15.1 图形的轴对称（知识解读） 《知识解读·题型专练》 2026-2027学年人教版数学八年级上册

15.1 图形的轴对称（知识解读） 【人教版2024】 题型归纳 【题型·1·轴对称图形的识别)】 2 【题型·2·根据成轴对称图形的特征进行判断】 3 【题型·3·根据成轴对称图形的特征求解】 6 【题型·4·根据成轴对称图形的特征求解】 8 【题型·5·台球桌面上的轴对称问题】 9 【题型·6·轴对称中的光线反射问题】 13 【题型·7·折叠问题】 16 【题型·8·线段垂直平分线的性质】 19 【题型·9.线段垂直平分线的判定】 21 【题型·10.作已知线段的垂直平分线】 24 【题型·11.作垂线(尺规作图】 26 【题型·12.互逆命题的判定】 28 【随堂检测】 30 知识点1 轴对称图形的定义及性质 1.定义 ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 注意： 1. 轴对称图形的对称轴是一条直线， 2. 轴对称图形是1个图形， 3. 有些对称图形的对称轴有无数条。 ⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线称为这两个图形的对称轴. ⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这 条线段的垂直平分线. 2.性质 ①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线. ②关于某直线对称的两个图形是全等形. 【题型·1·轴对称图形的识别)】 【例1】在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：轴对称图形的定义：如果一个图形沿某一条直线对折，对折后的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形． 据此可判断A、B、D都不符合轴对称图形的定义，C是轴对称图形． 【变式1-1】下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不是轴对称图形； B、不是轴对称图形； C、是轴对称图形； D、不是轴对称图形． 【变式1-2】下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】轴对称图形定义：沿一条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合的图形，据此逐项判断即可． 【详解】解：A（雪花）：有多条对称轴，是轴对称图形． B（风车）：无论沿哪条直线对折，两边都无法重合，只有旋转对称性，不是轴对称图形． C：有3条对称轴，是轴对称图形． D（太阳图案）：有多条对称轴，是轴对称图形． 【变式1-3】如图，图案中不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项符合题意； B、是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 【题型·2·根据成轴对称图形的特征进行判断】 【例2】观察下列4组图形，其中，关于直线l成轴对称的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两边的部分互相重合，那么这个图形是轴对称图形，即可判断，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：、不关于直线l成轴对称，不符合题意； 、不关于直线l成轴对称，不符合题意； 、关于直线l成轴对称，符合题意； 、不关于直线l成轴对称，不符合题意； 故选：C． 【变式2-1】下列各图形中，从图形Ⅰ到图形Ⅱ一定不能通过轴对称得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查成轴对称的定义，解决本题的关键是要熟练掌握成轴对称的定义．把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么 就称这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫作对称轴，翻折后能够重合的点叫作对称点．据此即可求解． 【详解】解：A、图形Ⅰ和图形Ⅱ成轴对称，不符合题意； B、图形Ⅰ和图形Ⅱ成轴对称，不符合题意； C、图形Ⅰ和图形Ⅱ不成轴对称，符合题意； D、图形Ⅰ和图形Ⅱ成轴对称，不符合题意； 故选：C． 【变式2-2】如图，成轴对称的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿着一条直线对折后能够完全重合，这样的图形称为轴对称图形，根据此定义判断即可． 【详解】解：图②、③成轴对称． 故选B． 【变式2-3】下面是四位同学分别以直线l为对称轴作出的轴对称图形，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形的作图，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．图中作出的图形是关于直线l的轴对称图形，故A不符合题意； B．图中作出的图形是关于直线l的轴对称图形，故B不符合题意； C．图中作出的图形不是关于直线l的轴对称图形，故C符合题意； D．图中作出的图形是关于直线l的轴对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 【题型·3·根据成轴对称图形的特征求解】 【例3】如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（     ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与周长相等 D．直线、的交点不一定在上 【答案】D 【分析】利用轴对称的性质即可作出判断． 【详解】解：由线段垂直平分线的性质得，即是等腰三角形，选项A正确； 两个图形关于直线成轴对称，则对称轴垂直平分对应点的连线段，选项B正确； 两个图形关于直线对称，则这两个图形重合，所以这两个三角形周长相等，选项C正确； 直线、直线的交点一定在对称轴上，选项D错误． 【变式3-1】如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解；轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 【详解】解： 与关于直线对称， ，，，故A、C、D选项正确， 不一定成立，故B选项不一定正确． 【变式3-2】已知，与关于直线对称，交于点O，则下列结论中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由轴对称的性质可以得到对应线段、对应点的连线与对称轴的位置关系，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，不能得出非对应线段的关系． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴，，， 无法得到； 故只有B选项不一定成立． 【变式3-3】将一张长方形纸片按如图步骤①和②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开平铺后的图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据展开后的图形即可作出判断． 【详解】解：把③向上展开，再向左展开后如下图： 【题型·4·根据成轴对称图形的特征求解】 【例4】如图，与关于直线对称，若，，则________． 【答案】30 【详解】解：与关于直线对称， ，， ． 【变式4-1】如图，与关于直线对称，若，，，则的度数为（     ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】根据轴对称得出，即可得出的度数． 【详解】解：与关于直线对称， ， ． 【变式4-2】如图，与关于直线对称，若，，则的度数为________°． 【答案】 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式4-3】如图，四边形是轴对称图形，对称轴是直线，延长至点，若，，则的度数为____________． 【答案】 【分析】根据平行线的性质可得，进而根据轴对称的性质可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ∵四边形是轴对称图形，对称轴是直线， ∴， 故答案为：． 【题型·5·台球桌面上的轴对称问题】 【例5】如图，动点从出发，沿图中所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边的夹角为45°，第1次碰到长方形边上的点的坐标为，则第33次碰到长方形边上的点的坐标为___________． 【答案】 【分析】通过分析观察，总结出图形变化规律为每碰撞6次回到起始点，所以，则第33次碰到长方形边上的点的坐标与第3次碰到长方形边上的点的坐标一样，即可求解． 【详解】解：观察图可知，第1次碰到长方形边上的点的坐标为， 第2次碰到长方形边上的点的坐标为， 第3次碰到长方形边上的点的坐标为， 第4次碰到长方形边上的点的坐标为， 第5次碰到长方形边上的点的坐标为， 第6次碰到长方形边上的点的坐标为， 第7次碰到长方形边上的点的坐标为， 所以每碰撞6次回到起始点， 因为， 所以第33次碰到长方形边上的点的坐标为． 【变式5-1】如图所示，选择适当的方向击打白球，使白球撞击红球，红球反弹后落入底袋中，此时 ，且，若，则（   ） A． B． C．53° D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，结合求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式5-2】如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为，第2次碰到正方形的边时的点为，，第次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了小球碰撞正方形边时的对称问题、点的坐标的规律．根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2026除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：∵弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角， ∴小球第1次碰到正方形的边时的点为， 小球第2次碰到正方形的边时的点为， 小球第3次碰到正方形的边时的点为， 小球第4次碰到正方形的边时的点为， 小球第5次碰到正方形的边时的点为， 小球第6次碰到正方形的边时的点为， 如此重复， ∴小球每6次碰撞是一个循环组， ∵， ∴的坐标与相同， ∴的坐标为． 故答案为：． 【变式5-3】如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为，第2次碰到正方形的边时的点为，第次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了小球碰撞正方形边时的对称问题、点的坐标的规律；作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2025除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：∵弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角， ∴小球第1次碰到正方形的边时的点为， 小球第2次碰到正方形的边时的点为， 小球第3次碰到正方形的边时的点为， 小球第4次碰到正方形的边时的点为， 小球第5次碰到正方形的边时的点为， 小球第6次碰到正方形的边时的点为，重复， ∴小球每6次碰撞是一个循环组， ∵， ∴的坐标与相同， ∴． 故答案为：． 【题型·6·轴对称中的光线反射问题】 【例6】光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射光线刚好与平行，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据平行线的性质和反射的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 根据题意可得，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式6-1】平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反射规律得出，利用平角定义求出，再根据平行线性质求出，最后利用平角定义及反射规律求出． 【详解】解：由题意，得， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意，得， ∵， ∴， ∴． 【变式6-2】【跨学科·物理】如图，凸透镜的主光轴与平静的水面重合，点光源S发出一束光，光线在水面E处发生反射后的反射光线以及其经凸透镜后的光线如图所示（注：入射光线与水平面的夹角等于反射光线与水平面的夹角，图中的光线经凸透镜折射后与水平面平行），若，则的度数为______． 【答案】 【分析】利用光的反射规律和平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图， 根据光的反射规律可得， ∵， ∴． 【变式6-3】图1，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图2，在井口放置一面平面镜可改变光路，，当太阳光线与地面所成的角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则平面镜与地面所成的角的度数为_____． 【答案】/度 【分析】根据垂直的定义得出，利用角的和差关系求出的度数，再根据平角的定义和已知条件 求出的度数，最后利用角的和差关系求出的度数． 【详解】解：由题意知， ， ， ， ， 平面镜是一条直线， ， ， ， ， 【题型·7·折叠问题】 【例7】如图的三角形纸片中，，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长为______． 【答案】7 【分析】由题意可得：，，即可求，则可求的周长． 【详解】解：由折叠得， ∴，， ∴， ∴的周长 ． 【变式7-1】如图，在Rt中，，点D，E分别在上，沿着翻折，点A与点C重合，若，则_________． 【答案】/38度 【分析】先求出，再由，可得，再由折叠的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵在Rt中，， ∴，即， ∵， ∴， ∵沿着翻折，点A与点C重合， ∴， ∴． 【变式7-2】如图，将一张长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置上，的延长线与的交点为．若，则的度数为______． 【答案】/40度 【分析】根据长方形对边平行得到，利用平行线性质求出相关角的度数，再结合折叠前后角相等，进而求出的度数． 【详解】解：四边形为长方形， ． ，． 由折叠的性质可知：， ． 【变式7-3】如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据折叠的性质，得到，，从而求出的度数，再根据三角形内角和是，分别求出、度数，最后计算即可求解． 【详解】解：由折叠可得，，， ， ，即 ， ，， ， ， ， ． 知识点2 垂直平分线的性质与判定 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 3.线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 4.垂直平分线的判定 在同一平面内，若一个点到某条线段的两个端点的距离相等，则这个点一定在该线段的垂直平分线上。 【题型·8·线段垂直平分线的性质】 【例8】如图，等腰的腰长为8，底边的长为5，腰的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，则的周长为（     ） A．13 B．12 C．11 D．16 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，所以的周长可表示为，即可求解． 【详解】解：垂直平分， ， 的周长为． 【变式8-1】如图，在中，线段的垂直平分线与相交于点D，连接，边的长为，边的长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵线段的垂直平分线与相交于点D， ∴， ∴的周长． 【变式8-2】如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线，交于点．若的周长为15，，则的长为（     ） A．11 B．12 C．7 D．6 【答案】A 【详解】解：由作图过程可知，垂直平分， ， 的周长为15， ， ， ， ． 【变式8-3】已知，与关于直线对称，交于点，则下列结论中不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由轴对称的性质得出对应线段相等、对应点的连线被对称轴垂直平分，不能得出非对应线段的关系． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴，垂直平分， ∴，， 无法得到， 故选项不一定成立． 【题型·9.线段垂直平分线的判定】 【例9】如图，在中，是上的一点，连接，作于点，于点，且平分，连接，证明：垂直平分． 【答案】证明：∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分． 【分析】利用角平分线的性质和全等三角形的判定，再结合线段垂直平分线的判定定理即可得出结论． 【详解】略 【变式9-1】如图，在中，，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，作直线．求证：垂直平分； 【答案】 证明：∵，， ∴． 在和中， ，， ∴． ∴． ∴点在线段的垂直平分线上． ∵， ∴点在线段的垂直平分线上． ∴垂直平分． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，容易证得，得到，结合，根据“到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，即可证明结论． 【详解】略 【变式9-2】如图，为的角平分线，，垂足分别为点，连接交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：为的角平分线， ， 又、，垂足分别为点， ， 在和中， ， ； (2) 证明：由（1）知， ， 垂直平分， 则． 【分析】本题考查几何证明综合，涉及角平分线定义、三角形全等的判定与性质、垂直平分线的判定与性质，熟记相关几何性质与判定定理是解决问题的关键． （1）先由角平分线定义得到，再由两个三角形全等的判定定理求证即可得到答案； （2）由（1）知，从而得到，从而确定垂直平分，最后由垂直平分线的性质即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 【变式9-3】如图，在中，是边上一点，于点交于点F． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； (2) ∵， ∴， ∴点在垂直平分线上， ∵， ∴点在垂直平分线上， ∴垂直平分． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂直平分线的判定，熟练掌握是解题关键 （1）根据直角三角形全等的判定证明即可； （2）利用全等三角形的性质得出，所以点在垂直平分线上，又，所以点在垂直平分线上，从而得证． 【详解】（1）略 （2）略 【题型·10.作已知线段的垂直平分线】 【例10】如图，在中，作的角平分线，边的垂直平分线，与相交于点P．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】解：如图所示即为所作， 【分析】根据角平分线和垂直平分线的作图方法作图即可． 【详解】略 【变式10-1】已知，如图，直线与直线相交于点B，点D是直线上一点，在直线上作点E，使点E到B、D两点的距离相等．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 【分析】作线段的垂直平分线，交直线于点E即可. 【详解】略 【变式10-2】如图，某学校与公交车站在小路上，现要在公路上建一个小商店，使得小商店在的垂直平分线上，请用尺规作图法作出点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 线段的垂直平分线与直线的交点即为所求点． 【详解】略 【变式10-3】如图，在中，的垂直平分线交边于点，交边于点． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作点（要求：不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，如果，，求的周长． 【答案】(1) (2)22 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作线段的垂直平分线，交边于点，交边于点，则点即为所求． （2）由垂直平分线的性质得，从而可求出的周长． 【详解】（1）略 （2）解：由作图得：是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长． 【题型·11.作垂线(尺规作图】 【例11】如图，已知，点在射线上，请用尺规作图法在射线上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】解：如图，点即为所求， 理由：由作图可知， ∴， ∴， ∴点即为所求． 【分析】过作，交于点，则点即为所求． 【详解】略． 【变式11-1】如图，在中，，，平分． (1)在中，用直尺和圆规画出边上的高； (2)求的度数． 【答案】(1)如图，线段即为所求； (2) 【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可，注意高是线段； （2）先由三角形内角和定理求解，然后由角平分线求解，再由三角形的外角性质求解，最后再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ∵是边上的高， ∴， ∴． 【变式11-2】如图，已知，利用尺规作图作的边上的中线和高． 【答案】解：如图，中线，高线即为所求作． ． 【分析】先作线段的垂直平分线交于E，则为中线；再过点A作的垂线，垂足为H即可． 【详解】略． 知识点3 命题，定理与证明 【题型·12.互逆命题的判定】 【例12】命题“等边三角形的三个内角都相等”的逆命题是（     ） A．三个角相等的是等边三角形 B．三个角不相等的三角形不是等边三角形 C．三个角都相等的三角形是等边三角形 D．不是等边三角形的三个角不相等 【答案】C 【详解】解：“等边三角形的三个内角都相等”的逆命题是：三个角都相等的三角形是等边三角形. 【变式12-1】命题“对顶角相等”的逆命题是（     ） A．若两个角不是对顶角，则两角不相等 B．若两个角相等，则两角一定为邻补角 C．相等的角是对顶角 D．不相等的角不是对顶角 【答案】C 【分析】把原命题的条件与结论互换写出对应的逆命题即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角是对顶角． 【变式12-2】命题“如果，那么”的逆命题是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】将原命题的条件和结论互换位置即可得到逆命题． 【详解】解：由题意得，原命题的逆命题为如果，那么． 【变式12-3】定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆定理是(    ) A．到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 B．不在线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离不相等 C．与线段两个端点距离不等的点不在线段的垂直平分线上 D．线段的垂直平分线上的点与线段两个端点的距离不一定相等 【答案】A 【分析】本题考查了逆定理．逆定理是将原定理的条件和结论互换，原定理的条件是“点在线段垂直平分线上”，结论是“点到线段两端点距离相等”，逆定理需交换条件与结论． 【详解】解：∵原定理：若点在线段垂直平分线上，则点到线段两端点距离相等． ∴逆定理：若点到线段两端点距离相等，则点在线段垂直平分线上． 故选：A． 随堂检测 【随堂检测】 1．下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A选项：把该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，该图形不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B选项：把该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，该图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：如下图所示，把该图形沿虚线折叠后，直线两旁的部分可以完全重合，该图形是轴对称图形，故C选项符合题意； D选项：把该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，该图形不是轴对称图形，故D选项不符合题意． 2．在线段、角、等腰三角形、长方形、圆五个图形中，是轴对称图形的有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【详解】解：线段、角、等腰三角形、长方形、圆均为轴对称图形，共有5个． 3．将一张两边互相平行的纸条折成如图所示的形状，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设，根据平行线的性质得，再还原纸条可得，进而求得． 【详解】解：如图，设， ∵纸条两边互相平行， ∴， 如图，还原该纸条， 可得， 解得， ∴， 4．如图,在中,,分别以点、为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点、,作直线分别交、于点、,连接.若,则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，可得，由垂直平分线的性质可知，根据角之间的关系即可求出的度数． 【详解】解：，， ， 由尺规作图可知，是的垂直平分线， ， ， ． 5．如图，将沿折痕折叠，使点落在边上的点处．若，，的周长为，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．的周长为 D．的周长为 【答案】D 【分析】根据折叠的性质可得，，结合的周长求出的值，进而求出的周长． 【详解】解：将沿折痕折叠，使点落在边上的点处， ，， 的周长为， ， ，即， 的周长为： ． 6．如图是小敏在笔记本上尺规作图的痕迹，这是（     ） A．过直线外一点作已知直线的垂线 B．作一条已知直线的平行线 C．作一条线段等于已知线段 D．作一个点关于已知直线的对称点 【答案】A 【分析】观察图形中的圆弧痕迹，结合尺规作图的基本方法进行判断即可． 【详解】解：由图可知，作图痕迹符合以下特征：首先以直线外一点为圆心，适当长为半径画弧，与已知直线交于两点； 再分别以这两个交点为圆心，大于两交点距离的一半为半径画弧，两弧在直线另一侧交于一点； 最后连接直线外一点与该交点得到直线． ∴这是过直线外一点作已知直线的垂线的作图痕迹． 7．如图，在中，分别以顶点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，连接，分别与边，相交于点，．若，的周长为，则的周长为（     ） A．20 B．21 C．25 D．30 【答案】C 【分析】由尺规作图可知是线段的垂直平分线，利用垂直平分线性质得到、，再结合周长，等量代换求出周长． 【详解】解：由作图可得是的垂直平分线， ∴，． ∴， ∵， ∴，即， ∴． 8．如图，小强拿一张正方形的纸，沿图甲中虚线对折一次得图乙，再对折一次得图丙，然后用剪刀沿图丙中的虚线剪去一个角，再打开后的形状是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按如图所示的方法折叠后，剪去的是一个非等腰的直角三角形，则展开的图形中间部分不是一个正方形，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，严格按照图中的顺序向右下对折，向左下对折，从上方角剪去一个直角三角形，故只有B选项中的图形符合题意． 9．如图，已知，，D是线段上一点（不与A，D重合），下列结论不一定正确的是（     ） A．平分和 B．垂直平分 C． D． 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的判定定理，由，可得是的垂直平分线，利用全等三角形的判定与性质或轴对称性质逐一判断选项即可． 【详解】解：，， 点，都在线段的垂直平分线上 ， 垂直平分，故B选项正确； 在和中， ， ，， 平分和，故A选项正确 ； 垂直平分，在上 ， ， 在和中， ， ，故C选项正确 ； 与的长度取决于点在上的位置，无法确定，故D选项不一定正确 ． 10．嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用表示，右下角的圆形棋子用表示，淇淇将第枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形．则淇淇放的方形棋子的位置可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先确定平面直角坐标系，再根据轴对称图形的定义画出淇淇放的方形棋子的位置，即可解决问题． 【详解】解：建立平面直角坐标系如图所示，淇淇放的方形棋子的位置如图，坐标为． 11．已知命题“如果一个三角形是钝角三角形，那么这个三角形的两个内角是锐角”，则该命题的逆命题是______命题．（填真或假） 【答案】假 【分析】交换原命题的条件和结论得到逆命题，再通过举反例即可判断逆命题的真假． 【详解】解：交换条件和结论，可得逆命题：如果一个三角形的两个内角是锐角，那么这个三角形是钝角三角形． 举反例：若三角形的三个内角分别为，，，这个三角形有两个内角是锐角，但它是锐角三角形，不是钝角三角形， 故该逆命题是假命题． 12．如图，直线是四边形的对称轴，．若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】先得出，再根据两直线平行，同旁内角互补求解即可． 【详解】解：∵直线是四边形的对称轴，且， ∴， ∵， ∴． 13．如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为了能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在______线的交点． 【答案】 三边垂直平分 【详解】解：∵ 到距离相等的点在的垂直平分线上，到距离相等的点在的垂直平分线上， ∴两条垂直平分线的交点，就是到三个顶点距离都相等的点， ∴应该蹲守在三边垂直平分线的交点． 14．如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是边上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质得出和关于直线对称，面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积． 【详解】解：和关于所在的直线成轴对称， 是的对称轴， ， 点，是边上的两点， 和关于直线对称， ， 由图可知，阴影部分的面积． 15．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，垂足分别为，．则的周长是_____________． 【答案】6 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，，再结合三角形的周长公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长是． 16．如图，在铁路旁边有一村庄，现要建一火车站，使该村庄的人乘火车最方便（即距离最近），请你在铁路边选一点来建火车站，并说明理由．（不写作法） 【答案】 如图所示，点B即为所求，理由：垂线段最短． 【分析】过点A作铁路所在直线的垂线，垂足为B，根据垂线段最短可知，点B即为所求． 【详解】略 17．如图，在中，，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线，交于点，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，求的度数． 【答案】(1) 解：如图所示，直线垂直平分，交于点， (2) 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质以及三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质，属于基础题． （1）根据尺规作线段垂直平分线的方法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质以及等边对等角可得，然后利用三角形外角的性质求出，进而利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得垂直平分线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.1 图形的轴对称（知识解读） 【人教版2024】 题型归纳 【题型·1·轴对称图形的识别)】 2 【题型·2·根据成轴对称图形的特征进行判断】 3 【题型·3·根据成轴对称图形的特征求解】 4 【题型·4·根据成轴对称图形的特征求解】 5 【题型·5·台球桌面上的轴对称问题】 6 【题型·6·轴对称中的光线反射问题】 7 【题型·7·折叠问题】 8 【题型·8·线段垂直平分线的性质】 10 【题型·9.线段垂直平分线的判定】 11 【题型·10.作已知线段的垂直平分线】 12 【题型·11.作垂线(尺规作图】 14 【题型·12.互逆命题的判定】 15 【随堂检测】 16 知识点1 轴对称图形的定义及性质 1.定义 ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 注意： 1. 轴对称图形的对称轴是一条直线， 2. 轴对称图形是1个图形， 3. 有些对称图形的对称轴有无数条。 ⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线称为这两个图形的对称轴. ⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这 条线段的垂直平分线. 2.性质 ①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线. ②关于某直线对称的两个图形是全等形. 【题型·1·轴对称图形的识别)】 【例1】在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，图案中不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【题型·2·根据成轴对称图形的特征进行判断】 【例2】观察下列4组图形，其中，关于直线l成轴对称的是（    ）． A． B． C． D． 【变式2-1】下列各图形中，从图形Ⅰ到图形Ⅱ一定不能通过轴对称得到的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，成轴对称的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【变式2-3】下面是四位同学分别以直线l为对称轴作出的轴对称图形，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 【题型·3·根据成轴对称图形的特征求解】 【例3】如图，与关于直线对称，P为上任一点，下列结论中错误的是（     ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与周长相等 D．直线、的交点不一定在上 【变式3-1】如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知，与关于直线对称，交于点O，则下列结论中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】将一张长方形纸片按如图步骤①和②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开平铺后的图形是（     ） A． B． C． D． 【题型·4·根据成轴对称图形的特征求解】 【例4】如图，与关于直线对称，若，，则________． 【变式4-1】如图，与关于直线对称，若，，，则的度数为（     ） A． B． C． D．以上都不对 【变式4-2】如图，与关于直线对称，若，，则的度数为________°． 【变式4-3】如图，四边形是轴对称图形，对称轴是直线，延长至点，若，，则的度数为____________． 【题型·5·台球桌面上的轴对称问题】 【例5】如图，动点从出发，沿图中所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边的夹角为45°，第1次碰到长方形边上的点的坐标为，则第33次碰到长方形边上的点的坐标为___________． 【变式5-1】如图所示，选择适当的方向击打白球，使白球撞击红球，红球反弹后落入底袋中，此时 ，且，若，则（   ） A． B． C．53° D． 【变式5-2】如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为，第2次碰到正方形的边时的点为，，第次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标是______． 【变式5-3】如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为，第2次碰到正方形的边时的点为，第次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标是______． 【题型·6·轴对称中的光线反射问题】 【例6】光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射光线刚好与平行，则的度数为______． 【变式6-1】平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】【跨学科·物理】如图，凸透镜的主光轴与平静的水面重合，点光源S发出一束光，光线在水面E处发生反射后的反射光线以及其经凸透镜后的光线如图所示（注：入射光线与水平面的夹角等于反射光线与水平面的夹角，图中的光线经凸透镜折射后与水平面平行），若，则的度数为______． 【变式6-3】图1，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图2，在井口放置一面平面镜可改变光路，，当太阳光线与地面所成的角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则平面镜与地面所成的角的度数为_____． 【题型·7·折叠问题】 【例7】如图的三角形纸片中，，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长为______． 【变式7-1】如图，在Rt中，，点D，E分别在上，沿着翻折，点A与点C重合，若，则_________． 【变式7-2】如图，将一张长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置上，的延长线与的交点为．若，则的度数为______． 【变式7-3】如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 知识点2 垂直平分线的性质与判定 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 3.线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 4.垂直平分线的判定 在同一平面内，若一个点到某条线段的两个端点的距离相等，则这个点一定在该线段的垂直平分线上。 【题型·8·线段垂直平分线的性质】 【例8】如图，等腰的腰长为8，底边的长为5，腰的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，则的周长为（     ） A．13 B．12 C．11 D．16 【变式8-1】如图，在中，线段的垂直平分线与相交于点D，连接，边的长为，边的长为，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线，交于点．若的周长为15，，则的长为（     ） A．11 B．12 C．7 D．6 【变式8-3】已知，与关于直线对称，交于点，则下列结论中不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【题型·9.线段垂直平分线的判定】 【例9】如图，在中，是上的一点，连接，作于点，于点，且平分，连接，证明：垂直平分． 【变式9-1】如图，在中，，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，作直线．求证：垂直平分； 【变式9-2】如图，为的角平分线，，垂足分别为点，连接交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【变式9-3】如图，在中，是边上一点，于点交于点F． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【题型·10.作已知线段的垂直平分线】 【例10】如图，在中，作的角平分线，边的垂直平分线，与相交于点P．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【变式10-1】已知，如图，直线与直线相交于点B，点D是直线上一点，在直线上作点E，使点E到B、D两点的距离相等．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【变式10-2】如图，某学校与公交车站在小路上，现要在公路上建一个小商店，使得小商店在的垂直平分线上，请用尺规作图法作出点．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式10-3】如图，在中，的垂直平分线交边于点，交边于点． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作点（要求：不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，如果，，求的周长． 【题型·11.作垂线(尺规作图】 【例11】如图，已知，点在射线上，请用尺规作图法在射线上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式11-1】如图，在中，，，平分． (1)在中，用直尺和圆规画出边上的高； (2)求的度数． 【变式11-2】如图，已知，利用尺规作图作的边上的中线和高． 知识点3 命题，定理与证明 【题型·12.互逆命题的判定】 【例12】命题“等边三角形的三个内角都相等”的逆命题是（     ） A．三个角相等的是等边三角形 B．三个角不相等的三角形不是等边三角形 C．三个角都相等的三角形是等边三角形 D．不是等边三角形的三个角不相等 【变式12-1】命题“对顶角相等”的逆命题是（     ） A．若两个角不是对顶角，则两角不相等 B．若两个角相等，则两角一定为邻补角 C．相等的角是对顶角 D．不相等的角不是对顶角 【变式12-2】命题“如果，那么”的逆命题是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式12-3】定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆定理是(    ) A．到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 B．不在线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离不相等 C．与线段两个端点距离不等的点不在线段的垂直平分线上 D．线段的垂直平分线上的点与线段两个端点的距离不一定相等 随堂检测 【随堂检测】 1．下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．在线段、角、等腰三角形、长方形、圆五个图形中，是轴对称图形的有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．将一张两边互相平行的纸条折成如图所示的形状，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图,在中,,分别以点、为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点、,作直线分别交、于点、,连接.若,则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．如图，将沿折痕折叠，使点落在边上的点处．若，，的周长为，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．的周长为 D．的周长为 6．如图是小敏在笔记本上尺规作图的痕迹，这是（     ） A．过直线外一点作已知直线的垂线 B．作一条已知直线的平行线 C．作一条线段等于已知线段 D．作一个点关于已知直线的对称点 7．如图，在中，分别以顶点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，连接，分别与边，相交于点，．若，的周长为，则的周长为（     ） A．20 B．21 C．25 D．30 8．如图，小强拿一张正方形的纸，沿图甲中虚线对折一次得图乙，再对折一次得图丙，然后用剪刀沿图丙中的虚线剪去一个角，再打开后的形状是（     ） A． B． C． D． 9．如图，已知，，D是线段上一点（不与A，D重合），下列结论不一定正确的是（     ） A．平分和 B．垂直平分 C． D． 10．嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用表示，右下角的圆形棋子用表示，淇淇将第枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形．则淇淇放的方形棋子的位置可能是（   ） A． B． C． D． 11．已知命题“如果一个三角形是钝角三角形，那么这个三角形的两个内角是锐角”，则该命题的逆命题是______命题．（填真或假） 12．如图，直线是四边形的对称轴，．若，则的度数为__________． 13．如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为了能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在______线的交点． 14．如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是边上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是______． 15．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，垂足分别为，．则的周长是_____________． 16．如图，在铁路旁边有一村庄，现要建一火车站，使该村庄的人乘火车最方便（即距离最近），请你在铁路边选一点来建火车站，并说明理由．（不写作法） 17．如图，在中，，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线，交于点，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，求的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $