九年级数学上学期期中模拟卷（新教材北师大版第1～4章，高效培优·强化卷）

2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷（强化版） 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版九年级上册第一章~第四章。 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（25-26九年级上·山东烟台·期末）下列关于投影的说法正确的是（　　） A．平行投影中的光线是聚成一点的 B．线段的正投影还是线段 C．圆形物体在阳光下的投影可能是椭圆 D．若两人在路灯下的影子一样长，则两人身高也相同 【答案】C 【详解】解：A、平行投影中的光线是平行的，故此选项不符合题意； B、线段的正投影可能是线段，有可能是点，故此选项不符合题意； C、圆形物体在阳光下的投影可能是椭圆，故此选项符合题意； D、若两人在路灯下的影子一样长，则两人身高不一定相同，故此选项不符合题意，故选：C． 2．（2026·贵州黔东南·三模）黔东南侗族木构建筑营造技艺是国家级非物质文化遗产，其鼓楼、风雨桥等建筑不用一钉一铆，全靠榫卯结构咬合而成，体现了极高的营造智慧．如图①是传统木构件的榫卯结构示意图，图②是其中的一个卯件，箭头方向为正面，则该卯件的主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：该卯件的主视图是 3．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）一个圆锥体容器的主视图如图1所示，向其中注入一部分水后，水的高度如图2所示，则图2中，上水面所在圆的直径长为（   ） A．6cm B．3cm C．2cm D．1cm 【答案】A 【详解】解：标注主视图各点为A、B、C，作于点D，交水面线段于点E，水面线段交于点F，如图，由题意得，， ∵是圆锥容器的主视图，∴是等腰三角形，， ∵，∴是的垂直平分线，cm， ∵水面与容器底面平等，即，∴， ∴，即为水面所在圆的半径，∴， ∵，∴，∴，∴，解得：， 即上水面所在圆的直径长为6cm，故选：A． 4．（25-26九年级上·四川宜宾·期末）一段加固后的护栏如图所示，该护栏竖直部分是由等距（任意相邻两根木条之间[距离相等）且平行的木条构成．已知，则的长度为（   ） A．20 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点作于，交于，∵，∴， ∵木条等距且平行，∴，∵，∴， ∵，∴，故选：A． 5．（25-26九年级上·河北·期末）如图，在平面直角坐标系中，五边形与五边形为位似图形，位似中心是原点，点A坐标为，，则下列说法错误的是（   ） A． B． C．点的坐标为 D．五边形的周长是五边形周长的3倍 【答案】C 【详解】解：由五边形与五边形为位似图形，位似中心是原点，点A坐标为，，得五边形与五边形的位似比为，点的坐标为， 故，，五边形的周长是五边形周长的3倍． 故C错误，故选：C． 6．（25-26九年级下·重庆铜梁·专题练习）首届“渝超”联赛正在进行中，在此期间足球成为某区热点话题，为满足广大足球爱好者的需求，某区准备举行足球邀请赛，规定参赛的每两个队之间比赛一场，共安排了55场比赛，设比赛组织者邀请了x个队比赛，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵共有个队参赛，每两个队之间比赛一场，∴每个队需要和除自身外的个队比赛，且每场比赛会被两个队伍重复计算一次，∴总比赛场数为， ∵已知总比赛场数为55场，∴列方程得． 7．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·开学考试）下列说法：①对角线相等的平行四边形是矩形；②对角线互相垂直的矩形是正方形：③有两边相等的平行四边形是菱形；④有一个角是60°的平行四边形是菱形；⑤顺次连接矩形各边中点形成的四边形是菱形．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：①对角线相等的平行四边形是矩形，正确；②对角线互相垂直的矩形是正方形，正确； ③邻边相等的平行四边形是菱形，原说法错误； ④有一个角是60°的平行四边形不一定是菱形，故原说法错误； ⑤顺次连接矩形各边中点形成的四边形是菱形， 如图所示：E、F、G、H分别是菱形的各边中点， ∴分别是的中位线， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形，∴， ∵四边形是矩形，∴，∴， ∴四边形是菱形，故④正确；∴正确的个数是3．故选C． 8．（2026·山东威海·模拟预测）如图，在中，，，，为上一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接交于点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：四边形为平行四边形， 为中点，， ， 当时，最短，即最小， 如图， 在中，，， ， ，， ， ，即， ， ，即的最小值为． 9．（2025·广东深圳·模拟预测）小明在学习电路图时，通过实验探究得到并联电路的电阻公式：，这让他联想起数学课堂上曾经证明过的一个结论和这一公式有惊人的相似：若、，连接和相交于，过作于，则．若，且以、为宽和长的矩形的面积等于，则以、的长度为根的一元二次方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意可知，，， 以、为宽和长的矩形的面积等于，，， 以、的长度为根的一元二次方程为，故选：． 10．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在矩形中，过点作，垂足为，交于点，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【详解】解：设，，， 四边形是矩形，，， ，，，故①正确； ，，，即，故②错误； ，，∵， ∴，∴， ∴， ， ，，解得，，， 在中，，，故③正确； 在中，，， ，， ，，故④错误； 综上所述，正确的结论有①③，共2个. 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）如图是某几何体的三视图，其俯视图是等边三角形，则这个几何体的体积是________． 【答案】 【详解】解：由三视图可知，该几何体是一个三棱柱，其高为2，其底面是一个高为的等边三角形， 如图所示，是等边三角形，，且， ∴，∴，∴，∴， ∴该几何体的体积为，故答案为：． 12．（25-26九年级上·辽宁阜新·期末）小明家的客厅有一张直径为，高的圆桌，在距地面的A处有一盏灯，圆桌的影子为．如图，根据题意，以为1个单位长度建立平面直角坐标系，其中点的坐标为，则点的坐标是_______． 【答案】 【详解】解：由题意得：，，的边上的高为，的边上的高为，∴，∴，即，∴， ∵点的坐标为，∴，∴， ∴点的坐标是．故答案为：． 13.（2026·陕西·模拟预测）如图，在矩形中，，，连接，点、分别在、上，，若把的面积平分，则的长为___________． 【答案】 【详解】解：过点作于点， 在矩形中，，， ，，，把的面积平分， ，即，， ，，， ，，，． 14．（2026·四川成都·模拟预测）如图是由棱长相等的小立方体摆成的几何体从正面看与从上面看到的形状图，根据图形可以判断组成这个几何体最多要 个小立方块． 【答案】16 【分析】本题考查了由从不同方向看到的形状图来判断最多或最少得正方体的个数，由从上面看到的形状图可以判断底面小正方体的个数，由正面看到的形状图可以判断第二层和第三层小正方体的个数，进而计算作答即可． 【详解】解：由从上面看到的形状图可知，组成这个几何体的底面小正方体有7个，由从正面看到的形状图可知，第二层最少有2个，最多有6个；第三层最少有1个，最多有3个， ∴组成这个几何体最多要：个小立方块，故答案为：16． 15．（2026·成都·校考二模）如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点．分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点E，作射线．以点C为圆心，长为半径作圆弧，恰好经点D，与射线交于点F，连接，．若，则四边形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接交于点． 由作图可知，是等边三角形，， 由作图可知平分，，，，， ，四边形是平行四边形，，四边形是菱形， ，，，∴， 在中，，∴，∴，， 菱形的面积．故答案为：． 16.（2026·四川成都·校考二模）在实数范围内，关于的一元二次方程的两个根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：，；设关于的一元三次方程的三个非零实数根分别为，，则 ；若，则 ． 【答案】 14 【详解】解：关于的一元三次方程的三个非零实数根分别为，， 方程可以写成，即：， ，， ，，即：， 即：，，或或， ，，，，故答案为：；14． 17．（2026·江苏扬州·一模）如图，中，，，点是中点，点在上且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为__________． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接并延长，过点E作交于点G，过点F作交延长线于点H，∵中，，，点是中点， ∴，平分，，∴， ∵，，∴，∵，∴， ∴，∴，即，∴，，∴， ∵，，∴，∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段，∴，， ∴，∴，∴，， ∴，∴． 18．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在正方形中，，点是边的中点，点是对角线上的动点（点在点的上方），且，连接．则的最小值为_____． 【答案】 【详解】解：如图，取的中点，连接，取的中点，连接，连接，交于点， 点是边的中点，是的中位线，，， 在正方形中，，，， ，，四边形是平行四边形， ，， 当点位于点处时，的值最小，即的值最小，将此时的点记为点， 由正方形的对称性可知，，， 又∵，，∴为等腰直角三角形， ∴，． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-21题8分，22-24题每题10分，25-26题每题12分，答案写在答题卡上） 19．（满分8分）（25-26九年级上·河南鹤壁·阶段检测）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系． (1)画出位似中心； (2)求出位似中心的坐标（写出过程） 【答案】(1)如图，点即为所求： （3分） (2)，由图得：， 设直线的解析式为：，将点代入得： ，解得：，∴直线的解析式为：，（6分） ∵所在直线与所在直线x轴的交点坐标即为位似中心， ∴当时，，∴位似中心的坐标为.（8分） 20．（满分8分）（25-26九年级上·上海虹口·期末）根据以下素材，完成探索任务． 情景 制定芯片生产线扩张方案． 素材一 2025年储存芯片成为了全球稀缺商品．某芯片公司引进了一条储存芯片生产线．开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个． 素材二 经调查发现，一条生产线最大满负荷产能是300万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度． 问题解决 任务一 根据素材一，若该生产线每季度生产量的增长率相等，求第一季度到第三季度生产量的每季度增长率． 任务二 根据素材二，为迎接2026年的储存芯片需求，需要增加生产线，现该公司要保证每季度生产储存芯片最大总产能达到1200万个，在增加产能同时要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），请你为该公司决定应该增加多少条生产线． 【答案】任务一： 任务二：条 【详解】解：任务一：设第一季度到第三季度生产量的每季度增长率为， 根据题意得：，解得，（不符合题意，舍去）， 答：第一季度到第三季度生产量的每季度增长率为；（4分） 任务二：设增加条生产线，则每条生产线产能为万个/季度， 根据题意得：， 整理得，即，解得或， 在增加产能同时要节省投入成本， ． 答：应增加条生产线．（8分） 21．（满分8分）（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．          (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； (3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：          如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 【答案】(1)(2)旗杆高度为；(3)雕塑高度为． 【详解】（1）解：由题意得，由题意得：， ∴，故答案为：；（2分） （2）解：如图，由题意得，， 根据镜面反射可知：，（3分） ，，，， ，即，，答：旗杆高度为；（4分） （3）解：设，由题意得：，，（5分） ∴，， 即，，∴，（7分） 整理得，解得，经检验符合 ∴，答：雕塑高度为．（8分） 22．（满分10分）（2026·山西晋中·二模）下面是勤学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 关于“正交四边形”的研究报告研究对象：正交四边形 研究思路：类比特殊平行四边形的学习过程，按“定义—性质—判定”的路径，由一般到特殊展开研究． 概念理解：对角线互相垂直的凸四边形叫作正交四边形；有一条对角线平分另一条对角线的正交四边形是筝形．例如，如图，在凸四边形中，若，则四边形为正交四边形；若，，则四边形为筝形． 问题解决：问题：下列四边形中，是筝形的有 ▲ ； ①平行四边形    ②矩形    ③菱形    ④正方形 问题：如图，分别以的边和为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，使得，，，连接，交于点．求证：四边形是正交四边形． 证明：，． 又，， … 任务： (1)请写出问题中“▲”处空缺的内容为 ． (2)请补全问题的证明过程． (3)在图中，若，，，直接写出的长． 【详解】（1）解：平行四边形和矩形的对角线不满足垂直的性质，故不符合题意； 菱形和正方形的对角线互相垂直且互相平分，故是筝形；（2分） (2)证明：，． 又，，∴∴， ∵，∴ ∴；∴；∴四边形是正交四边形．（6分） （3）解：∵∴，，， ∴， ∴∴，∴（舍负）．（10分） 23．（满分10分）（2026·山东济南·三模）【问题发现与证明】如图1，正方形中，、分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题．将绕点顺时针旋转，得到，可证：．请完成下面的问题． (1)______； (2)求证：． (3)【问题拓展与应用】某公园管理人员发现该公园有一块绿地，如图2所示，四边形是平行四边形，已知米，米，．为提升游客游览的体验感，准备修建三条赏花通道、、，要求点在边上，点为边的中点，且，现计划在所在区域种植郁金香，种植郁金香的费用为每平方米12元，求该公园种植郁金香需要投入多少资金． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，∴，由旋转性质得， ∴；（2分） (2)证明：四边形为正方形，，， ∵将绕点顺时针旋转，得到，，， ，，，∴，即G、B、E共线， ， ，，， 在和中，，，， ，；（5分） （3）解：如图，在上截取，连接并延长使，连接，过作，交延长线于点， 四边形是平行四边形， ，，，，，∴， 为中点，，，为等边三角形， ，，， ，，，，，， ，，， ，， ，，，，， 设，则，， ，，在中，，， ，， 在中，由勾股定理得，解得， 过点作于点，于点，， 在中，，， ，则， ，（平方米）， 需投入的资金为：（元）， 答：该公园种植郁金香需要投入元资金．（10分） 24．（满分10分）（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）【定义新知】给定一个一元二次方程，若一个四边形的两条对角线长恰好是这个方程的两个正实数根，则称这个四边形为该方程的“根对四边形”． 【问题解决】已知一个根对四边形的两条对角线的长是方程（）的两个实数根． (1)当时，求这两条对角线的长． (2)若该根对四边形是矩形，求对角线的长． (3)若该根对四边形是菱形，且边长恰好为，求的值． 【答案】(1)两条对角线的长分别为和(2)对角线的长为(3)的值为 【详解】（1）解将代入方程：， 化简：， 因式分解：，解得，． 两根均为正数，符合对角线长度要求，两条对角线长分别为和．（3分） （2）解：由矩形对角线相等，则方程有两个相等实数根，． ， 令：，，，解得（满足）， 把代入原方程：，， ，，矩形对角线的长为6．（6分） （3）解：设方程两根（对角线长）为，由韦达定理：， 菱形对角线互相垂直平分，边长为，由勾股定理：，两边同乘4：， 由完全平方公式，代入：， ，，解得， 检验：，代入原方程：， 解得，，两根均为正实数，符合对角线长度要求．的值为．（10分） 25．（满分12分）（2026·江西赣州·模拟预测）综合与实践:特例感知：如图1，已知正方形，为对角线上一点，过点作交边于点，连接． (1)填空：________，和的数量关系为________，________（填“是”或“不是”）等腰三角形； (2)类比迁移:如图2，已知菱形，为对角线上一点，过点作交边于点，使得，连接．请判断是不是等腰三角形，并说明理由． (3)拓展探究:如图3，已知矩形，，，为对角线上一动点，点不与点重合，过点作交边于点，连接． ①求证：． ②当是等腰三角形时，请直接写出的长． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形，，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴； ∵四边形为正方形，∴， ∴，∴，， ∵，∴，即， ∴∴，∴是等腰三角形；（3分） (2)解：是等腰三角形，理由如下：∵，∴， ∵，∴， ∵四边形为菱形，∴， ∴，∴，， ∵，∴， 即，∴，∴是等腰三角形；（6分） (3)①证明：如下图，作于点，作于点， ∵四边形为矩形，∴， ∴四边形是矩形，∴，， ∵，∴，∴， 又∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴，∵，∴，∴；（9分） ②解：设，则由①得，∵，∴， 由①可知，∴，则， 若，如下图，则，∴， 解得（此时，舍去），∴； 若，如下图，∵，∴，∴，解得，此时，舍去； 当时，如下图，即，∴ 解得（此时，舍去），∴． 综上所述的长为或2．（12分） 26．（满分12分）（2026·海南省直辖县级单位·二模）数学实践课上，符老师和同学们围绕人教版八下教材页第题展开探讨，并作如下思考： 【教学理解】(1)如图，在正方形中，、分别是边、上的动点，且，不与、重合，不与、重合．在边的上方作等腰，使得，，交于点．①求证：；②求的度数． 【教学思考】(2)如图13-2，若将（1）中的正方形改为菱形，，，其他条件保持不变，请直接写出与的数量关系． 【拓展研究】(3)如图13-2，在（2）的条件下，若，当点运动到的三等分点处时，求的值． 【答案】(1)①四边形是正方形，，， ，，即， ，，．（2分） ②，， ，，，是等腰直角三角形， ，，．（4分） （2）解：，理由如下： ∵，，，∴； ，，，∴； ∵四边形是菱形，∴，∴， ，∴是等腰三角形，∴， 由题知，，，， ， （7分） （3）解：可设， 由（2）可得，，， ，，， i．如图13-2，当时， 由顶角为的等腰三角形的三边关系可得：，， 过点作于点，则，， ，， 在中，， ，，， ，， ，， ii．如备用图，当时，由顶角为的等腰三角形的三边关系可得： ，， 过点作于点，则，， ，， 在中，，， ，，， ，，， 综上，的值为或．（12分） 2 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷（强化版） 参考答案 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C A A C C C D A C 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．【答案】 12．【答案】 13.【答案】 14．【答案】16 15．【答案】 16.【答案】 14 17．【答案】 18．【答案】 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-21题8分，22-24题每题10分，25-26题每题12分，答案写在答题卡上） 19．（满分8分） 【答案】(1)如图，点即为所求： （3分） (2)，由图得：， 设直线的解析式为：，将点代入得： ，解得：，∴直线的解析式为：，（6分） ∵所在直线与所在直线x轴的交点坐标即为位似中心， ∴当时，，∴位似中心的坐标为.（8分） 20．（满分8分） 【答案】任务一： 任务二：条 【详解】解：任务一：设第一季度到第三季度生产量的每季度增长率为， 根据题意得：，解得，（不符合题意，舍去）， 答：第一季度到第三季度生产量的每季度增长率为；（4分） 任务二：设增加条生产线，则每条生产线产能为万个/季度， 根据题意得：， 整理得，即，解得或， 在增加产能同时要节省投入成本， ． 答：应增加条生产线．（8分） 21．（满分8分） 【答案】(1)(2)旗杆高度为；(3)雕塑高度为． 【详解】（1）解：由题意得，由题意得：， ∴，故答案为：；（2分） （2）解：如图，由题意得，， 根据镜面反射可知：，（3分） ，，，， ，即，，答：旗杆高度为；（4分） （3）解：设，由题意得：，，（5分） ∴，， 即，，∴，（7分） 整理得，解得，经检验符合 ∴，答：雕塑高度为．（8分） 22．（满分10分） 【详解】（1）解：平行四边形和矩形的对角线不满足垂直的性质，故不符合题意； 菱形和正方形的对角线互相垂直且互相平分，故是筝形；（2分） (2)证明：，． 又，，∴∴， ∵，∴ ∴；∴；∴四边形是正交四边形．（6分） （3）解：∵∴，，， ∴， ∴∴，∴（舍负）．（10分） 23．（满分10分） 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，∴，由旋转性质得， ∴；（2分） (2)证明：四边形为正方形，，， ∵将绕点顺时针旋转，得到，，， ，，，∴，即G、B、E共线， ， ，，， 在和中，，，， ，；（5分） （3）解：如图，在上截取，连接并延长使，连接，过作，交延长线于点， 四边形是平行四边形， ，，，，，∴， 为中点，，，为等边三角形， ，，， ，，，，，， ，，， ，， ，，，，， 设，则，， ，，在中，，， ，， 在中，由勾股定理得，解得， 过点作于点，于点，， 在中，，， ，则， ，（平方米）， 需投入的资金为：（元）， 答：该公园种植郁金香需要投入元资金．（10分） 24．（满分10分） 【答案】(1)两条对角线的长分别为和(2)对角线的长为(3)的值为 【详解】（1）解将代入方程：， 化简：， 因式分解：，解得，． 两根均为正数，符合对角线长度要求，两条对角线长分别为和．（3分） （2）解：由矩形对角线相等，则方程有两个相等实数根，． ， 令：，，，解得（满足）， 把代入原方程：，， ，，矩形对角线的长为6．（6分） （3）解：设方程两根（对角线长）为，由韦达定理：， 菱形对角线互相垂直平分，边长为，由勾股定理：，两边同乘4：， 由完全平方公式，代入：， ，，解得， 检验：，代入原方程：， 解得，，两根均为正实数，符合对角线长度要求．的值为．（10分） 25．（满分12分） 【详解】（1）解：∵四边形为正方形，，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴； ∵四边形为正方形，∴， ∴，∴，， ∵，∴，即， ∴∴，∴是等腰三角形；（3分） (2)解：是等腰三角形，理由如下：∵，∴， ∵，∴， ∵四边形为菱形，∴， ∴，∴，， ∵，∴， 即，∴，∴是等腰三角形；（6分） (3)①证明：如下图，作于点，作于点， ∵四边形为矩形，∴， ∴四边形是矩形，∴，， ∵，∴，∴， 又∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴，∵，∴，∴；（9分） ②解：设，则由①得，∵，∴， 由①可知，∴，则， 若，如下图，则，∴， 解得（此时，舍去），∴； 若，如下图，∵，∴，∴，解得，此时，舍去； 当时，如下图，即，∴ 解得（此时，舍去），∴． 综上所述的长为或2．（12分） 26．（满分12分） 【答案】(1)①四边形是正方形，，， ，，即， ，，．（2分） ②，， ，，，是等腰直角三角形， ，，．（4分） （2）解：，理由如下： ∵，，，∴； ，，，∴； ∵四边形是菱形，∴，∴， ，∴是等腰三角形，∴， 由题知，，，， ， （7分） （3）解：可设， 由（2）可得，，， ，，， i．如图13-2，当时， 由顶角为的等腰三角形的三边关系可得：，， 过点作于点，则，， ，， 在中，， ，，， ，， ，， ii．如备用图，当时，由顶角为的等腰三角形的三边关系可得： ，， 过点作于点，则，， ，， 在中，，， ，，， ，，， 综上，的值为或．（12分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷（强化版） 考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版九年级上册第一章~第四章。 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（25-26九年级上·山东烟台·期末）下列关于投影的说法正确的是（　　） A．平行投影中的光线是聚成一点的 B．线段的正投影还是线段 C．圆形物体在阳光下的投影可能是椭圆 D．若两人在路灯下的影子一样长，则两人身高也相同 2．（2026·贵州黔东南·三模）黔东南侗族木构建筑营造技艺是国家级非物质文化遗产，其鼓楼、风雨桥等建筑不用一钉一铆，全靠榫卯结构咬合而成，体现了极高的营造智慧．如图①是传统木构件的榫卯结构示意图，图②是其中的一个卯件，箭头方向为正面，则该卯件的主视图是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）一个圆锥体容器的主视图如图1所示，向其中注入一部分水后，水的高度如图2所示，则图2中，上水面所在圆的直径长为（   ） A．6cm B．3cm C．2cm D．1cm 4．（25-26九年级上·四川宜宾·期末）一段加固后的护栏如图所示，该护栏竖直部分是由等距（任意相邻两根木条之间[距离相等）且平行的木条构成．已知，则的长度为（   ） A．20 B． C． D． 5．（25-26九年级上·河北·期末）如图，在平面直角坐标系中，五边形与五边形为位似图形，位似中心是原点，点A坐标为，，则下列说法错误的是（   ） A． B． C．点的坐标为 D．五边形的周长是五边形周长的3倍 6．（25-26九年级下·重庆铜梁·专题练习）首届“渝超”联赛正在进行中，在此期间足球成为某区热点话题，为满足广大足球爱好者的需求，某区准备举行足球邀请赛，规定参赛的每两个队之间比赛一场，共安排了55场比赛，设比赛组织者邀请了x个队比赛，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·开学考试）下列说法：①对角线相等的平行四边形是矩形；②对角线互相垂直的矩形是正方形：③有两边相等的平行四边形是菱形；④有一个角是60°的平行四边形是菱形；⑤顺次连接矩形各边中点形成的四边形是菱形．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2026·山东威海·模拟预测）如图，在中，，，，为上一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接交于点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 9．（2025·广东深圳·模拟预测）小明在学习电路图时，通过实验探究得到并联电路的电阻公式：，这让他联想起数学课堂上曾经证明过的一个结论和这一公式有惊人的相似：若、，连接和相交于，过作于，则．若，且以、为宽和长的矩形的面积等于，则以、的长度为根的一元二次方程为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在矩形中，过点作，垂足为，交于点，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）如图是某几何体的三视图，其俯视图是等边三角形，则这个几何体的体积是________． 12．（25-26九年级上·辽宁阜新·期末）小明家的客厅有一张直径为，高的圆桌，在距地面的A处有一盏灯，圆桌的影子为．如图，根据题意，以为1个单位长度建立平面直角坐标系，其中点的坐标为，则点的坐标是_______． 13.（2026·陕西·模拟预测）如图，在矩形中，，，连接，点、分别在、上，，若把的面积平分，则的长为___________． 14．（2026·四川成都·模拟预测）如图是由棱长相等的小立方体摆成的几何体从正面看与从上面看到的形状图，根据图形可以判断组成这个几何体最多要 个小立方块． 15．（2026·成都·校考二模）如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点．分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点E，作射线．以点C为圆心，长为半径作圆弧，恰好经点D，与射线交于点F，连接，．若，则四边形的面积为 ． 16.（2026·四川成都·校考二模）在实数范围内，关于的一元二次方程的两个根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：，；设关于的一元三次方程的三个非零实数根分别为，，则 ；若，则 ． 17．（2026·江苏扬州·一模）如图，中，，，点是中点，点在上且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为__________． 18．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在正方形中，，点是边的中点，点是对角线上的动点（点在点的上方），且，连接．则的最小值为_____． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-21题8分，22-24题每题10分，25-26题每题12分，答案写在答题卡上） 19．（满分8分）（25-26九年级上·河南鹤壁·阶段检测）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系． (1)画出位似中心； (2)求出位似中心的坐标（写出过程） 20．（满分8分）（25-26九年级上·上海虹口·期末）根据以下素材，完成探索任务． 情景 制定芯片生产线扩张方案． 素材一 2025年储存芯片成为了全球稀缺商品．某芯片公司引进了一条储存芯片生产线．开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个． 素材二 经调查发现，一条生产线最大满负荷产能是300万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度． 问题解决 任务一 根据素材一，若该生产线每季度生产量的增长率相等，求第一季度到第三季度生产量的每季度增长率． 任务二 根据素材二，为迎接2026年的储存芯片需求，需要增加生产线，现该公司要保证每季度生产储存芯片最大总产能达到1200万个，在增加产能同时要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），请你为该公司决定应该增加多少条生产线． 21．（满分8分）（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．          (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； (3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：          如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 22．（满分10分）（2026·山西晋中·二模）下面是勤学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 关于“正交四边形”的研究报告研究对象：正交四边形 研究思路：类比特殊平行四边形的学习过程，按“定义—性质—判定”的路径，由一般到特殊展开研究． 概念理解：对角线互相垂直的凸四边形叫作正交四边形；有一条对角线平分另一条对角线的正交四边形是筝形．例如，如图，在凸四边形中，若，则四边形为正交四边形；若，，则四边形为筝形． 问题解决：问题：下列四边形中，是筝形的有 ▲ ； ①平行四边形    ②矩形    ③菱形    ④正方形 问题：如图，分别以的边和为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，使得，，，连接，交于点．求证：四边形是正交四边形． 证明：，． 又，， … 任务： (1)请写出问题中“▲”处空缺的内容为 ． (2)请补全问题的证明过程． (3)在图中，若，，，直接写出的长． 23．（满分10分）（2026·山东济南·三模）【问题发现与证明】如图1，正方形中，、分别在边、上，且，连接，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题．将绕点顺时针旋转，得到，可证：．请完成下面的问题． (1)______； (2)求证：． (3)【问题拓展与应用】某公园管理人员发现该公园有一块绿地，如图2所示，四边形是平行四边形，已知米，米，．为提升游客游览的体验感，准备修建三条赏花通道、、，要求点在边上，点为边的中点，且，现计划在所在区域种植郁金香，种植郁金香的费用为每平方米12元，求该公园种植郁金香需要投入多少资金． 24．（满分10分）（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）【定义新知】给定一个一元二次方程，若一个四边形的两条对角线长恰好是这个方程的两个正实数根，则称这个四边形为该方程的“根对四边形”． 【问题解决】已知一个根对四边形的两条对角线的长是方程（）的两个实数根． (1)当时，求这两条对角线的长． (2)若该根对四边形是矩形，求对角线的长． (3)若该根对四边形是菱形，且边长恰好为，求的值． 25．（满分12分）（2026·江西赣州·模拟预测）综合与实践:特例感知：如图1，已知正方形，为对角线上一点，过点作交边于点，连接． (1)填空：________，和的数量关系为________，________（填“是”或“不是”）等腰三角形； (2)类比迁移:如图2，已知菱形，为对角线上一点，过点作交边于点，使得，连接．请判断是不是等腰三角形，并说明理由． (3)拓展探究:如图3，已知矩形，，，为对角线上一动点，点不与点重合，过点作交边于点，连接． ①求证：． ②当是等腰三角形时，请直接写出的长． 26．（满分12分）（2026·海南省直辖县级单位·二模）数学实践课上，符老师和同学们围绕人教版八下教材页第题展开探讨，并作如下思考： 【教学理解】(1)如图，在正方形中，、分别是边、上的动点，且，不与、重合，不与、重合．在边的上方作等腰，使得，，交于点．①求证：；②求的度数． 【教学思考】(2)如图13-2，若将（1）中的正方形改为菱形，，，其他条件保持不变，请直接写出与的数量关系． 【拓展研究】(3)如图13-2，在（2）的条件下，若，当点运动到的三等分点处时，求的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $