精品解析：山东省淄博第七中学2025-2026学年高三上学期1月阶段性检测数学试题

淄博七中2023级1月阶段性检测 数 学 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 已知全集为U，，则其图象为（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题；命题，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 4. 已知，则（ ） A. B. C. 15 D. 17 5. 如图，正方形 的边长为 ，取 的各边中点 作第二个正方形 ，然后再取 的各边中点，作第三个正方形，依此方法一直继续下去， 那么所有的正方形的面积之和趋近于（ ） A. B. C D. 6. 在调查对某大型活动满意度比例为0.9的人员中抽取10人，设当中持有满意态度的人数为，随机变量，则的方差的值为（ ） A. 21 B. 6.6 C. 3.6 D. 4.8 7. 已知函数的定义域为，为奇函数，且对，恒成立．则以下结论： ①为奇函数； ②； ③； ④． 其中正确为（ ） A. ①②④ B. ②③ C. ②③④ D. ①③④ 8. 设函数（，），若在区间上具有单调性，且，则函数是的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 某地区组织了一次高三全体学生的模拟考试，经统计发现，数学成绩近似服从正态分布，则下列正确的是（ ） A. B. C D. 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 的一个零点为 11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点，，，…，均在x轴正半轴上，点，，，…，均在y轴正半轴上．已知，，，…，，，，四边形，，，…，均为长方形．当时，记为第个倒“L”形，则（ ） A. 第10个倒“L”形的面积为100 B. 长方形的面积为 C. 点，，，…，均在曲线上 D. 能被110整除 三、填空题 12. 的展开式的第四项为_________. 13. 已知是等差数列的前n项和，，则______． 14. 设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________. 四、解答题 15. 已知，是第四象限角，求，，的值. 16. 据城市《生活饮用水卫生标准》要求菌落总数必须小于等于130（单位：CFU/mL）才合格，否则视为不合格饮用水．某省环保厅对甲、乙两地各抽取5个自来水厂进行菌落总数检测，所得数据如下表所示（单位：CFU/mL）．其中有两个乙地自来水厂检测数据不准确，在表中用x，y表示． 甲水厂 80 110 120 140 150 乙水厂 100 120 x y 160 （1）从被检测的5个甲地自来水厂任取2个，求这2家自来水厂菌落总数都不超标的概率； （2）若5个乙地自来水厂菌落总数的平均值为120CFU/mL，且，求乙地自来水厂菌落总数的方差的最小值． 17. 如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，底面为平行四边形，且，，． （1）证明：点在平面的正投影在直线上； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 清明期间，某校为缅怀革命先烈，要求学生通过前往革命烈士纪念馆或者线上网络的方式参与“清明祭英烈”活动，学生只能选择一种方式参加．已知该中学初一．初二、初三3个年级的学生人数之比为4：5： 6，为了解学生参与“清明祭英烈”活动的方式，现采用分层抽样的方法进行调查，得到如下数据． 方式 年级 人数 初一年级 初二年级 初三年级 前往革命烈士纪念馆 2a-1 8 10 线上网络 a b 2 （1）求，的值； （2）从被调查且选择线上网络方式参与“清明祭英烈”活动的学生中任选3人，记选中初一年级学生的人数为，求的分布列与期望． 19. 定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数.已知函数 （1）当时，求； （2）是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （3）若，求的极值差比系数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淄博七中2023级1月阶段性检测 数 学 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的交集运算即可求解. 【详解】由题意有：, 故选：A. 2. 已知全集为U，，则其图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，可得，结合韦恩图的意义判断作答. 【详解】全集为U，，则有，选项BCD不符合题意，选项A符合题意. 故选：A 3. 已知命题；命题，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用全称命题与存在性命题的真假判定方法，逐个判定命题的真假，即可得到答案. 【详解】由，所以命题为假命题，则命题为真命题； 又由当时，，所以命题为真命题，则为假命题. 故选：B. 4. 已知，则（ ） A B. C. 15 D. 17 【答案】D 【解析】 【分析】令得到展开式系数和，再写出展开式的通项，求出，即可得解. 【详解】令，得， 又展开式的通项为（且）， 所以，所以. 故选：D 5. 如图，正方形 的边长为 ，取 的各边中点 作第二个正方形 ，然后再取 的各边中点，作第三个正方形，依此方法一直继续下去， 那么所有的正方形的面积之和趋近于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】记第个正方形的面积为，第个正方形的边长为，则，即数列是首项为，公比为的等比数列，数列是首项为，公比为的等比数列，再利用等比数列的求和公式求解即可. 【详解】记第个正方形的面积为，第个正方形的边长为， 则第个正方形的对角线长为， 所以第全正方形的边长为，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以， 所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以若这个作图过程可以一直继续下，则所有这些下方形的面积之和将趋近于常数. 故选：B 6. 在调查对某大型活动满意度比例为0.9的人员中抽取10人，设当中持有满意态度的人数为，随机变量，则的方差的值为（ ） A. 21 B. 6.6 C. 3.6 D. 4.8 【答案】C 【解析】 【分析】由二项分布的方差公式求出，再根据求出结果即可. 【详解】由题意可知，随机变量服从二项分布，即， 则， 又， 则， 故选：C. 7. 已知函数的定义域为，为奇函数，且对，恒成立．则以下结论： ①为奇函数； ②； ③； ④． 其中正确的为（ ） A. ①②④ B. ②③ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的对称性，得到函数的周期性，再结合其性质依次讨论个命题即可. 【详解】解：因为函数为奇函数，所以的图象关于点对称，即， 所以， 因为对，恒成立， 所以， 所以，即，故函数为偶函数，①错误； 因为函数为奇函数，所以， 因为，所以，，②正确； 因为的图象关于点对称， 所以，即，③正确； 又因为，即函数为周期函数，周期为， 所以，④正确. 综上，正确的有：②③④ 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于结合对称性得函数为偶函数，周期函数，周期为，进而结合周期性与对称性求解. 8. 设函数（，），若在区间上具有单调性，且，则函数是的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据单调性可求出，再根据题意得函数关于点对称，关于直线对称，得到等式组，通过作差分析可得，最后检验即可. 【详解】若在区间上具有单调性,则， 则的图象关于点对称,的图象关于直线对称, ①， 且，② 两式相减,可得,又因为，故. 当时,则结合和①式可得，. 所以. 故它的最小正周期为， 故选：B. 二、多选题 9. 某地区组织了一次高三全体学生的模拟考试，经统计发现，数学成绩近似服从正态分布，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可求解. 【详解】由题意可得．由对称性可得,，AB正确，CD错误． 故选：AB 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 的一个零点为 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A，利用周期公式计算；选项B，代入看是否满足对称轴方程；选项C，通过解不等式确定的范围，结合正弦函数单调性判断；选项D，先求出的表达式，再代入值判断是否为零点. 【详解】选项A，的最小正周期为，所以A正确； 选项B，因为，所以的图象关于直线对称，所以B正确； 选项C，由，可得，则在上单调递增，所以C正确； 选项D，，，所以D不正确. 故选：ABC. 11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点，，，…，均在x轴正半轴上，点，，，…，均在y轴正半轴上．已知，，，…，，，，四边形，，，…，均为长方形．当时，记为第个倒“L”形，则（ ） A. 第10个倒“L”形的面积为100 B. 长方形的面积为 C. 点，，，…，均在曲线上 D. 能被110整除 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求得的坐标，然后长方形的面积，由此对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】， ，所以C正确 ，所以B正确. 第10个倒“L”形的面积为，所以A错误. 由于， 所以，所以D正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤， (1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. (2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. (3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 三、填空题 12. 的展开式的第四项为_________. 【答案】 【解析】 【分析】写出二项式的通项公式，代值计算即得. 【详解】的展开式的通项为， 令，得 故答案为：. 13. 已知是等差数列的前n项和，，则______． 【答案】33 【解析】 【分析】法一：运用等差中项性质，结合等差数列的前n项和公式进行求解即可； 法二：运用等差数列的通项公式，结合等差数列的前n项和公式进行求解即可. 【详解】解法一 因为是等差数列，所以，（技巧：等差中项的应用） 则，所以． 解法二 设等差数列的公差为d，所以由得，则，所以． 故答案为：33 14. 设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将函数化简成，构造同构函数，分析单调性，转化为即求解研究函数单调性即可解决. 【详解】因为通分得：即：；设 ， 函数在单调递增， 恒成立，得：即 设， 易知函数在上单调递增，在上单调递减 故答案为： 四、解答题 15. 已知，是第四象限角，求，，的值. 【答案】；； 【解析】 【分析】 由平方关系以及商数关系求出，，再由两角差的正弦公式，两角和的余弦公式，两角差的正切公式求解即可. 【详解】由，是第四象限角，得， 所以. 于是有； ； . 【点睛】本题主要考查了两角差的正弦公式，两角和的余弦公式，两角差的正切公式，属于中档题. 16. 据城市《生活饮用水卫生标准》要求菌落总数必须小于等于130（单位：CFU/mL）才合格，否则视为不合格饮用水．某省环保厅对甲、乙两地各抽取5个自来水厂进行菌落总数检测，所得数据如下表所示（单位：CFU/mL）．其中有两个乙地的自来水厂检测数据不准确，在表中用x，y表示． 甲水厂 80 110 120 140 150 乙水厂 100 120 x y 160 （1）从被检测的5个甲地自来水厂任取2个，求这2家自来水厂菌落总数都不超标的概率； （2）若5个乙地自来水厂菌落总数的平均值为120CFU/mL，且，求乙地自来水厂菌落总数的方差的最小值． 【答案】（1） （2）440 【解析】 【分析】（1）运用列举法求得古典概型的概率即可. （2）运用平均数、方差公式计算得，转化为求二次函数在区间上的最值即可. 【小问1详解】 从被检测的5家甲地自来水厂任取2家，其检测结果有： ，，，，，，，，，共10种． 设“2家自来水厂菌落总数都不超标”为事件A，则事件A包含以下3种不同结果： ，，． 所以． 小问2详解】 由题设，，则． 所以 ， 又因为， 所以当时，取得最小值为440． 17. 如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，底面为平行四边形，且，，． （1）证明：点在平面的正投影在直线上； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）过点在平面内作垂直于，交的延长线于点，连接．由，，得，又，得平面，根据“边边边”判定，由，得，得平面，即可解决； （2）以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，由，，根据空间向量法求角解决即可. 【小问1详解】 证明：如图，过点在平面内作垂直于，交的延长线于点，连接． 因为，， 所以． 又，平面，且， 所以平面． 又平面， 所以，即． 因为，， 所以 又因为， 所以，故． 因为为等边三角形，所以． 又， 所以． 又， 所以． 又平面，且， 所以平面， 所以点为点在平面的正投影， 又点在直线上， 所以点在平面的正投影在直线上． 【小问2详解】 由（1）得两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意可得． 又， 所以，，，， 所以，，． 设为平面的法向量， 所以 ，即， 令，可得． 设为平面的法向量， 所以，即， 令，可得， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 清明期间，某校为缅怀革命先烈，要求学生通过前往革命烈士纪念馆或者线上网络的方式参与“清明祭英烈”活动，学生只能选择一种方式参加．已知该中学初一．初二、初三3个年级的学生人数之比为4：5： 6，为了解学生参与“清明祭英烈”活动的方式，现采用分层抽样的方法进行调查，得到如下数据． 方式 年级 人数 初一年级 初二年级 初三年级 前往革命烈士纪念馆 2a-1 8 10 线上网络 a b 2 （1）求，的值； （2）从被调查且选择线上网络方式参与“清明祭英烈”活动的学生中任选3人，记选中初一年级学生的人数为，求的分布列与期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据比例关系得到，解得答案. （2）X的取值可能为0，1，2，3，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案. 【小问1详解】 由题可知，，解得． 【小问2详解】 X的取值可能为0，1，2，3， ， ． 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P ． 19. 定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数.已知函数 （1）当时，求； （2）是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （3）若，求的极值差比系数的取值范围. 【答案】（1） （2）不存在，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）按照题目所给信息，验证是否满足题意即可； （2）将问题转化为验证方程在范围内是否有解； （3）由（2）可得的极值差比为，后令，结合， 将问题转化为求函数值域即可. 【小问1详解】 当时，， 所以， 当时，；当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，极小值为， 所以，因此是极值可差比函数． 其中； 【小问2详解】 由题的定义域为，，即， 假设是极值可差比函数，且极值差比系数为， 设的极大值点为，极小值点为. 则，得，由（1）分析可得， 又，则. 由于 . 由题则有：， 从而， 结合，得（*）. 令，则， 所以在上单调递增，有， 因此（*）方程在时无解，即不存在使的极值差比系数为； 【小问3详解】 由（2）知极值差比系数为，又， 则极值差比系数为. 令，，则极值差比系数可化为， 注意到，又，可得， 令，则， 设， 所以在上单调递减， 当时，，从而， 所以在上单调递增，所以， 即． 故的极值差比系数的取值范围为 【点睛】关键点睛：本题首先需读懂题意，随后灵活运用代数式处理技巧，将需研究表达式化简为只含一个未知数；对于某些复杂函数的性质，我们也可通过多次求导来研究，但要注意书写格式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $