精品解析：江苏省郑梁梅高级中学2026-2027学年高二上学期9月份学情调研数学试题

2026-2027学年度高二年级9月份学情调研 数学试题 试卷满分：150分 考试时长：120分钟 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分． 1. 已知直线的方程为，则该直线的斜率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题知，所以直线的斜率为． 2. 若直线是圆的一条对称轴，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线经过圆心即可求解. 【详解】由题意可得，直线过圆心，则，解得. 故选：A 3. 直线与直线所成角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得两条直线的斜率，然后由两直线的夹角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】直线斜率，直线斜率， 设两直线的夹角为，则， 且，所以. 故选：B 4. 直线与曲线有且仅有一个公共点，则b的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意得到曲线表示半圆，再结合图象即可得到直线与曲线有且仅有一个公共点时b的取值范围. 【详解】将方程变形为． 当直线与曲线相切时，满足， 即，解得． 由图可知，当或时，直线与曲线有且仅有一个公共点． 故选：B. 5. 若直线过点，则的最小值为（） A. 7 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【详解】直线过点，代入得，即，且， 由此解得（），代入目标函数并化简得： ， ， 因为，所以， 所以由基本不等式， 得：， 当且仅当即时取等， 故的最小值为. 6. 过点作圆的两条切线，切点分别为和，则切点弦所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出辅助线，得到点P，A，C，B共圆，为直径，从而得到圆心和半径，得到圆的方程，再由直线为这两个圆的公共弦所在直线，两圆相减即可求解； 【详解】 如图所示，连接， 由平面几何知，，，点P，A，C，B共圆，且为直径. 因为，，所以所求圆的圆心为中点， 即，半径为， 所以所求圆的方程为，即. 又直线为这两个圆的公共弦所在直线， 由与相减， 可得的方程为. 故选：A 7. 已知直线和直线都过点，则过点和点的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把坐标代入两条直线和得,,求出,再用两点式方程求过点,的直线的方程． 【详解】把坐标代入两条直线和,得 ,, , 过点,的直线的方程是：, ,则, ,, 所求直线方程为：． 故选 ：A. 8. 是圆上两点，，若在圆上存在点恰为线段的中点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由得弦中点P到圆心的距离，则点在以为圆心，1为半径的圆上，又在圆上存在点，则可转化为两圆有公共点问题求解即可. 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 由是弦的中点，且，则， 所以， 故点在以为圆心， 以为半径的圆上. 又在圆上存在点恰为线段的中点，， 则两圆有公共点，可得， 即，解得或. 则实数的取值范围为， 故选：A. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若直线在两坐标轴上的截距相等，则 B. 若过点的直线的斜率是2，则 C. 两平行直线与之间的距离为，则或 D. 直线关于直线对称的直线为 【答案】CD 【解析】 【分析】由直线方程求出截距，建立方程求得，判断A选项；由斜率公式建立方程求得，判断B选项；由平行线的性质得到，再由平行线间距离公式建立方程求得，判断C选项；先求得直线与对称轴的交点坐标，然后在直线上取一点，通过对称轴求得对称点坐标，由这两个点求得对称直线方程，判断D选项. 【详解】令，则，令，则，则，即，A选项错误； 由题意可知，直线斜率存在，，即，B选项错误； 因为两直线平行，所以，两直线的距离，所以或，C选项正确； 联立直线方程，解得，即直线与直线交于点，在直线上取点，则点关于对称的点坐标为， 设直线关于直线对称的直线为，则，∴， 即直线关于直线对称的直线为，D选项正确. 故选：CD. 10. 若方程表示以为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是( ) A. B. 圆关于直线对称 C. 圆与y轴相切 D. 的最大值为9． 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A：首先根据已知条件写出圆的标准方程，然后化成圆的一般方程即可求解；对于选项B：判断圆心是否在直线上即可判断选项是否正确；对于选项C：利用圆心到轴的距离与半径的大小关系即可判断选项是否正确；对于选项D：利用圆上一点到定点的距离的最大值为圆心到定点的距离与半径之和即可求解. 【详解】由题意，以为圆心，4为半径的圆的标准方程为：， 化成圆的一般式为：，故A正确； 对于选项B：因为圆心在直线上，所以圆关于直线对称，故B正确； 对于选项C：圆心到轴距离，则圆与y轴相交，故C错误； 对于选项D：的几何意义为圆上任意一点到点的距离， 从而 的最大值为圆心到点距离与半径之和， 故的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知直线，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，则有（ ） A. 四边形面积的最小值为 B. 最大度数为 C. 直线过定点 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】，当时有最小值，求出可判断A；通过计算得到的值可以趋近于,可以任意接近，可以任意接近，从而可判断B；设点，，，求出直线的方程 ，整理得 ，由可得直线AB过的定点可判断C；直线AB所过定点为P，当时，弦长最小，求出的最小值可判断D. 【详解】对于A选项，由题意可知， 当时，有最小值，即，此时， 所以四边形面积的最小值为，故选项A正确； 对于B，当点M在直线l上运动时，的取值范围是，因此 的值可以趋近于,可以无限接近，可以无限接近，故选项B错误； 对于C，设点，，，则， 易知在点、处的切线方程分别为 ， ， 将点分别代入两切线方程得 ， ， 所以直线方程为 ，整理得，代入， 得 ， 解方程组得所以直线过定点，故选项C错误； 对于D，设直线所过定点为，则，当时，弦长最小， 此时，则的最小值为，故选项D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 点到直线的距离是________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式可求答案. 【详解】点到直线的距离. 故答案为：2. 13. 已知在平面直角坐标系中，点到直线的距离分别为，则这样的直线共有___________条． 【答案】3 【解析】 【分析】由已知得直线与以为圆心，1为半径的圆相切，且直线与以为圆心，2为半径的圆相切，即直线是圆与圆的公切线，由圆心距离，得两圆相外切，从而求出满足条件的直线有3条． 【详解】点到直线的距离为1， 则直线是以为圆心，1为半径的圆的切线， 即直线与圆相切， 点到直线的距离为2， 则直线是以为圆心，2为半径的圆的切线， 即直线与圆相切， 直线是圆与圆的公切线， 圆心距离， 两圆相外切， 满足条件的直线有3条． 14. 已知点为直线上的动点，为圆上的动点，则的最小值为__________. 【答案】9 【解析】 【分析】取点，计算出，，数形结合得到的最小值为，从而得到的最小值. 【详解】可知圆的圆心为，半径， 设，，则， 所以 ， 所以，， 过点作⊥，交圆于点， 故的最小值为， 所以的最小值为. 故答案为：9. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为. （1）求直线的方程； （2）若边上的中线所在的直线方程为，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （2）设点，利用的中点在直线上，求出值，再由点在直线上求出值. 【小问1详解】 依题意，由边上的高所在的直线的斜率为，得直线的斜率为， 又，所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 由点在轴上，设，则线段的中点， 由点在直线上，得，得，即， 又点在直线上，因此，解得， 所以的值为. 16. 已知两直线， （1）求直线和的交点的坐标； （2）若过点作圆的切线有两条，求的取值范围； （3）若直线与，不能构成三角形，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）联立直线方程，解方程组，即得答案； （2）根据点在圆外可得不等式，即求得答案； （3）讨论直线与，不能构成三角形的情况即为或或过点P，由此可求得a的值. 【小问1详解】 联立方程组， 即直线和的交点的坐标； 【小问2详解】 由题意知点在圆外，，； 【小问3详解】 若直线与，不能构成三角形， 则或或过点P， 当时，则，满足题意； 当时，，满足题意； 当过点P时，， 故实数的值为. 17. 已知圆的圆心在直线上，且经过点． （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由已知设出圆心的坐标，再求出的中点，利用求出 的值，进而可以求出圆心和半径，即可解决问题； （2）先判断直线的斜率是否存在，存在的话根据点斜式方程设出直线方程，求出圆心到直线的距离，然后利用 求出直线的斜率即可解决问题. 【小问1详解】 因为圆的圆心在直线上， 所以设圆的圆心为：， 由， 所以的中点， 由题知：， 所以， 即，解得， 所以圆心为，半径 所以圆的标准方程为：. 【小问2详解】 ①当直线的斜率不存在时，因为直线过点， 所以方程为：，代入中解得： ，此时， 满足题意； ②当直线的斜率存在时， 设直线方程为：， 由圆心到直线的距离为： ， 由， 所以， 解得：， 所以直线的方程为：， 综上，直线的方程为：或. 18. 已知表示圆的方程. （1）求实数的取值范围； （2）当圆的面积最大时，求过点圆的切线方程. （3）为圆上任意一点，已知，在（2）的条件下，求的最小值. 【答案】（1） （2）和 （3） 【解析】 【分析】（1）根据方程表示圆，列出不等式，从而可的答案； （2）求出圆C的面积取得最大值，的值，即半径最大时，的值，再分切线斜率存在和不存在两种情况讨论即可得解； （3）设，则，设，则表示圆C上的点P与点M的距离的平方，求出的最小值，即可得解. 【小问1详解】 解：由题可知：，该方程表示圆，则， 即，解得.则实数的取值范围为； 【小问2详解】 解：令， ，开口向下，对称轴为， 当时，圆C的面积取得最大值，此时圆的方程为， 设切线方程为即.圆心到切线的距离等于半径长， 即，解得，则另一条切线斜率不存在。 即切线方程为，即；另一条切线方程为； 【小问3详解】 解：设， 则， 设，则表示圆C上的点P与点M的距离的平方， 由（2）知， 又，则点M在圆C外面， 所以， 则. 则可知的最小值为. 19. 设，，，圆Q过A，B，D三个点. （1）求圆Q的方程； （2）设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点. 【答案】（1） （2） （3） 设直线的方程为， 由得，， 所以， 所以， 所以，所以直线方程为，令，解得，即直线过定点． 【解析】 【分析】（1）圆过三个点，求出线段、线段的垂直平分线方程，联立求出交点坐标，即为圆心，再求出半径，即可得到圆的方程； （2）设，根据，得到，即可得到点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该可知圆与圆相交，由圆心距与半径和差的关系得到不等式组，解得即可； （3）设直线的方程为，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，由斜率公式求出，即可得解. 【小问1详解】 由题意可得，圆心Q为线段的垂直平分线和线段垂直平分线的交点， ，直线的中点为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即 又线段的垂直平分线的方程为， 联立方程组，解得，所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 设，因为， 所以， 化简得，所以． 则点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该圆与圆有两个交点，即两圆相交. 又， 则，解得. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度高二年级9月份学情调研 数学试题 试卷满分：150分 考试时长：120分钟 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分． 1. 已知直线的方程为，则该直线的斜率为（ ） A. B. C. 2 D. 2. 若直线是圆的一条对称轴，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 3. 直线与直线所成角是（ ） A. B. C. D. 4. 直线与曲线有且仅有一个公共点，则b的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 5. 若直线过点，则的最小值为（） A. 7 B. C. 6 D. 6. 过点作圆的两条切线，切点分别为和，则切点弦所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线和直线都过点，则过点和点的直线方程是（ ） A. B. C. D. 8. 是圆上两点，，若在圆上存在点恰为线段的中点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若直线在两坐标轴上的截距相等，则 B. 若过点的直线的斜率是2，则 C. 两平行直线与之间的距离为，则或 D. 直线关于直线对称的直线为 10. 若方程表示以为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是( ) A. B. 圆关于直线对称 C. 圆与y轴相切 D. 的最大值为9． 11. 已知直线，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，则有（ ） A. 四边形面积的最小值为 B. 最大度数为 C. 直线过定点 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 点到直线的距离是________. 13. 已知在平面直角坐标系中，点到直线的距离分别为，则这样的直线共有___________条． 14. 已知点为直线上的动点，为圆上的动点，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为. （1）求直线的方程； （2）若边上的中线所在的直线方程为，求的值. 16. 已知两直线， （1）求直线和的交点的坐标； （2）若过点作圆的切线有两条，求的取值范围； （3）若直线与，不能构成三角形，求实数的值. 17. 已知圆的圆心在直线上，且经过点． （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 18. 已知表示圆的方程. （1）求实数的取值范围； （2）当圆的面积最大时，求过点圆的切线方程. （3）为圆上任意一点，已知，在（2）的条件下，求的最小值. 19. 设，，，圆Q过A，B，D三个点. （1）求圆Q的方程； （2）设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $