15.2 画轴对称的图形 题型专练讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦“画轴对称的图形”核心知识点，系统梳理从基础图形轴对称画法、成轴对称的两个图形绘制，到坐标系中对称点坐标特征及图形变换，再延伸至镜面、折叠、光线反射、台球等实际应用场景，构建从基础到应用的学习支架。 该资料题型分层设计，结合生活情境（如镜面时间读取、折叠角度计算、台球路径分析），培养学生几何直观与空间观念（数学眼光），通过推理训练提升逻辑思维（数学思维），用坐标和图形变换表达问题（数学语言）。课中助力教师分层教学，课后帮助学生巩固应用，弥补知识盲点。

人教版（2024）八年级上册 15.2 画轴对称的图形 题型专练 【题型1】画轴对称图形 【典型例题】如图，在的正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，若将剩余的白色小正方形再涂黑一个，使得到的图形是轴对称图形，满足条件的涂法有（   ） A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 【举一反三1】如图，方格纸中有3个小方格被涂成黑色，若从其余13个白色小方格中选出一个涂成黑色，使所有的黑色方格构成轴对称图形，则不同的涂色方案共有（　　） A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 【举一反三2】如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线l对称，请在试卷上补全字母，在答题卡上写出这个单词所指的物品___________． 【举一反三3】如图是正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有_________个． 【举一反三4】如图，在4×4的方格中，请分别在甲、乙、丙三个图中添加一个正方形到空白方格中，与其余五个正方形组成的新图形是一个轴对称图形. 【题型2】画成轴对称的两个图形 【典型例题】如图中，关于直线l对称的是(　　) A. B. C. D. 【举一反三1】如图，在2×4的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形最多能画出(　　) A.2个   B.3个   C.4个   D.5个 【举一反三2】作△ABC关于直线MN的轴对称图形，下列选项中正确的是(　　) A. B. C. D. 【举一反三3】如图，已知直线l和四边形ABCD，画四边形ABCD关于直线l的对称图形，将作图步骤补充完整： (1)分别过点A，B，C，D画直线l的垂线，垂足分别是　　　　；  (2)分别延长AP，DQ，BT，CG至点　　　　，使　　　　，　　　　，　　　　，　　　　；  (3)连接　　　，　　　，　　　　，　　　　，则四边形A1B1C1D1即为所求.  【举一反三4】如图，在正方形网格中，与成轴对称的三角形可以画出          个． 【举一反三5】如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，△ABC的三个顶点都在格点上． （1）在网格中画出△ABC的中线AD； （2）在网格中画出△ABC关于直线m对称的△A′B′C′； （3）在网格中画出△EFG关于直线m对称的△E′F′G′． 【题型3】关于坐标轴对称的点的坐标 【典型例题】在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度得到点，则点关于轴的对称点的坐标为（   ） A. B. C. D. 【举一反三1】在平面直角坐标系xOy中，点M（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（　　） A.（﹣2，3） B.（2，﹣3） C.（3，﹣2） D.（﹣3，2） 【举一反三2】点关于轴对称点的坐标为，则点的坐标为（   ） A. B. C. D. 【举一反三3】已知A、B两点的坐标分别是（2，﹣3）和（2，3），则下面结论： （1）A、B两点关于x轴对称； （2）A、B两点关于y轴对称； 其中正确的是            （填序号） 【举一反三4】已知P(a+1，b﹣2)，Q(4，3)两点． (1)若P，Q两点关于x轴对称，求a+b的值； (2)若点P到y轴的距离是5，且PQ∥x轴，求点P的坐标． 【题型4】画关于坐标轴对称的图形并求点的坐标 【典型例题】已知，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3）、B（5，0）、C（﹣2，﹣5），作△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，则△A′B′C′的三个顶点坐标正确的是（　　） A.A′（﹣1，3）、B′（﹣5，0）、C′（2，﹣5） B.A′（3，1）、B′（0，5）、C′（﹣5，﹣2） C.A′（3，﹣1）、B′（0，﹣5）、C′（﹣5，﹣2） D.A′（3，1）、B′（5，0）、C′（2，﹣5） 【举一反三1】剪纸艺术是我国非物质文化遗产之一．某中学开设了剪纸兴趣班，用实际行动传承我国的文化遗产．兴趣班的小磊将剪纸作品置于如图所示的平面直角坐标系中，点的坐标是，那么点的坐标是（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，△ABC的顶点A，B，C的坐标分别为（2，4），（1，1），（3，2），将△ABC关于x轴对称得到△A1B1C1，则C1的坐标为（　　） A.（﹣3，﹣2） B.（3，﹣2） C.（﹣3，2） D.（2，﹣3） 【举一反三3】已知正方形在坐标平面上的位置如图所示，轴、轴分别是正方形的两条对称轴若点的坐标为，则点的坐标为     ，点的坐标为     ，点的坐标为      ． 【举一反三4】平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（4，0），B（0，4），C（﹣3，1）． （1）若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，作出△A1B1C1，并写出B1的坐标； （2）求△ABC的面积． 【题型5】用轴对称与平移变换作图 【典型例题】在平面直角坐标系中，将点P（1，﹣1）向右平移2个单位后，得到的点P1关于x轴的对称点坐标是（　　） A.（1，1） B.（3，1） C.（3，﹣1） D.（1，﹣1） 【举一反三1】如果P点的坐标为（a，b），它关于y轴的对称点为P1，P1关于x轴的对称点为P2，已知P2的坐标为（﹣2，3），将点P向左平移4个单位后的坐标为（　　） A.（﹣2，﹣3） B.（﹣6，﹣3） C.（﹣6，3） D.（﹣2，3） 【举一反三2】将第一象限的“小旗”各点的横坐标分别乘以﹣1，纵坐标保持不变，符合上述要求的图形是（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的，的面积是_________； (2)在（）的条件下，已知点，直线轴，则点的坐标为_________． 【举一反三4】如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC向右平移两个单位长度得到△A′B′C′，则与点B′关于y轴对称的点的坐标是 　     　． 【举一反三5】在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出关于轴对称的； (2)将向左平移4个单位长度，作出平移后的； (3)观察和，它们是否关于某直线对称？若是，请用粗线条画出对称轴． 【举一反三6】如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣3，2）、C（﹣1，1）． （1）画出把△ABC向下平移4个单位后得到的图形△A1B1C1； （2）画出与△ABC关于y轴对称的图形△A2B2C2，并写出点B2的坐标； （3）试在y轴上找一点Q，使得点Q到A2、C2两点的距离之和最小，在图中作出点Q．（保留作图痕迹） 【题型6】镜面中的轴对称 【典型例题】小明在镜中看到对面电子时钟的示数如图所示，则现在的实际时间为（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】小明从镜中看到电子钟示数，则此时时间是（　　） A.12：01 B.10：51 C.11：59 D.10：21 【举一反三2】小明在镜中看到身后墙上的时钟如图，你认为实际时间最接近9：00的是(　　) A.    B. C.    D.      【举一反三3】小明照镜子的时候，发现T恤上的英文单词APPLE在镜子中呈现的样子是(　　) A.    B. C.    D. 【举一反三4】如图，下面乙中镜子里是甲中人物的像的是(　　) A.(A)    B.(B) C.(C)    D.(D) 【举一反三5】如图，这是小张在平面镜里看到的背后墙上电子钟显示的时间，则此刻的实际时间应该是        ． 【举一反三6】小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示：，实际时间是           ． 【举一反三7】如图，小芳在镜子里看镜子对面电子钟的示数为，你能确定准确时间是      ． 【题型7】折叠中的轴对称 【典型例题】如图，下面是三位同学的折纸示意图，点B与点B'是对应点，则AD依次是△ABC的 A.中线、角平分线、高 B.高、角平分线、中线 C.高、中线、角平分线 D.角平分线、中线、高 【举一反三1】如图是的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图3中，则图2中的度数为（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】如图，把一张长方形纸片沿折叠，点在边上，点落在处，若，，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【举一反三3】如图1是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的的度数是        ． 【举一反三4】如图，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足． (1)填空：______，______； (2)若固定点A，将线段折叠，使点B与点A重合，则折叠后点O与哪个数表示的点重合？ (3)若点A，B分别以3个单位长度/秒和2个单位长度/秒的速度相向而行，则几秒后A，B两点相距3个单位长度？ 【举一反三5】（教材改编）如图，将直角三角形纸片ABC的直角C沿EF折叠点C落到纸片内部的点处.如果∠FE=40°那么∠BF等于多少度? 【题型8】光线反射中的轴对称 【典型例题】如图，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点，，，，，，在同一竖直平面内），已知．若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则需要把入射光线与水平线的夹角的度数调整为（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】如图所示，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（    ）． A. B. C. D. 【举一反三2】如图，两条平行直线a，b，从点光源M射出的光线射到直线a上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线b上的B点，当这束光线继续从B点反射出去后，反射光线与直线b所夹锐角的度数为（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】一个车牌号码在水中的倒影如图所示，则该车牌号码为　　　　　　　　.  【举一反三4】自行车尾灯由许多很小的角反射器组成，在汽车大灯的照射下，自行车尾灯能反射出明亮的光，为骑行者提供额外的安全保障，如图1．角反射器的基本原理是光的反射定律，即入射光线、反射光线和法线都位于同一平面内，且反射角等于入射角．根据光的反射定律，在图2中，α＝β．角反射器通常由两个相互垂直的平面镜组成，这样的结构使得无论光线从哪个方向入射，经过两次反射后，都能沿着与入射光线相反的方向反射回去，如图3．以角反射器的直角顶点为坐标原点，两个平面镜分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系如图4．已知入射光线所在直线l1经x轴上A点反射到达y轴上的B点，再经B点反射出的光线所在直线为l2．证明：l1∥l2. 【题型9】台球桌面上的轴对称 【典型例题】如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角.当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，….第2 026次碰到矩形的边时的点为图中的(　　) A.点P      B.点Q C.点G      D.点N 【举一反三1】如图是一个小型的台球桌，四角分别是 A，B，C，D 四个球筐，桌面可以分成 12 个正方形 小区域，如果将在点 P 位置的球沿着 PQ 的方向击球 Q，那么球 Q 最终会落在（       ）    A.A 筐 B.B 筐 C.C 筐 D.D 筐 【举一反三2】数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题．如图，∠1=∠2，若∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1=       【举一反三3】如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角.当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，…，第次碰到矩形的边时的点为.则点的坐标是      .    【举一反三4】如图是由相同的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．长方台球桌的顶点都是格点，台球桌上有两个小球，分别位于格点处．    (1)在图1中，先在边上画点，使，再在边上画点，使； (2)在图2中，先在边上画点，连接，使，再画一条路径，使球两次撞击台球桌边，经过两次反弹（反射角等于入射角）后，正好撞到球． 【举一反三5】（教材改编）如图，小球起始时位于(3，0)处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示，用坐标描述这个运动，找出小球运动的轨迹上几个关于直线l对称的点，如果小球起始时位于(1，0)处，仍按原来方向击球，请你画出这时小球运动的轨迹. 人教版（2024）八年级上册 15.2 画轴对称的图形 题型专练（参考答案） 【题型1】画轴对称图形 【典型例题】如图，在的正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，若将剩余的白色小正方形再涂黑一个，使得到的图形是轴对称图形，满足条件的涂法有（   ） A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 【答案】D 【解析】如图所示， 共4种． 【举一反三1】如图，方格纸中有3个小方格被涂成黑色，若从其余13个白色小方格中选出一个涂成黑色，使所有的黑色方格构成轴对称图形，则不同的涂色方案共有（　　） A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 【答案】D 【解析】如图所示，有4个位置使之成为轴对称图形． 【举一反三2】如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线l对称，请在试卷上补全字母，在答题卡上写出这个单词所指的物品___________． 【答案】书 【解析】解：根据轴对称变换的性质，先补全图形， 所以这个单词所指的物品是书． 【举一反三3】如图是正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有_________个． 【答案】5 【解析】依题意，如图， 有5个位置使之成为轴对称图形． 【举一反三4】如图，在4×4的方格中，请分别在甲、乙、丙三个图中添加一个正方形到空白方格中，与其余五个正方形组成的新图形是一个轴对称图形. 【答案】解　如图所示.(答案不唯一) 【题型2】画成轴对称的两个图形 【典型例题】如图中，关于直线l对称的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【举一反三1】如图，在2×4的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形最多能画出(　　) A.2个   B.3个   C.4个   D.5个 【答案】B 【解析】在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形最多能画出3个． 【举一反三2】作△ABC关于直线MN的轴对称图形，下列选项中正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】沿直线MN折叠，△A'B'C'与△ABC能够重合的只有B. 【举一反三3】如图，已知直线l和四边形ABCD，画四边形ABCD关于直线l的对称图形，将作图步骤补充完整： (1)分别过点A，B，C，D画直线l的垂线，垂足分别是　　　　；  (2)分别延长AP，DQ，BT，CG至点　　　　，使　　　　，　　　　，　　　　，　　　　；  (3)连接　　　，　　　，　　　　，　　　　，则四边形A1B1C1D1即为所求.  【答案】(1)P，T，G，Q (2)A1，D1，B1，C1　A1P＝AP　D1Q＝DQ　B1T＝BT　C1G＝CG (3)A1B1　B1C1　C1D1　D1A1 【举一反三4】如图，在正方形网格中，与成轴对称的三角形可以画出          个． 【答案】3 【解析】根据题意，画图如图， 有，，，共3个三角形． 【举一反三5】如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，△ABC的三个顶点都在格点上． （1）在网格中画出△ABC的中线AD； （2）在网格中画出△ABC关于直线m对称的△A′B′C′； （3）在网格中画出△EFG关于直线m对称的△E′F′G′． 【答案】解：（1）如图，AD即为所求作的△ABC的中线； （2）如图，△A′B′C′即为所求作的三角形； （3）如图，△E′F′G′即为所求作的三角形． 【题型3】关于坐标轴对称的点的坐标 【典型例题】在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度得到点，则点关于轴的对称点的坐标为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】将点向右平移3个单位长度得到点，即， ∴点关于y轴对称的点的坐标是． 【举一反三1】在平面直角坐标系xOy中，点M（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（　　） A.（﹣2，3） B.（2，﹣3） C.（3，﹣2） D.（﹣3，2） 【答案】A 【解析】解：在平面直角坐标系xOy中，点M（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，3）． 故选：A． 【举一反三2】点关于轴对称点的坐标为，则点的坐标为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【举一反三3】已知A、B两点的坐标分别是（2，﹣3）和（2，3），则下面结论： （1）A、B两点关于x轴对称； （2）A、B两点关于y轴对称； 其中正确的是            （填序号） 【答案】（1） 【解析】解：由A、B两点的坐标分别是（2，﹣3）和（2，3），得A、B两点关于x轴对称，故答案为：（1）． 【举一反三4】已知P(a+1，b﹣2)，Q(4，3)两点． (1)若P，Q两点关于x轴对称，求a+b的值； (2)若点P到y轴的距离是5，且PQ∥x轴，求点P的坐标． 【答案】解 (1)∵P，Q两点关于x轴对称， ∴a+1＝4，b﹣2＝﹣3， ∴a＝3，b＝﹣1， ∴a+b＝3+(﹣1)＝2. (2)∵P到y轴的距离是5， ∴点P的横坐标为5或﹣5， ∵PQ∥x轴，Q(4，3), ∴点P的纵坐标为3， ∴P(5，3)或(﹣5，3)． 【题型4】画关于坐标轴对称的图形并求点的坐标 【典型例题】已知，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3）、B（5，0）、C（﹣2，﹣5），作△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，则△A′B′C′的三个顶点坐标正确的是（　　） A.A′（﹣1，3）、B′（﹣5，0）、C′（2，﹣5） B.A′（3，1）、B′（0，5）、C′（﹣5，﹣2） C.A′（3，﹣1）、B′（0，﹣5）、C′（﹣5，﹣2） D.A′（3，1）、B′（5，0）、C′（2，﹣5） 【答案】A 【解析】解：根据关于y轴对称的点的坐标特点可得： A′（﹣1，3）、B′（﹣5，0）、C′（2，﹣5）； 故选：A． 【举一反三1】剪纸艺术是我国非物质文化遗产之一．某中学开设了剪纸兴趣班，用实际行动传承我国的文化遗产．兴趣班的小磊将剪纸作品置于如图所示的平面直角坐标系中，点的坐标是，那么点的坐标是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意得，点A和点B关于y轴对称， ∵点的坐标是， ∴点的坐标是． 【举一反三2】如图，△ABC的顶点A，B，C的坐标分别为（2，4），（1，1），（3，2），将△ABC关于x轴对称得到△A1B1C1，则C1的坐标为（　　） A.（﹣3，﹣2） B.（3，﹣2） C.（﹣3，2） D.（2，﹣3） 【答案】B 【解析】解：如图，△ABC的顶点A，B，C的坐标分别为（2，4），（1，1），（3，2），将△ABC关于x轴对称得到△A1B1C1，则C1的坐标为（3，﹣2）． 故选：B． 【举一反三3】已知正方形在坐标平面上的位置如图所示，轴、轴分别是正方形的两条对称轴若点的坐标为，则点的坐标为     ，点的坐标为     ，点的坐标为      ． 【答案】 【解析】由图可知，点关于轴对称，点关于轴对称，点关于轴对称， 故． 【举一反三4】平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（4，0），B（0，4），C（﹣3，1）． （1）若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，作出△A1B1C1，并写出B1的坐标； （2）求△ABC的面积． 【答案】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求， 其中，B1（0，﹣4）； （2）． 【题型5】用轴对称与平移变换作图 【典型例题】在平面直角坐标系中，将点P（1，﹣1）向右平移2个单位后，得到的点P1关于x轴的对称点坐标是（　　） A.（1，1） B.（3，1） C.（3，﹣1） D.（1，﹣1） 【答案】B 【解析】解：∵将点P（1，﹣1）向右平移2个单位后， ∴平移后的坐标为（3，﹣1）， ∴得到的点P1关于x轴的对称点坐标是（3，1）． 故选：B． 【举一反三1】如果P点的坐标为（a，b），它关于y轴的对称点为P1，P1关于x轴的对称点为P2，已知P2的坐标为（﹣2，3），将点P向左平移4个单位后的坐标为（　　） A.（﹣2，﹣3） B.（﹣6，﹣3） C.（﹣6，3） D.（﹣2，3） 【答案】A 【解析】解：∵P2的坐标为（﹣2，3），P1关于x轴的对称点为P2， ∴P1（﹣2，﹣3）， ∵P点的坐标为（a，b），它关于y轴的对称点为P1， ∴a＝2，b＝﹣3， ∴点P的坐标为（2，﹣3）， ∴点P向左平移4个单位后的坐标为（﹣2，﹣3）． 故选：A． 【举一反三2】将第一象限的“小旗”各点的横坐标分别乘以﹣1，纵坐标保持不变，符合上述要求的图形是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：∵第一象限的“小旗”各点的横坐标分别乘以﹣1，纵坐标保持不变， ∴所得小旗的点与原来的小旗的点关于y轴对称， 故选：C． 【举一反三3】在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的，的面积是_________； (2)在（）的条件下，已知点，直线轴，则点的坐标为_________． 【答案】解：（1）如图所示，即为所求， ∴. （2）由图可得，， ∵直线轴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 【举一反三4】如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC向右平移两个单位长度得到△A′B′C′，则与点B′关于y轴对称的点的坐标是 　     　． 【答案】（﹣1，2）． 【解析】解：∵点B（﹣1，2）， ∴向右平移两个单位后，B′（1，2）． ∴点B′（1，2）关于y轴对称点的坐标为（﹣1，2）． 故答案为：（﹣1，2）． 【举一反三5】在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出关于轴对称的； (2)将向左平移4个单位长度，作出平移后的； (3)观察和，它们是否关于某直线对称？若是，请用粗线条画出对称轴． 【答案】解：（1）根据题意，得， 故关于轴对称的坐标为， 如图所示，即为所求. （2）根据题意，得， 平移后对应的坐标为， 如图所示，即为所求. （3）由（1）和（2）知，， ∴， 故和关于直线对称，直线如图所示. 【举一反三6】如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，3）、B（﹣3，2）、C（﹣1，1）． （1）画出把△ABC向下平移4个单位后得到的图形△A1B1C1； （2）画出与△ABC关于y轴对称的图形△A2B2C2，并写出点B2的坐标； （3）试在y轴上找一点Q，使得点Q到A2、C2两点的距离之和最小，在图中作出点Q．（保留作图痕迹） 【答案】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）如图，△A2B2C2即为所求． 由图可得，B2（3，2）． （3）如图，连接AC2，交y轴于点Q，连接A2Q， 此时A2Q+C2Q＝AQ+C2Q＝AC2，为最小值， 则点Q即为所求． 【题型6】镜面中的轴对称 【典型例题】小明在镜中看到对面电子时钟的示数如图所示，则现在的实际时间为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：∵是从镜子中看， ∴对称轴为竖直方向的直线， ∵2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反， ∴这时的时刻应是． 【举一反三1】小明从镜中看到电子钟示数，则此时时间是（　　） A.12：01 B.10：51 C.11：59 D.10：21 【答案】D 【解析】解：此时实际时间是10：21． 故选：D． 【举一反三2】小明在镜中看到身后墙上的时钟如图，你认为实际时间最接近9：00的是(　　) A.    B. C.    D.      【答案】B 【解析】9点的时钟，在镜子里看起来应该是3点，所以最接近9点的时间在镜子里看起来就更接近3点，所以应该是选项B所示，最接近9点时间. 【举一反三3】小明照镜子的时候，发现T恤上的英文单词APPLE在镜子中呈现的样子是(　　) A.    B. C.    D. 【答案】A 【解析】根据镜面对称的性质，分析可得题中所给的图片与A显示的图片成轴对称. 【举一反三4】如图，下面乙中镜子里是甲中人物的像的是(　　) A.(A)    B.(B) C.(C)    D.(D) 【答案】B 【解析】由镜面对称的性质，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即可得出只有(B)与原图形成镜面对称． 【举一反三5】如图，这是小张在平面镜里看到的背后墙上电子钟显示的时间，则此刻的实际时间应该是        ． 【答案】 【解析】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称，所以此时实际时刻为． 【举一反三6】小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示：，实际时间是           ． 【答案】 【解析】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称，所以此时实际时刻为． 【举一反三7】如图，小芳在镜子里看镜子对面电子钟的示数为，你能确定准确时间是      ． 【答案】 【解析】解：根据平面镜成像原理及轴对称图形的性质可知实际时间为. 【题型7】折叠中的轴对称 【典型例题】如图，下面是三位同学的折纸示意图，点B与点B'是对应点，则AD依次是△ABC的 A.中线、角平分线、高 B.高、角平分线、中线 C.高、中线、角平分线 D.角平分线、中线、高 【答案】B 【解析】观察图形可知，AD依次是△ABC的高、角平分线、中线. 【举一反三1】如图是的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图3中，则图2中的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：如图，设， ∵纸条沿折叠， ∴， ∴， ∵纸条沿折叠， ∴， 而， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴． 【举一反三2】如图，把一张长方形纸片沿折叠，点在边上，点落在处，若，，则的度数为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：∵， ∴． 由折叠的性质，可得， ∵， ∴． 【举一反三3】如图1是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的的度数是        ． 【答案】 【解析】解：如图2，延长到点M， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴， 如图3，由折叠的性质得，， ∴． 【举一反三4】如图，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足． (1)填空：______，______； (2)若固定点A，将线段折叠，使点B与点A重合，则折叠后点O与哪个数表示的点重合？ (3)若点A，B分别以3个单位长度/秒和2个单位长度/秒的速度相向而行，则几秒后A，B两点相距3个单位长度？ 【答案】解：（1）∵， ∴，， ∴，． （2）∵，， ∴点A，点B都距离折叠点9个单位长度， ∴折叠点表示， ∴折叠后，点O与表示的点重合． （3）设x秒后A，B两点相距3个单位长度． ①若A，B两点相遇前相距3个单位长度，则有，解得； ②若A，B两点相遇后相距3个单位长度，则有，解得． 即经过3秒或秒后，A，B两点相距3个单位长度． 【举一反三5】（教材改编）如图，将直角三角形纸片ABC的直角C沿EF折叠点C落到纸片内部的点处.如果∠FE=40°那么∠BF等于多少度? 【答案】解：∵△EC′F与△ECF关于直线EF对称， ∴∠C′=∠C=90°，∠CFE=∠C′FE 在Rt△EC′F中∠C′FE=90°-∠FEC′=50° ∴∠CFE=50° ∴∠CFC′=2∠CEF=100° ∴∠BFC′=80° 【题型8】光线反射中的轴对称 【典型例题】如图，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点，，，，，，在同一竖直平面内），已知．若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则需要把入射光线与水平线的夹角的度数调整为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：由题意，知， ∴． ∴． ∴． 【举一反三1】如图所示，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（    ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：， ， ∵两个平面镜平行放置， ∴经过第二次反射后的反射光线与第一次反射的入射光线平行， ． 【举一反三2】如图，两条平行直线a，b，从点光源M射出的光线射到直线a上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线b上的B点，当这束光线继续从B点反射出去后，反射光线与直线b所夹锐角的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：如图， ∵从点光源射出的光线射到直线上的A点，入射角为，然后反射光线射到直线上的点， ∴， ∵， ∴， ∴当这束光线继续从点反射出去后，反射光线与直线的夹角度数为． 【举一反三3】一个车牌号码在水中的倒影如图所示，则该车牌号码为　　　　　　　　.  【答案】FM5379 【解析】根据生活经验可知，物体与其在水中的倒影关于水面成轴对称，且关于水面上下对称，因此在倒影的上面画一条水平直线，然后作出倒影关于这条直线成轴对称的图形，如图所示， 故该车牌号码为FM5379. 【举一反三4】自行车尾灯由许多很小的角反射器组成，在汽车大灯的照射下，自行车尾灯能反射出明亮的光，为骑行者提供额外的安全保障，如图1．角反射器的基本原理是光的反射定律，即入射光线、反射光线和法线都位于同一平面内，且反射角等于入射角．根据光的反射定律，在图2中，α＝β．角反射器通常由两个相互垂直的平面镜组成，这样的结构使得无论光线从哪个方向入射，经过两次反射后，都能沿着与入射光线相反的方向反射回去，如图3．以角反射器的直角顶点为坐标原点，两个平面镜分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系如图4．已知入射光线所在直线l1经x轴上A点反射到达y轴上的B点，再经B点反射出的光线所在直线为l2．证明：l1∥l2. 【答案】证明：如图4， 依题意得：∠1＝∠2，∠3＝∠4，BO⊥AO， ∴∠2+∠3＝90°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°， ∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°， ∴∠5+∠6＝180°， ∴l1∥l2. 【题型9】台球桌面上的轴对称 【典型例题】如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角.当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，….第2 026次碰到矩形的边时的点为图中的(　　) A.点P      B.点Q C.点G      D.点N 【答案】C 【解析】如图，经过6次反弹后动点回到出发点P， 因为2 026÷6=337……4， 所以当点P第2 026次碰到矩形的边时为第337个循环组的最后一次反弹再往后数4次， 所以第2 026次碰到矩形的边时的点为图中的点G. 【举一反三1】如图是一个小型的台球桌，四角分别是 A，B，C，D 四个球筐，桌面可以分成 12 个正方形 小区域，如果将在点 P 位置的球沿着 PQ 的方向击球 Q，那么球 Q 最终会落在（       ）    A.A 筐 B.B 筐 C.C 筐 D.D 筐 【答案】C 【解析】解：由题意，可画出图形如下：    由图可知，球Q最终会落在C筐， 故选：C． 【举一反三2】数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题．如图，∠1=∠2，若∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1=       【答案】60° 【解析】解：∵台球桌四角都是直角, ∵∠1=∠2， 故答案为 【举一反三3】如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角.当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，…，第次碰到矩形的边时的点为.则点的坐标是      .    【答案】 【解析】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，    根据图形可以得到：每次反弹为一个循环组依次循环，经过次反弹后动点回到出发点，， ， 当点第次碰到矩形的边时为第个循环组的第次反弹，点的坐标为， 故答案为：． 【举一反三4】如图是由相同的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．长方台球桌的顶点都是格点，台球桌上有两个小球，分别位于格点处．    (1)在图1中，先在边上画点，使，再在边上画点，使； (2)在图2中，先在边上画点，连接，使，再画一条路径，使球两次撞击台球桌边，经过两次反弹（反射角等于入射角）后，正好撞到球． 【答案】解：（1）如图1中，点，点即为所求. （2）解：如图2中，点即为所求，路径即为所求． 【举一反三5】（教材改编）如图，小球起始时位于(3，0)处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示，用坐标描述这个运动，找出小球运动的轨迹上几个关于直线l对称的点，如果小球起始时位于(1，0)处，仍按原来方向击球，请你画出这时小球运动的轨迹. 【答案】解：①小球运动的轨迹如图所示，图中点A，B，点C，D，点E，F关于直线l对称． ②小球运动的轨迹如图所示. 学科网（北京）股份有限公司 $