第19章 .探究学习 一元二次不等式解法的探究（第1课时）课件 2026-2027学年北京版数学九年级上册

第19章 二次函数和反比例函数 探究学习 一元二次不等式解法的探究 （第1课时）利用抛物线与x轴的位置关系求解 九年级上册　数学（北京版） 学习目标 今天要学会什么 观察与表达 通过二次函数图象探究一元二次不等式的解法。 学习成果 会把大于0、小于0解释为横轴上方、下方，并区分两交点、一交点和无交点。 知识讲授 从等于0走向大于0 等于0 图象在轴上的点，对应方程的根。 大于或小于0 图象在横轴上方对应正值，在横轴下方对应负值。 随堂探究 探究　原书的两个探究任务 画出相应二次函数图象，观察并求不等式的解。 -3 -2 -1 1 2 3 4 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 （1） （2） 解第（1）题：或。 对应函数与横轴交于-1、3。 横轴上方位于两个根的外侧。 方法：先求根再观察图象 注意：严格不等式不含端点。 随堂探究 探究　原书的两个探究任务 画出相应二次函数图象，观察并求不等式的解。 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 （1） （2） 解第（2）题：。 对应函数与横轴交于-4、2。 横轴下方位于两个根之间。 方法：把纵坐标条件译成横坐标范围 注意：两个不等式合成一个范围。 知识讲授 第一幅图：取外侧 零点 横坐标-1与3把数轴分为三段。 符号 开口向上；中间负、两侧正。 知识讲授 第二幅图：取中间 零点 横坐标-4与2界定图象低于横轴的部分。 表示法 同时满足与，写为。 随堂探究 探究问题1　有两个交点时 当，对应方程有两个不同实数根，如何解与？ 答：大于0：或；小于0：。 解 抛物线开口向上，两个零点之间处于横轴下方。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 随堂探究 探究　只有一个交点时 当，抛物线与横轴仅在接触，如何解与？ -2 -1 1 2 3 -1 1 2 3 4 5 答：大于0：；小于0：无解。 解 此时函数为，恒非负。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 随堂探究 探究问题2　完全没有交点时 当且图象与横轴没有交点，如何解与？ -2 -1 1 2 3 -1 1 2 3 4 5 6 7 答：大于0：全体实数；小于0：无解。 解 开口向上且没有零点，整条曲线位于横轴上方。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 知识讲授 怎样判断交点个数 判别式 令，对应方程判别式。 三种情况 两个交点；一个交点；无交点。 随堂探究 图19—22　原书图19—22 对，求图象在横轴上方与下方时的范围。 -2 -1 1 2 3 4 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 答：上方：或；下方：。 解 因式分解为。 两个零点为和3。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 知识讲授 图象、符号、范围三栏对应 图象位置 横轴上方、横轴上、横轴下方。 代数语言 分别对应、、。 随堂探究 探究　先排序两个根 某方程根写成3与-1，求正系数二次式小于0的范围时怎样写？ 答：。 解 先按大小排序，区间左端必须较小。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 知识讲授 画简图的最小信息 必要内容 标出开口方向和横轴上的零点位置。 不必过量计算 仅为解不等式时无需精确描出许多点。 随堂探究 探究　用代数核验区间符号 在时，为什么为负？ 答：第一因子正，第二因子负，乘积负。 解 代数符号与图象在横轴下方一致。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 随堂探究 探究　左边区间为何为正 在时，为什么为正？ 答：两个因子均为负数，乘积为正。 解 这解释了左侧曲线在横轴上方。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 知识讲授 条件a>0的作用 本课范围 主要讨论开口向上的抛物线。 迁移准备 若系数为负，可先乘-1变为正系数，且不等号反向。 随堂探究 探究　保持不等式等价 将变为正二次项系数形式。 答：。 解 两边同乘-1时不等号必须反向。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 知识讲授 答案格式检查 根内 两个条件同时成立，用连续不等式表达。 根外 两个区间任一成立，用“或”连接。 随堂探究 探究　与方程解有何不同 方程与不等式的答案各是什么？ 答：方程：；不等式：或。 解 方程找离散零点，不等式找一段或几段范围。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 随堂探究 探究　一段范围上的整体判断 当时，的符号能确定吗？ 答：能，恒为负。 解 区间全部位于两个零点-1、3之间。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 课堂总结 本课知识 转化 二次式看作函数值 定位 求零点、判交点 读图 上正下负 写解 区间与端点 特别提醒：根外用“或”，根内同时满足；严格不等式不含零点。 针对训练 训练1　从因式到图象 解下列不等式。 （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 或。 对应方程根为，抛物线开口向上。 取图象在横轴上方的横坐标范围。 方法：求零点、画简图、取范围 注意：严格不等式端点不能包含。 针对训练 训练1　从因式到图象 解下列不等式。 （1） （2） （3） （4） 解第（2）题 。 对应方程根为，抛物线开口向上。 取图象在横轴下方的横坐标范围。 方法：求零点、画简图、取范围 注意：严格不等式端点不能包含。 针对训练 训练1　从因式到图象 解下列不等式。 （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 或。 对应方程根为，抛物线开口向上。 取图象在横轴上方的横坐标范围。 方法：求零点、画简图、取范围 注意：严格不等式端点不能包含。 针对训练 训练1　从因式到图象 解下列不等式。 （1） （2） （3） （4） 解第（4）题 。 对应方程根为，抛物线开口向上。 取图象在横轴下方的横坐标范围。 方法：求零点、画简图、取范围 注意：严格不等式端点不能包含。 针对训练 训练2　从一般式到零点 解下列不等式。 （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 。 对应方程根为，抛物线开口向上。 取图象在横轴下方的横坐标范围。 方法：求零点、画简图、取范围 注意：严格不等式端点不能包含。 针对训练 训练2　从一般式到零点 解下列不等式。 （1） （2） （3） （4） 解第（2）题 或。 对应方程根为，抛物线开口向上。 取图象在横轴上方的横坐标范围。 方法：求零点、画简图、取范围 注意：严格不等式端点不能包含。 针对训练 训练2　从一般式到零点 解下列不等式。 （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 。 对应方程根为，抛物线开口向上。 取图象在横轴下方的横坐标范围。 方法：求零点、画简图、取范围 注意：严格不等式端点不能包含。 针对训练 训练2　从一般式到零点 解下列不等式。 （1） （2） （3） （4） 解第（4）题 或。 对应方程根为，抛物线开口向上。 取图象在横轴上方的横坐标范围。 方法：求零点、画简图、取范围 注意：严格不等式端点不能包含。 针对训练 训练3　改变正系数 解下列不等式。 （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 或。 对应方程根为，抛物线开口向上。 取图象在横轴上方的横坐标范围。 方法：求零点、画简图、取范围 注意：严格不等式端点不能包含。 针对训练 训练3　改变正系数 解下列不等式。 （1） （2） （3） （4） 解第（2）题 。 对应方程根为，抛物线开口向上。 取图象在横轴下方的横坐标范围。 方法：求零点、画简图、取范围 注意：严格不等式端点不能包含。 针对训练 训练3　改变正系数 解下列不等式。 （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 或。 对应方程根为，抛物线开口向上。 取图象在横轴上方的横坐标范围。 方法：求零点、画简图、取范围 注意：严格不等式端点不能包含。 针对训练 训练3　改变正系数 解下列不等式。 （1） （2） （3） （4） 解第（4）题 。 对应方程根为，抛物线开口向上。 取图象在横轴下方的横坐标范围。 方法：求零点、画简图、取范围 注意：严格不等式端点不能包含。 针对训练 训练4　区间表达训练 解下列不等式。 （1） （2） （3） （4） 解第（1）题 。 对应方程根为，抛物线开口向上。 取图象在横轴下方的横坐标范围。 方法：求零点、画简图、取范围 注意：严格不等式端点不能包含。 针对训练 训练4　区间表达训练 解下列不等式。 （1） （2） （3） （4） 解第（2）题 或。 对应方程根为，抛物线开口向上。 取图象在横轴上方的横坐标范围。 方法：求零点、画简图、取范围 注意：严格不等式端点不能包含。 针对训练 训练4　区间表达训练 解下列不等式。 （1） （2） （3） （4） 解第（3）题 。 对应方程根为，抛物线开口向上。 取图象在横轴下方的横坐标范围。 方法：求零点、画简图、取范围 注意：严格不等式端点不能包含。 针对训练 训练4　区间表达训练 解下列不等式。 （1） （2） （3） （4） 解第（4）题 或。 对应方程根为，抛物线开口向上。 取图象在横轴上方的横坐标范围。 方法：求零点、画简图、取范围 注意：严格不等式端点不能包含。 针对训练 训练5　端点与逻辑连接 （1）的解是。 × 理由：大于0取根外侧。 （2）两个外侧区间使用“或”连接。 √ 理由：只需满足左侧或右侧之一。 （3）严格不等式的零点可以包含。 × 理由：零点处函数值等于0。 方法：把正负转成图象位置 注意：交点本身不在严格不等式解集中。 针对训练 训练6　重根情形 解与。 答：前者；后者无解。 解 平方恒非负，只在时等于0。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练7　无实根情形 解。 答：全体实数。 解 配方为。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练8　为什么不能只背口诀 不等式的解是（ ）。 A. 全体实数 B. C. D. 无解 答：选C。 解 平方只在时为0，其余时候为正。 方法：重根情形单独判断 注意：逐项核对条件，不凭外形猜测。 针对训练 训练9　检验一个候选值 是否满足？呢？ 答：0不满足；4满足。 解 分别代入得-3与5。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练10　非严格条件的延伸 若改为，端点怎样处理？ 答：。 解 允许等于0，所以两个零点也属于解。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练11　符号条件与范围交集 已知，再要求，求。 答：。 解 先求根外侧，再与实际给定范围求交。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练12　从解集反推一个式子 构造一个解集为的一元二次不等式。 答：例如。 解 正二次项系数配两个端点为根。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练13　实际应用：面积达标 长方形两边m与m，要求面积大于21m²，求。 答：。 解 化为。 两个根为3、7，也满足。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 针对训练 训练14　实际应用：高度范围 模型球，。高度超过8m持续在哪段时间？ 答：（秒）。 解 化为。 方法：建立联系并逐步求解 注意：核对符号、范围和单位。 方法总结 把本课方法带走 用图象解不等式 （1）先求方程根并画简图 （2）按上下位置读取范围 分类讨论交点 （1）两交点分内外 （2）重根与无实根单独判断 $