九年级数学上学期期中模拟卷（新教材北师大版第1～4章，高效培优·提升卷）

2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷（提升卷） 考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版九年级上册第一章~第四章。 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1.（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．正投影可能是平行投影也可能是中心投影 B．物体在灯光下产生的投影可能是物体的正投影 C．物体在太阳光下产生的投影是物体的平行投影 D．电灯的光源距离投影面较远的投影就是平行投影 2．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）方程左边配成完全平方后所得的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏无锡·二模）如图是由5个棱长为1的小正方体组成的几何体，它的俯视图的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2026·河北邯郸·模拟预测）已知直线及直线外一点C，嘉淇用尺规按①~③的步骤操作，如图： ①在直线上任取两点D，E，作射线； ②以点D为圆心，长为半径画弧交射线于点F，作射线； ③以点E为圆心，长为半径画弧交射线于点G，作直线． 根据嘉淇的作图，下列结论： 结论Ⅰ：；结论Ⅱ：；结论Ⅲ：；结论Ⅳ：． 其中一定正确的是（    ） A．只有结论Ⅰ B．只有结论Ⅱ C．结论Ⅱ和Ⅳ D．结论Ⅱ和Ⅲ 5．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（    ） A．当，是矩形 B．当，是矩形 C．当，是菱形 D．当，是正方形 6．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．若点C是线段的黄金分割点，，则 B．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为2 C．平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积 D．两个正六边形一定位似 7．（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，四边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，，若四边形的面积为8，则四边形的面积为（   ） A．12 B．18 C．24 D．27 8．（25-26八年级下·北京·阶段检测）如图，菱形的对角线、相交于点，点为边上一动点（不与点、重合），于点，于点．若，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 9．（2026·黑龙江·校考一模）如图，E是正方形边上的一点，，点H在边上，，连接．交于点G，交于点F．下列结论：①；②；③F是的中点；④．其中正确结论的序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 10．（2026·安徽·模拟预测）如图，为等腰直角三角形，，，为线段上任意一动点，以为斜边作等腰，连接，下列说法：①；②；③；④；⑤四边形的面积有最大值，且最大值为．正确的结论是（     ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（25-26九年级上·山东泰安·期中）如图是由一些相同的小正方体搭成的几何体的三视图，那么搭成这个几何体的小正方体有_______个． 12．（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段检测）已知，则k的值为_________． 13．（2025·四川成都·模拟预测）已知m，n是一元二次方程的两根，且满足，则k的值为 ． 14．（25-26九年级上·江苏扬州·开学考试）如图，中，D为的中点，点E在上，且，要使以A、D、E为顶点的三角形与相似，则_____． 15．（25-26九年级上·成都·校考期中）数学中，把这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为，则的长为 cm． 16.（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知：的两个实数根为、；方程的两个实数根为、，且，则_____． 17．（2026·浙江宁波·模拟预测）如图，中，，，，连接交于P点，则的值为 ． 18．（2026·天津河西·二模）如图，在正方形中，点是边上一点，点是边延长线上一点，点是的中点，连接并延长交边于点．若，． （1）的长度为________；（2）线段的长为________． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-21题8分，22-24题每题10分，25-26题每题12分，答案写在答题卡上） 19．（满分8分）（25-26九年级上·成都·校考期末）按要求解下列方程： (1)；（配方法） (2)；（用适当方法） (3)；（公式法） (4)．（用适当方法） 20．（满分8分）（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）如图是由边长为1的小正方形组成的 的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务． (1)在图 1 中，画，使点E在格点上，且与相似，且相似比为2；（只需画一个即可） (2)在图 2 中，线段上找一点P，使（保留作图痕迹）． 21．（满分8分）（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）如图是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段表示站在广场上的小亮，线段表示直立在广场上的灯杆，点表示照明灯的位置． (1)在小亮由向行走的过程中，他在地面上的影子的变化情况为 ；(填“变长”或“变短”) (2)当小亮离开灯杆的距离时，身高为的小亮的影长为，问当小亮离开灯杆的距离时，小亮的影长是多少？ 22．（满分10分）（25-26八年级下·江苏苏州·期末）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”． (1)下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）． ①；②；③． (2)若是“美丽方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，均为常数，）为“美丽方程”，请写出、满足的数量关系，并说明理由． 23．（满分10分）（2026·河南洛阳·一模）根据以下素材，完成任务． 素材1：优优生鲜超市月份在某配送平台开展外送服务．已知该超市月份第一周在该配送平台完成订单单，月份第三周完成订单单． 素材2：该配送平台每单的配送成本为4元，当每单配送费定为8元时，日订单量为单；若配送费每提高1元，日订单量将减少单． 问题解决 任务：(1)求该超市月份第一周到第三周在该配送平台的订单量的周平均增长率； (2)为使在该配送平台日利润达到元，且尽可能降低用户的配送成本，则每单实际配送费应定为多少元？ 24．（满分10分）（25-26八年级下·山东烟台·期末）探究不同情境，回答下面问题： (1)【观察与猜想】如图，在正方形中，点、分别在边、上，连接与交于点，若，则和的数量关系是 ； (2)【观察与猜想】如图，在矩形中，，点、分别在边、上，连接与交于点，若，请猜想和的数量关系并进行证明； (3)【类比探究】如图，在平行四边形中，点、分别在边、上，连接与交于点，当时，求证：． 小颖同学通过对比图，发现图中和并不相似，经过思考，提出了如下问题：能否构造以和为对应边的相似三角形来转化呢？请你根据小颖的思考完成证明，也可以用其他思路完成证明． 25．（满分12分）（25-26九年级上·贵州铜仁·期末）在中，，，，将绕点C逆时针旋一个角度得到，连接，． (1)如图①，当时，求证：； (2)如图②，当时，点在上，的延长线交于点P，请确定与的位置关系，并说明理由； (3)如图③，当时，如果，连接，求的长． 26．（满分12分）（2025·江苏南京·一模）实践与探究： (1)如图甲，正方形纸片的边长为，沿对角线剪开，然后固定纸片把纸片沿剪痕方向平移得到，连接、、． ①在平移过程中，试判断四边形的形状，并说明理由；与不重合； ②在平移过程中，求的最小值； (2)如图乙，菱形纸片的边长为，，沿对角线剪开，然后固定纸片，把纸片沿剪痕方向平移得到，连接、、，在平移过程中，求的最小值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷（提升卷） 参考答案 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B B C D C B B B D 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．【答案】4 12．【答案】1或 13．【答案】 14．【答案】或 15．【答案】 16.【答案】 17．【答案】 18．【答案】(1) （2） 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-21题8分，22-24题每题10分，25-26题每题12分，答案写在答题卡上） 19．（满分8分） 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得；（2分） （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得；（4分） （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得；（6分） （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得；（8分） 20．（满分8分） 【详解】（1）作图如图，点即为所求作的点， 解：，，，且相似比为2． （4分） （2）由图可知，四边形为平行四边形，∴， ∵，∴∴，即． 作图如图，点P即为所求作的点， （8分） 21．（满分8分） 【答案】(1)变短(2)小亮的影长是米 【详解】（1）解：在小亮由向行走的过程中，他在地面上的影子的变化情况为变短， 故答案为：变短； （3分） （2）解：设米，则当米时，米， ，即，； 当米时，设小亮的影长是米， ，，．即小亮的影长是米． （8分） 22．（满分10分） 【详解】（1）解：①解方程得，． ，符合“美丽方程”定义，①是“美丽方程”； ②解方程得． ，不符合定义，②不是“美丽方程”； ③解方程得，． ，符合定义，③是“美丽方程”． 综上可知，是“美丽方程”的是①③．（3分） （2）解：解方程得，． 该方程是“美丽方程”，，即， ∴或，解得或．（6分） (3)，理由：设方程（）的两个根为，， 方程为“美丽方程”，，两边平方得． 由一元二次方程根与系数的关系得：，． ，，整理得， 化简得，即，满足的数量关系为．（10分） 23．（满分10分） 【答案】(1)；(2)元 【详解】（1）解：设该超市月份第一周到第三周订单量的周平均增长率为． 根据题意，得．解得，(舍)． 答：该超市月份第一周到第三周在该配送平台的订单量的周平均增长率为．（5分） （2）解：设配送费用上涨元，则实际配送费为元，日订单量为单． 根据题意，得．解得，． 要降低用户的配送成本，每单实际配送费为(元)． 答：每单实际配送费应定为元．（10分） 24．（满分10分） 【详解】（1）解：∵正方形，∴，， ∵，∵，∴， ∴，∴， 在和中，∴，∴．（3分） (2)，证明如下：如图， ∵矩形，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴．（6分） (3)证明方法不唯一，例如：方法1：以点为圆心，为半径画弧交于点， 则，∴，由平行四边形得， ∵，∴，，， ∴，∴，∴． （10分） 方法2：如图， ∵，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵平行四边形，∴，，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∴．（10分） 25．（满分12分） 【答案】(1)证明：由旋转的性质得：，，， ∴，，即，∴；（2分） (2)解：，理由如下：同(1)得：，∴， ∵，∴，∴；（5分） （3）如图③，延长交于点D，过作于点E， 则四边形是矩形，∴，， ∵，，，∴， ∵，，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵，，∴， ∴，即，∴，∴， 在中，由勾股定理得：，即的长为．（12分）    26．（满分12分） 【答案】(1)①四边形是平行四边形，理由见解析；②(2)的最小值为 【详解】（1）四边形是平行四边形，理由如下： 四边形是正方形，，， 如图，把纸片沿剪痕的方向平移得到， ，，四边形是平行四边形；（3分） 四边形是平行四边形，，， 如图，作点关于的对称点，连接，， 当，，共线时，有最小值，此时的最小值为， 将沿射线的方向平移得到， ，，四边形是平行四边形，， 关于的对称点，，， 是等腰直角三角形，且，，共线， 在直角中，由勾股定理得：， 的最小值；（6分） （2）如图，菱形的边长为，，， 作点关于的对称点，连接，， 当，，共线时，有最小值， 此时的最小值为， ，，四边形是平行四边形， 为菱形，，， ，，， 关于的对称点，，，， 是等边三角形，，，，共线， 是等边三角形，，， ，，， 在直角中，由勾股定理得：， 的最小值为．（12分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷（提升卷） 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版九年级上册第一章~第四章。 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1.（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．正投影可能是平行投影也可能是中心投影 B．物体在灯光下产生的投影可能是物体的正投影 C．物体在太阳光下产生的投影是物体的平行投影 D．电灯的光源距离投影面较远的投影就是平行投影 【答案】C 【详解】解：A．正投影一定是平行投影，原说法错误，不合题意； B．物体在灯光下产生的投影不是物体的正投影，原说法错误，不合题意； C．物体在太阳光下产生的投影是物体的平行投影，原说法正确，符合题意； D．电灯的光源距离投影面较远的投影不是平行投影，原说法错误，不合题意．故选：C． 2．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）方程左边配成完全平方后所得的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，，． 3．（2026·江苏无锡·二模）如图是由5个棱长为1的小正方体组成的几何体，它的俯视图的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：从上往下看，该几何体的俯视图由3个小正方形组成 ∵每个小正方体的棱长为1；∴每个小正方形的面积为；∴俯视图的面积为． 4．（2026·河北邯郸·模拟预测）已知直线及直线外一点C，嘉淇用尺规按①~③的步骤操作，如图： ①在直线上任取两点D，E，作射线； ②以点D为圆心，长为半径画弧交射线于点F，作射线； ③以点E为圆心，长为半径画弧交射线于点G，作直线． 根据嘉淇的作图，下列结论： 结论Ⅰ：；结论Ⅱ：；结论Ⅲ：；结论Ⅳ：． 其中一定正确的是（    ） A．只有结论Ⅰ B．只有结论Ⅱ C．结论Ⅱ和Ⅳ D．结论Ⅱ和Ⅲ 【答案】C 【详解】解：由作图可得，， ∴是的中位线，∴，，； 故结论Ⅱ和Ⅳ一定正确，结论Ⅰ不能证明，结论Ⅲ错误． 5．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（    ） A．当，是矩形 B．当，是矩形 C．当，是菱形 D．当，是正方形 【答案】D 【详解】四边形是平行四边形， 当，平行四边形是矩形，故选项A正确，不符合题意； 当，平行四边形是矩形，故选项B正确，不符合题意； 当，平行四边形是菱形，故选项C正确，不符合题意； 当，平行四边形是菱形，但不一定是正方形，故选项D错误，符合题意；故选： 6．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．若点C是线段的黄金分割点，，则 B．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为2 C．平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积 D．两个正六边形一定位似 【答案】C 【详解】解：A、根据题意得：当是较长线段时，，则； 当是较短线段时，，则， ∴，故此项错误； B、由根的判别式可得：，可得：，故此项错误； C、如图，矩形的对角线，交于点，直线经过点， ∵四边形是矩形，∴，，， 则，，∴，∴， ∴，则 则：平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积，本选项说法正确； D、位似图形一定相似，相似图形不一定位似，两个正六边形一定相似，但不一定位似，故此项错误； 7．（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，四边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，，若四边形的面积为8，则四边形的面积为（   ） A．12 B．18 C．24 D．27 【答案】B 【详解】解：∵点A，的坐标分别为，，∴，， ∵四边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形， ∴四边形，是相似图形，相似比为， ∴四边形，的面积比为， ∵四边形的面积为8，∴四边形的面积为，故选：B． 8．（25-26八年级下·北京·阶段检测）如图，菱形的对角线、相交于点，点为边上一动点（不与点、重合），于点，于点．若，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接、， ∵菱形的对角线、相交于点，，∴，，， ∵，∴为等边三角形，∴，∴， ∵，，∴四边形为矩形，∴， 当时最小，即最小，∵， ∴，∴最小值为． 9．（2026·黑龙江·校考一模）如图，E是正方形边上的一点，，点H在边上，，连接．交于点G，交于点F．下列结论：①；②；③F是的中点；④．其中正确结论的序号是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【详解】解：∵四边形是正方形，∴，， 又∵，∴，∴， ∴，∴，故①正确； 设，∵，∴，∴； 在中，由勾股定理得， ∵，∴，∴， ∴，，∴，故②正确； 当点F是的中点时，又∵，∴垂直平分， ∴，这与矛盾，∴点F不是的中点，故③错误； ∵，∴，∴， ∴，故④正确；综上所述，正确的有①②④． 10．（2026·安徽·模拟预测）如图，为等腰直角三角形，，，为线段上任意一动点，以为斜边作等腰，连接，下列说法：①；②；③；④；⑤四边形的面积有最大值，且最大值为．正确的结论是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵、都是等腰直角三角形， ∴，，， ①∵，∴，即，故①正确； ②∵，∴，若，则或与重合， 当时和无交点，这和为上任意一动点相矛盾，故②不完全正确； ③∵，，∴，故③正确； ④∵，∴，又∵，∴，∴，故④正确； ⑤∵为等腰直角三角形且，∴的面积为定值， ∵，∴当的面积最大时，梯形的面积最大， 如图，过点作于点，则为等腰直角斜边上的中线，∴， ∵，∴中边上的高为定值（即为）， 当的面积最大时最长，∵，∴，∴当最长时，也最长， ∵为线段上任意一动点，∴当、重合时最长， 此时，则，， 即四边形的面积最大值为，故⑤正确；综上，正确的结论是． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（25-26九年级上·山东泰安·期中）如图是由一些相同的小正方体搭成的几何体的三视图，那么搭成这个几何体的小正方体有_______个． 【答案】4 【详解】俯视图是 3 个小正方形，底层有3个小正方体，主视图中右侧有两层，左视图显示有两层， 上层只有 1 个小正方体，位于底层最右侧小正方体的上方，总共 个．故答案为4． 12．（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段检测）已知，则k的值为_________． 【答案】1或 【详解】解：∵， ∴m，n，p都不为0，∴， 三个式子相加得，则， 当时，解得， 当时，则，∴， 综上所述，k的值为1或． 13．（2025·四川成都·模拟预测）已知m，n是一元二次方程的两根，且满足，则k的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵m是一元二次方程的根，∴，即． 将其代入，得，即， ∵m，n是一元二次方程的两根，∴，． 将其代入，得．解得，故答案为． 14．（25-26九年级上·江苏扬州·开学考试）如图，中，D为的中点，点E在上，且，要使以A、D、E为顶点的三角形与相似，则_____． 【答案】或 【详解】解：点为的中点，， ， ， 要使以、、为顶点的三角形与相似， 分两种情况讨论： 当时， ， 即， 解得； 当时， ， 即， 解得， 综上所述，的长为或 ． 15．（25-26九年级上·成都·校考期中）数学中，把这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为，则的长为 cm． 【答案】 【详解】解：点是的黄金分割点，线段的长为， ，， 故答案为：． 16.（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知：的两个实数根为、；方程的两个实数根为、，且，则_____． 【答案】 【详解】解：由根与系数的关系可得：，， 得：， 又，，解得，， ∵方程有两个实数根，，即，解得或； （舍去），，∴， ，联立，解得，， 又，解得，， 又，解得，∴． 17．（2026·浙江宁波·模拟预测）如图，中，，，，连接交于P点，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：延长和交于N，过C作，交的延长线于M，设， ∵，∴，， ∵，，∴，， ∴，，∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴．故答案为：． 18．（2026·天津河西·二模）如图，在正方形中，点是边上一点，点是边延长线上一点，点是的中点，连接并延长交边于点．若，． （1）的长度为________；（2）线段的长为________． 【答案】 【详解】解：（1）∵在正方形中，， ∴，，， ∴， ∴； （2）如图：连接， ∵，∴，∴， ∵点是的中点，∴，∴垂直平分， ∴， 设，则，∵，∴，解得：， ∴，∴． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-21题8分，22-24题每题10分，25-26题每题12分，答案写在答题卡上） 19．（满分8分）（25-26九年级上·成都·校考期末）按要求解下列方程： (1)；（配方法） (2)；（用适当方法） (3)；（公式法） (4)．（用适当方法） 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得；（2分） （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得；（4分） （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得；（6分） （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得；（8分） 20．（满分8分）（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）如图是由边长为1的小正方形组成的 的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务． (1)在图 1 中，画，使点E在格点上，且与相似，且相似比为2；（只需画一个即可） (2)在图 2 中，线段上找一点P，使（保留作图痕迹）． 【详解】（1）作图如图，点即为所求作的点， 解：，，，且相似比为2． （4分） （2）由图可知，四边形为平行四边形，∴， ∵，∴∴，即． 作图如图，点P即为所求作的点， （8分） 21．（满分8分）（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）如图是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段表示站在广场上的小亮，线段表示直立在广场上的灯杆，点表示照明灯的位置． (1)在小亮由向行走的过程中，他在地面上的影子的变化情况为 ；(填“变长”或“变短”) (2)当小亮离开灯杆的距离时，身高为的小亮的影长为，问当小亮离开灯杆的距离时，小亮的影长是多少？ 【答案】(1)变短(2)小亮的影长是米 【详解】（1）解：在小亮由向行走的过程中，他在地面上的影子的变化情况为变短， 故答案为：变短； （3分） （2）解：设米，则当米时，米， ，即，； 当米时，设小亮的影长是米， ，，．即小亮的影长是米． （8分） 22．（满分10分）（25-26八年级下·江苏苏州·期末）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，则称这样的方程为“美丽方程”． (1)下列方程中，是“美丽方程”的是__________（填序号）． ①；②；③． (2)若是“美丽方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，均为常数，）为“美丽方程”，请写出、满足的数量关系，并说明理由． 【详解】（1）解：①解方程得，． ，符合“美丽方程”定义，①是“美丽方程”； ②解方程得． ，不符合定义，②不是“美丽方程”； ③解方程得，． ，符合定义，③是“美丽方程”． 综上可知，是“美丽方程”的是①③．（3分） （2）解：解方程得，． 该方程是“美丽方程”，，即， ∴或，解得或．（6分） (3)，理由：设方程（）的两个根为，， 方程为“美丽方程”，，两边平方得． 由一元二次方程根与系数的关系得：，． ，，整理得， 化简得，即，满足的数量关系为．（10分） 23．（满分10分）（2026·河南洛阳·一模）根据以下素材，完成任务． 素材1：优优生鲜超市月份在某配送平台开展外送服务．已知该超市月份第一周在该配送平台完成订单单，月份第三周完成订单单． 素材2：该配送平台每单的配送成本为4元，当每单配送费定为8元时，日订单量为单；若配送费每提高1元，日订单量将减少单． 问题解决 任务：(1)求该超市月份第一周到第三周在该配送平台的订单量的周平均增长率； (2)为使在该配送平台日利润达到元，且尽可能降低用户的配送成本，则每单实际配送费应定为多少元？ 【答案】(1)；(2)元 【详解】（1）解：设该超市月份第一周到第三周订单量的周平均增长率为． 根据题意，得．解得，(舍)． 答：该超市月份第一周到第三周在该配送平台的订单量的周平均增长率为．（5分） （2）解：设配送费用上涨元，则实际配送费为元，日订单量为单． 根据题意，得．解得，． 要降低用户的配送成本，每单实际配送费为(元)． 答：每单实际配送费应定为元．（10分） 24．（满分10分）（25-26八年级下·山东烟台·期末）探究不同情境，回答下面问题： (1)【观察与猜想】如图，在正方形中，点、分别在边、上，连接与交于点，若，则和的数量关系是 ； (2)【观察与猜想】如图，在矩形中，，点、分别在边、上，连接与交于点，若，请猜想和的数量关系并进行证明； (3)【类比探究】如图，在平行四边形中，点、分别在边、上，连接与交于点，当时，求证：． 小颖同学通过对比图，发现图中和并不相似，经过思考，提出了如下问题：能否构造以和为对应边的相似三角形来转化呢？请你根据小颖的思考完成证明，也可以用其他思路完成证明． 【详解】（1）解：∵正方形，∴，， ∵，∵，∴， ∴，∴， 在和中，∴，∴．（3分） (2)，证明如下：如图， ∵矩形，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴．（6分） (3)证明方法不唯一，例如：方法1：以点为圆心，为半径画弧交于点， 则，∴，由平行四边形得， ∵，∴，，， ∴，∴，∴． （10分） 方法2：如图， ∵，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵平行四边形，∴，，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∴．（10分） 25．（满分12分）（25-26九年级上·贵州铜仁·期末）在中，，，，将绕点C逆时针旋一个角度得到，连接，． (1)如图①，当时，求证：； (2)如图②，当时，点在上，的延长线交于点P，请确定与的位置关系，并说明理由； (3)如图③，当时，如果，连接，求的长． 【答案】(1)证明：由旋转的性质得：，，， ∴，，即，∴；（2分） (2)解：，理由如下：同(1)得：，∴， ∵，∴，∴；（5分） （3）如图③，延长交于点D，过作于点E， 则四边形是矩形，∴，， ∵，，，∴， ∵，，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵，，∴， ∴，即，∴，∴， 在中，由勾股定理得：，即的长为．（12分）    26．（满分12分）（2025·江苏南京·一模）实践与探究： (1)如图甲，正方形纸片的边长为，沿对角线剪开，然后固定纸片把纸片沿剪痕方向平移得到，连接、、． ①在平移过程中，试判断四边形的形状，并说明理由；与不重合； ②在平移过程中，求的最小值； (2)如图乙，菱形纸片的边长为，，沿对角线剪开，然后固定纸片，把纸片沿剪痕方向平移得到，连接、、，在平移过程中，求的最小值． 【答案】(1)①四边形是平行四边形，理由见解析；②(2)的最小值为 【详解】（1）四边形是平行四边形，理由如下： 四边形是正方形，，， 如图，把纸片沿剪痕的方向平移得到， ，，四边形是平行四边形；（3分） 四边形是平行四边形，，， 如图，作点关于的对称点，连接，， 当，，共线时，有最小值，此时的最小值为， 将沿射线的方向平移得到， ，，四边形是平行四边形，， 关于的对称点，，， 是等腰直角三角形，且，，共线， 在直角中，由勾股定理得：， 的最小值；（6分） （2）如图，菱形的边长为，，， 作点关于的对称点，连接，， 当，，共线时，有最小值， 此时的最小值为， ，，四边形是平行四边形， 为菱形，，， ，，， 关于的对称点，，，， 是等边三角形，，，，共线， 是等边三角形，，， ，，， 在直角中，由勾股定理得：， 的最小值为．（12分） 2 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $