九年级数学上学期期中模拟·素养提升卷（新教材湘教版，范围：九年级1-2章图形的相似+锐角的正弦、余弦、正切）

2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C A B D B A D D A C 2、 填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．4 12． 13． 14． 15． 16．/ 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（6分）【详解】解： ········（5分） ········（6分） 18．（6分）【详解】（1）解：实数a、b满足， ∴．·······（3分） （2）解： ∴·······（5分） ∴．·······（6分） 19．（8分）【详解】（1）解：，垂足为点， ， 在中，， ，， ；······（4分） （2）解：在中， 由勾股定理得：， ，， ，······（6分） 在中，， ．······（8分） 20．（8分）【详解】(1)证明：∵， ∴， ∴；······（3分） (2)解：∵， ∴，······（6分） ∵， ∴ ∴．······（8分） 21.（10分）【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，······（2分） 在中， ∵， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴，······（4分） ∴，······（5分） 答：古树的高度为16.6米； （2）解：∵， ∴，······（8分） ∴， ∴， ∴，······（9分） ∴，······（10分） 答：小明向前移动了8.75米． 22.（10分）【详解】（1）解：过C作于H， 则，，， ，······（2分） 在中，， ，······（4分） ，······（5分） 答：的长度为； （2）解：由题意得，， ， ，， ， ，······（6分） 由（1）知，， ， ∴甲选择路线：， 乙选择路线：，······（8分） ∵甲的速度为每分钟，乙的速度为每分钟， ∴甲所用时间为分，乙所用时间为分，······（9分） ，······（10分） ∴甲先到达点 ． 23.（12分）【详解】（1）解：∵点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点坐标为，·····（1分） 把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为；·····（3分） （2）解：把代入得：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，·····（4分） 作轴于点，轴于点，如图所示： 则：， ∴， ∴，· ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，·····（5分） 作关于轴的对称点，连接，则， ∴，， ∴， ∴当点在线段上时，的周长最小为；·····（6分） 根据解析（1）同理可得：直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴当的周长最小时，点F的坐标为；·····（7分） （3）点的坐标为或； ①当点P在的延长线上时，过点P作轴于点N， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点在直线：上， ∴设， ∴， ∵ ∴， 解得， ∴．·····（8分） ②当点P在线段上时，设为，过点作，交的延长线于点K， 设点的坐标为， ∵， ， ∴， ∴是的平分线，·····（9分） ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，·····（10分） ∵，，，， ∴， ， ， ， ∴， 整理，得， 解得：或（不合题意，舍去），·····（11分） ∴．·····（12分） 24.（12分）【详解】（1）证明：如图2，∵， ∴ ∵平分， ∴， ∴，·····（1分） 又∵， ∴， ∴点P为的“相似点”；·····（2分） （2）解：由题意得：， ∴，·····（3分） ∵平分， ∴，·····（4分） ∵， ∴， ∴；·····（5分） （3）解：，证明如下：·····（6分） ∵点G是的“相似点”，点与点对应，且， ∴， ∴，·····（7分） ∵ ∴， ∴，·····（8分） 延长交于点，如图所示： 在菱形中，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，·····（10分） 即：， ∵， ∴， ∴或（舍去）．·····（12分） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版九年级1-2（图形的相似+锐角的正弦、余弦、正切） 5．难度系数：0.65 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．如图，点在第一象限，与x轴所夹的锐角为，则t的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D． 4．下列各组图形中不一定是相似图形的是（     ） A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 5．若，且与的相似比为，则为（     ） A． B． C． D． 6．如图，五边形，是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点，的坐标分别为，．若五边形的周长为16，则五边形的周长为（     ） A．24 B．32 C．40 D．48 7．如图，直线，交于点，，若，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在菱形中，，，，则的长是（     ） A．5 B．2 C． D． 9．如图1是第七届国际数学教育大会（）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，，使，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点；②分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，交于点．根据以上作图，若，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．已知线段，，则线段的比例中项是_______． 12．如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，，则与的位似比为__________． 13．一天正午，太阳光与水平地面的夹角为．身高为的小明站在水平地面上，此时他的影长为________．（参考数据，，） 14．如图，在菱形中，对角线和交于点，，分别为，的中点，过点作于点交于点，若，则_____． 15．如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点分别是靠近点的黄金分割点，则支撑点之间的距离为_____． 16．如图，正方形内接于正方形，即点E、F、G、H分别在正方形的四边上（）．请画出点A、B、C、D分别关于的对称点P、Q、R、S，如果四边形的面积恰好是正方形面积的一半，那么的值是___________． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（6分）计算： 18．（6分）按要求解答下列问题： (1)已知实数a、b满足，求的值． (2)已知，求的值． 19．（8分）如图，在等腰三角形中，，，，垂足为点． (1)求的长； (2)求的值． 20．（8分）如图，点D，E是中边上的点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 21．（10分）学习了相似三角形知识后，小明同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的较短的直角边长为米，斜边长为米，活动全程小明始终竖直站立． (1)小明先调整自己的位置至点，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为、、（如图①），斜边平行于地面（点、、、在一直线上），且点在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为米，小明与古树的距离为米，求古树的高度； (2)为了尝试不同的思路，小明又向前移动自己的位置至点，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为、、（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点、、、在一直线上），点在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是米，那么小明向前移动了多少米？ 22．（10分）为提升全民体重管理意识和技能，改善超重肥胖状况，国家卫健委联合16个部门制定了《“体重管理年”活动实施方案》．甲乙两人积极响应号召，相约在公园跑步锻炼．如图，他们从点A出发，目的地在点A的东北方向处点C，点B在点A的正北方向，点C在点B的北偏东方向，点D在点A的东南方向，且在点C的南偏西方向．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)甲乙两人同时从点出发跑步前往点，甲选择路线，乙选择路线，已知甲的速度为每分钟，乙的速度为每分钟，请通过计算说明甲和乙谁先到达点． 23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线：的图象交x轴，y轴于A，B两点，且点，，在x轴的正半轴上有一点D，且，点在直线上，连接． (1)求直线的解析式； (2)点E是线段上的一点，点F是x轴上的一动点，连接，，，若，求周长的最小值及此时点F的坐标； (3)在直线上有一点P，且，请直接写出所有符合条件的P点的坐标；并写出求解点P的其中一种情况的过程． 24．（12分）定义：点是内部或边上的点（顶点除外），在，或中，如果有一个三角形与相似，那么称点是的“相似点”． 例：如图1，点在的内部，，，则，故点为的“相似点”．请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题： (1)如图2，在中，，，平分．求证：点为的“相似点”； (2)如图3，若为锐角三角形，点是的“相似点”，且点与点对应，点在的平分线上，连接．若，求的值； (3)如图4，在菱形中，是上一点，是内一点，，连接交于点，连接，．若点是的“相似点”，且点与点对应．若，探究与的数量关系，并证明． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ∵， ∴原式． 2．如图，在中，，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出，再根据正弦的定义求出结果． 【详解】解：，若，， ， ． 3．如图，点在第一象限，与x轴所夹的锐角为，则t的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】过A作轴于B，则，，在中，利用正切定义求解即可． 【详解】解：过A作轴于B， ∵点在第一象限， ∴，， 在中，， ∴，即． 4．下列各组图形中不一定是相似图形的是（     ） A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 【答案】D 【分析】相似图形需同时满足对应角相等、对应边成比例，据此判断各选项是否一定相似． 【详解】解：A．两个等腰直角三角形的内角均为、、，对应角相等，对应边成比例，一定相似，故A不符合题意； B．两个等边三角形的内角均为，对应角相等，对应边成比例，一定相似，故B不符合题意； C．两个正方形的内角均为，对应角相等，对应边成比例，一定相似，故C不符合题意； D．两个等腰梯形的底角不一定相等，各边比例也不一定相同，不一定满足相似条件，故不一定相似，故D符合题意． 5．若，且与的相似比为，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解： ，相似比为， ． 6．如图，五边形，是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点，的坐标分别为，．若五边形的周长为16，则五边形的周长为（     ） A．24 B．32 C．40 D．48 【答案】A 【分析】根据位似图形的性质得到，即五边形的相似比为，据此即可求解． 【详解】解：∵五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点的坐标分别为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴五边形的相似比为， ∵五边形的周长为16， ∴五边形的周长为24． 7．如图，直线，交于点，，若，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平行线等分线段定理得，由已知得，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴． 8．如图，在菱形中，，，，则的长是（     ） A．5 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先根据锐角三角函数定义得出的长，再利用勾股定理求出的长，然后利用菱形的性质得的长，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，解得， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 9．如图1是第七届国际数学教育大会（）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在中利用正切函数求出，再在中利用勾股定理求出． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，， ∴． 10．如图，在中，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，，使，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点；②分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，交于点．根据以上作图，若，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由作图方法可知平分，垂直平分，可证明，推出，证明，得到，据此求出，再求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由作图方法可知平分，垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．已知线段，，则线段的比例中项是_______． 【答案】4 【分析】根据比例中项的定义列等式，结合线段长度为正数计算结果． 【详解】解：∵设线段是的比例中项， ∴． 代入，，可得， ， 解得， ∵线段的长度为正数， ∴，即线段的比例中项是． 12．如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，，则与的位似比为__________． 【答案】 【详解】解：∵与是以原点为位似中心的位似图形，， 又∵位似图形的相似比等于位似比， ∴与的位似比为. 13．一天正午，太阳光与水平地面的夹角为．身高为的小明站在水平地面上，此时他的影长为________．（参考数据，，） 【答案】 【分析】本题将实际问题转化为直角三角形问题，利用锐角正切的定义求解，小明身高垂直地面，影长为水平直角边，结合太阳光与地面的给定夹角，代入参考正切值即可计算出影长． 【详解】解：设此时小明的影长为， 由题意可得，小明身高垂直于水平地面，身高、影长与太阳光构成直角三角形，其中太阳光与水平地面的夹角为，该角的对边为小明身高，邻边为影长， 根据正切的定义得，将代入得， 解得． 14．如图，在菱形中，对角线和交于点，，分别为，的中点，过点作于点交于点，若，则_____． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得到，且，证明是等边三角形，根据三线合一得到，根据三角函数求出，，​​根据等面积法求出，证明是的中位线，得到，证明，求出，即可求出的长． 【详解】解：∵在菱形中， ∴，且． ∵菱形邻边相等，， ∴是等边三角形， ∴． 在中，，， ∴，，​​ ∵， ∴， 即， ∵，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 15．如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点分别是靠近点的黄金分割点，则支撑点之间的距离为_____． 【答案】 【详解】解：∵两个端点固定在乐器面板上，支撑点分别是靠近点的黄金分割点， ∴， ∵， ∴． 16．如图，正方形内接于正方形，即点E、F、G、H分别在正方形的四边上（）．请画出点A、B、C、D分别关于的对称点P、Q、R、S，如果四边形的面积恰好是正方形面积的一半，那么的值是___________． 【答案】 / 【分析】尺规作图作出点P、Q、R、S．连接，设正方形的边长为1，，，运用正方形性质和折叠性质证明点Q在上，点R在上，点S在上，点P在上，８个小三角形全等，．根据，得，代入，，得到方程，解方程求出x的值，即可得到的长，即可计算的正切值． 【详解】以点A为圆心，以长为半径画弧交于另一点， 分别以这点和点H为圆心，以大于点H和这点之间的距离的一半长为半径画弧，两弧交于一点， 从点A向两弧交点作射线， 在射线上取点P，使点P和点A到的距离相等． 以同样方法作出点Q、R、S． 连接，，设正方形的边长为1，，， ∵正方形中，， 令，则， ∵， ∴， 解得， ∵正方形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证图中四个直角三角形、、、互相全等， 由折叠知，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点Q在上， 同理点R在上，点S在上，点P在上， ∴小正方形与8个全等的小直角三角形密铺在大正方形内， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得（舍去）或， ∴， ∴． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（6分）计算： 【答案】7 【分析】根据零指数幂的性质、绝对值的性质、二次根式的性质和特殊角的三角函数值分别化简计算即可得出答案． 【详解】解： 18．（6分）按要求解答下列问题： (1)已知实数a、b满足，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：实数a、b满足， ∴． （2）解： ∴ ∴． 19．（8分）如图，在等腰三角形中，，，，垂足为点． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦的定义，代入已知线段长求出的长； （2）先由勾股定理求出的长，再算出的长度，最后根据正切的定义求出的值． 【详解】（1）解：，垂足为点， ， 在中，， ，， ； （2）解：在中， 由勾股定理得：， ，， ， 在中，， ． 20．（8分）如图，点D，E是中边上的点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴； (2)DE= 【分析】（1）根据平行线的性质得到，据此可证明； （2）根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴． 21．（10分）学习了相似三角形知识后，小明同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的较短的直角边长为米，斜边长为米，活动全程小明始终竖直站立． (1)小明先调整自己的位置至点，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为、、（如图①），斜边平行于地面（点、、、在一直线上），且点在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为米，小明与古树的距离为米，求古树的高度； (2)为了尝试不同的思路，小明又向前移动自己的位置至点，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为、、（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点、、、在一直线上），点在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是米，那么小明向前移动了多少米？ 【答案】(1)16.6米 (2)8.75米 【分析】（1）先在中，由勾股定理求得，再利用和相似求得的长，加上，即可求得树高； （2）利用和相似求得的长，即可求得小明向前移动了多少米． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 在中， ∵， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：古树的高度为16.6米； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：小明向前移动了8.75米． 22．（10分）为提升全民体重管理意识和技能，改善超重肥胖状况，国家卫健委联合16个部门制定了《“体重管理年”活动实施方案》．甲乙两人积极响应号召，相约在公园跑步锻炼．如图，他们从点A出发，目的地在点A的东北方向处点C，点B在点A的正北方向，点C在点B的北偏东方向，点D在点A的东南方向，且在点C的南偏西方向．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)甲乙两人同时从点出发跑步前往点，甲选择路线，乙选择路线，已知甲的速度为每分钟，乙的速度为每分钟，请通过计算说明甲和乙谁先到达点． 【答案】(1)的长度为 (2)解：由题意得，， ， ，， ， ， 由（1）知，， ， ∴甲选择路线：， 乙选择路线：， ∵甲的速度为每分钟，乙的速度为每分钟， ∴甲所用时间为分，乙所用时间为分， ， ∴甲先到达点 ． 【分析】（1）先证明为等腰直角三角形，根据解直角三角形求出，，即可求解； （2）通过解直角三角形求出长，再分别求出甲，乙到达点的时间，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：过C作于H， 则，，， ， 在中，， ， ， 答：的长度为； （2）略 23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线：的图象交x轴，y轴于A，B两点，且点，，在x轴的正半轴上有一点D，且，点在直线上，连接． (1)求直线的解析式； (2)点E是线段上的一点，点F是x轴上的一动点，连接，，，若，求周长的最小值及此时点F的坐标； (3)在直线上有一点P，且，请直接写出所有符合条件的P点的坐标；并写出求解点P的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)的周长最小为； (3)点的坐标为或； ①当点P在的延长线上时，过点P作轴于点N， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点在直线：上， ∴设， ∴， ∵ ∴， 解得， ∴． ②当点P在线段上时，设为，过点作，交的延长线于点K， 设点的坐标为， ∵， ， ∴， ∴是的平分线， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ， ， ， ∴， 整理，得， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴． 【分析】（1）先求出点A的坐标，然后把A、B两点坐标代入函数解析式，求出k、b的值即可； （2）根据同高三角形的面积比等于底边比，得到，进而得到，作轴于点，轴于点，则，得到，进而推出点坐标，作关于轴的对称点，则，连接，进而得到当点在线段上时，的周长最小，求出的长，进而求出的周长的最小值，求出直线的解析式，进而求出点的坐标； （3）分两种情况讨论：①点P在的延长线上．过点P作轴于点N，证明，得到，设，则，，根据列出方程，求解即可；②点P在线段上时，设为，过点作，交的延长线于点K，设点的坐标为，证明，得到，由得到，根据两点间距离公式求出，， ，，代入后求解即可． 【详解】（1）解：∵点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点坐标为， 把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：把代入得：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 作轴于点，轴于点，如图所示： 则：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 作关于轴的对称点，连接，则， ∴，， ∴， ∴当点在线段上时，的周长最小为； 根据解析（1）同理可得：直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴当的周长最小时，点F的坐标为； （3）略 24．（12分）定义：点是内部或边上的点（顶点除外），在，或中，如果有一个三角形与相似，那么称点是的“相似点”． 例：如图1，点在的内部，，，则，故点为的“相似点”．请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题： (1)如图2，在中，，，平分．求证：点为的“相似点”； (2)如图3，若为锐角三角形，点是的“相似点”，且点与点对应，点在的平分线上，连接．若，求的值； (3)如图4，在菱形中，是上一点，是内一点，，连接交于点，连接，．若点是的“相似点”，且点与点对应．若，探究与的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明：如图2，∵， ∴ ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴点P为的“相似点”； (2) (3)解：，证明如下： ∵点G是的“相似点”，点与点对应，且， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 延长交于点，如图所示： 在菱形中，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴或（舍去）． 【分析】（1）由等腰三角形的性质和角平分线的定义可推出，证明即可； （2）由题意得，可推出，再证明即可； （3）由题意得，可推出，延长交于点，可证明四边形是平行四边形得到，进而推导出，进而证明即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得：， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）略 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版九年级1-2（图形的相似+锐角的正弦、余弦、正切） 5．难度系数：0.65 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．如图，点在第一象限，与x轴所夹的锐角为，则t的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D． 4．下列各组图形中不一定是相似图形的是（     ） A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 5．若，且与的相似比为，则为（     ） A． B． C． D． 6．如图，五边形，是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点，的坐标分别为，．若五边形的周长为16，则五边形的周长为（     ） A．24 B．32 C．40 D．48 7．如图，直线，交于点，，若，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在菱形中，，，，则的长是（     ） A．5 B．2 C． D． 9．如图1是第七届国际数学教育大会（）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，，使，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点；②分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，交于点．根据以上作图，若，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．已知线段，，则线段的比例中项是_______． 12．如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，，则与的位似比为__________． 13．一天正午，太阳光与水平地面的夹角为．身高为的小明站在水平地面上，此时他的影长为________．（参考数据，，） 14．如图，在菱形中，对角线和交于点，，分别为，的中点，过点作于点交于点，若，则_____． 15．如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点分别是靠近点的黄金分割点，则支撑点之间的距离为_____． 16．如图，正方形内接于正方形，即点E、F、G、H分别在正方形的四边上（）．请画出点A、B、C、D分别关于的对称点P、Q、R、S，如果四边形的面积恰好是正方形面积的一半，那么的值是___________． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（6分）计算： 18．（6分）按要求解答下列问题： (1)已知实数a、b满足，求的值． (2)已知，求的值． 19．（8分）如图，在等腰三角形中，，，，垂足为点． (1)求的长； (2)求的值． 20．（8分）如图，点D，E是中边上的点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 21．（10分）学习了相似三角形知识后，小明同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的较短的直角边长为米，斜边长为米，活动全程小明始终竖直站立． (1)小明先调整自己的位置至点，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为、、（如图①），斜边平行于地面（点、、、在一直线上），且点在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为米，小明与古树的距离为米，求古树的高度； (2)为了尝试不同的思路，小明又向前移动自己的位置至点，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为、、（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点、、、在一直线上），点在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是米，那么小明向前移动了多少米？ 22．（10分）为提升全民体重管理意识和技能，改善超重肥胖状况，国家卫健委联合16个部门制定了《“体重管理年”活动实施方案》．甲乙两人积极响应号召，相约在公园跑步锻炼．如图，他们从点A出发，目的地在点A的东北方向处点C，点B在点A的正北方向，点C在点B的北偏东方向，点D在点A的东南方向，且在点C的南偏西方向．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)甲乙两人同时从点出发跑步前往点，甲选择路线，乙选择路线，已知甲的速度为每分钟，乙的速度为每分钟，请通过计算说明甲和乙谁先到达点． 23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线：的图象交x轴，y轴于A，B两点，且点，，在x轴的正半轴上有一点D，且，点在直线上，连接． (1)求直线的解析式； (2)点E是线段上的一点，点F是x轴上的一动点，连接，，，若，求周长的最小值及此时点F的坐标； (3)在直线上有一点P，且，请直接写出所有符合条件的P点的坐标；并写出求解点P的其中一种情况的过程． 24．（12分）定义：点是内部或边上的点（顶点除外），在，或中，如果有一个三角形与相似，那么称点是的“相似点”． 例：如图1，点在的内部，，，则，故点为的“相似点”．请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题： (1)如图2，在中，，，平分．求证：点为的“相似点”； (2)如图3，若为锐角三角形，点是的“相似点”，且点与点对应，点在的平分线上，连接．若，求的值； (3)如图4，在菱形中，是上一点，是内一点，，连接交于点，连接，．若点是的“相似点”，且点与点对应．若，探究与的数量关系，并证明． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $