22.3 正多边形的有关计算（第2课时）课件 2026-2027学年北京版数学九年级上册

第22章 圆（下） 22.3 正多边形的有关计算 （第2课时）转化为直角三角形求周长与面积 九年级上册　数学（北京版） 学习目标 这一课要解决什么 理解 把正多边形分割成全等直角三角形。 会用 会计算边长、边心距、周长和面积。 会判断 联系割圆术理解多边形与圆。 复习引入 从已有经验出发 观察 只知道正多边形半径，怎样计算它的周长与面积？ 联系 把正多边形分割成全等直角三角形。 知识讲授 先分成n个等腰三角形 看条件 连接中心与所有顶点。 作推理 各三角形两腰都是半径，顶角都是中心角。 再检查 所以这个等腰三角形全等。 知识讲授 再分成2n个直角三角形 看条件 从中心向每条边作边心距。 作推理 每个等腰三角形被平分为两个直角三角形。 再检查 斜边为，两直角边为与。 知识讲授 确定关键锐角 看条件 每个小直角三角形在中心处的锐角为。 作推理 正三角形取60°，正方形取45°，正六边形取30°。 再检查 先识别角，再选择三角函数。 例题讲解 例 3 已知正三角形的半径为。求它的边长、周长和面积。 答：，，。 解 作，。 ，故；。 周长，面积。 方法：把已知条件转化为相应的几何关系。 注意：辅助线与每一步推理均写出依据。 知识讲授 变式：从边长反求半径 看条件 正三角形有。 作推理 所以，。 再检查 反求后可用勾股关系再次检查。 知识讲授 正方形的直角三角形 看条件 中心半角45°。 作推理 边心距，半径。 再检查 周长，面积。 知识讲授 正六边形的直角三角形 看条件 中心半角30°。 作推理 边长，边心距。 再检查 周长，面积。 知识讲授 所有正多边形统一求面积 看条件 每个中心三角形底边为，高为。 作推理 个面积相加：。 再检查 因为周长，也可用。 课堂练习 练习 完成正多边形的有关计算：每一行均求中心角、半径、边长、边心距、周长、面积。三行已知条件完整保留如下。 （1） ，边长。 （2） ，边心距。 （3） ，半径。 解第（1）题 ；；；；；。 正三角形，。 周长6，面积。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 课堂练习 练习 完成正多边形的有关计算：每一行均求中心角、半径、边长、边心距、周长、面积。三行已知条件完整保留如下。 （1） ，边长。 （2） ，边心距。 （3） ，半径。 解第（2）题 ；；；；；。 正方形。 对角线为，半径。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 课堂练习 练习 完成正多边形的有关计算：每一行均求中心角、半径、边长、边心距、周长、面积。三行已知条件完整保留如下。 （1） ，边长。 （2） ，边心距。 （3） ，半径。 解第（3）题 ；；；；；。 正六边形，。 面积。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 知识讲授 表格读数不可串列 看条件 正三角形给的是边长2。 作推理 正方形给的是边心距5。 再检查 正六边形给的是半径3；先辨列再计算。 知识讲授 计算顺序如何选择 看条件 先找可直接确定的半角与已知边。 作推理 在直角三角形里求其余两边。 再检查 最后计算周长与面积。 知识讲授 从刘徽割圆说起 思想 用圆内接正多边形的周长近似圆的周长。 过程 从正六边形开始，不断倍增边数。 理解 分割越细，内接多边形越接近圆。 知识讲授 倍增边数带来的变化 看条件 每一段圆弧被分成更小的弧。 作推理 新多边形的边更贴近圆周。 再检查 内接正多边形周长逐渐接近圆周长。 知识讲授 半径、边心距不能混用 看条件 是中心到顶点，是中心到边。 作推理 同一正多边形中。 再检查 勾股关系为。 知识讲授 结果合理性检查 看条件 长度都应为正，面积应为正。 作推理 多边形面积小于它的外接圆面积。 再检查 单位中周长用长度，面积用平方单位。 课堂总结 本课知识 分割 个等腰形变个直角形 求边 、、构成直角三角形 周长 面积 特别提醒：半径、边心距与半边长各有固定角色。 针对训练 训练1　正三角形边长 分别解决下列问题： （1） 正三角形半径2，求边长与周长。 （2） 正三角形半径4，求边长与周长。 解第（1）题 ，。 ，。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练1　正三角形边长 分别解决下列问题： （1） 正三角形半径2，求边长与周长。 （2） 正三角形半径4，求边长与周长。 解第（2）题 ，。 同一公式代入。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练2　正三角形面积 分别解决下列问题： （1） 正三角形边长6，求面积。 （2） 正三角形半径6，求边心距和面积。 解第（1）题 。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练2　正三角形面积 分别解决下列问题： （1） 正三角形边长6，求面积。 （2） 正三角形半径6，求边心距和面积。 解第（2）题 ；。 ，。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练3　正方形半径 分别解决下列问题： （1） 正方形边长8，求外接圆半径。 （2） 正方形边心距3，求半径。 解第（1）题 。 半径为对角线的一半。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练3　正方形半径 分别解决下列问题： （1） 正方形边长8，求外接圆半径。 （2） 正方形边心距3，求半径。 解第（2）题 。 边长6，半径。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练4　正方形周长面积 分别解决下列问题： （1） 正方形半径5，求周长和面积。 （2） 正方形边心距4，求周长和面积。 解第（1）题 ；。 边长，周长，面积。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练4　正方形周长面积 分别解决下列问题： （1） 正方形半径5，求周长和面积。 （2） 正方形边心距4，求周长和面积。 解第（2）题 ；。 边长8。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练5　正六边形边长与周长 分别解决下列问题： （1） 正六边形半径7，求边长、周长。 （2） 正六边形周长30，求半径。 解第（1）题 7、42。 ，。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练5　正六边形边长与周长 分别解决下列问题： （1） 正六边形半径7，求边长、周长。 （2） 正六边形周长30，求半径。 解第（2）题 5。 边长，半径等于边长。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练6　正六边形面积 分别解决下列问题： （1） 正六边形半径2，求边心距和面积。 （2） 正六边形边心距，求半径和面积。 解第（1）题 ；。 ，。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练6　正六边形面积 分别解决下列问题： （1） 正六边形半径2，求边心距和面积。 （2） 正六边形边心距，求半径和面积。 解第（2）题 ；。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练7　统一面积公式 分别解决下列问题： （1） 正多边形周长40、边心距5，求面积。 （2） 正多边形面积64、周长32，求边心距。 解第（1）题 100。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练7　统一面积公式 分别解决下列问题： （1） 正多边形周长40、边心距5，求面积。 （2） 正多边形面积64、周长32，求边心距。 解第（2）题 4。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练8　勾股校验 分别解决下列问题： （1） 正多边形、，求边长。 （2） 正多边形、边长，求边心距。 解第（1）题 10。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练8　勾股校验 分别解决下列问题： （1） 正多边形、，求边长。 （2） 正多边形、边长，求边心距。 解第（2）题 5。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练9　角与分割 分别解决下列问题： （1） 正八边形分成16个小直角三角形，中心处锐角多少？ （2） 正十二边形分割后中心处锐角多少？ 解第（1）题 22.5°。 。 解第（2）题 15°。 。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练10　缩放关系 分别解决下列问题： （1） 正六边形半径扩大2倍，周长、面积各扩大几倍？ （2） 正三角形边长缩小为一半，面积变为多少？ 解第（1）题 2倍、4倍。 周长随长度，面积随长度平方。 解第（2）题 原来的。 相似面积比为边长比的平方。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 方法：列出所用关系，再代入已知量。 注意：核对条件、单位与结果的范围。 针对训练 训练11　关键直角三角形 （1）半径是小直角三角形的斜边。 理由：另两边是边心距与半边长。 （2）小直角三角形中心处锐角为。 理由：应为。 （3）正六边形边长等于半径。 理由：中心三角形为等边三角形。 方法：先画分割图 注意：中心角还要再平分。 针对训练 训练12　计算与近似 （1）正多边形面积等于周长乘边心距。 理由：还要乘。 （2）内接正多边形边数增加可更接近圆。 理由：这是割圆思想。 （3）边心距总大于外接圆半径。 理由：半径为斜边，更大。 方法：检查大小关系 注意：不要漏掉面积公式中的。 针对训练 训练13　裁切正方形铁片 要从圆形铁片中裁出边长12 的正方形，圆形铁片最小直径多大？剩余面积多少？ 答：直径 ；剩余面积 。 解 最小圆为正方形外接圆，直径等于对角线。 ，圆面积，减正方形面积144。 方法：对角线确定最小圆。 注意：剩余部分按面积作差。 针对训练 训练14　正六边形花坛 正六边形花坛半径4 ，沿六边安装围栏并铺设草坪，分别需要多长围栏、多大草坪面积？ 答：围栏24 ；草坪 。 解 正六边形边长等于半径4，周长24。 面积。 方法：分成六个等边三角形。 注意：周长与面积单位分开。 方法总结 两种方法带走 直角三角形转化法 （1）连接半径并作边心距。 （2）用半中心角求相应边长。 面积分割法 （1）分成个同底同高三角形。 （2）汇总为周长乘边心距的一半。 $