九年级数学上学期期中模拟·能力进阶卷（新教材湘教版，范围：九年级1-2章图形的相似+锐角的正弦、余弦、正切）

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学参考答案 一、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1 2 3 4 5 6 8 9 10 B D A c C A C 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分 11.6012.913.2或-114.②15. /0816. 8 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 7.6分)【详架1a解收g-6号-营-水 .a=5k-1,b=4k+2,C=6k,…(2分) .2a+b=10k-2+4k+2=14k=7 .3c 18k 18kg:…(3分) (2)解：根据题意得，5k-1+4k+2+6k=91, .k=6,…(4分) .a=29,b=26,C=36…(6分) x1-1 18.(6分)【详解】解：X+2x+1x+1 。x÷x+1-1 …(1分) x2+2x+1x+1 x+12+1…(2分) =X_.x+1 x+12 X =-1 X+1:…(4分) 又X=20s30-an45=2×5-1=5-1,5分) 2 1/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13 原式3-1+13.(6分） 19.(8分)【详解】(1)解：在Rt△ABC中， .'cos A=AC=_20_ AB20V22· ∴.∠A=45°，…(2分) ∴.∠B=90°-∠A=45°，…(3分) ∴.BC=AC=20.…(4分) (2)解：在Rt△ABC中， '.'tan A=BC=26_3 AC 62 3 ∴.∠A=30°，…(6分) ∴.∠B=90°-∠A=90°-30°=60°，AB=2BC=46.…(8分) 20.(8分)【详解】(1)证明：.∠B=∠AED,∠A=∠A, .∴.△ABC一△AED;…(4分) (2)解：.'△ABC一△AED, ..AB_AC AEAD,…(6分) .AB=10,AC=8,AD=4, 108 ·AE41 .AE=5.…(8分) 21.(10分)【详解】(1)解：由题意知：AB‖MN,PB⊥MN, ∴.∠PAB=∠APM=65°，PB⊥AB, 因此△ABP是直角三角形，∠ABP=90°， tan∠PAB=PB AB,…（2分) 即PB=AB·tan65°≈14×2.14=29.96≈30米；…(3分) (2)解：凤舟20秒内航行的路程等于BC的长度， 由题意知：AB‖MN,PB⊥MN, ∴.∠C=∠CPN=29°，PB⊥BC, 2/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△PBC是直角三角形，∠PBC=90°， tanC=PB BC 片BC=PB。2996≈54.47米，（5分 tan29°0.55 BC≈54.47≈2.72米/秒：…(6分) 2020 (3)解：设凤舟10秒内航行的路程BD=x米，过D作DE⊥MN交MN于点E, A B 40° 人63° M G 可得四边形BDEG是矩形， .乙=BD=x米， 根据三角函数可知DE=BD·tan40°=xtan40°米， 同时DE=(x-GH)·tan63°=(x-20)tan63°米.…(8分) .tan40°≈0.84，tan63°≈1.96， .0.84x=1.96x-20, 解得x=35, 因此平均速度v38-3.5米/形.(10分》 10 22.(10分)【详解】(1)解：原式=-x2-2x+1+4=-x-12+4. .x-12≥0， .-x-12≤0， .-x-1}+4≤4 .-x2+2x+3的最大值为4.…(3分) (2)解：如图， B M H 3/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,直角三角形木板ABC的面积为13.5m2,一条直角边AB长为4.5m, AB8C=135,印：支×45BC=135,解得：BC=-6m. AC=AB+BC2-4.52+62=7.5m,…(6分) BH⊥EF, 号ABB=号ACBH,:45×6=75B,期：8Hm, 在矩形DEFG中有：DG=EF,DE=MH=GF,DG‖EF, .BH⊥DG, .DG EF, ∴.∠BDM=∠BAC,∠BGM=∠BCA, ,∠BMD=∠ABC=∠GMB=90°， ∴.△DMB~△ABC,△BMG一△ABC BM_BC BMAB ·DMAB'GMBC, …(7分) 设DE=MH=GF=x,则BM=BH-HM=18- 5 X, 18 18 -X -X .5 =6,5 45, DM 4.5 GM 6 :DM=22_3 104x,GM 244 53x, :.DG=DM+GM=15_25 212 X,…(8分) 设矩形DEFG的面积为S,则： S=DE·DG= xx=-25x+5x= 15_25 25 27 212 1 X一 12 4 912 ≥0」 x /s0, 当x= 时，S= 9 5 4-4 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 27 心矩形台面面积的最大值为4m.…(10分) 23.(12分)【详解】(1)解：将x=0代入y=kx+3,得y=3, ∴.点B的坐标为0,3，OB=3, 在Rt△0AB中，OA=OB:tan∠OBA=3×5-5 3 点A的坐标为3,0，…(1分) 将点A3,0代入y=kx+3,得， 3k+3=0, 解得k=-3;…(3分) (2)解：由题意可知，AP=t, 当0≤t≤3时，OQ=0, .S=0;…(4分) 当t>3时，0Q=t-3, sapo0--3=3 00≤t≤3 …(6分) (3)解：如图，设直线y=V3x+b交y轴于点F,作DG⊥x轴于点G,作EH上x轴于点H,在x轴正半 轴上取点M,使得AM=AD,连接DM,设∠CAD=2C, D G M衣 将x=0代入y=3x+b,得y=b, ∴点F的坐标为0，b,OF=b, 将y=0代入y=3x+b,得x=3b. 3 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点P的坐标为 b0 OP-. 3 3 tan 2OPF=OF b=3 在Rt△OPF中， OP 3 .∠OPF=60°，…(7分) 由(2)可知，AP=t,OQ=t-3, .DP=OQ, .DP=t-3, 在△DG,PG=nPs0PF=i-3×号‘23 DG=DP-sin∠opF=t-3×83_3L-3 2 2 ·AG=AP-PG=t-C-3=t+3 2-2, 在Rt△ADG中，AD=VAG2+DG .w- .AD=AM, AM=T-3L+9.∠DMG=∠ADM=∠DAP,(8分) GM=AG+AM=2-31+9+1+3 .∠DAP=2∠OQA, ∴.∠DMG=∠OQA, 又：∠AOQ=∠DGM=90°， .△OAQ-△GDM, 8器w -3t+9++3 V3t-3 2 2 t-3 3 整理，得2V-3t+9=t2-7t+6, 两边平方并整理，得t4-14t3+57t2-72t=0, 因式分解，得tt-8川t-3=0, t>3, 6/10 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴t=8, .0Q=t-3=5,AP=t=8,…(9分) .2∠AEP-∠CAD=60°， :∠AEP=60°+∠CAD 2 =30°+0， .∠EAH=∠BAO=90°-∠OBA=60°， .∠DAP=∠BAO-∠CAD=60°-2a,∠APE=∠BAO-∠AEP=30°-a,.(10分) .∠DAP=2∠OQA, ∠0QA-号DMP=30-&=∠APE, ,∠EHP=∠AOQ=90°， ∴.△OAQ-△HEP, 调器 :PH=00EH5距l,11分 OA 3 在Rt△AEH中，AH=, EH」 H, tan∠EAH3 .AP-PH-AH-43 EH-8. 3 解得EH=23, :PH=583H=10. 3 在Rt△PEH中，PE=VPH2+EH2=102+|23}=4V7.…(12分) 24.(12分)【详解】(1)解：，在正方形ABCD中，BC=CD,∠BCD=90°， ∴.∠BCE=∠DCF=90°. .CE=CF, 在△CBE和△CDF中， CE=CF BCE=∠DCF=90° BC=CD ∴△CBE≌△CDF SAS, .BE=DF.…(2分) 7/10 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 连接CG、CH, D H G,H分别是BE,DF的中点， CG=FG=号BE.CH=DH=Dr, CG=CH,∠BEC=∠ECG,∠DCH=∠FDC.…(3分) ,△CBE≌△CDF SAS, ∴，∠BEC=∠F, ∴.∠GCH=∠GCD+∠DCH=∠F+∠FDC=90°， ∴△GCH是等腰直角三角形， :GH=2CG=2×5B那=2BE,(4分) 2 (2)如图，连接CG、CH, G .矩形ABCD中，∠BCD=90, ∴.∠BCE=∠DCF=90 .BC=12,AB=CD=6,CE=2CF, BC_CE=2, ∴CDCF .△CBE一△CDF, BE-2,∠BEC=∠F.(6分) D G,H分别是BE,DF的中点， .CG=EG-BE.CH-DH-DF, 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CG 2 BE .∠BEC=∠ECG,∠DCH=∠FDC, CH DF =2 2 ∴.∠GCH=∠GCD+∠DCH=∠F+∠FDC=90°，CG=2CH, .GH-VCG+CI-cG-cG-5cG, 2 ..GH=- 22 5BE.…(7分) :GH=52, .BE=410.…(8分) (3)连接CG,CH,BD,延长CG交AB于点L,连接EI. ,在平行四边形ABCD中，ADBC, ∴.∠BCE+∠ADC=180°，AD=BC, .BC=AC=5, ∴.AD=AC, ∴.∠ADC=∠ACD .∠ACD+∠DCF=180°， ∠BCE=∠DCF.…(9分) .AB=CD=6. BC_5 DC6' CE 5 CF6' BC CE ∴DCCF1 ∴.△CBE一△CDF, .∠CBE=∠CDF.…(10分) 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :G,H分别是BE,DF的中点， CG_BE_BC_5 CH DF CD 6' BC-BE_2BG_BG CD DF 2DH DH' ∴.△BCG~△DCH ∴.∠BCG=∠DCH, ∴.∠BCG+∠DCG=∠DCH+∠DCG即∠BCD=∠HCG. 器器 CB CD ∴CGCH ∴，△CGH一△CBD, 路 CG_GH_2 CBBD 5' .CG=2. ∴.∠GBI=∠GEC,BG=EG,∠BGI=∠EGC, ∴.△BGI≌△EGCASA, ∴.CE=BI,CG=GI=2, .C1=4,…(11分) 过点C作C1AB于点，则AI=BJ=)AB=3, ..CJ=AC2-AJ2=4, ..CI=CJ, 点I、J重合， ∴.AI=AJ=3, .CE=A1=3.…（12分) 10/10 2026-2027学年八年级上学期期中模拟卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．很多手机专门为老年人推出了“大字版”功能，那么用大字版看到的图形与原图形（     ） A．全等 B．相似 C．轴对称 D．中心对称 【答案】B 【分析】手机大字版只是把图形放大，图形的形状没有改变，大小改变，属于图形的缩放，是相似变换． 【详解】解：大字版是将原图形按比例放大，所得图形与原图形形状相同、大小不同． ∵全等图形要求形状、大小均相同， ∴A不符合题意． ∵轴对称、中心对称的两个图形大小均不变， ∴C，D不符合题意． ∵相似图形形状相同，大小可不同， ∴B符合题意． 2．已知为锐角，且，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据特殊角三角函数值，结合已知条件，得到的值并求出． 【详解】解：由，根据特殊角三角函数值得： ， 解得， 经检验是锐角，符合题意． 故选：B． 3．在Rt中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，先利用勾股定理求出，然后利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：在中，， ∴， ∴． 4．如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（     ） A．9 B．3 C．5 D．6 【答案】D 【分析】由平行线分线段成比例定理，得，代入已知线段的长度求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 5．如图玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比（）时，可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据黄金比列方程求解即可． 【详解】解：根据题意得， ∴ ∴． 6．下列的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与相似的三角形所在的网格图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理求线段的长，相似三角形的判定方法：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，判断即可． 【详解】解：根据勾股定理，， 由题意可知：， 所以，夹直角的两边的比为， A、该三角形中无直角，故本选项不符合题意； B、该三角形中，夹直角的两边的比为，故本选项不符合题意； C、该三角形中，夹直角的两边的比为，故本选项符合题意； D、该三角形中，夹直角的两边长为和，比为，故本选项不符合题意． 7．若锐角满足，则锐角的度数可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的余弦值． 求出和时锐角的度数，取中间范围即可． 【详解】解：∵， ， ∴当时，． 只有C在范围内， 故选：C． 8．如图是高铁站自动检票口的双翼闸机，检票后双翼收起，通过闸机的物体的最大宽度为，检票前双翼展开呈扇形和扇形，若，，则A，B两点之间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于，过作于，则可得和的长，依据通过闸机的物体的最大宽度为，即可得到A，B两点之间的距离． 【详解】解：如图所示过作于，过作于， 则中，，， ， 同理可得， 又通过闸机的物体的最大宽度为， A，B两点之间的距离为. 9．在边长为6的菱形中，，点E是延长线上一点，连接交于点F，平分交的延长线于点G．若，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点B作于点H，证明，得出，求出，根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理分别求出，，证明，得出，最后求出结果即可． 【详解】解：过点B作于点H，如图所示： 则， ∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．如图，正方形中，点，分别是边，上的两个动点，且正方形的周长是周长的倍．连接、分别与对角线交于点、，给出如下几个结论：①若，，则；②；③若，，则；④若，，则，其中正确结论的序号为（     ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】对于①，由题干条件容易得出，相加即可；对于②，延长至点，使得，利用“半角”模型与正方形的性质容易证明与，则，，由三角形外角的性质可得；对于③，作于点，连接，，容易证明与，则，，同理，，因此是直角三角形，使用勾股定理计算出即可；对于④，由③可得，，，则，推出，通过导角可得，解直角三角形可计算出． 【详解】解：对于①，正方形的周长是周长的倍， ，即， ， ，， ，故①正确； 对于②，如图，延长至点，使得， 由①可得， ， 四边形是正方形， ，，， ， 在和中， ， ， ，，， 在和中， ， ， ，，， ， ， ， 又 ，， ， ，故②正确； 对于③，如图，作于点，连接，， 由②可得，，， ， ， 在和中，， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， 同理，， ，， ， 在中，，故③正确； 对于④，由③可得，，， ， 在中，， ， ，，且， ， ，即， ， ， ，即， ，故④错误； 综上，正确的结论为①②③， 故选：C． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．已知为锐角，且，则______． 【答案】60 【分析】先对已知等式变形得到的值，结合特殊角的三角函数值和为锐角的条件，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵为锐角，即， ∴， ∴． 12．如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形（四边形），，若四边形的面积是1，则四边形的面积是__________． 【答案】9 【分析】通过位似得到四边形与四边形相似比为，然后根据相似多边形面积的比等于相似比的平方求解． 【详解】解：∵四边形与四边形是位似图形， ∴， ∵， ∴． 13．如果，那么k的值为______________． 【答案】或 【分析】利用等比性质，先把原式变形得到，三式相加，分和两种情况讨论，分别算出k的值即可． 【详解】解：， ， ， 当时，，解得； 当时，，， 综上所述，k的值为或． 14．中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂，如图所示是中国象棋的棋盘（各个小正方形的边长均相等），根据“马走日”的规则，“马”应该落在位置___处，能使“马”，“炮”，“兵”所在位置的格点构成的三角形与“帅”，“车”，“相”所在位置的格点构成的三角形相似． 【答案】② 【分析】利用勾股定理求得三角形的各边的长，确定“帅”、“车”“相”所在位置的格点构成的三角形的三边的长，然后利用相似三角形的对应边的比相等确定第三个顶点的位置即可； 【详解】解：， 由图可知：“帅”、“车”、“相”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为4，2，， “兵”、“炮”之间的距离为2， “炮”与②之间的距离为1，“兵”与②之间的距离为， 马应该落在②的位置． 15．如图，是斜边上的高，，，则的值为________． 【答案】 /0.8 【分析】先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据同角的余角相等得到，最后根据锐角三角函数的定义求出的值． 【详解】解：∵ 是直角三角形，，， ∴ 由勾股定理得 ∵ 是斜边 上的高， ∴ ∴ ， ∴ ∴ ． 16．如图，矩形中，，在边上取一点，将翻折，使点落在点处，折痕为，于点．若交于点，则______． 【答案】 【分析】过点P作交的延长线于点H，根据矩形的性质得到，则可求出；证明，得到；设，则，由折叠的性质可得，由勾股定理得，解得或（舍去），，可得，解得． 【详解】解：如图所示，过点P作交的延长线于点H， ∵四边形是矩形， ∴， ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 设，则， 由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（6分）已知a，b，c是的三边长，且 (1)求的值； (2)若的周长为91，求各边的长． 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）设，表示出a，b，c，然后代入求解； （2）根据的周长求出，然后求解即可． 【详解】（1）解：设， ∴，，， ∴； （2）解：根据题意得，， ∴， ∴，，． 18．（6分）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先化简分式，再根据特殊角的三角函数值求出的值，最后代入化简结果计算即可． 【详解】解： ； 又， ∴原式． 19．（8分）在Rt中，． (1)若，解这个直角三角形． (2)若，解这个直角三角形． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，解决本题的关键是熟练掌握解直角三角形的基本知识． （1）利用求出的余弦值，进而得到的度数，再利用直角三角形锐角互余，求出的度数，进而求出长度. （2）利用求出的正切，进而得到的度数，再利用直角三角形锐角互余，求出的度数，利用含直角三角形性质进而求出长度. 【详解】（1）解：在中， ， . （2）解：在中， ， . 20．（8分）如图，在中，点、分别在边、上，且．若，，． (1)证明：； (2)求线段的长． 【答案】(1) 证明：，， ； (2)5 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质； （1）根据，即可证得结论； （2）由可得，再代入数值计算即可； 【详解】（1）略 （2）解：， ， ，，， ， ． 21.（10分）凤舟赛是广元女儿节传统民俗文化体育运动，入选中华体育文化优秀项目．为筹备凤舟赛，某训练队进行了如下测量： 测量任务 任务一：测量“初始速度” 任务二：测量“冲刺速度” 示意图       已知条件 凤舟长度约为14米，训练过程中凤舟始终与河岸平行． 实施过程 凤舟出发前，河岸观测点与舟头的连线，同时测得与舟尾的连线与河岸的夹角，当凤舟出发20秒时，舟头到达点并测得与河岸的夹角． 当舟头行进到与观测点的连线时开始计时，舟头到达终点时，用时10秒，同时测得与夹角，在距离点20米的点处测得与的夹角． 解决对应的问题． 任务一：（参考数据：，） (1)求凤舟与河岸的距离；（结果保留整数） (2)求凤舟前20秒的平均速度．（结果保留两位小数） 任务二：（参考数据：，） (3)求凤舟最后10秒的平均速度． 【答案】(1)米； (2)米/秒； (3)3.5米/秒． 【分析】（1）根据平行线的性质得到，，进而可知，根据三角函数计算即可； （2）同（1）计算即可； （3）设凤舟10秒内航行的路程米，过作交于点E，根据三角函数求出的表达式，列方程求出x的值，进而可知凤舟最后10秒的平均速度． 【详解】（1）解：由题意知：，， ∴，， 因此是直角三角形，， ∴， 即米； （2）解：凤舟20秒内航行的路程等于的长度， 由题意知：，， ∴，， ∴是直角三角形，， ， ∴米， ∴米/秒； （3）解：设凤舟10秒内航行的路程米，过作交于点E， 可得四边形是矩形， ∴米， 根据三角函数可知米， 同时米． ∵，， ∴， 解得， 因此平均速度米/秒． 22.（10分）【主题】如何裁剪木板使面积最大． 素材1：利用配方法求解一元二次方程的解是常用的解题方法，这种方法还可以用来求解代数式的最值． 素材2：求解代数式的最大值． 解：原式 _________；__________ _________；的最大值为4． 【问题解决】 (1)请补全素材2中的解题过程； (2)如图，有一块直角三角形木板的面积为，一条直角边长为，现王师傅要沿着边截一个矩形台面，D，G分别在边，上，，分别与，交于点M，H，求该矩形台面面积的最大值． 【答案】(1)0，0，4 (2) 【分析】（1）根据平方的非负性与不等式的性质进行求解即可； （2）根据直角三角形的面积，求出，再根据勾股定理求出，进而结合等积变换求出，根据矩形性质得，，，即可得，，再根据，即可证明，，根据相似性质得 ， ，设，则，进而得，，即可求出，设矩形的面积为，再根据矩形面积公式即可得，配方后根据偶次方的非负性即可得矩形台面面积的最大值． 【详解】（1）解：原式． ∵， ∴， ∴ ∴的最大值为4． （2）解：如图， ∵直角三角形木板的面积为，一条直角边长为， ∴，即：，解得：， ∴， ∵， ∴，即：，解得：， 在矩形中有：，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， ， 设，则， ∴，， ∴，， ∴， 设矩形的面积为，则： ，   ∵， ∴， ∴当时，， ∴矩形台面面积的最大值为． 23．（12分）已知：在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，． (1)如图1，求的值； (2)如图2，点从点出发，沿轴负方向以每秒个单位长度的速度运动，秒后，点从原点出发，以相同速度沿轴正方向运动，连接、，设点的运动时间为，的面积为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，过点的直线交直线于点，在上，使，连接，，在延长线上，连接，若，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用一次函数的解析式求出的长，再使用三角函数求出，最后将点的坐标代入解析式即可求出； （2）分为和两种情况讨论，用代数式表示出与，再求出的面积即可； （3）设直线交轴于点，作轴于点，作轴于点，在轴正半轴上取点，使得，连接，设，容易判断，使用三角函数可计算出，，由勾股定理可得．由三角形外角的性质可得，进而证明，则，可得方程，使用因式分解法解方程结合可得．通过导角可得，则，从而得到，利用三角函数可得，由可得，最后使用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴点的坐标为，， 在中，， ∴点的坐标为， 将点代入，得， ， 解得； （2）解：由题意可知，， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上，； （3）解：如图，设直线交轴于点，作轴于点，作轴于点，在轴正半轴上取点，使得，连接，设， 将代入，得， ∴点的坐标为，， 将代入，得， ∴点的坐标为，， 在中，， ∴， 由（2）可知，，， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 整理，得， 两边平方并整理，得， 因式分解，得， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 在中，． 24．（12分）按要求解答下列问题： (1)如图1，四边形为正方形，E为边上一点，F为延长线上一点，G，H分别是，的中点，连接．且，试猜想：与之间的数量关系为________．与之间的数量关系为________； (2)如图2，四边形为矩形，E为边上一点，F为延长线上一点，G，H分别是，的中点，连接．，，且，，求的长． (3)如图3，四边形为平行四边形，，，E为边上一点，F为延长线上一点，连接．G，H分别是，的中点，连接．，当时，求的长． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质和已知条件可判定，由全等性质得到对应边；连接、，利用直角三角形斜边中线性质和全等三角形性质，得到是等腰直角三角形，继而得出与的关系． （2）根据矩形性质和已知条件可判定，得出与的比例关系，利用中点性质和相似三角形性质，结合勾股定理，求出的长． （3）根据相似三角形判定定理“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得，得出；接着证明，得出；证明，求出的长度；最后通过证明三角形全等和利用等腰三角形性质，求出的长度． 【详解】（1）解：∵在正方形中，，， ∴． ∵， 在和中， ， ∴， ∴． 连接、， ∵G，H分别是，的中点， ∴，， ∴，，． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． （2）如图，连接、， ∵矩形中，， ∴． ∵，，， ∴， ∴， ∴，． ∵G，H分别是，的中点， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）连接，，，延长交于点I，连接． ∵在平行四边形中，， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵G，H分别是，的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴即． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴，，， ∴， ∴，， ∴， 过点C作于点J，，则， ∴， ∴， ∴点I、J重合， ∴， ∴． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版九年级1-2（图形的相似+锐角的正弦、余弦、正切） 5．难度系数：0.75 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．很多手机专门为老年人推出了“大字版”功能，那么用大字版看到的图形与原图形（     ） A．全等 B．相似 C．轴对称 D．中心对称 2．已知为锐角，且，则等于（     ） A． B． C． D． 3．在Rt中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 4．如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（     ） A．9 B．3 C．5 D．6 5．如图玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比（）时，可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度为（    ） A． B． C． D． 6．下列的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与相似的三角形所在的网格图形是（     ） A． B． C． D． 7．若锐角满足，则锐角的度数可能为（   ） A． B． C． D． 8．如图是高铁站自动检票口的双翼闸机，检票后双翼收起，通过闸机的物体的最大宽度为，检票前双翼展开呈扇形和扇形，若，，则A，B两点之间的距离为（     ） A． B． C． D． 9．在边长为6的菱形中，，点E是延长线上一点，连接交于点F，平分交的延长线于点G．若，则的长是（     ） A． B． C． D． 10．如图，正方形中，点，分别是边，上的两个动点，且正方形的周长是周长的倍．连接、分别与对角线交于点、，给出如下几个结论：①若，，则；②；③若，，则；④若，，则，其中正确结论的序号为（     ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．已知为锐角，且，则______． 12．如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形（四边形），，若四边形的面积是1，则四边形的面积是__________． 13．如果，那么k的值为______________． 14．中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂，如图所示是中国象棋的棋盘（各个小正方形的边长均相等），根据“马走日”的规则，“马”应该落在位置___处，能使“马”，“炮”，“兵”所在位置的格点构成的三角形与“帅”，“车”，“相”所在位置的格点构成的三角形相似． 15．如图，是斜边上的高，，，则的值为________． 16．如图，矩形中，，在边上取一点，将翻折，使点落在点处，折痕为，于点．若交于点，则______． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（6分）已知a，b，c是的三边长，且 (1)求的值； (2)若的周长为91，求各边的长． 18．（6分）先化简，再求值：，其中． 19．（8分）在Rt中，． (1)若，解这个直角三角形． (2)若，解这个直角三角形． 20．（8分）如图，在中，点、分别在边、上，且．若，，． (1)证明：； (2)求线段的长． 21.（10分）凤舟赛是广元女儿节传统民俗文化体育运动，入选中华体育文化优秀项目．为筹备凤舟赛，某训练队进行了如下测量： 测量任务 任务一：测量“初始速度” 任务二：测量“冲刺速度” 示意图       已知条件 凤舟长度约为14米，训练过程中凤舟始终与河岸平行． 实施过程 凤舟出发前，河岸观测点与舟头的连线，同时测得与舟尾的连线与河岸的夹角，当凤舟出发20秒时，舟头到达点并测得与河岸的夹角． 当舟头行进到与观测点的连线时开始计时，舟头到达终点时，用时10秒，同时测得与夹角，在距离点20米的点处测得与的夹角． 解决对应的问题． 任务一：（参考数据：，） (1)求凤舟与河岸的距离；（结果保留整数） (2)求凤舟前20秒的平均速度．（结果保留两位小数） 任务二：（参考数据：，） (3)求凤舟最后10秒的平均速度． 22.（10分）【主题】如何裁剪木板使面积最大． 素材1：利用配方法求解一元二次方程的解是常用的解题方法，这种方法还可以用来求解代数式的最值． 素材2：求解代数式的最大值． 解：原式 _________；__________ _________；的最大值为4． 【问题解决】 (1)请补全素材2中的解题过程； (2)如图，有一块直角三角形木板的面积为，一条直角边长为，现王师傅要沿着边截一个矩形台面，D，G分别在边，上，，分别与，交于点M，H，求该矩形台面面积的最大值． 23．（12分）已知：在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，． (1)如图1，求的值； (2)如图2，点从点出发，沿轴负方向以每秒个单位长度的速度运动，秒后，点从原点出发，以相同速度沿轴正方向运动，连接、，设点的运动时间为，的面积为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，过点的直线交直线于点，在上，使，连接，，在延长线上，连接，若，求的长． 24．（12分）按要求解答下列问题： (1)如图1，四边形为正方形，E为边上一点，F为延长线上一点，G，H分别是，的中点，连接．且，试猜想：与之间的数量关系为________．与之间的数量关系为________； (2)如图2，四边形为矩形，E为边上一点，F为延长线上一点，G，H分别是，的中点，连接．，，且，，求的长． (3)如图3，四边形为平行四边形，，，E为边上一点，F为延长线上一点，连接．G，H分别是，的中点，连接．，当时，求的长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版九年级1-2（图形的相似+锐角的正弦、余弦、正切） 5．难度系数：0.75 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．很多手机专门为老年人推出了“大字版”功能，那么用大字版看到的图形与原图形（     ） A．全等 B．相似 C．轴对称 D．中心对称 2．已知为锐角，且，则等于（     ） A． B． C． D． 3．在Rt中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 4．如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（     ） A．9 B．3 C．5 D．6 5．如图玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比（）时，可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度为（    ） A． B． C． D． 6．下列的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与相似的三角形所在的网格图形是（     ） A． B． C． D． 7．若锐角满足，则锐角的度数可能为（   ） A． B． C． D． 8．如图是高铁站自动检票口的双翼闸机，检票后双翼收起，通过闸机的物体的最大宽度为，检票前双翼展开呈扇形和扇形，若，，则A，B两点之间的距离为（     ） A． B． C． D． 9．在边长为6的菱形中，，点E是延长线上一点，连接交于点F，平分交的延长线于点G．若，则的长是（     ） A． B． C． D． 10．如图，正方形中，点，分别是边，上的两个动点，且正方形的周长是周长的倍．连接、分别与对角线交于点、，给出如下几个结论：①若，，则；②；③若，，则；④若，，则，其中正确结论的序号为（     ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．已知为锐角，且，则______． 12．如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形（四边形），，若四边形的面积是1，则四边形的面积是__________． 13．如果，那么k的值为______________． 14．中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂，如图所示是中国象棋的棋盘（各个小正方形的边长均相等），根据“马走日”的规则，“马”应该落在位置___处，能使“马”，“炮”，“兵”所在位置的格点构成的三角形与“帅”，“车”，“相”所在位置的格点构成的三角形相似． 15．如图，是斜边上的高，，，则的值为________． 16．如图，矩形中，，在边上取一点，将翻折，使点落在点处，折痕为，于点．若交于点，则______． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（6分）已知a，b，c是的三边长，且 (1)求的值； (2)若的周长为91，求各边的长． 18．（6分）先化简，再求值：，其中． 19．（8分）在Rt中，． (1)若，解这个直角三角形． (2)若，解这个直角三角形． 20．（8分）如图，在中，点、分别在边、上，且．若，，． (1)证明：； (2)求线段的长． 21.（10分）凤舟赛是广元女儿节传统民俗文化体育运动，入选中华体育文化优秀项目．为筹备凤舟赛，某训练队进行了如下测量： 测量任务 任务一：测量“初始速度” 任务二：测量“冲刺速度” 示意图       已知条件 凤舟长度约为14米，训练过程中凤舟始终与河岸平行． 实施过程 凤舟出发前，河岸观测点与舟头的连线，同时测得与舟尾的连线与河岸的夹角，当凤舟出发20秒时，舟头到达点并测得与河岸的夹角． 当舟头行进到与观测点的连线时开始计时，舟头到达终点时，用时10秒，同时测得与夹角，在距离点20米的点处测得与的夹角． 解决对应的问题． 任务一：（参考数据：，） (1)求凤舟与河岸的距离；（结果保留整数） (2)求凤舟前20秒的平均速度．（结果保留两位小数） 任务二：（参考数据：，） (3)求凤舟最后10秒的平均速度． 22.（10分）【主题】如何裁剪木板使面积最大． 素材1：利用配方法求解一元二次方程的解是常用的解题方法，这种方法还可以用来求解代数式的最值． 素材2：求解代数式的最大值． 解：原式 _________；__________ _________；的最大值为4． 【问题解决】 (1)请补全素材2中的解题过程； (2)如图，有一块直角三角形木板的面积为，一条直角边长为，现王师傅要沿着边截一个矩形台面，D，G分别在边，上，，分别与，交于点M，H，求该矩形台面面积的最大值． 23．（12分）已知：在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，． (1)如图1，求的值； (2)如图2，点从点出发，沿轴负方向以每秒个单位长度的速度运动，秒后，点从原点出发，以相同速度沿轴正方向运动，连接、，设点的运动时间为，的面积为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，过点的直线交直线于点，在上，使，连接，，在延长线上，连接，若，求的长． 24．（12分）按要求解答下列问题： (1)如图1，四边形为正方形，E为边上一点，F为延长线上一点，G，H分别是，的中点，连接．且，试猜想：与之间的数量关系为________．与之间的数量关系为________； (2)如图2，四边形为矩形，E为边上一点，F为延长线上一点，G，H分别是，的中点，连接．，，且，，求的长． (3)如图3，四边形为平行四边形，，，E为边上一点，F为延长线上一点，连接．G，H分别是，的中点，连接．，当时，求的长． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $