精品解析：陕西咸阳市武功县普集高级中学2026-2027学年第一学期高一年级第1次月考数学试题

普集高中2026-2027学年度第一学期高一第1次月考 数学试题 总分值：150分 试题范围：选择性必修1前两章 试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集的定义可求. 【详解】由题设有， 故选：B . 2. 方程组的解集可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的表示方法可得答案. 【详解】解方程组得，根据集合的表示方法可得. 故选：C. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定直接得出结果. 【详解】由题意知，该命题的否定为，. 4. 已知集合，，若，则所有的取值构成的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】至多一个解，当时，无解，故， 当时，，解得， 当时，， 故所有的取值构成的集合为. 5. 设，，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】由题意得， 则， 而， 可得，故C正确. 故选：C 6. 的一个充分不必要条件是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的性质，结合充分不必要条件的定义进行求解即可. 【详解】由，得或， 显然能推出，但不一定能推出， 选项CD都推不出， 选项A能推出，也能推出或， 故选：B 7. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得，且，继而可得，解一元二次不等式即可求解. 【详解】的解集是，可得，且， ，即， 可得，即，解得， 所以不等式的解集为. 8. 已知命题：，使得成立为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一次函数和二次函数的图象和性质，知当时，命题为真命题，当时，需，最后综合讨论结果，可得答案． 【详解】命题为真命题等价于不等式有解． 当时，不等式变形为，则，符合题意； 当时，，解得； 当时，总存在，使得； 综上可得实数的取值范围为． 故选：B 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式性质逐个判断即可. 【详解】对于A：由，得，则，A正确； 对于B：由两边同时乘以，不等号反向，得，B正确； 对于C：由两边同时除以，得，C不正确； 对于D：由可得，同除以，可得，D正确， 故选：ABD 10. 下列命题不正确的有（ ） A. 若命题：，，则：， B. 不等式的解集为 C. 是的充分不必要条件 D. ， 【答案】CD 【解析】 【分析】根据命题的否定即可判断A，根据二次式的性质即可判断B，根据一元二次不等式的求解，结合必要不充分条件即可判断C，根据根式的性质即可判断D. 【详解】对于A，若命题：，，则：，，故A正确， 对于B，由于，故不等式的解集为，B正确， 对于C，由得，所以是的必要不充分条件，C错误， 对于D，由于，故当时，，故D错误， 故选：CD 11. 江苏省实验中学科技城校举行秋季运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有（ ） A. 同时参加径赛和球类比赛的人数有3人 B. 只参加球类一项比赛的人数有2人 C. 只参加径赛一项比赛的人数为0人 D. 只参加田赛一项比赛的人数为3人 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意画出韦恩图，标出各集合包含的元素个数，列方程即可逐一求得. 【详解】设全班同学组成全集，参加田赛的同学组成集合，参加径赛的同学组成集合， 参加球类比赛的同学组成集合，设同时参加径赛和球类比赛的人数为， 根据题意，画出韦恩图如图所示， 则，解得. 对于A，由图知同时参加径赛和球类比赛的人数为人，故A错误； 对于B，只参加球类一项比赛的人数为人，故B错误； 对于C，只参加径赛一项比赛的人数为人，故C正确； 对于D，由图知只参加田赛一项比赛的人数为3人，故D正确. 故选：CD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若正数、满足，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得，进而利用基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】解：因为正数、满足， 所以，且 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为 故答案为： 13. 若集合有且仅有两个子集，则实数的值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】通过集合有且仅有两个子集，可知集合中只有一个元素，根据二次项系数是否为分类讨论. 【详解】由集合有且仅有两个子集，得中只有一个元素. 当即时，，符合题意. 当即时， 解得. 故答案为： 14. 设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的与可以相等，也可以不相等)，且，则称是“和谐集”.则下列四个命题中为真命题的个数为______个. ①存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集； ②集合是“和谐集”； ③若都是“和谐集”，则； ④对任意两个不同的“和谐集”，总有. 【答案】3 【解析】 【分析】利用和谐集的定义，判断集合中必有元素0，从而可判断①，利用和谐集的定义，可证明②，利用举例可证明③④. 【详解】对于①，存在，满足有限集，也满足和谐集，故①正确； 对于②，当时， 对于， 总有 所以且，即满足“和谐集”，故②正确； 对于③，若都是“和谐集”，则当时，由可知，“和谐集”中必有元素0，即，故③正确； 对于④，存在“和谐集”，此时，故④错误； 故答案为：3 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合， （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）解不等式求出集合，根据交集、并集定义直接计算即可； （2）先求出两集合的补集，再由并集运算可得结果. 【小问1详解】 易知，又， 所以； 【小问2详解】 易知或，； 因此或. 16. 已知集合，或 （1）若，求实数a的取值范围； （2）若，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）分和两种情况列式讨论即可； （2）由题意可得，分和两种情况列式讨论即可. 【小问1详解】 当时，，解得； 当时，，解得， 综上：实数的取值范围是. 【小问2详解】 由可得， 当时满足条件，此时； 当时，或，解得， 综上：实数的取值范围是或. 17. （1）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围； （2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 【分析】（1）讨论三种情况，，，，结合判别式的符号，可求实数的取值范围； （2）等价于，结合二次函数的性质可求实数的取值范围． 【详解】（1）当时，显然，满足题意； 若，因为， 所以恒成立，满足题意； 若，则需，解得． 综上，实数的取值范围是． （2）由题可知，当时，恒成立． 因为， 所以等价于． 在区间上的最大值为， 所以，在区间上的最小值为， 所以只需即可， 所以实数的取值范围是． 18. （1）已知实数，满足，.求的取值范围； （2）已知，，且，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法得到，再结合不等式的性质求解即可. （2）利用基本不等式求出的最小值，再求解的取值范围即可. 【详解】（1）令， 则，且，解得，， 可得， 因为，所以， 因为，所以，故. （2） ， 当且仅当，时，等号成立， 即当且仅当，时，等号成立， 可得的最小值为8，因为恒成立，所以， 解得，故的取值范围是. 19. 某洗衣店今年年初，用万元购进一台新设备．已知使用年所需的总维护费用为万元，经估算该设备每年可为洗衣店创造收入万元．设该设备使用年的盈利总额为万元（盈利总额总收入成本总维护费用）． （1）该店从第几年开始盈利？ （2）若干年后，该洗衣店想在年平均盈利达到最大值时，以万元的价格卖出设备，请问总获利为多少？（总获利盈利总额设备卖出价格） 【答案】（1）第二年 （2）万元 【解析】 【分析】（1）由已知条件得出的解析式，解不等式，结合可得出结论； （2）设年平均利润为，利用基本不等式求出的最大值，利用等号成立的条件求出的值，结合题意可求出总获利. 【小问1详解】 由题可知， 若开始盈利即，所以，解得， 因为，所以第二年开始盈利. 【小问2详解】 设年平均利润为，则 当且仅当，即时等号成立， 当时，最终获利万元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 普集高中2026-2027学年度第一学期高一第1次月考 数学试题 总分值：150分 试题范围：选择性必修1前两章 试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 方程组的解集可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知集合，，若，则所有的取值构成的集合为（ ） A. B. C. D. 5. 设，，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 的一个充分不必要条件是（ ） A. 或 B. C. D. 7. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知命题：，使得成立为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题不正确的有（ ） A. 若命题：，，则：， B. 不等式的解集为 C. 是的充分不必要条件 D. ， 11. 江苏省实验中学科技城校举行秋季运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有（ ） A. 同时参加径赛和球类比赛的人数有3人 B. 只参加球类一项比赛的人数有2人 C. 只参加径赛一项比赛的人数为0人 D. 只参加田赛一项比赛的人数为3人 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若正数、满足，则的最小值为______. 13. 若集合有且仅有两个子集，则实数的值是__________. 14. 设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的与可以相等，也可以不相等)，且，则称是“和谐集”.则下列四个命题中为真命题的个数为______个. ①存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集； ②集合是“和谐集”； ③若都是“和谐集”，则； ④对任意两个不同的“和谐集”，总有. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合， （1）求； （2）求. 16. 已知集合，或 （1）若，求实数a的取值范围； （2）若，求实数a的取值范围. 17. （1）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围； （2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围． 18. （1）已知实数，满足，.求的取值范围； （2）已知，，且，若恒成立，求实数的取值范围. 19. 某洗衣店今年年初，用万元购进一台新设备．已知使用年所需的总维护费用为万元，经估算该设备每年可为洗衣店创造收入万元．设该设备使用年的盈利总额为万元（盈利总额总收入成本总维护费用）． （1）该店从第几年开始盈利？ （2）若干年后，该洗衣店想在年平均盈利达到最大值时，以万元的价格卖出设备，请问总获利为多少？（总获利盈利总额设备卖出价格） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $