专题03 绝对值与数轴综合（高效培优期中专项训练）数学新教材人教版七年级上学期

专题03 绝对值与数轴综合 考点01：绝对值化简（判断正负去绝对值符号） 考点02：绝对值的非负性（|a|≥0，几个非负数之和为 0） 考点03：数轴上点移动后的坐标 考点04：数轴上两点间距离 考点05：绝对值与字母取值范围综合 考点01：绝对值化简（判断正负去绝对值符号） 1．计算：______． 2．在，，0，中，负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．对于任何有理数，下列各式中一定为负数的是（     ） A． B． C． D． 4．已知是整数，且，则的取值个数是（     ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 5．已知有理数，（均不等于），若，，，则，在数轴上对应的位置可能是（     ） A． B． C． D． 考点02：绝对值的非负性（|a|≥0，几个非负数之和为 0） 6．下列结论成立的是（     ） A．若，则 B．若，则或 C．若，则 D．若，则 7．已知为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（     ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 8．关于，下列说法正确的是（     ） A．当时，有最大值9 B．当时，有最小值13 C．当时，有最小值9 D．当时，有最大值13 9．如果a是有理数，那么的最小值是______． 10．如果a为有理数，式子存在最大值，那么这个最大值是___________． 11．若是有理数，则下列叙述正确的是（     ） A．一定是正数 B．一定是正数 C．可能是0 D．一定是负数 12．成立时，______． 13．已知，，均为整数，且满足，则的值为______． 14．若，则的值为________． 15．已知a，b都是有理数，且，则等于（     ） A． B． C．8 D．9 考点03：数轴上点移动后的坐标 16．如图，在数轴上将点向右移动4个单位长度得到点，则点表示的数是（    ） A． B．1 C．2 D．3 17．如图，数轴上的点P向右移动3个单位长度，移动后的点对应的数为（   ） A． B．0 C．1 D．2 18．如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点与表示的点重合．圆沿着数轴向右滚动一周，此时点表示的数是（   ） A． B． C． D． 19．数轴上点表示的数是，将点移动3个单位长度到达点，则点表示的数是（    ） A． B．2 C．或2 D．4或 20．如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值． 考点04：数轴上两点间距离 21．已知数轴上两点A，B分别表示和0． (1)A，B两点之间的距离是多少个单位长度？ (2)一动点P从点B出发，沿数轴以1个单位长度/秒的速度运动，4秒后，点P与点A的距离是多少个单位长度？ 22．写出满足下列要求的数： (1)在数轴上与原点的距离等于个单位长度的点所表示的数； (2)在数轴上与表示的点的距离等于4个单位长度的点所表示的数． 23．如图，在数轴上，如果点D表示的数是25，那么点A表示的数是 ______． 24．在数轴上，表示的点到原点的距离为（    ） A． B． C．4 D．-4 25．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1如图，将一条数轴在原点，点，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示12，点表示24，点表示36，点与点在数轴上的距离为45个单位长度，并表示为． 素材2动点从点出发，以2个单位长度／秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度． 问题解决： (1)探索1：动点从点运动至点需要多少时间？ (2)探索2：动点从点出发，运动18秒至点和点之间时，求点表示的数？ (3)探索3：动点从点出发，运动至点的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间． 考点05：绝对值与字母取值范围综合 26．我们知道：在数轴上，若点A，B分别表示实数a，b，则A，B两点之间的距离为．例如：式子的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离，则式子的最小值是________． 27．的最小值是______． 28．已知，，均为整数，且满足，则的值为（    ） A．1 B．0 C．2 D．3 29．关于代数式的最值，下列说法正确的是（） A．最小值是0 B．最小值是3 C．最小值是 D．无最大值 30．已知有理数，，在数轴上的位置如图，且，化简： ____． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 绝对值与数轴综合 考点01：绝对值化简（判断正负去绝对值符号） 考点02：绝对值的非负性（|a|≥0，几个非负数之和为 0） 考点03：数轴上点移动后的坐标 考点04：数轴上两点间距离 考点05：绝对值与字母取值范围综合 考点01：绝对值化简（判断正负去绝对值符号） 1．计算：______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 2．在，，0，中，负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：．．， ∴负数有，，共个． 3．对于任何有理数，下列各式中一定为负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当时，，故A不符合题意； 当时，，故B不符合题意； 当时，，故C不符合题意； ∵， ∴， ∴，一定为负数，故D符合题意． 4．已知是整数，且，则的取值个数是（     ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【详解】解：由得， ∵是整数， ∴满足条件的为，共7个. 5．已知有理数，（均不等于），若，，，则，在数轴上对应的位置可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，且有理数，均不等于， ∴m是正数，n是负数， ∵， ∴m到原点的距离大于n到原点的距离， 四个选项中只有B选项符合． 考点02：绝对值的非负性（|a|≥0，几个非负数之和为 0） 6．下列结论成立的是（     ） A．若，则 B．若，则或 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】解：A、若，则，原结论不成立； B、若，则或，原结论成立； C、若，则，原结论不成立； D、若满足，但是，原结论不成立． 7．已知为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（     ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 【答案】B 【详解】解：∵， ∴当时，的值最大为． 8．关于，下列说法正确的是（     ） A．当时，有最大值9 B．当时，有最小值13 C．当时，有最小值9 D．当时，有最大值13 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴当时，有最小值9． 9．如果a是有理数，那么的最小值是______． 【答案】2026 【详解】解：∵a是有理数， ∴， ∴， ∴的最小值是2026． 10．如果a为有理数，式子存在最大值，那么这个最大值是___________． 【答案】156 【详解】解：∵， ∴的最小值为0， ∴式子的最大值为156． 11．若是有理数，则下列叙述正确的是（     ） A．一定是正数 B．一定是正数 C．可能是0 D．一定是负数 【答案】C 【分析】考虑的特殊情况，通过举反例判断各选项． 【详解】解：当时，，均不是正数，故、错误． ，即可能是0，故正确，D错误． 12．成立时，______． 【答案】 【详解】， ， 解得， ． 13．已知，，均为整数，且满足，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵，且，，均为整数， ∴和均为非负整数，且和为， ∴可能情况为：且，则， ∴； 且， 则， ∴， 综上，． 14．若，则的值为________． 【答案】 【详解】解：，，， ，， 得 ，， 解得 ，， 将，代入， 得： ． 15．已知a，b都是有理数，且，则等于（     ） A． B． C．8 D．9 【答案】A 【详解】解：∵ ，，且 ， ∴ 且 ， ∴ ，即 ， ，即 ， ∴ ， 故选：A． 考点03：数轴上点移动后的坐标 16．如图，在数轴上将点向右移动4个单位长度得到点，则点表示的数是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：由数轴知，点A对应的数为， 由平移性质，点向右移动4个单位长度得到点B，则点表示的数是2． 17．如图，数轴上的点P向右移动3个单位长度，移动后的点对应的数为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】解：∵数轴上的点P表示的数是，将点P向右移动3个单位长度， ∴移动后的点对应的数为． 18．如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点与表示的点重合．圆沿着数轴向右滚动一周，此时点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：圆的半径为1， 周长为， 圆沿数轴向右滚动一周，即点A向右平移个单位长度， A点表示的数为． 19．数轴上点表示的数是，将点移动3个单位长度到达点，则点表示的数是（    ） A． B．2 C．或2 D．4或 【答案】C 【详解】解：数轴上点表示的数是，将点移动3个单位长度到达点， 则点表示的数是或． 故选：C． 20．如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值． 【答案】(1) (2)0 (3)t的值为3或 【详解】（1）解：由题意得，， ∵点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动， ∴（秒），故点P到达A点时用的时间为秒； ∵当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴， 故当点P返回到点B时，； （2）解：∵P到达A点时用的时间为（秒）， 当时，，即时，点P从A点返回； ； ∴当时，点P表示的有理数是：； （3）解：当点P第一次到达时，， 当点P运动到点A，然后向右运动到时， ， 综上所述，t的值为3或． 考点04：数轴上两点间距离 21．已知数轴上两点A，B分别表示和0． (1)A，B两点之间的距离是多少个单位长度？ (2)一动点P从点B出发，沿数轴以1个单位长度/秒的速度运动，4秒后，点P与点A的距离是多少个单位长度？ 【答案】(1)6 (2)2或10 【详解】（1）解：， 答：A，B两点之间的距离是6个单位长度． （2）点P运动路程：， 当点P向右运动时，，点P表示的数是4， 此时点P与点A的距离是， 当点P向左运动时，，点P表示的数是， 此时点P与点A的距离是， 综上，点P与点A的距离是2或10个单位长度． 22．写出满足下列要求的数： (1)在数轴上与原点的距离等于个单位长度的点所表示的数； (2)在数轴上与表示的点的距离等于4个单位长度的点所表示的数． 【答案】(1) (2)或1 【详解】（1）解：设该数为x， ∵在数轴上与原点的距离等于个单位长度的点分别在原点的两侧各一个， ∴或， 故在数轴上与原点的距离等于个单位长度的点所表示的数为； （2）解：设该数为m， ∵在数轴上与表示的点的距离等于4个单位长度的点分别在表示的点的两侧各一个， 或， 解得或1， 故在数轴上与表示的点的距离等于4个单位长度的点所表示的数为或1． 23．如图，在数轴上，如果点D表示的数是25，那么点A表示的数是 ______． 【答案】 【详解】解：由数轴可知，原点到点之间平均分成5份， 因为点表示的数是， 所以每份的长度为， 因为点在原点左侧，且距离原点份， 所以点表示的数为． 24．在数轴上，表示的点到原点的距离为（    ） A． B． C．4 D．-4 【答案】A 【详解】解：∵数轴上，表示数的点到原点的距离等于， ∴表示的点到原点的距离为． 25．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1如图，将一条数轴在原点，点，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示12，点表示24，点表示36，点与点在数轴上的距离为45个单位长度，并表示为． 素材2动点从点出发，以2个单位长度／秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度． 问题解决： (1)探索1：动点从点运动至点需要多少时间？ (2)探索2：动点从点出发，运动18秒至点和点之间时，求点表示的数？ (3)探索3：动点从点出发，运动至点的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间． 【答案】(1)秒 (2)表示的数为18 (3)动点运动的时间为秒或秒 【详解】（1）解：点表示，点表示， ∴，， 在段初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的一半， ∴在段速度为个单位长度/秒， ∴从点运动至点的时间为：（秒）； （2）解：∵的初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的两倍， ∴在段速度为个单位长度/秒， 由（1）可得：在段运动时间为：（秒）， ∴， 点表示， ∴表示的数为：； （3）解：设秒后， ①当在上时， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴（秒）； ②当在上时， ， ∴， ， ∴， ∴（秒）， ③当在上时， 此时不可能等于16，不符合题意舍去． 综上：动点运动的时间为秒或秒． 考点05：绝对值与字母取值范围综合 26．我们知道：在数轴上，若点A，B分别表示实数a，b，则A，B两点之间的距离为．例如：式子的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离，则式子的最小值是________． 【答案】8 【详解】解：∵表示数轴上与之间的距离，表示数轴上与之间的距离， ∴式子表示的是一个数到和的距离的和， ∴时，表示数的点到表示数和的点之间的距离最小， 和间的距离为， 的最小值为， 故答案为：． 27．的最小值是______． 【答案】8 【详解】解：设点x在数轴上， 表示点x到点的距离，表示点x到点7的距离． 当点x在点和点7之间时，即，距离之和最小， 最小值为：． 故答案为：8． 28．已知，，均为整数，且满足，则的值为（    ） A．1 B．0 C．2 D．3 【答案】A 【详解】，且，，均为整数， 和均为非负整数，且和为， 可能情况为： ①且，则， ； ②且，则， ． 综上，． 故选：A． 29．关于代数式的最值，下列说法正确的是（） A．最小值是0 B．最小值是3 C．最小值是 D．无最大值 【答案】C 【详解】解：表示到的距离与的距离的差， ①当时，，， ∴ ②当时，，， ∴ ∴ ③当时，，， ∴ 综上所述，当时，有最小值为 故选：C． 30．已知有理数，，在数轴上的位置如图，且，化简： ____． 【答案】 【详解】解：由数轴可知，，，，且， ∴，，，， ∴ ， ， ， ， 故答案为：． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $