精品解析：辽宁沈阳市第二十中学2026-2027学年高二上学期10月阶段测试数学试卷

2026-2027学年度（上）沈阳市第二十中学阶段测试 高二年级数学试卷 考试时间：120分钟 分数：150分 试卷共两部分：第一部分选择题（1--11题 共58分）；第二部分非选择题（12--19题 共92分） 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分．每小题所给选项中有且只有一个正确选项） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出直线的斜率，即可求出倾斜角. 【详解】直线，即，所以直线的斜率. 设倾斜角为，则，且，故， 即直线的倾斜角为， 故选：D 2. 已知向量，，若，则实数（ ） A. 5 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用向量的坐标运算求得，再由向量垂直的坐标表示列方程求参数值. 【详解】由，而， 所以， 所以. 故选：B 3. 如图，在正三棱柱中，，若，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由于,且，可得,从而求出三棱柱的高，取的中点,连接,, 可证为直线与平面所成角，利用边长关系即可求解. 【详解】设正三棱柱的高为,即, 由于,,， 则,即,则,所以， 取的中点,连接,, 由于底面为等边三角形，,则, 由于平面,，平面,所以,，且 由于,平面,所以平面， 所以为直线与平面所成角，则, 故选：B 4. 若在正方体中，点E是的中点，则二面角的平面角的正切值为（ ）． A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解二面角的余弦值，进而求出正切值. 【详解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为a，则，，，，设平面的法向量为，则，解得：，令，则，所以，平面的法向量为，设二面角的平面角为，可以看出为锐角，则，则，故. 故选：B 5. 已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾斜角的取值范围． 【详解】直线的方程可化为，由，可得， 所以，直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 将代入方程： 可得：不成立，不在直线上， 所以，即， 因为所以或 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 6. 已知正方体的棱长为1，且满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量的共面定理可得点四点共面，从而将求的最小值转化为求点到平面的距离d，再根据等体积法计算d 【详解】因为， 由空间向量的共面定理可知，点四点共面， 即点E在平面上，所以的最小值为点到平面的距离d， 由正方体棱长为1，可得是边长为的等边三角形， 则，， 由等体积法得，，所以， 所以的最小值为. 故选：C 7. 在四面体中，平面，，点分别为棱上的点，且，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以，，为空间向量的基底，表示出和，利用空间向量的数量积，求异面直线的夹角. 【详解】如图： 因为，所以， 则， 又，所以， 则， 又平面，平面，所以，， 即， 又，所以 所以 ， ，， 所以， 则直线与直线夹角的余弦值为． 故选：A 【点睛】方法点睛：以，，为空间向量的基底，表示出和，利用空间向量的数量积，求异面直线的夹角. 8. 在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对称，将直线同侧折线段化为直线异侧两定点间的折线段之和，由两点之间线段最短可知. 【详解】设关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，与的交点即为，与轴的交点即为. 如图，两点之间线段最短可知，的长即为周长的最小值. 设，则 解得即， 关于轴的对称点为， 故周长的最小值为. 故选：C. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分．每小题所给的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 如图，在棱长为2的正方体中，，，分别为，，的中点，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面与平面夹角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出向量，，和平面的法向量、平面的一个法向量为，由即可判断A；由即可判断B；由计算即可判断C；计算即可判断D. 【详解】以为原点，所在的直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，， 所以，，. 设平面的一个法向量为， 则令，得，得. 因为，所以， 又平面，所以平面，A正确； 因为，所以，所以平面，B正确； 易得平面的一个法向量为， 所以平面与平面夹角的余弦值为，C错误； 点到平面的距离为，D正确. 故选：ABD 10. 在空间直角坐标系中，经过点，且一个法向量为的平面的方程为．若平面的方程为，平面的方程为，则（ ） A. 对任意不平行 B. 存在，使得垂直 C. 当夹角的余弦值为时， D. 不存在，使得的夹角在区间内 【答案】ABD 【解析】 【分析】平面平行即法向量共线，利用向量共线坐标公式列式计算判断A；平面垂直即法向量垂直，利用向量垂直坐标公式列式计算判断B；利用向量夹角余弦值列式求解判断C；先利用向量夹角余弦值列式，然后利用基本不等式求解最值，最后利用余弦函数性质求解角的范围判断D. 【详解】由题意平面的一个法向量，的一个法向量， 因为，所以不平行，不平行，故A正确； ，当时，，故B正确； 设的夹角为，当时，平方化简得， 解得或，故C错误； 当时，，所以， 当时， ， 因为函数在上单调递减，所以，故D正确． 故选：ABD. 11. 在四棱柱中，底面是平行四边形，，且，点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则，，，四点共面 C. 直线与直线所成角的余弦值为 D. 四棱柱的体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量运算求解判断A；根据空间向量共面定理判断B；根据异面直线所成角的向量求法求解判断C，根据向量法求得点到平面的距离，代入柱体体积公式求解判断D. 【详解】由题意知， 若，则，故A正确； 由题意知，若，则， 可得，所以， 即，所以，，，四点共面，故B正确； 因为，，， 且，所以，又， 所以， 所以， 所以， 即直线与直线所成角的余弦值为，故C错误； 记点在平面内的投影为，设， 所以， 又，， 所以， ， 解得，，所以，所以，即四棱柱的高为， 所以四棱柱的体积为，故D正确. 故选：ABD. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 给定点，，，则在方向上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【解析】 【详解】根据向量坐标的计算公式，， 根据投影向量的计算公式在方向上的投影向量为， 即. 13. 已知直线与直线，若，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据可得出关于的等式，计算可解得的值. 【详解】若，则， 所以或． 当时，，重合；当时，符合题意． 故答案为： 14. 正方体棱长为4，点满足，点满足，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】依题意，建立空间直角坐标系，由求得，再由得到动点的轨迹是以B为球心，1为半径的球，因，则的最小值为到球心B的最小距离减去半径1，计算，利用二次函数的性质即可求得的最小值. 【详解】如图建立空间直角坐标系, 则由题意可得， 则， 则，由可知，动点的轨迹是以B为球心，1为半径的球， 的最小值为到球心B的最小距离减去半径1， 而， 则当时，取到最小值为，故的最小值为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算） 15. 已知的顶点为，，． （1）求边上的高所在直线的方程； （2）直线l经过点A，且B，C两点到直线l的距离相等，求直线l的方程． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）法一、利用两点斜率公式及直线垂直的充要条件，结合点斜式可得，法二、利用两点斜率公式及直线的点法式计算即可； （2）法一、分类讨论直线斜率是否存在结合点到直线的距离公式计算即可；法二、确定直线过中点或与平行，根据平行的充要条件及两点式计算即可. 【小问1详解】 法一：依题意，有，所以AD的斜率为2， 所以AD所在直线的方程为，即． 法二：依题意，有，即直线AD的一个法向量为． 由直线的点法式，可得直线AD所在的直线的方程为：， 即． 【小问2详解】 法一：（i）当直线l的斜率不存在时，直线．B，C两点到直线l的距离分别为2和6， 不符合题意． （ii）当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为， 即． 依题意，有，即， 所以或，解得或． 所以直线的方程为或． 法二：因为直线l经过点A，且B，C两点到直线l的距离相等， 所以直线l与直线BC平行，或过线段BC的中点． （i）当直线l与直线BC平行时，直线BC的斜率为， 所以直线的方程为，即． （ii）当直线l过线段BC的中点时，线段BC的中点为， 所以直线的方程为，即． 综上所述，直线的方程为或． 16. 如图①，在等腰梯形中，，于点D，，，，将沿折起至的位置，形成如图②所示的四棱锥，F为中点． （1）证明：平面； （2）若，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据中位线定理以及线面平行的判定定理求解即可. （2）空间向量法求出二面角的余弦值，再根据同角三角函数关系求正弦即可. 【小问1详解】 取的中点，连接、. 因为为中点，所以是的中位线，故，且. 由原等腰梯形性质得，，， 因此且，四边形是平行四边形，故. 又平面，平面，因此平面. 【小问2详解】 由折叠性质知，，，又，因此平面. 已知，，，满足，故. 又，，因此平面. 以为原点，分别以、、所在直线为轴建立空间直角坐标系， 各点坐标为，，，. 设平面的法向量为，平面的法向量为. ，， 由，令，得. ， 由​，令，得. . 因此二面角的正弦值为. 17. 已知直线过定点，直线的方程是． （1）若直线的横截距为纵截距的3倍，求直线的方程． （2）若直线与轴正半轴分别交于两点，过分别作直线垂线，垂足分别是．求四边形面积的最小值． 【答案】（1）或； （2）4 【解析】 【分析】（1）分别考虑直线的横、纵截距是否均为0设方程，代入求出参数，可得结果； （2）设出的方程，分别表示出的面积，结合基本不等式求解出四边形面积的最小值． 【小问1详解】 当直线的横、纵截距均为0时，设其方程为，代入，得，则得； 当直线的横、纵截距均不为0时，可设，代入点，解得， 则直线方程为， 所以直线的方程为或； 【小问2详解】 由题意直线的斜率存在，可设， 令，则，所以， 令，则，所以， 所以， 因为的倾斜角为，所以， 所以均为等腰直角三角形， 所以， 所以 因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 由二次函数性质可知，，当且仅当时取等号， 所以四边形PQSR面积的最小值为4． 18. 如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，． （1）证明： （2）若点E为直线上的动点，当直线与底面所成角的正弦值取最大值时，求三棱锥的体积． 【答案】（1）取的中点O，连接. 因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以，且 由题设可知，； 又，因此，且平行且等于， 故四边形BCDO是矩形，可得． 由于，且PO、BO都在平面POB内，因此平面POB． 又平面POB，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）作辅助线，根据线面垂直的判定定理可证平面POB，进而可得线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，将直线与底面所成角的正弦值取最大值问题转化成函数问题进行求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知平面． 又平面，所以平面平面． 在平面内作直线的垂线， 则平面，有，． 以为原点，分别以所在直线为坐标轴，建立如图空间直角坐标系． 因为，所以平面， 因为平面，所以． 由，，可得． 由余弦定理，，所以． 所以，，． 所以，． 设，则， 底面的一个法向量为． 设直线与底面所成的角为， 则． 当时，； 当时，． 所以当时，取得最大值．此时， 所以到平面的距离为， 又， 所以此时三棱锥的体积为． 19. 如图，在斜三棱柱中，，，侧棱，，，其中为锐角． （1）当时，求证：； （2）定义：过点作垂直底面于，且在内部，记与、所成角分别为、，称为斜三棱柱的投影偏差率． （ⅰ）当时，求斜三棱柱的投影偏差率（不需证明），并求此时平面与平面夹角的余弦值； （ⅱ）关于的函数解析式记为，若存在两个不同的锐角，使得，求证：． 【答案】（1）证明如下： 因为 ， 所以，即． （2）（ⅰ）， （ⅱ）证明如下： ， 已知存在两个不同的锐角，使得， 设， 则， 锐角，是两个不同的锐角，则符号相反， ，即， 化简整理得， ，，为锐角，则， ． 【解析】 【分析】（1）利用基底法表示向量，结合已知条件求出向量的数量积，利用数量积为0证明结论； （2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，结合已知条件求出相关点和向量坐标，根据投影偏差率定义求解，求出相关平面法向量，利用向量夹角余弦公式计算求解；（ⅱ）根据投影偏差率定义结合（ⅰ）化简，利用“存在两个不同的锐角，使得”的条件构造方程，进而求出，证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，为轴，为轴，过A垂直于面的直线为轴， 建立下图所示空间直角坐标系， 则， （ⅰ）已知，，， 则，故， 已知与、所成角分别为、， 则， 则， ，则， ， ， 设平面的法向量为，则， 令，则， 平面的法向量可取， 设平面与平面夹角为，则 ； （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度（上）沈阳市第二十中学阶段测试 高二年级数学试卷 考试时间：120分钟 分数：150分 试卷共两部分：第一部分选择题（1--11题 共58分）；第二部分非选择题（12--19题 共92分） 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分．每小题所给选项中有且只有一个正确选项） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则实数（ ） A. 5 B. C. 1 D. 3. 如图，在正三棱柱中，，若，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 若在正方体中，点E是的中点，则二面角的平面角的正切值为（ ）． A. B. 2 C. D. 5. 已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知正方体的棱长为1，且满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 在四面体中，平面，，点分别为棱上的点，且，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分．每小题所给的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 如图，在棱长为2的正方体中，，，分别为，，的中点，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面与平面夹角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 10. 在空间直角坐标系中，经过点，且一个法向量为的平面的方程为．若平面的方程为，平面的方程为，则（ ） A. 对任意不平行 B. 存在，使得垂直 C. 当夹角的余弦值为时， D. 不存在，使得的夹角在区间内 11. 在四棱柱中，底面是平行四边形，，且，点满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则，，，四点共面 C. 直线与直线所成角的余弦值为 D. 四棱柱的体积为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 给定点，，，则在方向上的投影向量的坐标为______. 13. 已知直线与直线，若，则______ 14. 正方体棱长为4，点满足，点满足，则的最小值为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算） 15. 已知的顶点为，，． （1）求边上的高所在直线的方程； （2）直线l经过点A，且B，C两点到直线l的距离相等，求直线l的方程． 16. 如图①，在等腰梯形中，，于点D，，，，将沿折起至的位置，形成如图②所示的四棱锥，F为中点． （1）证明：平面； （2）若，求二面角的正弦值． 17. 已知直线过定点，直线的方程是． （1）若直线的横截距为纵截距的3倍，求直线的方程． （2）若直线与轴正半轴分别交于两点，过分别作直线垂线，垂足分别是．求四边形面积的最小值． 18. 如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，． （1）证明： （2）若点E为直线上的动点，当直线与底面所成角的正弦值取最大值时，求三棱锥的体积． 19. 如图，在斜三棱柱中，，，侧棱，，，其中为锐角． （1）当时，求证：； （2）定义：过点作垂直底面于，且在内部，记与、所成角分别为、，称为斜三棱柱的投影偏差率． （ⅰ）当时，求斜三棱柱的投影偏差率（不需证明），并求此时平面与平面夹角的余弦值； （ⅱ）关于的函数解析式记为，若存在两个不同的锐角，使得，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $