15.2 画轴对称的图形 讲义-2026-2027学年人教版八年级数学上册

15.2 画轴对称的图形（知识解读） 【人教版2024】 题型归纳 【题型·1·画轴对称图形】 2 【题型·2·镜面对称问题】 4 【题型·3·坐标系中的对称】 4 【题型·4·坐标与图形变化--轴对称】 4 【随堂检测】 5 知识点1 画轴对称图形、 1.原理:轴对称图形中，对称轴两侧的点互为对称点;对称点的连线被对称轴垂直平分 2.画图步骤(找点→作垂线一量等距→连点) ① 找:确定原图形中的关键点(顶点、端点、交点) ② 作:过每个关键点，作对称轴的垂线; ③ 量:在垂线上截取,，使对称点到对称轴距离=原点到对称轴距离④连:按原图顺序，依次连接所有对称点，得到轴对称图形。 知识点2 镜面对称(镜像，属于轴对称，镜面就是对称轴) 镜子成像特点:左右翻转，上下不变，相当于以镜面为对称轴作轴对称变换。 知识点3 坐标系中的对称(平面直角坐标系) 设点 P(x,y) 1.关于x 轴对称:横坐标不变，纵坐标变号 → P(x,-y) 2.关于y 轴对称:纵坐标不变，横坐标变号 → P(-x,y) 知识点4 坐标与图形变化 1.图形轴对称，等价于图形上每一个关键点都做轴对称坐标变换 2.作图方法: 写出原图形各顶点坐标 ② 求出对称后的顶点坐标 ③ 在坐标系描点，顺次连接，得到对称后的图形， 3.性质:轴对称变换不改变图形形状、大小，只改变位置(全等变换) 【题型·1·画轴对称图形】 【例1】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于轴的对称图形． (2)写出点，，的坐标． 【变式1-1】在如图所示的平面直角坐标系中，解答下列问题： (1)写出图中标出的各点的坐标． (2)画出所给图形关于y轴对称的图形，并写出图中各点关于y轴的对称点的坐标． 【变式1-2】在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，三角形的三个顶点都在格点上，点，请解答下列问题： (1)先将三角形向左平移5个单位，再向下平移6个单位后得到三角形，请画出三角形； (2)请画出三角形关于y轴对称的三角形； (3)请直接写出、的坐标． 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中画出与关于轴对称的； (2)在图中画出与关于直线（直线上各点的横坐标都为）对称的； (3)的内部一点关于轴对称的点的坐标为_____． 【题型·2·镜面对称问题】 【例2】镜子里写着则实际数字为________． 【变式2-1】新解放学校某同学在照镜子的时候发现自己的学号在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号为______． 【变式2-2】墙上有一面镜子，镜子对面的墙上有一个数字式电子钟．如果在镜子里看到该电子钟的时间显示如图所示，那么它的实际时间是___________． 【变式2-3】墙面上镶嵌的钟面在镜子中看到的时间如图所示，则实际时间是____________． 【题型·3·坐标系中的对称】 【例3】点关于轴对称的点的坐标为___________ 【变式3-1】点关于x轴对称的点的坐标是________． 【变式3-2】已知点与点关于轴对称，则________． 【变式3-3】若点与点关于轴对称，则___________；若点与的连线与轴平行，则点的坐标为___________． 【题型·4·坐标与图形变化--轴对称】 【例4】如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是经过2026次变换后所得的点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的坐标为（      ） A． B． C． D． 【变式4-2】小红利用蜡烛做平面镜成像的实验．如图，若以桌面为轴，镜面竖直方向为轴（镜面厚度忽略不计）建立直角坐标系．某时刻火焰顶部的坐标为，则此时对应的虚像的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】在平面直角坐标系中，已知点，点在第一象限内，，将先关于轴对称得到，将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，……，则按照这样的顺序继续对称下去，第2026次对称后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 随堂检测 【随堂检测】 1．点关于轴对称的点的坐标是（ ） A． B． C． D． 2．如图，和关于轴对称．若内点的坐标是，则点在中的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 3．已知点 ，则下列说法正确的是（    ） A．直线PQ平行于x轴 B．直线PQ平行于y轴 C．点P与点Q关于x轴对称 D．点P与点Q关于y轴对称 4．某中学八年级（1）班同学在学习了《利用轴对称设计图案》一课后，一小组设计了如图所示的轴对称图案，某同学大胆提议，从a，b，c，d四个方格中选一方格进行阴影填涂，使得填涂后的整个阴影部分依然是轴对称图形，则应选取的方格是（   ） A．a B．b C．c D．d 5．春节是中华民族的传统节日，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．如图，在平面直角坐标系中，，两处灯笼的位置关于直线对称，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，形状为三角形的两面小旗关于轴对称，旗杆底端均在轴上，其中点是内部的一点，其坐标为．若点是点在内的对应点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．已知点与点关于轴对称，则_______． 8．如图，第一、第三象限的角平分线记为，则点关于对称的点的坐标为__________． 9．在直角坐标系内的位置如图所示： (1)请画出关于x轴对称的； (2)直接写出的坐标，即（_____，_____），（_____，_____），（_____，_____） 10．在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1；格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A、C的坐标分别是； (1)请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系． (2)请画出关于轴对称的． (3)若为坐标原点，在轴上是否存在一点，使的面积等于8，若存在请求出点的坐标，若不存在，说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.2 画轴对称的图形（知识解读） 【人教版2024】 题型归纳 【题型·1·画轴对称图形】 2 【题型·2·镜面对称问题】 7 【题型·3·坐标系中的对称】 8 【题型·4·坐标与图形变化--轴对称】 9 【随堂检测】 11 知识点1 画轴对称图形、 1.原理:轴对称图形中，对称轴两侧的点互为对称点;对称点的连线被对称轴垂直平分 2.画图步骤(找点→作垂线一量等距→连点) ① 找:确定原图形中的关键点(顶点、端点、交点) ② 作:过每个关键点，作对称轴的垂线; ③ 量:在垂线上截取,，使对称点到对称轴距离=原点到对称轴距离④连:按原图顺序，依次连接所有对称点，得到轴对称图形。 知识点2 镜面对称(镜像，属于轴对称，镜面就是对称轴) 镜子成像特点:左右翻转，上下不变，相当于以镜面为对称轴作轴对称变换。 知识点3 坐标系中的对称(平面直角坐标系) 设点 P(x,y) 1.关于x 轴对称:横坐标不变，纵坐标变号 → P(x,-y) 2.关于y 轴对称:纵坐标不变，横坐标变号 → P(-x,y) 知识点4 坐标与图形变化 1.图形轴对称，等价于图形上每一个关键点都做轴对称坐标变换 2.作图方法: 写出原图形各顶点坐标 ② 求出对称后的顶点坐标 ③ 在坐标系描点，顺次连接，得到对称后的图形， 3.性质:轴对称变换不改变图形形状、大小，只改变位置(全等变换) 【题型·1·画轴对称图形】 【例1】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于轴的对称图形． (2)写出点，，的坐标． 【答案】(1)解：根据轴对称的性质，作图如下： 则即为所求． (2)，， 【分析】（1）根据轴对称的性质，作图即可． （2）根据图形求解即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：由，，， 得，，． 【变式1-1】在如图所示的平面直角坐标系中，解答下列问题： (1)写出图中标出的各点的坐标． (2)画出所给图形关于y轴对称的图形，并写出图中各点关于y轴的对称点的坐标． 【答案】(1) 解：，，， (2) 解：如图， 对称点坐标为，，，. 【分析】（1）根据平面直角坐标系中点的坐标的定义，确定每个点的横坐标和纵坐标，即可写出各点坐标； （2）利用关于y轴对称的点的坐标规律：纵坐标不变，横坐标互为相反数，求出对称点坐标，再依次连接对称点即可得到轴对称图形，用到了坐标轴对称点的坐标性质. 【详解】（1）略 （2）略 【变式1-2】在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，三角形的三个顶点都在格点上，点，请解答下列问题： (1)先将三角形向左平移5个单位，再向下平移6个单位后得到三角形，请画出三角形； (2)请画出三角形关于y轴对称的三角形； (3)请直接写出、的坐标． 【答案】(1)解：如图所示即为所求， (2)解：如图所示即为所求， (3)解：（2）可得，， 【分析】（1）利用平移的性质“上加下减，左减右加”得出，，的坐标，画图即可； （2）利用关于y轴对称的点“横坐标相反，纵坐标相同”得出，，的坐标，画图即可； （3）由（2）可得，的坐标． 【详解】（1）解：由题意得，，， 由平移的性质得，即， ，即， ，即， 图略； （2）解：根据关于y轴对称的点坐标性质得，即， ，即， ，即， 图略； （3）略． 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中画出与关于轴对称的； (2)在图中画出与关于直线（直线上各点的横坐标都为）对称的； (3)的内部一点关于轴对称的点的坐标为_____． 【答案】(1)如图，即为所作； (2) 如图，即为所作： (3) 【分析】本题考查了画轴对称图形、坐标系中对称问题，熟练掌握对称的坐标变化特点是解题的关键． （1）根据关于x轴对称的点的坐标：横不变，纵相反确定坐标后，依次连接得到对称图形； （2）根据轴对称性质确定坐标后，依次连接得到对称图形； （3）根据关于y轴对称的点的坐标：纵不变，横相反确定坐标即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：的内部一点关于轴对称的点的坐标为． 【题型·2·镜面对称问题】 【例2】镜子里写着则实际数字为________． 【答案】50281 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，解决此类题应认真观察，注意技巧． 【详解】解：根据镜面对称的性质，将“18502”按轴对称左右颠倒，即可得“50281”， 故答案为：50281． 【变式2-1】新解放学校某同学在照镜子的时候发现自己的学号在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号为______． 【答案】20231425 【分析】本题考查了镜面对称的性质； 根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，可得答案． 【详解】解：他的学号为20231425， 故答案为：20231425． 【变式2-2】墙上有一面镜子，镜子对面的墙上有一个数字式电子钟．如果在镜子里看到该电子钟的时间显示如图所示，那么它的实际时间是___________． 【答案】 【分析】本题考查镜面对称，根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片与成轴对称，所以此时实际时刻为． 故答案为：． 【变式2-3】墙面上镶嵌的钟面在镜子中看到的时间如图所示，则实际时间是____________． 【答案】 【分析】本题考查镜面对称，掌握镜面对称的性质是解题的关键． 图中表盘数字的顺序与实际表盘的数字顺序正好左右相反，据此作答即可． 【详解】根据轴对称性质得，实际钟表如下： ∴实际时间是． 故答案为：． 【题型·3·坐标系中的对称】 【例3】点关于轴对称的点的坐标为___________ 【答案】 【分析】根据平面直角坐标系中对称点的坐标特征即可解答． 【详解】解：关于轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数， 点关于轴对称的点的坐标为． 【变式3-1】点关于x轴对称的点的坐标是________． 【答案】 【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数作答即可． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是． 【变式3-2】已知点与点关于轴对称，则________． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标规律：关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，求出，的值，代入代数式计算即可． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， ． 【变式3-3】若点与点关于轴对称，则___________；若点与的连线与轴平行，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，两点连线与坐标轴平行时坐标的特点，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中任意一点，关于轴的对称点的坐标是，关于轴的对称点的坐标是；两点连线与轴平行时相等，与轴平行时相等． 对于点P和点Q关于轴对称，利用对称性质横坐标相等、纵坐标互为相反数求解和；对于点A和点B的连线与轴平行，利用平行于轴的直线横坐标相同求解点坐标． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴， ， ∴． ∵点与点的连线与y轴平行， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：；． 【题型·4·坐标与图形变化--轴对称】 【例4】如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是经过2026次变换后所得的点A的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察图形可知每四次变换为一个循环组依次循环，用除以，根据余数确定变换后的点所在的象限及坐标． 【详解】解：由图可知变换规律如下： 第1次关于轴对称，点变为； 第2次关于轴对称，点变为； 第3次关于轴对称，点变为； 第4次关于轴对称，点变为，回到初始位置； 每4次变换为一个循环组； ； 第2026次变换后的位置与第2次变换后的位置相同； 点的坐标为． 【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的坐标为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称的的坐标为． 【变式4-2】小红利用蜡烛做平面镜成像的实验．如图，若以桌面为轴，镜面竖直方向为轴（镜面厚度忽略不计）建立直角坐标系．某时刻火焰顶部的坐标为，则此时对应的虚像的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意，结合轴对称的特点得到对应的虚像的坐标是 ． 【变式4-3】在平面直角坐标系中，已知点，点在第一象限内，，将先关于轴对称得到，将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，……，则按照这样的顺序继续对称下去，第2026次对称后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查关于轴、轴对称的点的坐标，先求出点的坐标，再求出，，，，，，进而得出答案，找到规律是解题的关键． 【详解】解：∵点，点在第一象限内，，， ∴点的坐标为， ∵将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，将关于轴对称得到，， ∴，，，，，， ∵， ∴的坐标与的坐标一样， ∴的坐标为， 故选：C． 随堂检测 【随堂检测】 1．点关于轴对称的点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数， ∴点关于轴对称的点的坐标为． 2．如图，和关于轴对称．若内点的坐标是，则点在中的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数． 【详解】解：∵和关于轴对称， 点与点Q关于x轴对称． 又点P的坐标是， 点Q的坐标是． 3．已知点 ，则下列说法正确的是（    ） A．直线PQ平行于x轴 B．直线PQ平行于y轴 C．点P与点Q关于x轴对称 D．点P与点Q关于y轴对称 【答案】B 【详解】已知点 ， ， ∵点和点的横坐标相等，纵坐标不相等，也不互为相反数， ∴直线平行于轴，不平行于轴，故A不符合题意，B符合题意． 若两点关于轴对称，则横坐标相同，纵坐标互为相反数，与不互为相反数，故C不符合题意． 若两点关于轴对称，则纵坐标相同，横坐标互为相反数，两点横坐标相同，不满足条件，故D不符合题意． 选B． 4．某中学八年级（1）班同学在学习了《利用轴对称设计图案》一课后，一小组设计了如图所示的轴对称图案，某同学大胆提议，从a，b，c，d四个方格中选一方格进行阴影填涂，使得填涂后的整个阴影部分依然是轴对称图形，则应选取的方格是（   ） A．a B．b C．c D．d 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的定义，即可求解． 【详解】解：如图，当把a方格填涂上阴影，填涂后的整个阴影部分依然是轴对称图形． 5．春节是中华民族的传统节日，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．如图，在平面直角坐标系中，，两处灯笼的位置关于直线对称，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称，先求出点、的中点坐标为，再结合点、的纵坐标相同，两点的连线平行于轴，得出其垂直平分线是垂直于轴的直线，从而得出直线为直线，即可得出结果，正确求出点、的中点坐标为是解此题的关键． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，，两处灯笼的位置关于直线对称， ∴点、的中点坐标为，即 ， ∵点、的纵坐标相同，两点的连线平行于轴， ∴其垂直平分线是垂直于轴的直线， ∵点、的中点坐标为， ∴直线为直线， ∴直线一定经过点， 故选：B． 6．如图，在平面直角坐标系中，形状为三角形的两面小旗关于轴对称，旗杆底端均在轴上，其中点是内部的一点，其坐标为．若点是点在内的对应点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据轴对称的性质解题即可． 【详解】解：由题意知，点与点关于轴对称， ∴． 故选：B． 7．已知点与点关于轴对称，则_______． 【答案】 【分析】根据轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等即可求解． 【详解】∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴． 8．如图，第一、第三象限的角平分线记为，则点关于对称的点的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—对称，正比例函数的图象．由关于直线的对称点的横坐标与纵坐标互相交换，进行解答即可． 【详解】解：∵关于直线的对称点的横坐标与纵坐标互相交换， ∴点关于对称的点的坐标为， 故答案为：． 9．在直角坐标系内的位置如图所示： (1)请画出关于x轴对称的； (2)直接写出的坐标，即（_____，_____），（_____，_____），（_____，_____） 【答案】(1)如图，即为所求作的三角形， (2) 【分析】（1）根据轴对称的性质确定点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据（1）的作图写出的坐标即可． 【详解】（1）略； （2）解：由图可知，． 10．在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1；格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A、C的坐标分别是； (1)请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系． (2)请画出关于轴对称的． (3)若为坐标原点，在轴上是否存在一点，使的面积等于8，若存在请求出点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) 建立平面直角坐标系如图所示： (2) 如图所示： (3)存在，点的坐标为或 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的建立、关于坐标轴对称的图形规律以及三角形面积的计算，涉及坐标与图形的性质． （1）根据已知点、的坐标，确定原点位置，建立平面直角坐标系； （2）关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此得到的坐标并画图； （3）设，利用三角形面积公式，结合的面积为8列方程求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：设点的坐标为， ∵，， ∴，点到轴的距离为， ∴的面积为，解得或， ∴点的坐标为或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $