精品解析：江苏省苏州市常熟市2026-2027学年高二上学期阶段性抽测一数学试卷

高二阶段性抽测一 数学 2026.10 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效； 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 和的等差中项是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，是两两不等的实数，则经过两点，的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 不存在 3. 已知等比数列公比，前3项和，则其首项的值为（ ） A. 7 B. C. D. 1 4. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A. B. C. （） D. 5. 在正方体中，异面直线与所成角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列的首项，且满足，则的值为（ ） A. 256 B. 255 C. 129 D. 127 7. 各项均为正数的等比数列的前项积为，若，则的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8. 已知数列满足，若数列是递减数列，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 任意直线都有唯一的倾斜角 B. 直线的倾斜角越大，其斜率越大 C. 斜率为的直线，其倾斜角为60° D. 若两条直线平行，则它们的倾斜角相等 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数的定义域为，则函数定义域为 B. 函数的最大值为 C. 函数有两个零点 D. 函数的图象恒过点 11. 已知数列的各项均为整数，满足，为任意整数，且，其中，则下列说法正确的有 A. 对任意整数，数列的前3项之和必为偶数 B. 存在整数，使得 C. 存在整数，使得数列从第2项起所有项均为正数 D. 当时，且 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列的前n项和，则________． 13. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，， ，则的面积为________． 14. 古希腊毕达哥拉斯学派用小石子排列定义多边形数：第个五边形数对应每条边恰有个点的实心正五边形点阵的总石子数．如图，已知前4项：，，，． （1）第5个五边形数_________； （2）若存在正整数解，则的最小值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是各项均为正数的等比数列，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，，求数列的前项和． 16. 已知角的终边经过点，且为第二象限角. （1）求的值； （2）若，求的值. 17. 已知数列满足，且对任意，都有． （1）求数列的通项公式； （2）设，若，求满足条件的最大整数． 18. 已知等差数列的前n项和为，满足，且对任意，． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前n项和； （3）现要在与之间插入n个数，使这个数构成公差为的等差数列．数列中是否存在三个互不相同的项，，，使得m，k，p成等差数列的同时，，，也成等比数列？若存在，写出所有解，若不存在，请说明理由． 19. 设有穷数列的项数为，若正整数满足，，则称为数列的“新低项”． （1）若，求数列的所有“新低项”； （2）已知有穷等比数列的公比为3，前项和为，若数列存在“新低项”，求正数的取值范围； （3）若，数列的“新低项”个数为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二阶段性抽测一 数学 2026.10 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效； 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 和的等差中项是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差中项的定义，即可求解. 【详解】由等差中项的定义可知，和的等差中项是. 2. 已知，，是两两不等的实数，则经过两点，的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】A 【解析】 【详解】由题设，则直线的斜率，故对应倾斜角为. 3. 已知等比数列公比，前3项和，则其首项的值为（ ） A. 7 B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【详解】等比数列公比，前3项和，则， 所以. 4. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A. B. C. （） D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本初等函数的图像即变换直接判定即可. 【详解】对A, 不是奇函数,故A错误. 对B, 令则.故为奇函数. 又,故为增函数.故B正确. 对C, （）,因为区间不关于原点对称,故不为奇函数.故C错误. 对D, 为偶函数,故D错误. 故选：B 【点睛】本题主要考查了常见函数的奇偶性与单调性分析,属于基础题. 5. 在正方体中，异面直线与所成角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据异面直线定义得异直线与所成角即为与所成角，再由正方体性质可求解. 【详解】由正方体性质得异直线与所成角即为与所成角， 由正方体结构特征可知为等边三角形， 因此与所成角为. 故选：C. 6. 已知数列的首项，且满足，则的值为（ ） A. 256 B. 255 C. 129 D. 127 【答案】B 【解析】 【分析】用替换可得，，再与相减可得，，再用累加迭代即可求解. 【详解】令，得 ， 用替换可得，，再与相减可得，，那么 . 7. 各项均为正数的等比数列的前项积为，若，则的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用等比数列下标和相等则对应项乘积相等的性质，把前 6 项积变形为，结合求出，再根据数列各项为正数，使用基本不等式，由积为定值求出的最小值，最后验证等号能够成立即可. 【详解】是等比数列，， ∴， ，∴，即：， 数列各项为正数，， ，当且仅当 时，等号成立， 的最小值为. 8. 已知数列满足，若数列是递减数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件形式设，则原式变形后为其前项和，利用，即可求得的通项公式，验证首项后根据是递减数列，即可求解. 【详解】已知：， 两边除以：， 令，则.当，， ， ， 代入原式：，代入通项，满足. ，是首项，公差的等差数列. 数列递减，即. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 任意直线都有唯一的倾斜角 B. 直线的倾斜角越大，其斜率越大 C. 斜率为的直线，其倾斜角为60° D. 若两条直线平行，则它们的倾斜角相等 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直线、倾斜角、斜率有关知识对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A，直线倾斜角范围为，任意直线存在唯一倾斜角，正确； 对于B，斜率，当时，增大则增大，且； 当时，增大则增大，且； 例，，，但，故错误； 对于C，由，，得，故正确； 对于D，两直线平行，则它们与轴正方向夹角相等，即倾斜角相等，故正确. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数的定义域为，则函数定义域为 B. 函数的最大值为 C. 函数有两个零点 D. 函数的图象恒过点 【答案】AD 【解析】 【详解】A：由原函数的定义域知，即的定义域为，正确； B：函数可以化简为，且， 结合指数函数的性质知，函数在上单调递增，所以， 因此，该函数有最小值，无最大值，错误； C：由和在上均单调递增， 所以在上单调递增，又， 根据零点存在性定理，函数在之间有且仅有一个零点，错误； D：对于函数（），指数函数恒过定点， 令，得，而， 因此，无论取何值（满足），该函数图象恒过点，正确. 11. 已知数列的各项均为整数，满足，为任意整数，且，其中，则下列说法正确的有 A. 对任意整数，数列的前3项之和必为偶数 B. 存在整数，使得 C. 存在整数，使得数列从第2项起所有项均为正数 D. 当时，且 【答案】AD 【解析】 【分析】综合运用奇偶分类、分段去绝对值、假设推理与举反例的分析方法：由分段系数的定义，以数列项的奇偶性，对选项A通过绝对值分段分析代数式奇偶；选项B采用假设法建立方程，结合整数约束检验解的存在性；选项C抓住命题条件“从第2项起所有项均为正数”，优先观察符号快速判断；选项D按奇偶分类，选取区间边界值代入递推验证不等式，数列多选题不必强求通项，依靠递推写出前几项，结合逻辑推导与特例检验完成判断即可. 【详解】∵数列各项为整数，，， ，则： 选项A：，为偶数，故， ， ∴， ①若，，，是偶数； ② 若，，，为偶数。 对任意整数，前3项之和必为偶数，A正确； 选项B：设， 时，， 由得： ， 若：，， ∴，， ：矛盾； ：，非整数，舍去， 若：，偶时，无解；奇时，， 代入：， ， ：矛盾； ：，非整数，舍去， 不存在整数使得，B错误； 选项C：∵命题要求：从第2项起所有项均为正数，即，则 ① 若：本身就是负数，直接不满足条件； ② 若： ，出现负数； ③ 若： 当：， 当：， 综上，无论取何整数，都无法满足从第2项起所有项均为正数，C错误. 选项D：当，，， ， ① 为奇数：， ，即， 为奇数，，代入化简得， 取，， ，； 奇数， . ② 为偶数：，， ， 偶数，， 取，， ，； 偶数，， ， ∴ ， 综上，时，且，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列的前n项和，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】赋值法，令可以求出，再令，即可通过计算算出 【详解】，，则． 故答案为：6． 13. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，， ，则的面积为________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用余弦定理，结合已知求出，再利用三角形面积公式计算即得. 【详解】在中，由余弦定理，得，则， 于是，解得， 所以的面积为. 故答案为：3 14. 古希腊毕达哥拉斯学派用小石子排列定义多边形数：第个五边形数对应每条边恰有个点的实心正五边形点阵的总石子数．如图，已知前4项：，，，． （1）第5个五边形数_________； （2）若存在正整数解，则的最小值为_________． 【答案】 ①. 35 ②. 11 【解析】 【分析】（1）通过图形进行归纳找规律即可求解；（2）先求出通项，再求的最小值. 【详解】（1） 由图形的规律可知， 所以； （2）由图形的规律可知， 那么 累加迭代得 ， 故， 即， 由于，为被整除余数为的数， 又，故， 所以越大，越小， 当时，，不是正整数，舍去； 当时，， 综上的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是各项均为正数的等比数列，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设公比为 ，由 ，，可得 ，即 ；由数列各项均为正数知 ，解出 ，再由 求首项，代入 即得通项公式. （2）由 及对数运算性质得 ，由 为常数判定 是等差数列；由 ，用分组求和法把 拆成等比数列 与等差数列 的前 项和，分别用求和公式计算. 【小问1详解】 设等比数列 的公比为 ，由 ， 得 ，即 . 所以 . 因为数列各项均为正数，所以 ，故 . 又 ，所以 . 【小问2详解】 由 得 . 因为 ，所以 是首项 、公差 的等差数列. 又 ，故 . 其中 . . 所以 . 16. 已知角的终边经过点，且为第二象限角. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角函数的定义求参数；（2）首先根据诱导公式化简，然后分子分母同时除以，然后代入求解. 【小问1详解】 因为角的终边经过点， 所以，， 为第二象限角，，所以. 【小问2详解】 角的终边经过点，， . 17. 已知数列满足，且对任意，都有． （1）求数列的通项公式； （2）设，若，求满足条件的最大整数． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用累乘法求出通项公式. （2）由（1）的结论求出，再利用裂项相消法求和，进而求解不等式得解. 【小问1详解】 当时，由，得，则． 因此，而满足上式， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）得， ， 由，得，又， 所以满足条件的最大整数. 18. 已知等差数列的前n项和为，满足，且对任意，． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前n项和； （3）现要在与之间插入n个数，使这个数构成公差为的等差数列．数列中是否存在三个互不相同的项，，，使得m，k，p成等差数列的同时，，，也成等比数列？若存在，写出所有解，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）在与之间插入n个数，一共个数构成一个公差为的等差数列， 则，即．因为， 所以． 由题意：m，k，p成等差数列，所以． 因为，，成等比数列，所以． 代入表达式，，，由，得， 约分得：． 令函数，由，且三者互异， 可设，， 则， 作差． 因为，，，所以，， 故， 即，与矛盾． 所以不存在三个互不相同的项，，，使得m，k，p成等差数列的同时，，，也成等比数列. 【解析】 【分析】（1）把等差数列前n项和公式代入中，化简，得出和d的方程；由得出和的关系式，用替换，又得到一个和d的方程，联立，解方程组即可得出和d，最后根据等差数列的通项公式写出的通项公式. （2）是等差×等比型数列，用，错位相减求前n项和. （3）利用等差数列通项公式求出公差，m，k，p成等差数列，同时，，，成等比数列，在成立的条件下推导是否成立，不成立则说明不存在这样三项. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d，首项为． 由，得，化简得：． 由，令，，即， 联立，解得，. 所以通项公式：. 【小问2详解】 由， 则① ② ①-②，错位相减： 所以. 【小问3详解】 略. 19. 设有穷数列的项数为，若正整数满足，，则称为数列的“新低项”． （1）若，求数列的所有“新低项”； （2）已知有穷等比数列的公比为3，前项和为，若数列存在“新低项”，求正数的取值范围； （3）若，数列的“新低项”个数为，证明：． 【答案】（1）2和3 （2） （3）①若数列不存在“新低项”，即， 则对任意，总存在，，可得， 故，不等式成立； ②若数列存在个“新低项”，设“新低项”从小到大依次为，，…，． 由“新低项”定义：是，，…，中最小项， 由条件，得， 故， ， 综上，． 【解析】 【分析】（1）根据“新低项”的定义，先求出数列的前四项，再逐一验证时是否符合定义即可； （2）根据等比数列前项和公式，以及函数的单调性，分析数列的单调性，再根据“新低项”的定义，求出的范围； （3）将条件转化为“相邻项减少量不超过2”，结合“新低项”定义是前项最小值得出，再通过累加法分析的最大值. 【小问1详解】 由， 得， 当时，，即，，故2是“新低项”； 当时，，即，，，，故3是“新低项”； 当时，，存在，不满足条件； 所以数列的“新低项”为2和3． 【小问2详解】 由题意，等比数列中，， 因为数列存在“新低项”，设其“新低项”为， 则，， 取，则， 又，，代入得：， 整理得，即，因为，所以． 反之，若，则，且对有． 令，在上单调递增，故 数列单调不减，不存在“新低项”． 当时，，取即得“新低项”，满足条件． 所以正数的取值范围为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $