精品解析：广东梅州市梅县区宪梓中学2026-2027学年度第一学期八年级数学科课堂巩固练习 （2026.9）

2026-2027学年度第一学期八年级数学科课堂巩固练习 一、选择题本大题共10小题，每题3分，共30分．每小题给出四个选项，其中只有一个正确的． 1. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列数中是无理数的是（　　） A. B. C. 0 D. 3. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 若式子有意义，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 7. 在中，的对边分别是，则下列条件中不能说明是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知x，y为正数，且，如果以x，y的长为直角边作一个直角三角形，以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（　　） A. 10 B. 100 C. 14 D. 196 9. 如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（ ） A. 20米 B. 25米 C. 30米 D. 15米 10. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 化简的结果是_______． 12. 比较大小：______2（填“＜”，“＝”或“＞”）． 13. 如图，以原点B为圆心，长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的实数是________． 14. 若一个直角三角形两边的长分别为6和8，则第三边的长为_____． 15. 图1是第七届国际数学教育大会（JCME-7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形演化而成的．若图2中的，按此规律继续演化，则的面积为_____． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 正数x的两个平方根分别为3﹣a和2a+7． （1）求a的值； （2）求44﹣x这个数的立方根． 18. 如图，在中，是边上的高线，已知，，． （1）求的长； （2）判断的形状，并说明理由． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 为了更好地提升居民的生活水平和居住满意度，某小区进行小范围绿化，要在一块如图所示的四边形空地内进行绿化改造，，，，，． （1）若要在，两点间铺一条鹅卵石路，铺设成本为；求花费多少元？ （2）如果种植草皮的费用是元，那么在整块空地上种植草皮共需投入多少元？ 20. 如图，长方形中，，，为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点，且． （1）求证：； （2）求的长． 21. 阅读理解： ∵ ∴ 因此可以化简为： （1）请仿照上述的方法化简下列式子：（n为正整数） ________________________， ______（写最终答案）． （2）利用上述提供的信息请化简下式： ； （3）通过上述化简过程，可知______（填“>”、“<”或“=”）； （4）若的整数部分为a，小数部分为b，则的值为______． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 综合与实践： 【观察猜想】（1）如图1，与都是等腰直角三角形，其中，，，点E在线段上，连接，则和的数量关系是____________． 【观察猜想】（2）如图2，将（1）中的绕点C顺时针旋转，点E落在线段上，其他条件不变，此时的度数是____________，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】如图3，是等腰直角三角形，其中，，D为外一点，且，连接BD，若，，请直接写出的长度． 23. 如图，长方形ABCD中，，．E为CD边上一点，． （1）求AE的长； （2）点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒． ①当t为何值时，是等腰三角形； ②当t=______时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期八年级数学科课堂巩固练习 一、选择题本大题共10小题，每题3分，共30分．每小题给出四个选项，其中只有一个正确的． 1. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“勾股数”的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； B、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； C、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； D、，是“勾股数”，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：若满足的三个正整数，称为勾股数． 2. 下列数中是无理数的是（　　） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】，0，是有理数； 是无理数． 故选B． 【点睛】本题考查了无理数的概念，解答此类问题时一定要注意π是无理数． 3. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查最简二次根式的判断，根据最简二次根式的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、是最简二次根式，故本选项正确； B、不是最简二次根式，故本选项错误； C、被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误； D、被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项错误； 故选A． 4. 若式子有意义，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数必须是非负数，所以需要让被开方部分满足对应的不等式要求．针对本题中的被开方数，列出对应的不等式，再通过解不等式得到的取值范围． 【详解】∵有意义， ∴， ∴． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由（，），，（，），合并同类二次根式，据此进行计算即可． 【详解】解：A．，结论错误，不符合题意； B．，结论错误，不符合题意； C．，结论错误，不符合题意； D．，结论正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式运算，掌握公式是解题的关键． 6. 估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】B 【解析】 【分析】根据数的平方估出介于哪两个整数之间，从而找到其对应的点． 【详解】∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了无理数的估算，解题的关键是求出介于哪两个整数之间． 7. 在中，的对边分别是，则下列条件中不能说明是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理逆定理、三角形内角和定理、三角形三边关系是解题的关键 根据勾股定理逆定理、三角形内角和定理、三角形三边关系分析各选项是否满足直角三角形的条件即可． 【详解】解：分析各选项如下： 选项A、∵展开得即符合勾股定理逆定理，故是直角三角形； 选项B、∵ ∴． 又∵三角形内角和为， ∴，故是直角三角形； 选项C、设, 则,不能构成三角形，故该选项符合题意； 选项D、设则． ∵， ∴，解得，则，故是直角三角形． 故选：C． 8. 已知x，y为正数，且，如果以x，y的长为直角边作一个直角三角形，以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（　　） A. 10 B. 100 C. 14 D. 196 【答案】B 【解析】 【分析】由绝对值和偶次方的非负性质解出、的值，再由勾股定理求出斜边的长，斜边长的平方即为正方形的面积． 【详解】解：，为正数，且， ，， ，， 以，的长为直角边作一个直角三角形的斜边长为， 以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的性质、绝对值和偶次方的非负性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 9. 如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（ ） A. 20米 B. 25米 C. 30米 D. 15米 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图，根据题意可得，底面周长约为米，柱身高约米， 米，（米）， （米）， 故雕刻在石柱上的巨龙至少为（米）， 故选：A． 10. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂美四边形的性质，勾股定理的运用即可求解，本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是“垂美”四边形，即， ∴在中，，在中，， ∴， 在中，，在中，， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 化简的结果是_______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】=4． 故答案为4 【点睛】本题考查了算术平方根的意义，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根；正数a有一个正的算术平方根， 0的算术平方根是0，负数没有算术平方根． 12. 比较大小：______2（填“＜”，“＝”或“＞”）． 【答案】＜ 【解析】 【分析】将两个正数分别平方后，比较平方结果，即可得到原数的大小关系． 【详解】解：，， ，且，， ． 13. 如图，以原点B为圆心，长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的实数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，熟练掌握第三边的求法是解题的关键．根据勾股定理求出，再根据数轴的特点即可得出答案． 【详解】解：如图所示：， 故点A所表示的数是：． 故答案为：． 14. 若一个直角三角形两边的长分别为6和8，则第三边的长为_____． 【答案】10或 【解析】 【分析】分两种情况：第一种，6和8是直角三角形的两条直角边，根据勾股定理求第三边的长；第二种，8是直角三角形的斜边长，6是直角边长，根据勾股定理求第三边的长． 【详解】解：本题可分两种情况讨论： 情况一：若6和8均为直角边长，根据勾股定理，第三边（斜边）的长为； 情况二：若8为斜边长，6为直角边长，根据勾股定理，第三边（另一条直角边）的长为． 15. 图1是第七届国际数学教育大会（JCME-7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形演化而成的．若图2中的，按此规律继续演化，则的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理依次计算出，，，，然后依据计算出前几个三角形的面积，然后依据规律解答求得△的面积即可得到结论． 【详解】解：，，， ． ； ； ； △的面积． ∴的面积=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】先处理每个二次根式的化简，将被开方数分解为平方数和剩余因数的乘积，把所有根式化为最简二次根式． 对于（1）小题，因为化简后的根式都是同类二次根式，所以合并同类二次根式即可得到结果． 对于（2）小题，首先观察到乘积项符合平方差公式的形式，所以用平方差公式计算该乘积项；接着按照二次根式的除法法则计算除法项，同时化简剩余的二次根式；最后合并所有化简后的项． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 正数x的两个平方根分别为3﹣a和2a+7． （1）求a的值； （2）求44﹣x这个数的立方根． 【答案】（1） a＝﹣10；（2）44－x的立方根是﹣5． 【解析】 【分析】（1）理解一个正数有几个平方根及其两个平方根间关系：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，求出a的值； （2）根据a的值得出这个正数的两个平方根，即可得出这个正数，计算出44-x的值，再根据立方根的定义即可解答. 【详解】解：（1）由题意得：3﹣a＋2a＋7＝0， ∴a＝﹣10， （2）由（1）可知a＝﹣10， ∴x＝169，则44－x＝﹣125， ∴44－x的立方根是-5. 【点睛】此题考查了立方根，平方根，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 18. 如图，在中，是边上的高线，已知，，． （1）求的长； （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：是直角三角形，理由如下： ∵，，， ∴， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理分别求出、的长，再求出的长即可； （2）利用勾股定理的逆定理即可判断是直角三角形． 【小问1详解】 解：∵是边上的高线， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 为了更好地提升居民的生活水平和居住满意度，某小区进行小范围绿化，要在一块如图所示的四边形空地内进行绿化改造，，，，，． （1）若要在，两点间铺一条鹅卵石路，铺设成本为；求花费多少元？ （2）如果种植草皮的费用是元，那么在整块空地上种植草皮共需投入多少元？ 【答案】（1）铺设这条鹅卵石路的最低花费为元 （2）整块空地上种植草皮共需投入元 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． （1）如图，连接，再利用勾股定理先求解，从而可得答案； （2）先利用勾股定理的逆定理证明，可得整块空地的面积为：，再计算总费用即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵铺设成本为， ∴铺设这条鹅卵石路的花费为（元）． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴整块空地的面积为：， ∵种植草皮的费用是元， ∴整块空地上种植草皮共需投入（元）． 20. 如图，长方形中，，，为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点，且． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是长方形， ，，， 将沿翻折至，与相交于点，与相交于点， ，， 在和中， ， ， ，； （2）2.4． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，解题的关键是灵活运用这些性质． （1）根据折叠的性质可得，，，结合，可证明，得到，； （2）推出，设，则，，推出，在中，根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ， 即， ， 设，则，， ，， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ． 21. 阅读理解： ∵ ∴ 因此可以化简为： （1）请仿照上述的方法化简下列式子：（n为正整数） ________________________， ______（写最终答案）． （2）利用上述提供的信息请化简下式： ； （3）通过上述化简过程，可知______（填“>”、“<”或“=”）； （4）若的整数部分为a，小数部分为b，则的值为______． 【答案】（1）：，，，；； （2）1010 （3）＞ （4） 【解析】 【分析】（1）仿照例题化简即可； （2）先利用（1）得到的通式，将括号内每一项都分母有理化，因为相邻项的根式可以抵消，所以化简括号内的求和式，再和后面的因式相乘计算结果； （3）将两个式子分别转化为分子为1的分数形式，因为分子相同的正分数，分母越大分数越小，所以通过比较两个分数的分母大小，判断原式子的大小关系． （4）先对给定的式子分母有理化，再估算化简后无理数的范围，确定整数部分a和小数部分b，最后代入代数式计算． 【小问1详解】 解：化简填空（或）；  ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：∵，，且， ∴， 即； 【小问4详解】 解：， ∵， ∴， 故，， ∴． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分． 22. 综合与实践： 【观察猜想】（1）如图1，与都是等腰直角三角形，其中，，，点E在线段上，连接，则和的数量关系是____________． 【观察猜想】（2）如图2，将（1）中的绕点C顺时针旋转，点E落在线段上，其他条件不变，此时的度数是____________，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】如图3，是等腰直角三角形，其中，，D为外一点，且，连接BD，若，，请直接写出的长度． 【答案】（1）；（2），；（3）． 【解析】 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）根据证明，得，，由勾股定理可求，，据此即可求解； （3）过点C作，且，连接，由等腰直角三角形的性质可得，由“”可证，可得，由勾股定理可求出的长． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2），，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，；， ∴； ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图，过点C作，且，连接， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 23. 如图，长方形ABCD中，，．E为CD边上一点，． （1）求AE的长； （2）点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒． ①当t为何值时，是等腰三角形； ②当t=______时，． 【答案】（1）5；（2）2或或；（3） 【解析】 【分析】（1）求出，，利用勾股定理即可求出AE的长； （2）①根据若是等腰三角形，分三种情况讨论：，和时．分别进行求解即可；②过点E作，利用勾股定理可以表示出在和中，，，联立方程即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是长方形， ∴，， ∴， 在中，， （2）①若为等腰三角形，则有三种可能. 当时，， ∴， 当时，， ∴， 当时，过点E作， 在中，， ∴， 即， 解得：， ， ∴ 综上所述，符合要求的t值为2或或； ②当时， 在中，， 即， 在中，， 即， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴当时，． 【点睛】本题考查了勾股定理的综合应用，解题的关键是注意分类讨论思想，以防漏解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $