专题05 规律探究（高效培优期中专项训练）数学新教材人教版七年级上学期

专题05 规律探究 考点01：数字规律 考点02：图形规律（用代数式表示个数） 考点03：数列与代数式联系，写出第n个 考点01：数字规律 1．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律，5小时后细胞存活的个数是（     ） A．32 B．33 C．35 D．37 2．观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的结果的个位数字是（     ） A．0 B．3 C．4 D．1 3．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，A的值应是（     ） 0 4 2 6 4 8 …… 10 2 8 4 22 6 44 A A．156 B．158 C．160 D．162 4．观察下列等式：，，，…，按此规律，则第2026个等式的左边为（    ） A．4043 B．4045 C．4048 D．4051 5．观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，则这一组数的第n个数是（     ） A． B． C． D． 6．按一定规律排列的代数式：、、、、、，则第8个式子是（    ） A． B． C． D． 7．有一列数，第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第个数记为．若，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的倒数的差”，即，，，…． (1)请分别计算，，，的值； (2)根据这列数的规律，直接写出 ； (3)计算的值． 8．阅读材料，根据材料回答： 例1： ． 例2： (1)由上面的材料可总结出一个规律：（用字母表示）______； (2)仿照上面材料或规律计算：； (3)根据（1）的规律计算：． 9．观察下面三行数： ，，，，，，；① ，，，，，，；② ，，，，，，；③ 观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的．通过你发现的规律，解决下列问题． (1)第①行的第个数是_____； (2)第②行的第个数是_____； (3)取每行数的第个数，计算这三个数的和． 10．观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： … 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式：； (2)求的值． 考点02：图形规律（用代数式表示个数） 11．正六边形（六条边相等）在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2……按此规律继续翻转下去，数轴上数2029所对应的顶点是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 12．探索规律：根据图中箭头指向的规律，从到再到，箭头的方向是（     ） A． B． C． D． 13．小丁通过举例推理，探究出多条直线两两相交时，交点数量的变化规律（如图）．按照这个规律计算，当直线两两相交最多出现190个交点时，直线的数量是（     ）    直线的条数 2 3 4 5 … 交点的个数 1 3 6 … … A．17 B．18 C．19 D．20 14．用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有16个正方形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中正方形的个数为（     ） A．51 B．64 C．66 D．81 15．如图，无人机编队的造型均是由若干个基本图形组成的有规律的图案，第个图案由个基本图形组成，第个图案由个基本图形组成，第个图案由个基本图形组成，第个图案由个基本图形组成…按照这一规律，第个图案中基本图形的个数是（    ） A． B． C． D． 16．如图，用长度相同的木棍拼图案，其中第1个图案用了9根木棍，第2个图案用了14根木棍，第3个图案用了19根木棍，第4个图案用了24根木棍…按此规律排列下去，则第8个图案需要木棍的根数是（     ） A．44 B．49 C．54 D．59 17．如图是一组有规律的图案，它们是由正三角形组成的，第1个图案中有6个正三角形，第2个图案中有10个正三角形，第3个图案中有14个正三角形．．．按此规律，第100个图案中有（     ）个正三角形． A．400 B．401 C．402 D．410 18．用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： 则第_______个图形中有颗黑色棋子． 19．按照下图的规律，在有个黑色正六边形的图形中，白色正六边形有( )个．在有个黑色正六边形的图形中，白色正六边形有( )个． 20．用相同长度的小木棒和绳子搭建“圆内十字形”图形：每个图形以中心点为起点，向“上、下、左、右”四个方向延伸；每个方向上（不包含中心点）的点数随图形序号依次增加． 前3个图形的构造规律如下： 图形1：中心点到每个方向有1个点，总点数为5． 图形2：中心点到每个方向有2个点，总点数为13． 图形3：中心点到每个方向有3个点，总点数为21． …… 按照图形的构造规律，图形n的总点数为_________． 考点03：数列与代数式联系，写出第n个 21．观察这一列式子，按此规律排列，第24个式子为（　） A． B． C． D． 22．观察下列数据：，，，，，…根据以上数据中的规律，你认为第11个数字是（   ） A． B． C． D． 23．观察下列一组数：，，，，，……，它们是按一定规律排列的，猜测这一组数的第n个数是（   ） A． B． C． D． 24．按一定规律排列的单项式：第个单项式是（   ） A． B． C． D． 25．观察下列关于x的单项式，探究其规律：，，，，，，，…，按照上述规律，第2026个单项式是（    ） A． B． C． D． 26．一组按规律排列的式子：，，，，…则第2025个式子是（   ） A． B． C． D． 27．观察按一定规律排列的单项式，，，，，，…，则第个单项式是（   ） A． B． C． D． 28．观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的个位数字是_________． 29．观察下列等式：，，，，，，，…通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是______． 30．观察，…，根据这些式子的规律，可得第个式子为__________． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 规律探究 考点01：数字规律 考点02：图形规律（用代数式表示个数） 考点03：数列与代数式联系，写出第n个 考点01：数字规律 1．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律，5小时后细胞存活的个数是（     ） A．32 B．33 C．35 D．37 【答案】B 【详解】解：由题意得，1小时后细胞存活数为， 2小时后细胞存活数为， 3小时后细胞存活数为， 由此可得，小时后细胞存活数为， 当时，， ∴5小时后细胞存活的个数是33． 2．观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的结果的个位数字是（     ） A．0 B．3 C．4 D．1 【答案】B 【详解】解：∵的个位数字为，的个位数字为，的个位数字为，的个位数字为，的个位数字为，…… ∴ 的幂的个位数字每个一循环，且一个循环内个位数字的和为，个位为， ∵从到，总项数为 ， ∵ ， ∴ 总和的个位数字等于剩余项的个位数字和的个位， 计算得 ，个位数字为， 因此结果的个位数字是． 3．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，A的值应是（     ） 0 4 2 6 4 8 …… 10 2 8 4 22 6 44 A A．156 B．158 C．160 D．162 【答案】B 【详解】解：由前三个正方形可知，规律为正方形中右上和左下的两个数的积减左上的数等于右下的数，且左上、左下、右上的三个数是相邻的偶数， ∴第四个正方形中左下的数是12，右上的数是14， 则． 4．观察下列等式：，，，…，按此规律，则第2026个等式的左边为（    ） A．4043 B．4045 C．4048 D．4051 【答案】D 【详解】解：观察题中规律可得，第n个等式的左边为，右边为， ∴第2026个等式的左边为． 5．观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，则这一组数的第n个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，，，， ∴这一组数的第n个数是. 6．按一定规律排列的代数式：、、、、、，则第8个式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：观察已知代数式可得： 第1个式子：， 第2个式子：， 第3个式子：， ...， 归纳可得，第个式子为， 将代入通式可得． 7．有一列数，第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第个数记为．若，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的倒数的差”，即，，，…． (1)请分别计算，，，的值； (2)根据这列数的规律，直接写出 ； (3)计算的值． 【答案】(1)，，，； (2) (3)． 【详解】（1）解：∵， ∴，，，． （2）解：由（1）可得，这列数是以，，这个数为一个循环节循环出现的， ∴， ∴． （3）解： ． 8．阅读材料，根据材料回答： 例1： ． 例2： (1)由上面的材料可总结出一个规律：（用字母表示）______； (2)仿照上面材料或规律计算：； (3)根据（1）的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：由材料中的计算过程可得 （2）解： （3）解： 9．观察下面三行数： ，，，，，，；① ，，，，，，；② ，，，，，，；③ 观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的．通过你发现的规律，解决下列问题． (1)第①行的第个数是_____； (2)第②行的第个数是_____； (3)取每行数的第个数，计算这三个数的和． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， ， ， 可知第①行的第个数为， 故第个数为． （2）解：观察可知，第②行的数比第①行对应位置的数大， 第①行的第个数是， 故第②行的第个数是． （3）解：观察可知，第③行的数为第①行对应位置的数的， 第①行的第个数是， 则第③行的第个数是， 第①行的第个数是， 第②行的第个数是， 第③行的第个数是， ， 故这三个数的和为． 10．观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： … 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式：； (2)求的值． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：由题意得，第5个等式为； （2）解：第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …， 以此类推，可知，第n个等式：， ∴ ． 考点02：图形规律（用代数式表示个数） 11．正六边形（六条边相等）在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2……按此规律继续翻转下去，数轴上数2029所对应的顶点是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【详解】解：由题意得，点，，，，，对应的数分别为0，1，2，3，4，5， 点再次对应的数为6，点再次对应的数为7， 顶点对应的数以6为周期循环， ， 数2029对应的顶点与数1对应的顶点相同，即为点A． 12．探索规律：根据图中箭头指向的规律，从到再到，箭头的方向是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图形可知：0、4、8、12、…，每个点到对应的下一个点的方向相同； 1、5、9、13、…，每个点到对应的下一个点的方向相同； 2、6、10、14、…，每个点到对应的下一个点的方向相同； 3、7、11、15、…每个点到对应的下一个点的方向相同． ，到的方向与1到2的方向相同，到的方向与2到3的方向相同．由图形可知1到2的方向向右，2到3的方向向下，则到的方向向右，到的方向向下． 13．小丁通过举例推理，探究出多条直线两两相交时，交点数量的变化规律（如图）．按照这个规律计算，当直线两两相交最多出现190个交点时，直线的数量是（     ）    直线的条数 2 3 4 5 … 交点的个数 1 3 6 … … A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】D 【详解】解：设直线的数量是，由表格规律可知，条直线两两相交最多有个交点， 根据题意得， 整理得， ∵且为正整数， ∴． 即直线的数量是． 14．用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有16个正方形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中正方形的个数为（     ） A．51 B．64 C．66 D．81 【答案】B 【详解】解：观察图形可知， 第①个图案正方形个数为， 第②个图案正方形个数为， 第③个图案正方形个数为， 第个图案正方形个数为， 当时，． 15．如图，无人机编队的造型均是由若干个基本图形组成的有规律的图案，第个图案由个基本图形组成，第个图案由个基本图形组成，第个图案由个基本图形组成，第个图案由个基本图形组成…按照这一规律，第个图案中基本图形的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意可知：第个图案由个基本图形组成，即； 第个图案由个基本图形组成，即； 第个图案由个基本图形组成，即； 第个图案由个基本图形组成，即； 第个图案中基本图形的个数为； 当时，基本图形的个数为． 16．如图，用长度相同的木棍拼图案，其中第1个图案用了9根木棍，第2个图案用了14根木棍，第3个图案用了19根木棍，第4个图案用了24根木棍…按此规律排列下去，则第8个图案需要木棍的根数是（     ） A．44 B．49 C．54 D．59 【答案】A 【详解】解：由题意可知，第1个图案用了根木棍， 第2个图案用了根木棍， 第3个图案用了根木棍， 第4个图案用了根木棍， 第个图案用的木棍根数是， 当时，木棍根数为． 17．如图是一组有规律的图案，它们是由正三角形组成的，第1个图案中有6个正三角形，第2个图案中有10个正三角形，第3个图案中有14个正三角形．．．按此规律，第100个图案中有（     ）个正三角形． A．400 B．401 C．402 D．410 【答案】C 【详解】解：第一个图形，正三角形的个数为， 第二个图形，正三角形的个数为 第三个图形，正三角形的个数为， 第四个图形，正三角形的个数为， 则第个图形，正三角形的个数为：, 当时，， ∴第100个图案中有个正三角形． 18．用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： 则第_______个图形中有颗黑色棋子． 【答案】 【详解】解：∵第一个图形有颗棋子， 第二个图形有颗棋子， 第三个图形有颗棋子， 第四个图形有颗棋子， ∴第个图形有颗棋子， 令， 解得， 即第个图形有颗棋子． 19．按照下图的规律，在有个黑色正六边形的图形中，白色正六边形有( )个．在有个黑色正六边形的图形中，白色正六边形有( )个． 【答案】 42 【详解】解： 观察图形可知： 第1个图形中，黑色正六边形有1个，白色正六边形有个，； 第2个图形中，黑色正六边形有2个，白色正六边形有个，； 第3个图形中，黑色正六边形有3个，白色正六边形有个，； ， 由此规律可知，白色正六边形的个数等于黑色正六边形个数的4倍加2． 所以，在有个黑色正六边形的图形中，白色正六边形有个． 当时， （个）． 20．用相同长度的小木棒和绳子搭建“圆内十字形”图形：每个图形以中心点为起点，向“上、下、左、右”四个方向延伸；每个方向上（不包含中心点）的点数随图形序号依次增加． 前3个图形的构造规律如下： 图形1：中心点到每个方向有1个点，总点数为5． 图形2：中心点到每个方向有2个点，总点数为13． 图形3：中心点到每个方向有3个点，总点数为21． …… 按照图形的构造规律，图形n的总点数为_________． 【答案】 【详解】解：图形1：中心点到每个方向有1个点，总点数为． 图形2：中心点到每个方向有2个点，总点数为． 图形3：中心点到每个方向有3个点，总点数为． …… 图形n的总点数为 考点03：数列与代数式联系，写出第n个 21．观察这一列式子，按此规律排列，第24个式子为（　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵观察给出的式子，可得； 第1个式子为 ， 第2个式子为 ， 第3个式子为 ， ⋯， 总结规律，第n个式子为 ， 将代入通式，得 . 因此第24个式子对应选项B． 22．观察下列数据：，，，，，…根据以上数据中的规律，你认为第11个数字是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：观察数列可得： 1. 符号规律：奇数项为负，偶数项为正，可用表示（n为项数）， 2. 分母规律：第n项的分母为n， 3. 分子规律：第n项的分子为（如第1项分子，第2项分子，以此类推）， 则第n项的表达式为 当时， 故选：C． 23．观察下列一组数：，，，，，……，它们是按一定规律排列的，猜测这一组数的第n个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：一组数为，，，，，……， ∴这组数据第1个数为：， 第2个数为：， 第3个数为：， … ∴第n个数为：， 故选：D． 24．按一定规律排列的单项式：第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：系数依次为3，5，7，9，11，…，可表示为； 指数依次为2，4，6，8，10，…，可表示为； ∴第n个单项式为； 故选：D． 25．观察下列关于x的单项式，探究其规律：，，，，，，，…，按照上述规律，第2026个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题知， 所给单项式的系数依次为：，4，，8，， 所以第个单项式的系数可表示为：； 所给单项式的次数依次为：1，3，5，7，， 所以第个单项式的次数可表示为：， 所以第个单项式可表示为：， 当时， 第2026个单项式是：． 故选：C． 26．一组按规律排列的式子：，，，，…则第2025个式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：观察给定式子的规律，第n个式子的分子为a的次方，分母为， 即第n个式子为， ∴当时，． 故选：D． 27．观察按一定规律排列的单项式，，，，，，…，则第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵x ，， ， ，，，…， ∴系数的规律为，指数的规律为， ∴第n个单项式为：． 故选C． 28．观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的个位数字是_________． 【答案】 【详解】解：观察给出的等式，可得的个位数字按的顺序循环出现，周期为． 计算得，即余数为． 根据循环规律： 当除以余时，个位数字为， 当除以余时，个位数字为， 当除以余时，个位数字为， 当除以余时，个位数字为． 的个位数字是． 29．观察下列等式：，，，，，，，…通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是______． 【答案】4 【详解】解：观察给出的等式，，，，，…， ∴以2为底的幂的个位数字每4个数为一个循环组依次循环，循环顺序为，，，． ， ∴的个位数字与的个位数字相同，是． 30．观察，…，根据这些式子的规律，可得第个式子为__________． 【答案】 【详解】解：观察已知给出的式子， 系数部分：第1项系数为， 第2项系数为， 第3项系数为， 第4项系数为．…． 可得第项的系数为． 字母及指数部分：第1项为，第2项为，第3项为，第4项为…． 可得第项的字母部分为． 整合规律，可得第个式子为． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $