15.1 图形的轴对称（分层作业练知识）数学新教材人教版八年级上册

分层作业 15.1 图形的轴对称 目 录 A组 巩固过关 知识点01 轴对称图形的识别 知识点02 成轴对称的两个图形的识别 知识点03 根据成轴对称图形的特征进行判断 知识点04 根据成轴对称图形的特征进行求解 知识点05 台球桌面上的轴对称问题 知识点06 轴对称中的光线反射问题 知识点07 折叠问题 知识点08 线段垂直平分线的性质 知识点09 线段垂直平分线的判定 知识点10 互逆命题与互逆定理 知识点11 作已知线段的垂直平分线 知识点12 求对称轴条数 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 知识点01 轴对称图形的识别 1．下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A、该图形为“人”的图形，找不到任何一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，则不是轴对称图形； 选项B、该图形为“人在骑车”的图形，找不到任何一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，则不是轴对称图形； 选项C、该图形为“人举哑铃”的图形，沿着中间竖直的一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，则是轴对称图形； 选项D、该图形为“人拍球”的图形，找不到任何一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，则不是轴对称图形． 2．下列交通标志图形中不是轴对称图形的是______（填序号）． 【答案】③ 【分析】根据轴对称图形的定义：将图形沿某一条直线折叠，直线两边的图形能完全重合的图形是轴对称图形；逐一判断即可． 【详解】解：① 是轴对称图形；② 是轴对称图形；③ 不是轴对称图形；④ 是轴对称图形． 3．下列汉字中，哪些可以看成轴对称图形？请你再找出几个类似的汉字． 【答案】草、木、中；举例：日、山、田、王、平. 【详解】解：根据轴对称图形指的是一个图形沿一条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，给出的汉字中，可以看成轴对称图形的是草、木、中； 类似的汉字举例：日、山、田、王、平都是轴对称图形． 知识点02 成轴对称的两个图形的识别 4．下列字母“F”关于镜面成轴对称的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据成轴对称的性质，进行判断即可. 【详解】解：观察可知，只有选项B中的两个字母“F”关于镜面成轴对称，其它选项中的两个字母“F”的对应点连线与镜面不垂直，不成轴对称. 5．下图中各组图形，成轴对称的为_____（只写序号①，②等）． 【答案】①②④ 【分析】把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称． 【详解】解：①②④中的图形沿着一条直线对折能够重合，因此成轴对称，③中的伞柄不对称， 综上，成轴对称的为①②④． 6．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，连接AD，AE，以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E，连接D′C，若BD=CD′； （1）求证：△ABD≌△ACD′； （2）若∠BAC=120°，求∠DAE的度数． 【答案】 （1）证明：∵以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E， ∴， 在△ABD和△ACD′中， ∵ ， ∴ △ABD≌△ACD′（SSS）. （2） 【详解】（1）根据对称得出AD=AD′，根据SSS证△ABD≌△ACD′即可； （2）根据全等得出∠BAD=∠CAD′，求出∠BAC=∠DAD′，根据对称得出∠DAE=∠DAD′，代入求出即可． （）略； （）解：∵≌， ∴， ∴， ∵以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E， ∴， 即． 点睛：本题考查了轴对称的性质及全等三角形的性质.熟练应用轴对称的性质是解题的关键. 知识点03 根据成轴对称图形的特征进行判断 7．已知与分别在直线的两侧且关于直线对称，点与点、点与点、点与点都是关于直线的对称点，下列线段被直线垂直平分的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称点之间的连线被对称轴垂直平分即可求解． 【详解】解：点与点关于直线对称， 线段被直线垂直平分． 8．(25-26八上·陕西榆林榆阳区安崖镇安崖中学·期中)如图，与阴影三角形成轴对称的三角形有_____个． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据正方形的四条对称轴分别找到与阴影三角形成轴对称的三角形，即可求解． 【详解】解：如图，与阴影三角形成轴对称的三角形有个， 故答案为：． 9．取一张长、宽的纸条，将它每一段，一反一正像“手风琴”那样折叠起来（如图）．在折叠好的纸的中央画出一朵“小花”，并把画出的“小花”挖去．拉开“手风琴”纸条，你会得到一条什么样的花边？在这条花边中，相邻的“小花”之间有什么关系？ 【答案】得到一个以“小花”为基本图案的花边，相邻两朵“小花”成轴对称 【分析】根据在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，结合题意，即可得出结论． 【详解】略 知识点04 根据成轴对称图形的特征进行求解 10．如图，与关于直线对称，若，，，则的度数为（     ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】根据轴对称得出，即可得出的度数． 【详解】解：与关于直线对称， ， ． 11．如图，，，，则向左移动___________后与关于直线成轴对称． 【答案】 【分析】根据两个图形成轴对称，那么对应线段的交点应该在对称轴上，再结合全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∵B、E两点重合时与关于直线成轴对称， ∴向左移动． 12．如图，与关于直线l对称．如果，，，求的长与的度数． 【答案】， 【分析】利用轴对称的性质及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：与关于直线对称，，， ， ． 知识点05 台球桌面上的轴对称问题 13．如图所示，选择适当的方向击打白球，使白球撞击红球，红球反弹后落入底袋中，此时 ，且，若，则（   ） A． B． C．53° D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，结合求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 14．如图，球桌上有，两个桌球，若要将球射向球桌的一边，反弹一次后击中球，则球应射向，，，四个点中的点_____ ． 【答案】C 【分析】作点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为所求的点． 【详解】解：如下图所示，作点关于直线的对称点， 连接与直线交于点， 点即为所求． 15．如图所示，长方形是台球台面，有白、黑两球分别位于点M，N处，试问：怎样撞击白球M，才能使白球M碰撞台边反弹后击中黑球N？ 【答案】 解：如图所示，白球M沿碰撞台边，必沿反弹击中黑球N． 【分析】本题是日常生活中常见的台球问题，通过感知并描述台球的运动规律，想象出小球被撞击后的运动路线，可利用轴对称的性质作出图形，培养了空间观念和应用意识．要使白球M碰撞台边反弹后击中黑球N，可画点M关于的对称点，连接交于点O，则沿方向撞击白球可满足要求． 【详解】解：画点M关于的对称点；连接交于点O，则白球M沿碰撞台边，必沿反弹击中黑球N． 理由：由轴对称性质得． 又∵， ∴． ∴白球M沿碰撞台边，必沿反弹击中黑球N． 知识点06 轴对称中的光线反射问题 16．(25-26八上·山西朔州右玉县教育集团初中部·月考)如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，由物理学知识可知，入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，则其反射光线为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了判断反射光线． 根据入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角判断即可． 【详解】∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角， ∴其反射光线为， 故选：C． 17．【跨学科·物理】如图，凸透镜的主光轴与平静的水面重合，点光源S发出一束光，光线在水面E处发生反射后的反射光线以及其经凸透镜后的光线如图所示（注：入射光线与水平面的夹角等于反射光线与水平面的夹角，图中的光线经凸透镜折射后与水平面平行），若，则的度数为______． 【答案】 【分析】利用光的反射规律和平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图， 根据光的反射规律可得， ∵， ∴． 18．如图所示，一束光沿方向，先后经过平面镜，反射后，沿方向射出． (1)画出，． (2)若，，则________． 【答案】(1) 如图所示，，即为所求， (2) 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质即可作图； （2）根据入射角等于反射角，可得，，根据三角形内角和定理求得，进而即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由轴对称的性质可知． 在中，． 由轴对称性质，得． 故答案为：． 知识点07 折叠问题 19．如图，折叠一张长方形纸片，已知，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴． 20．(26-27八上·河南信阳浉河区李家寨镇初级中学·调研)如图，下面是一位同学的折纸示意图，则是的______． 【答案】角平分线 【分析】根据折叠的性质可得，再根据角平分线的定义解答即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，，即， 则是的角平分线． 21．折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．如图，将一张三角形纸片沿折叠，点C落在点处．已知，则是多少度？ 【答案】 【详解】解：由折叠可得， ∵ ∴． 知识点08 线段垂直平分线的性质 22．线段的垂直平分线上有一点，若，则的长为（     ） A．4 B．2 C．5 D．3 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质进行解答即可． 【详解】解：∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴． 23．如图，在中，，，，垂直平分边，是直线上一点，则的最小值为____________． 【答案】6 【分析】连接，由垂直平分线的性质得，推出，即可求解． 【详解】解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当点A，P，C三点共线时，取得最小值，即的长度， ∵， ∴的最小值是． 24．如图，是的垂直平分线，的周长为，求的长． 【答案】 【分析】利用线段垂直平分线的性质可得，然后根据的周长为，可得，即可得出答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵， ∴． 知识点09 线段垂直平分线的判定 25．到三角形三个顶点距离相等的点是（     ）． A．三条边中线的交点 B．三条边的高的交点 C．三个角的角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【详解】解：∵到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， ∴到三角形任意一边的两个端点距离相等的点，在该边的垂直平分线上， ∴到三角形三个顶点距离都相等的点，是三角形三条边的垂直平分线的交点． 26．如图，在中，是边上的高，，点N在上，可以进一步推出．依据是_________． 【答案】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质．先判断是的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质得到． 【详解】解：∵是边上的高，， ∴是的垂直平分线， ∵点N在上， ∴（线段垂直平分线的性质）， 故答案为：线段垂直平分线的性质． 27．(25-26八上·云南怒江傈僳族泸水鲁掌中学·月考)如图，在中，D是上一点，过点D作于点E，于点F，，连接，． (1)求证：． (2)是否垂直平分？请说明理由． 【答案】(1) 证明：，， 和都是直角三角形． 在和中， ， ． (2)垂直平分， 理由如下： ， ∴点D在线段的垂直平分线上． ， ， ∴点A在线段的垂直平分线上， 垂直平分． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂直平分线的判定，掌握全等三角形的性质和判定，垂直平分线的判定是解题的关键； （1）根据证明即可； （2）分别证明D，A在线段的垂直平分线上，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 知识点10 互逆命题与互逆定理 28．下列关于命题“对顶角相等”的判断正确的是（    ） ①其逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；②其逆命题是真命题． A．①和②都正确 B．①和②都不正确 C．只有①正确 D．只有②正确 【答案】C 【分析】将原命题改写为“如果…那么…”的形式，再得到逆命题并判断其真假. 【详解】解：∵原命题“对顶角相等”可写为“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”， ∴其逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，故①正确； ∵相等的角不一定是对顶角，例如等腰三角形的两个底角相等但不是对顶角， ∴其逆命题是假命题，故②错误. 29．命题“两锐角互余的三角形是直角三角形”的逆命题____定理（填“是”或“不是”）． 【答案】是 【分析】先交换原命题的题设与结论得到逆命题，再判断逆命题是否为定理即可． 【详解】解：原命题“两锐角互余的三角形是直角三角形”的题设为“一个三角形中两个锐角互余”， 结论为“这个三角形是直角三角形”， 交换题设与结论得到逆命题为“直角三角形的两锐角互余”， 该逆命题是经过推理证实的真命题， 因此它是定理． 30．写出下列命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题： (1)如果，那么； (2)如果一个三角形有一个角是钝角，那么它的另外两个角是锐角． 【答案】(1) 逆命题：如果，那么．是假命题 (2) 逆命题：如果一个三角形有两个角是锐角，那么它的第三个角是钝角．是假命题 【分析】将原命题的题设与结论互换得到逆命题，通过举反例判断逆命题的真假． 【详解】（1）解： 原命题的题设为，结论为， 将题设与结论互换，得逆命题：如果，那么， 取，，满足，但， 故该逆命题是假命题． （2）解：原命题的题设为一个三角形有一个角是钝角，结论为它的另外两个角是锐角， 将题设与结论互换，得逆命题：如果一个三角形有两个角是锐角，那么它的第三个角是钝角， 若三角形的两个锐角分别为和，则第三个角为，是锐角， 故该逆命题是假命题． 知识点11 作已知线段的垂直平分线 31．下列尺规作图是作线段的垂直平分线的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、该尺规作图是作角平分线，不符合题意； B、该尺规作图是作垂线，不符合题意； C、该尺规作图是作线段的垂直平分线，符合题意； D、该尺规作图是作线段，不符合题意． 32．如图，在中，，分别以A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接与交于点E，若，则的长度为_______． 【答案】4 【分析】根据画图过程可得垂直平分，则，进而可得答案． 【详解】解：由作图过程得垂直平分， ， ∴． 33．已知，如图，直线与直线相交于点B，点D是直线上一点，在直线上作点E，使点E到B、D两点的距离相等．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 【分析】作线段的垂直平分线，交直线于点E即可. 【详解】略 知识点12 求对称轴条数 34．下面的四个图形中，对称轴条数最多的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称轴的定义，确定对称轴条数，然后比较大小即可求出答案． 【详解】解：A选项、对称轴的条数有3条， B选项、对称轴有无数条， C选项、对称轴有3条， D选项、对称轴有4条． ∴对称轴条数最多的是B选项． 35．如图，观察这些轴对称图形，按照它们对称轴条数的多少从少到多依次排列为：________． 【答案】④①②③ 【分析】本题考查了求对称轴条数，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：如图所示，图①的对称轴的条数是条，图②的对称轴的条数是3条，图③的对称轴的条数是4条，图④的对称轴的条数是1条， ∴按照它们对称轴条数的多少从少到多依次排列为：④①②③． 36．（1）如图所示的正多边形的对称轴有几条？把答案写在图下方的横线上：    正三角形有______条对称轴，正四边形有______条对称轴， 正五边形有______条对称轴，正六边形有______条对称轴， 正七边形有______条对称轴，正八边形有______条对称轴； （2）一个正n边形有______条对称轴； （3）在图①中画出正六边形的一条对称轴l；    在图②中，只能用无刻度的直尺，准确画出正五边形的一条对称轴m．（不写画法，保留画图痕迹）    【答案】（1）3， 4，5， 6，7， 8； （2）n； （3）如图所示，在图①中直线l即为所求；在图②中直线m即为所求．    图②也可以如下作法．    【分析】（1）由正多边形有几个顶点，就有几条对称轴，从而可得答案； （2）由正多边形有几个顶点，就有几条对称轴，从而可得答案； （3）利用正六边形有偶数条边，画出正六边形的对称轴即可，利用全等三角形的性质或等腰三角形的性质画正五边形的对称轴即可． 【详解】解：（1）正三角形有3条对称轴，正四边形有4条对称轴， 正五边形有5条对称轴，正六边形有6条对称轴， 正七边形有7条对称轴，正八边形有8条对称轴； （2）一个正n边形有条对称轴； （3）略 【点睛】本题考查的是正多边形的性质，理解正多边形是轴对称图形，正多边形有几个顶点就有几条对称轴是解本题的关键． B组 能力进阶 1．下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，符合题意． 2．如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称的基本性质：对应角相等、对应边相等、对应点的连线被对称轴垂直平分，据此逐项分析． 【详解】解：选项，∵与关于直线对称， ∴， ∴， ∴选项正确． 选项，∵与关于直线对称， ∴， ∴， 同时延长和会相交一点， ∴不一定成立， ∴选项符合题意． 选项，∵与关于直线对称， ∴与为对应点， ∴对称轴垂直平分， ∴成立， ∴选项正确． 选项，∵与关于直线对称， ∴与为对应点， ∴对称轴垂直平分， ∵交于点， ∴成立， ∴选项正确． 3．(26-27八上·四川绵阳江油江油五校联考)如图，在中，直线交于点D，点A关于直线对称的点E恰好在线段上，连接，若，则的周长是（     ） A．13 B．15 C．17 D．23 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质，三角形的周长，解答即可． 【详解】解：根据题意，得，， ∵， ∴， ∵的周长为， ∴． 4．在广州博物馆里，藏有不少青铜器，其中有明确信息的青铜礼器，是战国时期的件铜编钟，该编钟1975年出土于增城石滩氮肥厂．如图①是编钟的一种．小颖绘制了编钟从正面看到的轮廓如图②所示，她发现绘制的轮廓是关于对称的轴对称图形，则下列结论错误的是（   ） A． B．垂直平分 C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵绘制的轮廓是关于对称的轴对称图形， ∴，故A选项正确，不符合题意； 垂直平分，故B选项正确，不符合题意； ，无法判断的度数，故C选项错误，符合题意； ，故D选项正确，不符合题意． 5．如图，在中，，，平分，交于点D，，交的延长线于点E，交的延长线于点F，连接，则下列结论中不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过证明，来推导线段之间的数量关系，并利用线段垂直平分线的性质判断线段相等即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故A不符合题意； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故B不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴，故C不符合题意； 如图，过点E作于点H， ∴， 显然， ∵， ∴，故D符合题意． 6．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，F，若，的周长为7，则的周长为_________． 【答案】13 【分析】首先根据垂直平分线的定义和性质可得，，再由的周长为7，易得，然后计算的周长即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴，， ∴， ∵的周长为7，即， ∴， ∴的周长． 7．如图是一张钝角三角形纸片，小明想通过折纸的方式折出如下线段：①边上的中线；②的平分线；③边上的高．上述三条线段中能通过折纸折出的是________．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】根据三角形的中线，角平分线以及高的定义作答． 【详解】解：①折叠使点与点重合，则：对折点即为的中点，则即为边上的中线； ②折叠使和重叠，则：折痕即为的平分线； ③折叠使和重叠，则：折痕即为边上的高； 故上述三条线段中能通过折纸折出的是①②③． 8．如图，在中，垂直平分，平分，则的长为__________． 【答案】 【分析】利用角平分线的性质和垂直平分线的性质解答即可． 【详解】垂直平分， ， 平分、、， ， ． 9．如图，把一个长方形沿折叠后，点，分别落在，的位置．若，则_______． 【答案】/50度 【分析】根据平行线的性质求出的度数，再根据折叠的性质得出，最后利用平角的定义即可求解． 【详解】解：四边形是长方形， ， ， 由折叠的性质可知， ． 10．如图，在△中，点、分别在、上，将△沿折叠，使点落在点处，将线段沿着方向平移与边重合，连接．则下列结论正确的有________．（只填序号即可）①；②；③若，则；④若，则四边形（阴影部分）的周长为． 【答案】①②④ 【分析】通过折叠可知，；通过平移的性质可知，，最后结合图形关系逐一验证结论即可． 【详解】解：①由平移性质知平移后与重合，故；由折叠性质知，因此，故①正确． ②由折叠得；由平移得， ． ， ，故②正确． ③若，则折叠后， 点在上， ，故③错误． ④阴影部分为四边形，其周长等于． 由折叠得；由平移得，， ． ，则周长等于，故④正确． 综上，正确结论为①②④． 11．尺规作图：（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)在已知的内部求作一点，使得点到三角形三个顶点的距离相等； (2)在已知边上求作一点，使点到的距离等于的长． 【答案】(1)如图，点即为所求， (2)如图，点D即为所求， 作，交的延长线于E，作的平分线，交于点D， 则点D是求作的点． 【分析】（1）线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等，作边、的垂直平分线交于一点O，点到三角形三个顶点的距离相等； （2）角平分线上的点到角的两边距离相等，从而作，交的延长线于E，作的平分线，交于点D． 【详解】（1）略 （2）略 12．已知平面内四点，，，，，点在线段上移动，点在线段上移动，点在线段上移动，将以为折痕折叠，点落在处，将以为折痕折叠，点落在处． (1)如图①，点，，在同一直线上，，求的度数； (2)如图②，，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形内角和求出的度数，由折叠的性质求得，，再由互补关系即可求解；　 （2）由折叠可得 ，由平角可求得，进而求得的度数，再由三角形内角和即可求解． 【详解】（1）解：，， ． 由折叠可得，， ，． ， ， ． （2）解：由折叠可得，， ． ，且， ， ． ， ． C组 思维拔高 1．(25-26八·安徽淮南部分校·调研)如图，在锐角中，，，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线．若为边上的一个动点，为直线上的一个动点，则的最小值是（     ） A．7 B．9 C．12 D．14 【答案】A 【分析】连接、，由作图得垂直平分，则，从而可得，由垂线段最短可得，当时，的值最小，此时的值也最小，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、， 由作图得垂直平分， ∴， ∴， 由垂线段最短可得，当时，的值最小，此时的值也最小， ∵在锐角中，，， ∴， ∴， ∴的最小值是． 2．(25-26八·江西南昌南昌中学教育集团·期末)如图，在锐角中，，，为上一动点，将，分别沿，向外翻折，得到，，连接，当 面积的最小值为8时，则的面积为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的折叠问题，全等三角形的性质和三角形的最小面积，解题的关键是弄清楚什么时候三角形的面积最小． 由将，分别沿，向外翻折至，可得：，由，得，面积，当取最小值时面积的最小即可求解． 【详解】解： ，分别沿，向外翻折至，， ，， ，，， ， ， 面积， 当取最小值时，的面积最小， 在中，当为边的高，即垂直时，最小， 此时，面积的最小值为：， 解得：， ， 故选：D． 3．(25-26八·安徽淮南部分校·调研)如图，在中，，为斜边上一点，将沿直线折叠，点恰好落在边上点处，若，则______． 【答案】 【分析】由折叠的性质得出，，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果． 【详解】解：由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴． 4．(25-26八上·广西南宁第十四中学·期中)如图，在中，，，点，是边上的两个定点，点，分别是边，上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是________． 【答案】/60度 【分析】本题考查利用轴对称结合线段和最小问题，三角形的内角和定理，作过于的对称点，作关于的对称点，连接，当在线段上时，四边形的周长最小，根据对称性结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：作过于的对称点，作关于的对称点，连接， 则：， ∴四边形的周长， ∴当在线段上时，四边形的周长最小，如图， ∵对称， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 5．(25-26八上·湖南常德桃源县·期末)某班数学活动课上，老师提出以下问题：如图1，在锐角中，，是的平分线，，分别是，的高，E是边上一点，且，F是边上一动点（不包括两端点），连接，，老师安排了两个不同的任务． 【问题提出】 （1）填空： ；（填“”“”或“”） 【问题探究】 （2）任务一：如图2，若．求证：； （3）任务二：如图3，，，，若，试说明；此时，点E关于的对称点落在边上，连接，求的面积． 【答案】（1）； （2）证明：如图2，于点H， 在和中， ， ∴， ∴． 又由（1）知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：如图3，∵， ∴， 延长交的延长线于点Q， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴平分， ∴； 如图4，在线段上取点，使得， ∵， ∴点是点E关于的对称点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 则， ∴． 【分析】（1）由角平分线的性质定理可得； （2）作于点H，可证明，再证明得到； （3）延长交的延长线于点Q，证明，得，从而得，再由角平分线的判定可得；在线段上取点，使得，求出和，可得的面积． 【详解】（1）解：∵是的平分线，，分别是，的高， ∴． 故答案为：； （2）略 （3）略 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的性质和判定以及三角形全等的判定和性质，关键是熟练掌握角平分线的性质和全等三角形的性质解决线段或角的相等关系． 6．(25-26八上·陕西西安高陵区药惠中学·期末)【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． (1)【问题解决】如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．小明发现可以用上面的方法解决该题并作出了如下的辅助线（延长至点，使，连接），请结合小明做的辅助线，直接写出的取值范围______； (2)【类比运用】如图2，，点为的中点，，，求的长； (3)【拓展探究】如图3，在和中，，，．连接，，点是的中点，连接并延长，与相交于点．若，，请直接写出的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形三边关系进行作答，即可求解； （2）如图，延长至点，使，连接，证，求得的长，证得为线段的垂直平分线即可解答； （3）如图，延长至点，使，连接，先证，得，，再根据平行线的性质得，再证即可解答． 【详解】（1）解：在中，是的中点， ， ，， ， ， ， 即， ， ， ， ； （2）如图，延长至点，使，连接， 点为的中点， ， ，， ， ，， ， ， ，，三点共线， ， ， ， ， 为线段的垂直平分线， ； （3）如图，延长至点，使，连接， 点为的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 拓展 链接中考 1．(2026·陕西省西安市·中考)如图，点是四边形的边上的一点，请用尺规作图的方法在四边形内求作一点，使，且点到点，的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，点即为所求． 【分析】利用尺规作图作射线，使，再利用尺规作图作线段的垂直平分线与射线交于点即可． 【详解】略 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 15.1 图形的轴对称 目 录 A组 巩固过关 知识点01 轴对称图形的识别 知识点02 成轴对称的两个图形的识别 知识点03 根据成轴对称图形的特征进行判断 知识点04 根据成轴对称图形的特征进行求解 知识点05 台球桌面上的轴对称问题 知识点06 轴对称中的光线反射问题 知识点07 折叠问题 知识点08 线段垂直平分线的性质 知识点09 线段垂直平分线的判定 知识点10 互逆命题与互逆定理 知识点11 作已知线段的垂直平分线 知识点12 求对称轴条数 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 知识点01 轴对称图形的识别 1．下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列交通标志图形中不是轴对称图形的是______（填序号）． 3．下列汉字中，哪些可以看成轴对称图形？请你再找出几个类似的汉字． 知识点02 成轴对称的两个图形的识别 4．下列字母“F”关于镜面成轴对称的是（     ） A． B． C． D． 5．下图中各组图形，成轴对称的为_____（只写序号①，②等）． 6．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，连接AD，AE，以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E，连接D′C，若BD=CD′； （1）求证：△ABD≌△ACD′； （2）若∠BAC=120°，求∠DAE的度数． 知识点03 根据成轴对称图形的特征进行判断 7．已知与分别在直线的两侧且关于直线对称，点与点、点与点、点与点都是关于直线的对称点，下列线段被直线垂直平分的是（     ） A． B． C． D． 8．(25-26八上·陕西榆林榆阳区安崖镇安崖中学·期中)如图，与阴影三角形成轴对称的三角形有_____个． 9．取一张长、宽的纸条，将它每一段，一反一正像“手风琴”那样折叠起来（如图）．在折叠好的纸的中央画出一朵“小花”，并把画出的“小花”挖去．拉开“手风琴”纸条，你会得到一条什么样的花边？在这条花边中，相邻的“小花”之间有什么关系？ 知识点04 根据成轴对称图形的特征进行求解 10．如图，与关于直线对称，若，，，则的度数为（     ） A． B． C． D．以上都不对 11．如图，，，，则向左移动___________后与关于直线成轴对称． 12．如图，与关于直线l对称．如果，，，求的长与的度数． 知识点05 台球桌面上的轴对称问题 13．如图所示，选择适当的方向击打白球，使白球撞击红球，红球反弹后落入底袋中，此时 ，且，若，则（   ） A． B． C．53° D． 14．如图，球桌上有，两个桌球，若要将球射向球桌的一边，反弹一次后击中球，则球应射向，，，四个点中的点_____ ． 15．如图所示，长方形是台球台面，有白、黑两球分别位于点M，N处，试问：怎样撞击白球M，才能使白球M碰撞台边反弹后击中黑球N？ 知识点06 轴对称中的光线反射问题 16．(25-26八上·山西朔州右玉县教育集团初中部·月考)如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，由物理学知识可知，入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，则其反射光线为（    ） A． B． C． D． 17．【跨学科·物理】如图，凸透镜的主光轴与平静的水面重合，点光源S发出一束光，光线在水面E处发生反射后的反射光线以及其经凸透镜后的光线如图所示（注：入射光线与水平面的夹角等于反射光线与水平面的夹角，图中的光线经凸透镜折射后与水平面平行），若，则的度数为______． 18．如图所示，一束光沿方向，先后经过平面镜，反射后，沿方向射出． (1)画出，． (2)若，，则________． 知识点07 折叠问题 19．如图，折叠一张长方形纸片，已知，则的度数是（     ） A． B． C． D． 20．(26-27八上·河南信阳浉河区李家寨镇初级中学·调研)如图，下面是一位同学的折纸示意图，则是的______． 21．折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．如图，将一张三角形纸片沿折叠，点C落在点处．已知，则是多少度？ 知识点08 线段垂直平分线的性质 22．线段的垂直平分线上有一点，若，则的长为（     ） A．4 B．2 C．5 D．3 23．如图，在中，，，，垂直平分边，是直线上一点，则的最小值为____________． 24．如图，是的垂直平分线，的周长为，求的长． 知识点09 线段垂直平分线的判定 25．到三角形三个顶点距离相等的点是（     ）． A．三条边中线的交点 B．三条边的高的交点 C．三个角的角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 26．如图，在中，是边上的高，，点N在上，可以进一步推出．依据是_________． 27．(25-26八上·云南怒江傈僳族泸水鲁掌中学·月考)如图，在中，D是上一点，过点D作于点E，于点F，，连接，． (1)求证：． (2)是否垂直平分？请说明理由． 知识点10 互逆命题与互逆定理 28．下列关于命题“对顶角相等”的判断正确的是（    ） ①其逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；②其逆命题是真命题． A．①和②都正确 B．①和②都不正确 C．只有①正确 D．只有②正确 29．命题“两锐角互余的三角形是直角三角形”的逆命题____定理（填“是”或“不是”）． 30．写出下列命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题： (1)如果，那么； (2)如果一个三角形有一个角是钝角，那么它的另外两个角是锐角． 知识点11 作已知线段的垂直平分线 31．下列尺规作图是作线段的垂直平分线的是（     ） A． B． C． D． 32．如图，在中，，分别以A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接与交于点E，若，则的长度为_______． 33．已知，如图，直线与直线相交于点B，点D是直线上一点，在直线上作点E，使点E到B、D两点的距离相等．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 知识点12 求对称轴条数 34．下面的四个图形中，对称轴条数最多的是（     ） A． B． C． D． 35．如图，观察这些轴对称图形，按照它们对称轴条数的多少从少到多依次排列为：________． 36．（1）如图所示的正多边形的对称轴有几条？把答案写在图下方的横线上：    正三角形有______条对称轴，正四边形有______条对称轴， 正五边形有______条对称轴，正六边形有______条对称轴， 正七边形有______条对称轴，正八边形有______条对称轴； （2）一个正n边形有______条对称轴； （3）在图①中画出正六边形的一条对称轴l；    在图②中，只能用无刻度的直尺，准确画出正五边形的一条对称轴m．（不写画法，保留画图痕迹）    B组 能力进阶 1．下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 3．(26-27八上·四川绵阳江油江油五校联考)如图，在中，直线交于点D，点A关于直线对称的点E恰好在线段上，连接，若，则的周长是（     ） A．13 B．15 C．17 D．23 4．在广州博物馆里，藏有不少青铜器，其中有明确信息的青铜礼器，是战国时期的件铜编钟，该编钟1975年出土于增城石滩氮肥厂．如图①是编钟的一种．小颖绘制了编钟从正面看到的轮廓如图②所示，她发现绘制的轮廓是关于对称的轴对称图形，则下列结论错误的是（   ） A． B．垂直平分 C． D． 5．如图，在中，，，平分，交于点D，，交的延长线于点E，交的延长线于点F，连接，则下列结论中不成立的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，F，若，的周长为7，则的周长为_________． 7．如图是一张钝角三角形纸片，小明想通过折纸的方式折出如下线段：①边上的中线；②的平分线；③边上的高．上述三条线段中能通过折纸折出的是________．（填序号） 8．如图，在中，垂直平分，平分，则的长为__________． 9．如图，把一个长方形沿折叠后，点，分别落在，的位置．若，则_______． 10．如图，在△中，点、分别在、上，将△沿折叠，使点落在点处，将线段沿着方向平移与边重合，连接．则下列结论正确的有________．（只填序号即可）①；②；③若，则；④若，则四边形（阴影部分）的周长为． 11．尺规作图：（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)在已知的内部求作一点，使得点到三角形三个顶点的距离相等； (2)在已知边上求作一点，使点到的距离等于的长． 12．已知平面内四点，，，，，点在线段上移动，点在线段上移动，点在线段上移动，将以为折痕折叠，点落在处，将以为折痕折叠，点落在处． (1)如图①，点，，在同一直线上，，求的度数； (2)如图②，，，求的度数． C组 思维拔高 1．(25-26八·安徽淮南部分校·调研)如图，在锐角中，，，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线．若为边上的一个动点，为直线上的一个动点，则的最小值是（     ） A．7 B．9 C．12 D．14 2．(25-26八·江西南昌南昌中学教育集团·期末)如图，在锐角中，，，为上一动点，将，分别沿，向外翻折，得到，，连接，当 面积的最小值为8时，则的面积为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 3．(25-26八·安徽淮南部分校·调研)如图，在中，，为斜边上一点，将沿直线折叠，点恰好落在边上点处，若，则______． 4．(25-26八上·广西南宁第十四中学·期中)如图，在中，，，点，是边上的两个定点，点，分别是边，上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是________． 5．(25-26八上·湖南常德桃源县·期末)某班数学活动课上，老师提出以下问题：如图1，在锐角中，，是的平分线，，分别是，的高，E是边上一点，且，F是边上一动点（不包括两端点），连接，，老师安排了两个不同的任务． 【问题提出】 （1）填空： ；（填“”“”或“”） 【问题探究】 （2）任务一：如图2，若．求证：； （3）任务二：如图3，，，，若，试说明；此时，点E关于的对称点落在边上，连接，求的面积． 6．(25-26八上·陕西西安高陵区药惠中学·期末)【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． (1)【问题解决】如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．小明发现可以用上面的方法解决该题并作出了如下的辅助线（延长至点，使，连接），请结合小明做的辅助线，直接写出的取值范围______； (2)【类比运用】如图2，，点为的中点，，，求的长； (3)【拓展探究】如图3，在和中，，，．连接，，点是的中点，连接并延长，与相交于点．若，，请直接写出的长度． 拓展 链接中考 1．(2026·陕西省西安市·中考)如图，点是四边形的边上的一点，请用尺规作图的方法在四边形内求作一点，使，且点到点，的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $