函数的奇偶性 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2函数的奇偶性 1、 知识点总结 2、 题型总结 题型1、判断函数奇偶性 题型2、利用奇偶性求值 题型3、已知奇偶性求参数 题型4、利用奇偶性求函数的解析式 题型5、利用奇偶性+单调性，比较函数值大小 题型6、利用奇偶性+单调性，解抽象不等式 题型7、抽象函数的奇偶性 三、课后精练 一、知识点总结 知识点一、函数的奇偶性 1、定义：（1）偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. （2）奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 2、函数奇偶性的判断 定义法：（1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）求，根据与的关系，判断的奇偶性： ①若是奇函数 ②若是偶函数 ③若既是奇函数又是偶函数 ④若既不是奇函数也不是偶函数 图象法：（1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）若的图象关于轴对称是偶函数 （3）若的图象关于原点对称是奇函数 性质法：，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 3、复合函数的单调性判定 对于复合函数，设在上单调，且在或上也单调，那么在上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”。 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 知识点二：奇函数，偶函数的性质 1、奇函数，偶函数的图象特征 设函数的定义域为 （1）是偶函数的图象关于轴对称； （2）是奇函数的图象关于原点对称； （3）若是奇函数且，则 2、函数的奇偶性与单调性的关系 （1）是偶函数在关于原点对称区间上具有相反的单调性； （2）是奇函数在关于原点对称区间上具有相同的单调性； 二、题型总结 题型1、判断函数奇偶性 解题必备：先求定义域，验证是否关于原点对称，再根据定义判断。 典例精讲： 例1 判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)偶函数 (2)既是奇函数又是偶函数 (3)偶函数 【详解】（1）∵函数的定义域为R，关于原点对称， 又，∴为偶函数． （2）∵函数的定义域为，关于原点对称，且， ∵，∴既是奇函数又是偶函数． （3）的定义域是，关于原点对称． 当时，，； 当时，，． 综上可知，对于，都有，为偶函数． 举一反三： 变式1 设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A：，而，显然，不为奇函数， B：，而，显然，不为奇函数， C：，而，显然，不为奇函数， D：，，显然且定义域为，即为奇函数. 变式2 以下函数中，在上单调递减且是偶函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由奇偶函数的定义判断各个选项，然后由函数解析式判断在上的单调性，即可得到结论. 【详解】A选项，，函数为奇函数，A不是； B选项，，函数为偶函数，当时，在上单调增，B不是； C选项，，函数为偶函数，函数为开口向下的二次函数， 对称轴为，所以函数在上单调递减，C是； D选项，，函数为奇函数，D不是. 故选：C. 变式3 下列函数中，既是奇函数又在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性和单调性的判断方法即可求出答案. 【详解】函数在区间上为减函数，故A错误； 函数图象的对称轴为，是非奇非偶函数，故B错误； 令，函数的定义域为，， ，所以函数为奇函数，因为和在上均为增函数， 故在上为增函数，故C正确；， 当时，，此时函数在为减函数，故D错误. 故选：C. 题型2、利用奇偶性求值 解题必备：用好f(-x)和f(x)等量关系，整体代换求解函数值。 典例精讲： 例2 若函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为______. 【答案】1 【分析】利用函数奇偶性分析求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以且， 当时，，所以，解得：， 所以当时，，所以. 举一反三 变式1 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则________． 【答案】 【分析】根据奇函数性质求解. 【详解】因为是定义在上的奇函数，当时，， 所以. 变式2 已知为定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性与函数解析式求函数值. 【详解】因为为定义在R上的奇函数， 所以，得，则当时,， 故，所以. 故选：C. 变式3 已知是定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由是定义在上的奇函数得到.由当时，得到当时的表达式，从而求出，即可得解. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以.因为当时，， 所以当时，，所以，故. 故选：C. 题型3、已知奇偶性求参数 解题必备：恒成立思想，有f(-x)=∓f(x),让同类项系数相等，优先检验定义域。 典例精讲： 例3 若，存在实数，使得的图象是轴对称图形，所有符合条件的实数的值为______． 【答案】或1 【解析】由题意， 当时，为三次函数无对称轴， 当时，令可得，或，或， 即函数与轴交点坐标为， 故根据对称性，或，得或， 例4 若函数为奇函数，则实数a的值为________． 【答案】 【解析】为奇函数，， 当时，， 又时，，所以对恒成立， . 故答案为：. 举一反三: 变式1 设函数定义域为为奇函数，当时，则___________． 【答案】 【解析】由为奇函数可得． 令得，所以，解得． 故答案为： 变式2 若函数是奇函数，则_____. 【答案】 【解析】当时，则，则，解得; 当时，则，则，解得. 故 变式3 已知是定义在上的偶函数，则___________． 【答案】 【解析】是定义在上的偶函数， 定义域关于原点对称，得，解得， ，又函数为偶函数， ，即，解得， . 故答案为：. 题型4、利用奇偶性求函数的解析式 解题必备：设所求区间自变量，转化到已知区间，借助关系推导。 典例精讲： 例5 已知是定义在上的奇函数，当时，，求的解析式． 【答案】 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以． 因为当时，， 所以． 又因为奇函数在原点有意义，所以． 故． 举一反三： 变式1 已知是偶函数，当时，，则当时，函数的解析式为_________. 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性求解函数的解析式即可. 【详解】由题意知，当时，，则，又为上的偶函数， 所以. 故答案为： 变式2 已知定义在上的奇函数，当时，.求函数在上的解析式. 【答案】 【分析】是定义在上的奇函数，当时，则，再由，进而求解即可． 【详解】为上的奇函数， . 时， 当时，则，， 为奇函数，， 即 当时，， ． 变式3 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出当时，的表达式，再利用奇函数，求出的表达式. 【详解】当时，，所以 函数是上的奇函数，所以 故选：B. 题型5、利用奇偶性+单调性，比较函数值大小 解题必备：利用奇偶性转化自变量到同一单调区间，再根据单调性判断大小。 典例精讲： 例6 设是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的单调性和奇偶性即可求解. 【详解】因为函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增， 则该函数在上单调递减，所以， 举一反三: 变式1 若是偶函数，且对任意∈且，都有，则下列关系式中成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断函数在上的单调性，再比较函数值的大小. 【详解】若，由，可知，， 所以函数在单调递减，所以， 又因为函数为偶函数，所以，即. 故选：A 变式2 定义在R上的偶函数在上是减函数，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数定义，将自变量转化到区间上，利用单调性比较大小即可. 【详解】因为为偶函数，所以，，又，且在上是减函数，所以. 故选：A 变式3 已知函数是定义在上的偶函数，若在区间上单调递增，则下列关系式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数在上的单调性，结合函数的单调性与奇偶性逐项判断即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增， 则函数在上为减函数， 对于A选项，，A错； 对于B选项，，无法判定其符号，B错； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 题型6、利用奇偶性+单调性，解抽象不等式 典例精讲： 例7 已知：定义在上的偶函数，当时为减函数，若，则实数a的取值范围是_______________． 【答案】 【分析】利用偶函数的性质和单调性求解即可. 【详解】因为定义域为，所以和都必须在定义域内： ，解得：. 是偶函数，满足，因此可转化为： ,又因为时为减函数，所以 则，所以的取值范围是. 举一反三： 变式1 已知定义在上的偶函数在上单调递增，则不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】根据偶函数及单调性列不等式求解即可． 【详解】由偶函数知，由单调性知，解得， 所以解集为． 故答案为：． 变式2 已知函数是定义域在上的奇函数，且在上为增函数，若，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】先判断在上为增函数，再根据奇偶性和单调性可得关于的不等式组，从而可得实数的取值范围. 【详解】因为为奇函数且在上为增函数，故在上为增函数， 因为为上的奇函数，故即为， 故，故. 变式3 已知函数满足对都有成立．当时，，则不等式的解集为______________． 【答案】 【分析】根据得到函数是上的奇函数，继而求出时，的解析式并判断在上的单调性，利用奇函数和单调性结合分段函数可得两个不等式组，求解即得. 【详解】因为对都有，所以是上的奇函数， 又时，，显然在上单调递增，故函数在上单调递增， 当时，，则，即； 由，可得， 故得，则有或， 解得：，所以不等式的解集为. 题型7、抽象函数的奇偶性 典例精讲： 例8函数是上的增函数，对任意的都有． (1)证明为奇函数； (2)解不等式：． 【答案】(1) ， 取，则，解得， 取，则，， 故为奇函数. (2)或. 【分析】（1）取，解得， 取，得到，故为奇函数. （2）由为奇函数，将转化为，将中的换，， 得到，代入，得到，利用得到，由是上的增函数，得到，解此不等式即可. 【详解】（1）略 （2），为奇函数，， ，将换，取，， ，将代入， 得到，，转化为， 是上的增函数，，解得或. 不等式的解集为或. 举一反三： 变式1 已知是定义在上的函数，且满足，又当时，． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)求证：在区间上单调递减； (3)若，解不等式． 【答案】(1) 函数为奇函数，理由如下： 因函数的定义域为，关于原点对称， 令，则，可得． 令，则，即， 用代换，可得，所以为奇函数． (2)由（1）知，则，即， 令，且，则且， 可得， 因为当时，，所以，即， 所以函数在上单调递减，所以函数在区间上单调递减． (3) 【分析】（1）先求得，再令，得到，即可证得为奇函数； （2）由（1）得到，令且，根据题意，证得，即可得证； （3）由（2）求得，根据题意，把不等式转化为，得到不等式，求解即得. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）知，可得， 由题设，可得，又，故原不等式可化为， 由（2）函数在上单调递减，可得，解得， 故不等式的解集为． 变式2 已知定义域为R的函数满足，，当时，． (1)用定义法证明：在定义域内单调递增； (2)记函数，判断的奇偶性，并证明你的结论． 【答案】(1)证明：设，则， 因为，所以，故，而， 故，所以是单调递增函数． (2)是奇函数， 证明：由，所以， 由，令，则，再令，解得， 所以，所以， 故是奇函数． 变式3 已知函数的定义域为，对任意的都有，且 时, , 时, . (1)求的值并判断函数的奇偶性； (2)讨论的单调性并证明； (3)若对任意的成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，奇函数 (2) 在上是增函数.以下提供证明: 当 时, 则，由，可得， 又 ，且时, ，故 时, . 又因是定义在上的奇函数,所以. 任取 ,则 ,从而 在 上单调递增, 又因是上的奇函数,则 在 上单调递增,且， 故在上是增函数; (3) 【分析】（1）对已知式中的依次赋值，求得，，利用奇偶性定义证明即得； （2）先证明 时, ，由是上的奇函数，可得，再由函数的单调性定义证明在 在上单调递增，再由奇函数即得为上的增函数； （3）通过赋值法，将题设不等式化成，再利用在上是增函数将其化成对任意的 成立问题，结合一次函数的图象即可求得. 【详解】（1）因对任意的都有. 当时,令 ,则，因，则 ； 再令 ,则，即，因，则. 令 ,则,故是奇函数. （2）略 （3）在中，令 ，可得 ，因，则， 由可得， 即因在上是增函数，即得对任意的 成立， 设，则解得或 即实数的取值范围为. 3、 课后精练 一、单选题 1．偶函数在上单调递增，下列函数满足条件的是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依次判断各个函数的奇偶性和在上的单调性即可得到结果. 【详解】中，在上单调递减，不符合题意，错误； 中，为非奇非偶函数，不符合题意，错误； 中，，则为偶函数；当时，，单调递增，正确； 中，在上单调递减，不符合题意，错误 本题正确选项： 【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断，属于基础题. 2．已知函数，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点成中心对称 【答案】D 【分析】对AB，根据判断即可；对C，举反例判断即可；对D，计算可得即可判断. 【详解】对AB，由，易知选项A，B不正确； 对C，易得，，故，故选项C不正确； 对D，，故， 故的图象关于点中心对称. 故选：D. 3．下列函数图象中，可以表示偶函数的有（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数图象关于y轴对称判断选项. 【详解】根据偶函数图象关于y轴对称，结合函数图象可知符合题意是A选项，B，C，D不合题意. 故选：A. 4．若函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则使得的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解出时的解集，再根据偶函数图像关于轴对称，写出时的解集，即得整个函数的解集. 【详解】由于函数是偶函数，所以， 由题意，当时，，则； 又因为函数是偶函数，图象关于轴对称，所以当时，，则，所以的解集为. 故选：C. 5．“”是“函数为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用函数为奇函数求得，进而得到“”与“函数为奇函数”的逻辑关系. 【详解】若函数定义域为且为奇函数， 则，即， 经检验，当时，函数是奇函数， 而为奇函数时，不一定等于1， 故“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件． 故选：A 6．已知函数则函数在上的大致图象为（    ） A．B． C．D． 【答案】A 【解析】运用排除法，由，可得的图象关于直线对称，当时，所以可排除得选项. 【详解】由， 得的图象关于直线对称，故排除BC， 当时，，所以故排除D， 故选：A． 【点睛】本题考查函数的图象的辨别，常由函数的奇偶性，单调性，特殊点的函数的正负排除选项，属于中档题. 7．已知函数的定义域为.当时，；当时，；当时，.则 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，所以当时，函数是周期为1的周期函数，所以， 又时，，且当时，， 所以． 8．如图，在平面直角坐标系内有一个边长为、中心在原点的正六边形，//轴，直线：（为常数）与正六边形交于、两点，记的面积为，则函数的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【答案】B 【分析】要想知道的奇偶性．就要比较和，利用图象的对称性和三角形全等，可得． 【详解】函数的自变量为， 直线与正六边形交于，，这时三角形记作．设直线与正六边形交于，，这时三角形记作． 这两条直线截距相反．斜率相同．它们关于原点中心对称．六边形也关于原点中心对称 直线与六边形的交点也关于原点中心对称，即与关于原点中心对称，与关于原点中心对称 ，，△ ，即 所以为偶函数，图象关于轴对称， 故选：B． 【点睛】本题考查函数奇偶性的判断方法，注意图象的对称性在本题中的应用，属于中档题． 二、多选题 9．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】代入求值判断A，求出判断BC，求出判断D. 【详解】因为，所以，故A正确； 函数的定义域为R，，且不恒为零，故B正确，C错误； 当时，，故D正确. 故选：ABD 10．下列函数中，是奇函数的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用奇偶性的定义判断各函数的奇偶性. 【详解】A：的定义域为R，且，即为奇函数， B：的定义域为，且，即为奇函数， C：的定义域为R，且，即为奇函数， D：的定义域为，显然定义域不关于原点对称，不为奇函数. 故选：ABC 11．华为5G通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如：，其中，.已知定义在R上不恒为0的函数，对任意有：且满足，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】AD 【分析】先根据定义化简得，再按照赋值法依次判断. 【详解】根据定义可得：， . 令，则，A正确； 令，则，令，则，B错误； 令，则，又定义域为R，是奇函数，故C错误，D正确. 故选：AD 三、填空题 12．定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0，f(x)＝x2﹣2x，则f（﹣3）＝_____ 【答案】-3 【分析】由代入解析式可得解. 【详解】f(x)是奇函数，所以， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了奇偶性求值，属于基础题. 13．已知函数，其中，且，则________． 【答案】 【分析】构造偶函数函数，把问题转化为，结合条件即可求解． 【详解】，得 构造函数，定义域为R． 因为． 所以函数是偶函数，所以，所以，从而， 又，因此. 故答案为：． 14．设函数是定义在实数上不恒为的偶函数，且，则__________． 【答案】 【详解】由可得 ，， 又∵， ∴，，，又∵， ∴，即，∴． 四、解答题 15．已知函数的定义域为R,且函数图像关于对称,在区间是增函数,判断在上的单调性. 【答案】函数在为减函数. 【解析】根据题意可得，设,则,从而可得，任取 ,且,即可得，由题意即可证出. 【详解】解:因为函数的图像关于对称,所以. 设,则,所以.任取,且, 则.因为在上为增函数,所以, 所以,因此函数在为减函数. 【点睛】本题考查了利用函数的对称性证明函数的单调性，属于基础题. 16．判断下列函数的奇偶性. （1）； （2）. 【答案】(1)偶函数；(2)奇函数. 【分析】首先分别求出函数的定义域，判断是否关于原点对称，然后利用奇偶函数的定义判断奇偶性． 【详解】（1）函数的定义域为：， 所以定义域关于原点对称，, 所以为偶函数； （2）函数的定义域为：，所以定义域关于原点对称， ，∴为奇函数. 【点睛】本题考查了函数奇偶性的判断；①求定义域；②利用定义判断f（﹣x）与f（x）的关系． 17．已知函数对任意都有，判断函数的奇偶性，小明同学的解法如下： ∵，∴定义域关于原点对称． 又∵，∴或， ∴为奇函数或偶函数． 请判断小明的上述解法是否正确？若不正确，请举出一个反例． 【答案】不正确，理由为： ∵函数对任意都有， ∴或， 即可能对中一部分，有成立，而对另一部分有成立． 而奇偶性的要求是对整个上的只能二者中的一种关系，不能交替出现，所以不正确． 如该函数为非奇非偶函数． 【分析】运用奇偶函数的定义可判断． 【详解】略 18．已知函数是上的奇函数，且当时，，其中. （1）求函数的解析式； （2）若函数的单减区间为，求不等式的解集. 【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）根据奇函数的定义求得时的表达式，再由可得得函数解析式； （2）利用奇函数性质问题转化为只讨论时单调性，利用二次函数的性质可得的值，从而得函数解析式，不等式可化为或，由此可求得解集． 【详解】解：（1） 函数是定义在上的奇函数，设，则 . 又函数为奇函数，，上式即为 得 所以函数； （2）函数的单减区间为，则在区间上单减，得的对称轴，得 ∴，由得或，即或， 解得或．∴原不等式的解集为或. 【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查求奇函数的函数解析式，解函数不等式．掌握奇函数的定义是求解析式的关键．对分段函数而言，解不等式时要注意分类讨论． 19．已知是定义在上的奇函数，且. （1）求的值； （2）用定义证明在上为增函数； （3）若对恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）证明：由（1）知，任取， 则＝＝， 因为，所以，故，又因为， 所以，而，故， 即，所以函数在上为增函数． （3）. 【分析】（1）由和可得 ； （2）根据定义可证明在上为增函数； （3）根据（2）可求，从而可得实数的取值范围. 【详解】解：（1）因为奇函数的定义域为，所. 故有，解得.所以. 由即， 解得.此时，满足，为奇函数， 故. （2）略 （3）由（2）知在上为增函数， 所以函数在上为增函数，故最大值为 . 由题意可得，解得 故的取值范围为. 【点睛】本题考查奇函数的性质、函数单调性的证明及应用，求奇函数解析式中的参数的值时，可根据定义或利用赋值法来求其大小，求函数的最值，优先考虑单调性，而单调性的证明可根据定义来进行. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2函数的奇偶性 1、 知识点总结 2、 题型总结 题型1、判断函数奇偶性 题型2、利用奇偶性求值 题型3、已知奇偶性求参数 题型4、利用奇偶性求函数的解析式 题型5、利用奇偶性+单调性，比较函数值大小 题型6、利用奇偶性+单调性，解抽象不等式 题型7、抽象函数的奇偶性 三、课后精练 一、知识点总结 知识点一、函数的奇偶性 1、定义：（1）偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. （2）奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 2、函数奇偶性的判断 定义法：（1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）求，根据与的关系，判断的奇偶性： ①若是奇函数 ②若是偶函数 ③若既是奇函数又是偶函数 ④若既不是奇函数也不是偶函数 图象法：（1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）若的图象关于轴对称是偶函数 （3）若的图象关于原点对称是奇函数 性质法：，在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数 3、复合函数的单调性判定 对于复合函数，设在上单调，且在或上也单调，那么在上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”。 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 知识点二：奇函数，偶函数的性质 1、奇函数，偶函数的图象特征 设函数的定义域为 （1）是偶函数的图象关于轴对称； （2）是奇函数的图象关于原点对称； （3）若是奇函数且，则 2、函数的奇偶性与单调性的关系 （1）是偶函数在关于原点对称区间上具有相反的单调性； （2）是奇函数在关于原点对称区间上具有相同的单调性； 二、题型总结 题型1、判断函数奇偶性 解题必备：先求定义域，验证是否关于原点对称，再根据定义判断。 典例精讲： 例1 判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3) 举一反三： 变式1 设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 变式2 以下函数中，在上单调递减且是偶函数的是（     ） A． B． C． D． 变式3 下列函数中，既是奇函数又在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 题型2、利用奇偶性求值 解题必备：用好f(-x)和f(x)等量关系，整体代换求解函数值。 典例精讲： 例2 若函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为______. 举一反三 变式1 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则________． 变式2 已知为定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A．0 B． C．1 D．2 变式3 已知是定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A．0 B．2 C． D． 题型3、已知奇偶性求参数 解题必备：恒成立思想，有f(-x)=∓f(x),让同类项系数相等，优先检验定义域。 典例精讲： 例3 若，存在实数，使得的图象是轴对称图形，所有符合条件的实数的值为______． 例4 若函数为奇函数，则实数a的值为________． 举一反三: 变式1 设函数定义域为为奇函数，当时，则___________． 变式2 若函数是奇函数，则_____. 变式3 已知是定义在上的偶函数，则___________． 题型4、利用奇偶性求函数的解析式 解题必备：设所求区间自变量，转化到已知区间，借助关系推导。 典例精讲： 例5 已知是定义在上的奇函数，当时，，求的解析式． 举一反三： 变式1 已知是偶函数，当时，，则当时，函数的解析式为_________. 变式2 已知定义在上的奇函数，当时，.求函数在上的解析式. 变式3 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 题型5、利用奇偶性+单调性，比较函数值大小 解题必备：利用奇偶性转化自变量到同一单调区间，再根据单调性判断大小。 典例精讲： 例6 设是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 举一反三: 变式1 若是偶函数，且对任意∈且，都有，则下列关系式中成立的是（ ） A． B． C． D． 变式2 定义在R上的偶函数在上是减函数，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 变式3 已知函数是定义在上的偶函数，若在区间上单调递增，则下列关系式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 题型6、利用奇偶性+单调性，解抽象不等式 典例精讲： 例7 已知：定义在上的偶函数，当时为减函数，若，则实数a的取值范围是_______________． 举一反三： 变式1 已知定义在上的偶函数在上单调递增，则不等式的解集为___________． 变式2 已知函数是定义域在上的奇函数，且在上为增函数，若，则实数的取值范围是______． 变式3 已知函数满足对都有成立．当时，，则不等式的解集为______________． 题型7、抽象函数的奇偶性 典例精讲： 例8函数是上的增函数，对任意的都有． (1)证明为奇函数； (2)解不等式：． 举一反三： 变式1 已知是定义在上的函数，且满足，又当时，． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)求证：在区间上单调递减； (3)若，解不等式． 变式2 已知定义域为R的函数满足，，当时，． (1)用定义法证明：在定义域内单调递增； (2)记函数，判断的奇偶性，并证明你的结论． 变式3 已知函数的定义域为，对任意的都有，且 时, , 时, . (1)求的值并判断函数的奇偶性； (2)讨论的单调性并证明； (3)若对任意的成立，求实数的取值范围. 3、 课后精练 一、单选题 1．偶函数在上单调递增，下列函数满足条件的是 A． B． C． D． 2．已知函数，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点成中心对称 3．下列函数图象中，可以表示偶函数的有（ ） A． B． C． D． 4．若函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则使得的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．“”是“函数为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知函数则函数在上的大致图象为（    ） A．B． C．D． 7．已知函数的定义域为.当时，；当时，；当时，.则 A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系内有一个边长为、中心在原点的正六边形，//轴，直线：（为常数）与正六边形交于、两点，记的面积为，则函数的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 二、多选题 9．已知，则（   ） A． B． C． D． 10．下列函数中，是奇函数的有（   ） A． B． C． D． 11．华为5G通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如：，其中，.已知定义在R上不恒为0的函数，对任意有：且满足，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．是奇函数 三、填空题 12．定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0，f(x)＝x2﹣2x，则f（﹣3）＝_____ 13．已知函数，其中，且，则________． 14．设函数是定义在实数上不恒为的偶函数，且，则__________． 四、解答题 15．已知函数的定义域为R,且函数图像关于对称,在区间是增函数,判断在上的单调性. 16．判断下列函数的奇偶性. （1）； （2）. 17．已知函数对任意都有，判断函数的奇偶性，小明同学的解法如下： ∵，∴定义域关于原点对称． 又∵，∴或， ∴为奇函数或偶函数． 请判断小明的上述解法是否正确？若不正确，请举出一个反例． 18．已知函数是上的奇函数，且当时，，其中. （1）求函数的解析式； （2）若函数的单减区间为，求不等式的解集. 19．已知是定义在上的奇函数，且. （1）求的值； （2）用定义证明在上为增函数； （3）若对恒成立，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $