题中，因为两部分的周长没有明确，所以首先要分两种情况考虑．最后一定要注意检查是否符合三角形的三边关系．分类讨论是解题的关键． 2．若等腰三角形的周长为20cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的腰长是______cm． 【答案】7.5 【分析】此题分为两种情况：5cm是等腰三角形的底边或5cm是等腰三角形的腰．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形． 【详解】当5cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是（20-5）÷2=7.5（cm），能够组成三角形； 当5cm是等腰三角形的腰时，则其底边是20-5×2=10（cm），不能够组成三角形． 故答案为7.5． 【点睛】此题考查等腰三角形性质，三角形的三边关系定理的应用，解题关键在于利用分类讨论的思想方法． 格点中画等腰三角形题型01 1．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，在的方格纸中，均为格点，若为等腰三角形，则满足该条件的格点共有（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【答案】C 【分析】本题考查了格点图中画等腰三角形，结合等腰三角形的判定与网格特征，进行分类讨论且作图，即可作答． 【详解】解：依题意，当为等腰三角形的底边时，则如图所示： 共有个点； 当为等腰三角形的腰时，则如图所示： 或 共有个点； 综上：为等腰三角形，则满足该条件的格点共有8个， 故选：C． 2．如图，在的正方形网格中，A，B两点在小正方格的顶点上，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形为轴对称图形，则这样的点C有________个． 【答案】8 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，根据两边相等的三角形是等腰三角形进行画图即可． 【详解】解：如图所示： ， 这样的点C有8个， 故答案为：8． 3．如下图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段和线段的端点均在小正方形的顶点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图： (1)在图中画出以为底的等腰直角三角形，点在小正方形的顶点上． (2)在图中画出以为边的等腰三角形，点在小正方形的顶点上，且的周长为． 【答案】(1) 解：如图，即为所求． (2) 解：如图，即为所求． 【分析】本题考查了作图-应用与设计作图，等腰三角形的判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握等腰直角三角形的性质． （1）根据网格即可在图中画出以为底的等腰直角三角形； （2）根据网格即可在图中画出以为边的等腰三角形，使，进而可得的周长为． 【详解】（1）略 （2）略 4．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·月考）定义：有一组对边与一条对角线均相等的四边形为对等四边形，这条对角线又称对等线． (1)如图1，在四边形中，，为的中点，平分．求证：四边形是对等四边形． (2)如图2，在的方格纸中，在格点上，当格点使四边形是对等四边形，且是对等线时，请写出满足条件的对等四边形的面积． 【答案】(1) 证明：过点作、，如图所示： 平分， ， 为的中点， 是边上的中线， 则， ， ， 即， ， ， 是四边形的一组对边、是四边形的一条对角线， 四边形是对等四边形； (2)或 【分析】（1）由角平分线的性质及等面积法列等式即可得证； （2）根据题意及对等四边形分情况作出满足条件的图形，在网格中求四边形面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：分两种情况： ①作的垂直平分线，与方格纸上的格点的交点为点，再以点为圆心、以长为半径画圆，圆与方格纸上的格点的交点即为点，连接，则，如图2﹣1所示： 则，， ，即是等腰直角三角形， 同理，是等腰直角三角形， 对等四边形的面积为； 对等四边形的面积为； ②以点为圆心、以长为半径画圆，圆与方格纸上的格点的交点即为点，再以点为圆心、以长为半径画圆，圆与方格纸上的格点的交点即为点，连接，则，如图2﹣2所示： 对等四边形的面积为； 对等四边形的面积为； 对等四边形的面积为； 综上所述，满足条件的对等四边形的面积为或． 【点睛】由角平分线的性质作出辅助线，运用等面积法求证关键；第二问中由对等四边形定义，结合等腰三角形的作法作出图形是难点． 5．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，存在线段，端点A，B均落在格点上，构建如图所示平面直角坐标系． (1)直接写出点A，B的坐标：A（______，______），    B（______，______）； (2)请在网格中找到点C，连接，，使为等腰直角三角形，此时点C的坐标为______； (3)如图所示，网格中（包括网格的边界）存在点P，点P的横纵坐标均为整数，连接，，得到锐角，且为等腰三角形，则满足条件的点P有_____个． 【答案】(1)0；1；1； (2)或或 (3)4 【分析】（1）根据图中A、B点的位置，写出点A、B的坐标即可； （2）根据题意画出图形，写出点C的坐标即可； （3）画出图形找出符合条件的点P，得出答案即可． 【详解】（1）解：点A，B的坐标分别为：，； 故答案为：0；1；1；． （2）解：当点B为直角顶点时，点C的坐标为； 当点A为直角顶点时，点C的坐标为或； 故答案为：或或． （3）解：如图所示： 满足条件的点P有4个． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了在网格中画等腰三角形，坐标与图形，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的定义，数形结合． 直线上已知两点确定第三点构成等腰三角形题型02 1．已知一条直线l和直线外的A、B两点，以A、B两点和直线上某一点作为三角形的三个顶点，就能画出一个等腰三角形，如图中的等腰三角形．除此之外还能画出符合条件的（　　）个等腰三角形． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定．以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点；再以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点，然后作的垂直平分线，交直线于点，由此即可得． 【详解】解：如图， 则除此之外还能画出符合条件的点共有4个， 故选：C． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）已知平面直角坐标系中有，两点．若在坐标轴上取点，使为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的特征，等腰三角形的定义，线段的垂直平分线的判定，利用圆的定义作图，掌握等腰三角形的作图是解题的关键．由题意知，是等腰三角形，故需分三种情况进行讨论，分别是，画出图形即可得到结论． 【详解】解：当，以为圆心，为半径作圆，与坐标轴有2个交点，但是点三点共线，故有1个等腰三角形，如图： 当时，以为圆心，为半径作圆，与坐标轴有2个交点，故有2个等腰三角形，如图： 当时，作出的垂直平分线，坐标轴有2个交点，故有2个等腰三角形，如图： 综上所述，共计有5个符合条件的点C， 故选：B． 3．如图，已知A（1，3），在坐标轴上找点B，使△AOB为等腰三角形，符合条件的点有____个． 【答案】8 【分析】题目中没有指明AO，BO，AB是底还是腰，故应该分情况进行讨论，注意不但要考虑到AO，BO，AB是底还是腰，而且要考虑到A，B是在正半轴还是在负半轴； 【详解】先假设点B在x轴上，可设B点的坐标为， 当OA=AB时， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴点B的坐标是； 当OA=OB时， ∴ ∴ ∴， ∴点B的坐标为，； 当OB=AB时， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为； 综上所述，B点的坐标为，，，； 同理可得当点B在y轴上时，点B的坐标是，，，； ∴符合条件的点B有8个； 故答案是8． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和坐标图形的性质，准确分析计算是解题的关键． 4．已知的三边长分别为、、，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 _______条． 【答案】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，垂直平分线的性质，根据等腰三角形的性质，利用等腰三角形的定义，得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图所示： 如图，，， 和是等腰三角形； 如图，，， 和是等腰三角形； ∵的三边长分别为、、， 是钝角， 若存在等腰三角形，如图所示， 则，此情形不存在， 综上，共计个． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·新疆·期中）在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示．      (1)请画出关于轴对称的 (2)直接写出，，三点的坐标； (3)在轴上找出点，使得点到点、点的距离之和最短（保留作图痕迹） (4)点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，符合条件的点有 个． 【答案】(1) 如图1：即为所求，    (2)， ， (3) 如图2：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求；    ∴， 此时值最小； (4) 【分析】（1）由点的对称性，作出图形即可； （2）关于轴对称的点的坐标特点：横坐标变为相反数，纵坐标不变，即可求解； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求； （4）利用两圆一线确定等腰三角形，作出图形即可求解． 【详解】（1）略 （2）由图可知，， 点关于轴对称的点为，点关于轴对称的点为，点关于轴对称的点为， ， ， （3）略 （4）如图：以为圆心，长为半径做圆，此圆与坐标轴有个交点， 以为圆心，长为半径做圆，此圆与坐标轴有个交点，    作线段的垂直平分线，此线与坐标轴有个交点， ∴是等腰三角形时，点坐标有个， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称作图，图形与坐标，熟练掌握轴对称的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两圆一线确定等腰三角形的方法是解题的关键． 求与图形中任两点构成等腰三角形的点题型03 1．在直角坐标系中，O为坐标原点，已知，在y轴上确定点P，使得为等腰三角形，则符合条件的P点共有（   ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，首先算出的长，再以O为圆心，长为半径画圆，交y轴于两点，再作出的垂直平分线，与y轴交点也可以构造出等腰三角形，此时为点，得出只有两点即为P所在位置． 【详解】解：过点A作轴于点C， ∵， ∴，， ∴， 以O为圆心，2为半径画圆，交y轴于两点，， 作的垂直平分线，此时交点正好与点重合， 故使得为等腰三角形，则符合条件的P点共有2个， 故选：C． 2．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的格点(顶点)上，请在图中找一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，这样的格点C有 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】分AB为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数． 【详解】当AB为腰时，分别以A. B点为顶点，以AB为半径作圆,可找出格点点C的个数有6个； 当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有2个， 使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，这样的格点C有6个. 故选D. 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握该知识点是本题解题的关键. 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边BC为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】①以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形； ②作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI和△ACI是等腰三角形； ③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形； ④以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点K，△BCK就是等腰三角形． 【详解】如图所示，画出的不同的等腰三角形的个数最多为4个. 故答案选：C. 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的判定与性质. 4．平面直角坐标系中有点A（2，0），B（0，4），以A，B为顶点在第一象限内作等腰直角△ABC，则点C的坐标为 ___． 【答案】(4，6)、(6，2)或(3，3) 【分析】根据等腰直角三角形中直角顶点的不同情况进行分类讨论，并结合全等三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：①如图所示，点C在第一象限，AB⊥BC，AB=BC时， 作CP⊥y轴于P点，则∠CPB=∠BOA=90°， ∵∠ABC=90°， ∴∠PBC+∠OBA=90°， ∵∠PBC+∠PCB=90°， ∴∠OBA=∠PCB， 在△OBA和△PCB中， ∴OB=PC，OA=PB， 由题意，OB=4，OA=2， ∴PC=4，PB=2， ∴OP=2+4=6， ∴此时，C点坐标为(4，6)； ②如图所示，点C在第一象限，AB⊥AC，AB=AC时， 作CQ⊥x轴于Q点，则∠AQC=∠BOA=90°， 同①理，可证得△BOA≌△AQC， ∴OB=AQ=4，CQ=OA=2， ∴OQ=2+4=6， ∴此时，C点坐标为(6，2)； ③如图所示，点C在第一象限，BC⊥AC，BC=AC时， 作BM⊥CN，交CN延长线于M点，则∠BMC=∠CNA=90°， 同①理，可证得△BMC≌△CNA， ∴AN=MC，CN=BM， 则， 即：， 解得：， ∴ON=2+1=3， ∴此时，C点坐标为(3，3)； 综上，点C的坐标为(4，6)、(6，2)或(3，3)； 故答案为：(4，6)、(6，2)或(3，3) ． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中等腰直角三角形的确定，掌握等腰直角三角形的基本性质，熟练运用全等三角形的判定与性质求解是解题关键． 5．已知：如图中，，，在射线上找一点，使为等腰三角形，则的度数为__________． 【答案】或50°或 【分析】分三种情形分别求解即可. 【详解】中，∵，， ∴∠BAC=40º， 如图，为等腰三角形有三种情形： ①当时， ∵，∠BAC=40º， ∴=， ∴=； ②当时， ， ∴； ③当时， ∵，∠BAC=40º， ∴， ∴=； 故答案为：或50°或 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 15.3.1 等腰三角形 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 等边对等角 题型02 等角对等边 题型03 找出图中的等腰三角形 题型04 等腰三角形的判定 题型05 三线合一 题型06 含30◦角的直角三角形 B组 能力进阶 题型01 根据三线合一证明 题型02 等腰三角形的性质与判定的综合应用 题型03 垂直平分线的作图痕迹解决问题 题型04 其他图形的作图痕迹解决问题 题型05 利用等腰三角形的性质求线段 题型06 利用等腰三角形的性质求角 题型07 三角形的三边关系与等腰三角形 C组 思维拔高 题型01 格点中画等腰三角形 题型02 直线上已知两点确定第三点构成等腰三角形 题型03 求与图形中任两点构成等腰三角形的点 等边对等角题型01 1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50°，则这个等腰三角形的底角为(   ) A．70° B．20° C．70°或20° D．40°或140° 2．下列说法不正确的是（   ） A．等腰三角形的底角是锐角 B．等腰三角形的角平分线、中线和高重合 C．等腰三角形两腰上的高相等 D．等腰三角形的两底角相等 3．（25-26八年级上·福建龙岩·月考）如图，在中，，点D是的中点，，垂足分别为．求证：． 4．（25-26八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F．求证：． 等角对等边题型02 1．如图，中，、平分、且相交于点D，过D作直线平行于，交、于E、F，当的位置及大小变化时，线段和的大小关系（　 ） A． B． C． D．不能确定 2．如图，在中，，和的平分线分别交于点G，F．若，则的值为 _______． 3．如图，在中，平分，平分，过点作直线，交、于点、，若，，则的周长等于多少？    4．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，，相交于点，，． 求证：． 5．（25-26八年级上·辽宁大连·月考）阅读下面材料： 小明遇到这样一个问思：如图1，在中，是上一点，点D在上，，连接，求证：． 小明通过探究发现，由已知条件，能够证明，然后考虑将通过旋转，使与重合，和重合，因此得到辅助线：在上截取，连接，从而可证（如图2），使问题得到解决． 请回答： （1）根据阅读材料请回答：与全等的依据是________（填“”“”“”“”或“”中的一个）； （2）证明小明发现的结论： 参考小明思考问题的方法，解决下面的问题； （3）如图3，和中，，连接，作交延长线于点G，交于点，求k的值． 找出图中的等腰三角形题型03 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，点在内，，图中一共有（    ）个等腰三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，中，，，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 3．如图，，，则图中的等腰三角形有 ___________个． 4．有两个三角形，它们的三个角分别为：①；②．怎样把它们分别分成两个等腰三角形？画出图形试试看． 5．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，和的平分线交于点．过作交于，交于． (1)探究，，之间的等量关系． (2)若，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？如果有请写出来；（1）中的结论还成立吗？无需证明． 等腰三角形的判定题型04 1．下列条件能判断△ABC为等腰三角形的是（　　） A．∠A＝30°，∠B＝60° B．∠A＝40°，∠B＝80° C．∠A＝50°，∠B＝65° D．∠A＝60°，∠B＝70° 2．下列三角形中，等腰三角形的个数是（  ）   A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．在一个三角形中，有两个内角分别为，那么这个三角形按边分类是_______三角形． 4．如图，已知，与交于O，．求证：△OAB是等腰三角形．    5．小明在学习完“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合”，继续探索，他猜想“如果三角形的一条角平分线是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形”并进行了证明． (1)请根据以上命题和图形写出已知和求证： 已知：________________________________________________________， 求证：________________________________________________________． (2)请证明以上命题． 三线合一题型05 1．如图，已知等腰的底边在轴上，且，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．在等腰三角形中的定理“三线合一”中，不属于“三线”的是（     ） A．底边上的高 B．腰上的中线 C．底边上的中线 D．顶角的角平分线 3．如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，轴，若，则点C的坐标为（  ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，且，则长为_________ 5．如图，在中，于点D， 于点E，、 相交于点H，．试说明： (1)． (2)． 含30◦角的直角三角形题型06 1．如图所示，在中，，平分于点，如果， 那么等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，点C为直线上一个定点，点D为直线上一个动点，直线外有一点P，，当最短时，则的长是（   ） A． B．2 C． D．4 3．如图，已知点A1的坐标为(0，1)，点A2在x轴的正半轴上，且∠A1A2O＝30°，过点A2作A2A3⊥A1A2，交y轴于点A3；过点A3作A3A4⊥A2A3，交x轴于点A4；过点A4作A4A5⊥A3A4，交y轴于点A5；……；按此规律进行下去，则点A2021的坐标为（    ） A．(0，31011) B．(﹣31011，0) C．(0，31010) D．(﹣31010，0) 4．如图，在中，是的中点，且，则的长是_____________． 5．如图，已知，，，请在边上求作一点P，使．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 根据三线合一证明题型01 1．（25-26八年级上·福建·月考）如图，在中，，是的中线，．求证： ． 2．（24-25八年级上·北京·期末）已知，，，是的平分线，交于点D，点E是上一点，作，交延长线于点F．求证：．    3．（25-26八年级下·湖北武汉·学情自测）如图，在中，，点P为射线上一点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 4．如图，在中，． (1)求证：； (2)若，求的长． 5．如图，在中，，与的角平分线交于点O，过点O作，分别交，于M，N，连接． (1)证明：是等腰三角形． (2) 与相等吗？对你的结论说明理由． (3)证明：． 等腰三角形的性质与判定的综合应用题型02 1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）下列说法中，正确的有（   ）个． ①两个全等的三角形一定关于某直线对称； ②关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分； ③等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； ④等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半． A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，墨汁遮住了三角形的一部分，则这个三角形可能是______．（填其所有可能性的序号） ①直角三角形；②等腰三角形；③钝角三角形；④等边三角形 3．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是网格中的两个格点，如果C也是网格中的格点，且使为等腰三角形，那么符合条件的点C有______个． 4．如图，在中，，点D是上一点，于点E，于点F． (1)若点D是的中点，求证：； (2)若，求的度数． 5．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是______．                          （2）求得的取值范围是 ．                          【问题解决】 （3）如图2，是的中线，交于E，交于F，且．求证：． 垂直平分线的作图痕迹解决问题题型03 1．如图，用尺规作图“已知底边a和底边上的高线h，作等腰三角形”，有下列作法：①作线段；②作线段的垂直平分线m，交于点D；③在直线m上截取，连接．这样作法的根据是（    ） A．等腰三角形三线合一 B．等腰三角形两底角相等 C．等腰三角形两腰相等 D．等腰三角形的对称性 2．（2025·河南郑州·三模）如图．． (1)请用无刻度的直尺和圆规作边的垂直平分线，交边于点D，交于点E，连接（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若，求证． 3．小明发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形． 已知：在中，． 求作：线段，使得线段将分割成两个等腰三角形． 下面是小明设计的尺规作图的作法： ①作直角边的垂直平分线，与斜边相交于点； ②连接． 则线段为所求． (1)请你按照小明设计的作法，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：直线是线段的垂直平分线，点在直线上， ．（ ）（填推理的依据） ． ， ． ． ． ．（ ）（填推理的依据） 和都是等腰三角形． 4．（24-25八年级上·北京·期中）如图，射线平分． (1)按要求尺规作图：作线段的垂直平分线交射线于点，连接、．（保留作图痕迹） (2)请把以下解题过程补充完整： 求证：． 证明：在上截取，连接． 平分 在与中： （②） ， 点在线段的垂直平分线上 （③） （④） 点在射线上 5．已知：如图，在中，，． 求作：点，使得点在内，且． 下面是小华的解答过程，请补充完整： （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）; ①作线段的垂直平分线交于点； ②以点为圆心，长为半径作弧，与直线在内交于点．点就是所求作的点 （2）完成下面的证明 证明：连接． 点在线段的垂直平分线上， （ ）（填推理的依据）， ． ． ． ． ， ． ． 其他图形的作图痕迹解决问题题型04 1．（2025·河北邯郸·模拟）如图，在中，．观察图中的尺规作图痕迹，可知的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东东莞·期末）在平面直角坐标系中，点，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D． （1）求作∠ABC的平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）若∠ABC的平分线分别交AD，AC于P，Q两点，证明：AP=AQ． 4．（24-25八年级上·山西大同·期末）如图，，平分，交于点； (1)尺规作图：过作的垂线，垂足为（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的基础上，求证：． 5．如图，在中，，，． (1)作的平分线交于；（用尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）题的条件下，求证：． 利用等腰三角形的性质求线段题型05 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在中，，，垂足为点，若，，则图中阴影部分的面积是（   ）． A． B． C． D． 2．一个木工师傅测量了一个等腰三角形的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的数据弄混了，请你帮助他找出来，是第(    )组． A．13，12，12 B．12，12，8 C．13，10，12 D．5，8，4 3．（25-26八年级·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交边于点E、F．若D为边的中点，M为线段上的一个动点，则周长的最小值为__________． 4．（24-25七年级下·山西太原·月考）已知在中，． (1)的长可以是10吗？并说明理由． (2)若是等腰三角形，求的周长． 5．如图，在平面直角坐标系中，点B坐标为(-3，0)，点A是y轴正半轴上一点，且AB=5，点P是x轴上位于点B右侧的一个动点，设点P的坐标为（m，0） （1）点A的坐标为(   ) （2）当△ABP是等腰三角形时，求P点的坐标； （3）如图2，过点P作PE⊥AB交线段AB于点E，连接OE．若点A关于直线OE的对称点为A'，当点A'恰好落在直线PE上时，BE=________(直接写出答案) 利用等腰三角形的性质求角题型06 1．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，的垂直平分线l交于点D．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，等腰中，，，线段的垂直平分线交于，交于，连接，则等于________． 3．（25-26八年级上·江西上饶·期中）如图，某笔直的小路一侧的公园内有一个景观亭，沿小路种植了三棵小树．经测量发现：景观亭到小树、小树的距离和小树到小树的距离相等（即）．图中所有点都在同一平面内，点在同一条直线上，若，求的度数． 4．在中，，，请将其分成三个三角形，使之符合： （1）三个三角形是全等的直角三角形． （2）三个三角形均为等腰三角形． 分别在图1、图2中画出分割线，并标出三角形的角度． 5．某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB、AC上． 活动一：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直．（A1A2为第1根小棒） 数学思考： （1）小棒能无限摆下去吗？答：　 　．（填“能”或“不能”） （2）设AA1＝A1A2＝A2A3，求θ的度数； 活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第一根小棒，且A1A2＝AA1． 数学思考： （3）若已经摆放了3根小棒，则θ1＝　 　，θ2＝　 　，θ3＝　 　；（用含θ的式子表示） （4）若只能摆放5根小棒，求θ的范围． 三角形的三边关系与等腰三角形题型07 1．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形底边的长为(　　) A．17cm B．5cm C．5cm或17cm D．无法确定 2．若等腰三角形的周长为20cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的腰长是______cm． 格点中画等腰三角形题型01 1．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，在的方格纸中，均为格点，若为等腰三角形，则满足该条件的格点共有（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 2．如图，在的正方形网格中，A，B两点在小正方格的顶点上，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形为轴对称图形，则这样的点C有________个． 3．如下图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段和线段的端点均在小正方形的顶点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图： (1)在图中画出以为底的等腰直角三角形，点在小正方形的顶点上． (2)在图中画出以为边的等腰三角形，点在小正方形的顶点上，且的周长为． 4．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·月考）定义：有一组对边与一条对角线均相等的四边形为对等四边形，这条对角线又称对等线． (1)如图1，在四边形中，，为的中点，平分．求证：四边形是对等四边形． (2)如图2，在的方格纸中，在格点上，当格点使四边形是对等四边形，且是对等线时，请写出满足条件的对等四边形的面积． 5．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，存在线段，端点A，B均落在格点上，构建如图所示平面直角坐标系． (1)直接写出点A，B的坐标：A（______，______），    B（______，______）； (2)请在网格中找到点C，连接，，使为等腰直角三角形，此时点C的坐标为______； (3)如图所示，网格中（包括网格的边界）存在点P，点P的横纵坐标均为整数，连接，，得到锐角，且为等腰三角形，则满足条件的点P有_____个． 直线上已知两点确定第三点构成等腰三角形题型02 1．已知一条直线l和直线外的A、B两点，以A、B两点和直线上某一点作为三角形的三个顶点，就能画出一个等腰三角形，如图中的等腰三角形．除此之外还能画出符合条件的（　　）个等腰三角形． A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）已知平面直角坐标系中有，两点．若在坐标轴上取点，使为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．如图，已知A（1，3），在坐标轴上找点B，使△AOB为等腰三角形，符合条件的点有____个． 4．已知的三边长分别为、、，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 _______条． 5．（24-25八年级上·新疆·期中）在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示．      (1)请画出关于轴对称的 (2)直接写出，，三点的坐标； (3)在轴上找出点，使得点到点、点的距离之和最短（保留作图痕迹） (4)点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，符合条件的点有 个． 求与图形中任两点构成等腰三角形的点题型03 1．在直角坐标系中，O为坐标原点，已知，在y轴上确定点P，使得为等腰三角形，则符合条件的P点共有（   ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的格点(顶点)上，请在图中找一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，这样的格点C有 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边BC为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．平面直角坐标系中有点A（2，0），B（0，4），以A，B为顶点在第一象限内作等腰直角△ABC，则点C的坐标为 ___． 5．已知：如图中，，，在射线上找一点，使为等腰三角形，则的度数为__________． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $