安徽省阜阳市高一上学期数学课时作业设计（人教A版必修第一册 函数的单调性）

人教A版必修第一册 《函数的单调性》课时作业设计 一、作品基础信息 项目 填写内容 作品名称 函数的单调性 学段学科 高中数学 适用年级 高一年级 教材版本 人教A版（2019版）必修第一册 对应内容 第三章 函数的概念与性质 / 3.2 函数的基本性质 / 3.2.1 单调性与最大（小）值——函数的单调性 作业类型 课后作业 完成时长 总时长45分钟 设计者 张耀威 二、教材分析 函数的单调性是函数最重要的性质之一，它刻画了函数值随自变量增大而增大或减小的变化趋势，是后续学习函数最大（小）值、奇偶性、指数函数、对数函数以及导数等内容的必要基础，也是高中数学中第一次用严格的符号语言刻画函数性质。 本小节在人教A版必修第一册第三章“函数的概念与性质”中处于承上启下的位置：学生在初中已经直观感受过“图象上升就是增大、图象下降就是减小”，本小节的任务是把这种直观认识上升为精确的数学定义，并学会用定义证明函数的单调性。从知识方法看，学生第一次完整经历“观察图象—形成概念—符号化定义—定义证明”的研究过程，这一研究路径对其后续学习具有重要的方法论示范作用。 三、学情分析 高一学生已经能借助图象直观判断函数的上升、下降趋势，也能说出“随x增大y增大”这类朴素描述，但存在三个主要障碍：一是从“直观趋势”到“任意x₁＜x₂，都有f(x₁)＜f(x₂)”这种全称命题语言表达的跨越有困难；二是用定义证明单调性时，取特殊值代替任意取值、作差后变形不彻底、定号理由不充分等错误频繁出现；三是不重视“先看定义域、再分区间讨论”，容易把单调区间写成并集。 基于以上学情，本课时作业在A层重点规范单调性证明的书写格式，在B层设置易错辨析与逆向应用，在C层安排从特殊到一般的探究任务，使不同层次的学生都能在原有水平上获得发展。 四、作业目标 依据课程标准要求和本小节学习目标，制定如下作业目标： 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 知识理解 A 理解增函数、减函数的定义，能准确表述单调性的定义，能识别简单函数的单调区间。 数学抽象、直观想象 能力运用 B 会用定义证明函数在给定区间上的单调性，能利用单调性比较函数值大小、解简单不等式。 逻辑推理、数学运算 思维发展 C 能分析含参数的单调性问题，比较不同解法，概括证明单调性的一般策略。 逻辑推理、直观想象 情感态度 D 认同用符号语言刻画函数性质的严谨性，养成规范书写、主动反思的学习习惯。 数学抽象、数学运算 五、作业内容与设计 本课时作业采用“A层基础必做+B层提升选做+C层拓展选做”的分层结构，总时长45分钟。 A层约20分钟，重在概念理解与基本证明格式落实； B层约15分钟，三题选做两题，重在综合与逆向应用； C层为探究性作业，鼓励学有余力的学生在一周内完成，允许小组合作。 A层 基础性作业（全员必做，约20分钟） 1.（单选）下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是（ ） 　　A. y＝－x＋1　　　　B. y＝　　　C. y＝x²－4x＋3　　　　D. y＝ 2.（填空）函数y＝x²－2x＋3的单调递增区间是____________，单调递减区间是____________。 3. （解答）用定义证明：函数f(x)＝2x＋1在R上是增函数。 4.（解答）太和县气象站记录了某日沙颍河湿地公园6:00至18:00的气温变化，部分数据如下表： 时刻 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 气温（℃） 10 16 20 22 16 (1)根据表格判断：气温在哪段时间内上升，在哪段时间内下降？ (2)这一天中哪个时刻气温最高？大约多少摄氏度？ (3)结合生活经验估计：从18:00到24:00，气温大致会怎样变化？为什么？ B层 提升性作业（三题选做两题，约15分钟） 5.（单选）已知分段函数f(x)＝，若对任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，都有成立，则实数m的取值范围是（　　） A．( ，1]　B．( ，1)　C．( ，2]　D．( ，2) 6.（解答）已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x)＞0恒成立，且f(x－y)·f(y)＝f(x)； 当x＜0时，0＜f(x)＜1。 (1)求f(0)； (2)判断f(x)在R上的单调性，并给出证明； (3)若关于x的不等式f(x²＋ax＋3)＜f(x－1)有解，求实数a的取值范围。 7. 已知函数，． (1)证明：对任意，； (2)根据定义证明在区间上单调递增； (3)求的解集． C层 拓展探究（选做，一周内完成，可小组合作） 8. 【探究题】探究含参函数f(x)＝x＋（k＞0）的单调性： (1)取k＝1，作出函数f(x)＝x＋的图象，观察并猜想其单调区间； (2)用定义证明第（1）问的猜想； (3)结合k的取值，探究f(x)＝x＋在（0，＋∞）上的单调性，并总结研究含参函数单调性的一般步骤。 【作业分析】 本课时重点是用符号语言刻画单调性并会用定义证明。 第1题通过四类常见函数辨析增函数概念，既考查图象判断也考查定义理解； 第2题落实二次函数单调区间的求解，强调单调区间不能写成并集； 第3题是单调性证明的基本题，重点训练规范书写； 第4题用太和本地气温数据考查“看图（表）说单调性”，贴近生活又落实数形结合。 第5题考查分段函数单调递减的等价条件，强化参数范围求解中的端点衔接意识； 第6题以抽象函数为载体考查用定义证明单调性，训练条件转化与代数变形能力； 第7题以分式函数为载体，通过恒等式证明、定义证明单调性、利用单调性解不等式三问递进，综合考查代数变形与逻辑推理。 第8题在分式函数基础上引入参数k，从特殊到一般探究含参函数的单调性，作差变形中需要比较x₁x₂与k的大小，难度逐级递进，渗透数学研究的一般方法。 【设计意图】 单调性是学生第一次用严格的数学语言刻画函数性质，最容易出的问题就是“会看图、不会写证明”。 A层三道题就是治这个毛病的：第3题要求按五步书写，把证明格式先立起来；第2题专门提醒单调区间不能写并集。 B层第5题考的是“f(x₁)－f(x₂)比上x₁－x₂小于零”这个定义最直接的符号形态，很多学生栽在分段函数端点的衔接上，所以四个选项都设计在参数范围上；第6题是道“硬骨头”——抽象函数要先从条件f(x－y)·f(y)＝f(x)里推出关系，再按定义作差定号，专门磨“条件越绕越要沉住气”的耐性。 第7题用分式函数f(x)＝把三个层次串起来——第(1)问先代值、化简验证恒等式，第(2)问回到定义作差，在通分、因式分解中体会“作差—变形—定号”的完整链条，第(3)问借助恒等式把不等式等价转化为“f(2t－1)＜f(t)”，再运用单调性求解，前问服务后问，一气呵成。。 C层第8题把难度真正顶上去——先从k＝1的具体函数出发，作图、猜想、证明一路走完，再让参数k“动起来”推广到一般情形，学生要在作差变形里自己发现x₁x₂与k比大小这个关键，这是实打实的研究过程，留给学有余力的学生小组合作完成。 【评价设计】 题目 评价主体 评价标准 评价方式 第1、2题 教师评价 答案正确得满分；第2题单调区间写成并集不得分 批改后标注错误类型 第3题 教师评价＋学生自评 五步完整、推理严谨得满分；缺步骤酌情扣分 对照规范样例自查后教师复批 第4题 教师评价＋学生互评 判断正确各得2分，理由合理得2分，共8分 同桌互批，教师抽查 第5-7题 教师评价 第5题按“条件转化—作差—定号—结论”分步给分；第6题答案正确得满分；第7题注重结果与过程，正确得满分 教师批改，面批典型错误 第8题 教师评价＋小组互评 按探究深度分级：完成(1)(2)得★，完成(3)含参探究并总结方法得★★，能小组展示讲解得★★★ 课堂展示，星级评价 六、参考答案与评分标准 A层 基础性作业 1. B 2. 单调递增区间[1，＋∞)；单调递减区间(－∞，1]。 3. 证明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂， 　　f(x₁)－f(x₂)＝(2x₁＋1)－(2x₂＋1)＝2(x₁－x₂)。 　　因为x₁＜x₂，所以x₁－x₂＜0，所以f(x₁)－f(x₂)＜0，即f(x₁)＜f(x₂)。 　　所以f(x)＝2x＋1在R上是增函数。 　　评分标准：取值1分，作差2分，变形2分，定号2分，结论3分，共10分。 4. （1）气温在6:00到15:00时间段内上升，在15:00到18:00时间段内下降；（2分） 　　（2）15:00气温最高，约22℃；（2分） （3） 估计18:00到24:00气温继续下降 （理由：傍晚到夜间气温通常降低，且图象显示已呈下降趋势）。（4分，言之有理即可） B层 提升性作业 5. A 解析：由[f(x₁)－f(x₂)]/(x₁－x₂)＜0知f(x)在R上单调递减，所以x＜0段需1－2m＜0（m＞）；x≥0段需对称轴x＝≤0（m≤2）；两段衔接处需(1－2m)·0＋1－m≥0（m≤1）。综上＜m≤1， 故选A。（评分标准：答案2分，推理过程8分，共10分） 6.（1）令y＝0，得f(x)·f(0)＝f(x)，又f(x)＞0，所以f(0)＝1； 　　（2）f(x)在R上单调递增。证明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则f(x₁)－f(x₂)＝f(x₁－x₂)·f(x₂)－f(x₂)＝f(x₂)[f(x₁－x₂)－1]；因为x₁－x₂＜0，所以0＜f(x₁－x₂)＜1，即f(x₁－x₂)－1＜0，又f(x₂)＞0，所以f(x₁)－f(x₂)＜0，即f(x₁)＜f(x₂)，故f(x)在R上单调递增； 　　（3）由f(x)单调递增，f(x²＋ax＋3)＜f(x－1)⇔x²＋ax＋3＜x－1，即x²＋(a－1)x＋4＜0有解，所以Δ＝(a－1)²－16＞0，解得a＜－3或a＞5，故a的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)。 　　评分标准：第（1）问2分；第（2）问按“取值—作差变形—定号—结论”分步给8分；第（3）问10分，共20分。 7. (1)因为，所以，所以， 所以． (2)证明：任取，且， 则， 因为，，，所以， 所以，即在上单调递增． (3)． 因为，所以． 由（2）知在上单调递增，所以，解得， 故不等式的解集为． C层 拓展探究 8.（1）当k＝1时，f(x)＝x＋的图象呈“对勾”形，猜想：在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增； 　　（2）证明：任取x₁，x₂∈（1，＋∞），且x₁＜x₂，则f(x₁)－f(x₂)＝(x₁－x₂)·；因为x₁＞1，x₂＞1，所以x₁x₂－1＞0，x₁－x₂＜0，x₁x₂＞0，故f(x₁)－f(x₂)＜0，即f(x)在（1，＋∞）上单调递增；同理可证f(x)在（0，1）上单调递减（作差后由x₁x₂－1＜0定号）。 　　（3）一般地，对任意k＞0，f(x)＝x＋在（0，√k）上单调递减，在（√k，＋∞）上单调递增；由f(x)为奇函数，在（－∞，－√k）上单调递增，在（－√k，0）上单调递减。研究含参函数单调性的一般步骤：先求定义域，再结合图象或代数变形猜想单调区间，最后用定义作差（或作商）定号证明。 1 学科网（北京）股份有限公司 $