精品解析：山东烟台市龙口某校2026-2027学年高三上学期10月月考数学试题

高三数学10月月考试题 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若“，”是真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列的前项和为，若，，则（   ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 5. 等腰直角中，，，点，分别是边，的中点，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 若对任意实数都有 成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 命题“，”的否定为“，” B. 的图象恒过定点 C. 已知是定义在上的偶函数，且在是减函数，则 D. 函数的单调递增区间是 10. 设为数列的前n项和，已知，，则（ ） A. B. C. ，，成等比数列 D. 当时，取得最大值 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的减区间为 B. 若函数有3个零点﹐则 C. D. 函数有3个零点，1，，且 三、填空题 12. 已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为______． 13. 在中，，则的周长的取值范围为______. 14. 设函数，若方程有三个实数根，，，则的范围是___________，又，则的取值范围是___________． 四、解答题 15. 已知函数为偶函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为. （1）求的解析式及单调递减区间； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域. 16. 已知，，分别为的三个内角，，的对边，且，的面积． （1）求证：； （2）求的最大值． 17. 如图，某地一公园ABCD为等腰梯形，其中，，，（单位：百米），公园出入口分别为C，D和AB的中点Q，公园管理部门准备在公园内部（不含边界）距离C，D两点相等的一点P处修建连接三个出口的道路PQ，PC，PD.设，，道路总长度为y.（单位：百米） （1）分别求y关于x和y关于θ的函数关系式； （2）请选用（1）中的一个关系式，求：当点P在何位置时三条道路的总长度最小. 18. 设等差数列的前项和为，． （1）求的通项公式； （2）求的最大值； （3）设数列的前项和为，求． 19. 已知，. （1）若函数在处的切线与直线垂直，求的值； （2）讨论的单调性； （3）若，当且时，，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学10月月考试题 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由得，所以， 由得，所以， 所以. 2. 若“，”是真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，且，分析得解. 【详解】因为，且， 所以等价于，则， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 3. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】依题意，， 由，得， 当且仅当即时取等号， 得到的最小值为. 4. 已知数列的前项和为，若，，则（   ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以， 作差可得，即， 又，代入可得， 所以数列从第二项起为公比是2的等比数列， 所以. 5. 等腰直角中，，，点，分别是边，的中点，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，，，且，． 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于，底数，函数为增函数， 因为，故，即； 对于，底数，函数为减函数， 因为，故，即， 对于，底数，函数为减函数， 因为，故，即， 故 7. 若对任意实数都有 成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由不等式判断为上的增函数，再根据分段函数单调递增的要求：各段单调递增、分段点处左段函数值不大于右段函数值，列不等式组求解即可. 【详解】由对任意恒成立，可得是上的单调递增函数， 故分段函数单调递增需满足三个条件： 当时，为增函数，故底数需满足； 当时，为增函数，故需满足，解得； 在分段点处，左段函数值不大于右段函数值，即，解得， 综上，实数的取值范围为. 8. 已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据及得到与同正或同负，进而判断出为第一象限角，即；根据两角和差的余弦公式得到；根据同角的三角函数关系得到，进一步分情况讨论求解即可. 【详解】因为，，所以. 又，，，所以与同正或同负. 当与同负时，为第二象限角，，与矛盾，舍去. 当与同正时，为第一象限角，满足条件，所以，则. 因为， ， 所以. 由，，得. 若，则（舍去，因为）. 若，则. 因为，所以. 二、多选题 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 命题“，”的否定为“，” B. 的图象恒过定点 C. 已知是定义在上的偶函数，且在是减函数，则 D. 函数的单调递增区间是 【答案】AC 【解析】 【详解】选项A：特称命题的否定为全称命题，需将存在量词改为全称量词，同时否定结论， 原命题“，”的否定为“，”，正确. 选项B：指数函数满足，令即，代入得， 故函数恒过定点，不是，错误. 选项C：是偶函数，故，， 又在上为减函数，且，因此，正确. 选项D：因为为增函数，且对称轴为，且要满足， 即或，所以函数递增区间为，错误. 10. 设为数列的前n项和，已知，，则（ ） A. B. C. ，，成等比数列 D. 当时，取得最大值 【答案】BCD 【解析】 【详解】已知，则数列是公差为的等差数列， ，由等差数列前n项和公式得，代入可得： ，解得， 则， 选项A：，故A错误； 选项B：，故B正确； 选项C：， 则，故，，成等比数列，故C正确； 选项D：令，解得，则数列前项非负， 从第项开始为负数，则当时，取得最大值，故D正确． 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的减区间为 B. 若函数有3个零点﹐则 C. D. 函数有3个零点，1，，且 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，利用导数求函数单调区间；B选项，结合函数单调性处理零点个数问题；C选项，遇到与结构，直接代入化简，发掘倒数变换的对称性质；D选项，利用一隐性对称，快速得到两个非 1 零点满足. 【详解】对于A选项，由，令，有，可得函数的减区间为，故A选项正确； 对于B选项，由函数的减区间为，增区间为，， 又由，. 当时，；当时，，若函数有3个零点，有，故B选项错误； 对于C选项，由，有，故C选项正确﹔ 对于D选项，由，函数的减区间为，增区间为，. 当时，；当时，. 可得函数有3个零点，，1，，且. 又由及，有， 又由，有，可得，故D选项正确. 三、填空题 12. 已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【解析】 【详解】因为向量，， 则在方向上的投影向量为. 13. 在中，，则的周长的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【详解】由正弦定理，得， 即， ， 的周长为： 又，∴， ， 即的周长的取值范围为. 14. 设函数，若方程有三个实数根，，，则的范围是___________，又，则的取值范围是___________． 【答案】 ①. ； ②. . 【解析】 【分析】由题意可得直线与的图象有三个交点，作出函数的图象，结合图象可得第一空答案；由题意可得，令，则，利用对勾函数的性质求解即可. 【详解】作出函数的图象，如图所示： 因为方程有三个实数根， 即直线与的图象有三个交点， 由图象可知， 所以实数的取值范围为； 令，得， 令，得或， 又因为， 所以， 由题意可得， 即 所以， 所以， 令， 则， 令， 由对勾函数的性质可知在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以, 即的取值范围是. 四、解答题 15. 已知函数为偶函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为. （1）求的解析式及单调递减区间； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域. 【答案】（1），单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题设易得，进而求得，再根据正弦型函数的奇偶性可求得，即可求得的解析式，再根据余弦函数的性质求解即可； （2）先根据题意得到，再结合余弦函数的性质求解即可. 【小问1详解】 因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为， 所以函数的最小正周期，可得， 又由函数为偶函数，可得，解得， 因为，所以， 则， 令，解得， 故的单调递减区间为． 【小问2详解】 将函数的图象向右平移个单位长度， 可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 当时，，则， 故， 即函数的值域为. 16. 已知，，分别为的三个内角，，的对边，且，的面积． （1）求证：； （2）求的最大值． 【答案】（1）根据三角形面积公式可得：， 余弦定理可得：， 又因为，所以， 在中，两边同时除以整理可得： 即 . （2） 【解析】 【分析】（1）先分别写出三角形面积公式和余弦定理表达式，再结合已知条件建立等式，最后通过化简等式求解. （2）通过已知条件求出的值，再利用基本不等式求出的最大值，进而得到三角形面积的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知：，两边平方得： ，又因为， 所以，化简可得：， 因为是三角形内角，，解得， 所以，已知， 由基本不等式得 ，当且仅当时等号成立， 所以， 所以，的最大值是． 17. 如图，某地一公园ABCD为等腰梯形，其中，，，（单位：百米），公园出入口分别为C，D和AB的中点Q，公园管理部门准备在公园内部（不含边界）距离C，D两点相等的一点P处修建连接三个出口的道路PQ，PC，PD.设，，道路总长度为y.（单位：百米） （1）分别求y关于x和y关于θ的函数关系式； （2）请选用（1）中的一个关系式，求：当点P在何位置时三条道路的总长度最小. 【答案】（1）； （2）选，当时,三条道路的总长度最小. 【解析】 【分析】（1）借助等腰梯形的性质和勾股定理，以及锐角三角函数求出关系式即可； （2）运用三角关系式，借助导数研究单调性，进而来求最值即可. 【小问1详解】 如图，过A作于E, 过B作于F,延长交于G. 由于距离C，D两点相等的一点P，则. 根据题意，，，由等腰梯形性质，知道,,在中,求得,且，则. 在中,求得. 故y关于x的关系式为：，即. 在中，，且，则. 并且,则. 则y关于θ的关系式为：，即. 【小问2详解】 用, 求导得到. 令，则，，则. 当,,单调递减； 当,,单调递增； 故当，y取得最小值.且 综上所得，当时,三条道路的总长度最小. 18. 设等差数列的前项和为，． （1）求的通项公式； （2）求的最大值； （3）设数列的前项和为，求． 【答案】（1）； （2）36； （3）； 【解析】 【分析】（1）根据通项公式及求和公式求解即可； （2）求得，根据二次函数的性质求解即可； （3）由题意可得数列的前6项为正，从第7项起为负，分和，分别求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以，解得， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以， 所以当时，取最大值，为36； 【小问3详解】 令， 解得， 又因为， 所以， 即数列的前6项为正，从第7项起为负， 所以当时，， 所以， 当时，， 所以 ， 综上，； 19. 已知，. （1）若函数在处的切线与直线垂直，求的值； （2）讨论的单调性； （3）若，当且时，，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在和上单调递减，在上的单调递； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义及垂直条件列方程，解方程即可； （2）分情况讨论导数的零点情况及正负情况，即可得函数单调性情况； （3）由（2）可知当时，函数在上单调递减，在上单调递增，再由题意可知，即可确定，且，由，分离参数，配凑，构造函数，求导，判断函数单调性，进而可得函数的最小值，即可得参数范围. 【小问1详解】 由，得， 则， 由直线，即， 由切线与直线垂直可知，解得； 【小问2详解】 由， 当时，，令，解得， 且当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增； 当时，，， 当时，恒成立，即函数恒成立，函数在上单调递减； 当时，令，解得，，且， 即函数在和上单调递减，在上的单调递增； 当时，令，解得，， 即当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增； 综上所述，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在和上单调递减，在上的单调递； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 【小问3详解】 由（2）得，当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 由可知，即， 又，则，且， 由，即， 因为， 所以， 设，， 则， 设，则恒成立， 所以在上单调递增，且， 所以当时，，即， 所以在上单调递增， 所以， 所以，即， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $