第二章一元二次方程单元测试卷（C卷·提高卷）2026-2027学年北师大版九年级数学上册

北师大版九年级数学 第二章《一元二次方程》单元测试卷（C卷·提高卷） （满分 120 分　考试时间 120 分钟） 班级：__________　姓名：__________　 学号：__________　得分：__________ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个正确选项） 1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A．ax2 + bx + c = 0　　B．(x − 1)2 = x2 + 2 C．x2 + = 0　　D．(m2 + 1)x2 − 2x + 1 = 0 2．若 x = −1 是关于 x 的一元二次方程 x2 + mx − 3 = 0 的一个根，则 m 的值为（　　） A．2　　B．−2　　C．4　　D．−4 3．用配方法解方程 x2 − 2x − 4 = 0，配方后正确的是（　　） A．(x + 1)2 = 5　　B．(x − 1)2 = 3 C．(x − 2)2 = 5　　D．(x − 1)2 = 5 4．若关于 x 的一元二次方程 x2 − 2x + m = 0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（　　） A．m > 1　　B．m ≥ 1　　C．m < 1　　D．m ≤ 1 5．已知 x1，x2 是方程 2x2 − 3x − 1 = 0 的两个根，则 x1 + x2 与 x1x2 的值分别是（　　） A．，−　　B．−，− C．，　　D．−， 6．关于 x 的一元二次方程 x2 − (m + 2)x + (2m − 1) = 0 的根的情况是（　　） A．一定有两个相等的实数根 B．一定没有实数根 C．与 m 的取值有关 D．一定有两个不相等的实数根 7．已知 x1，x2 是方程 x2 − 3x − 2 = 0 的两个根，则 x12 + x22 的值是（　　） A．5　　B．9　　C．13　　D．−5 8．用换元法解方程 (x2 − x)2 − 4(x2 − x) − 12 = 0 时，若设 y = x2 − x，则原方程可变形为（　　） A．y2 + 4y − 12 = 0　　B．y2 − 4y + 12 = 0 C．y2 − 4y − 12 = 0　　D．y2 + 4y + 12 = 0 9．某商品经过连续两次降价，价格由每件 100 元降到每件 81 元。若设平均每次降价的百分率为 x，则可列方程为（　　） A．100(1 − x)2 = 81　　B．100(1 + x)2 = 81 C．100(1 − 2x) = 81　　D．100(1 − x2) = 81 10．如图，在一块长为 40 m、宽为 25 m 的矩形空地上，修建两条纵向道路和一条横向道路（道路宽度均为 x m），三条道路互相垂直，其余部分种花。若种花部分的面积为 600 m2，则可列方程为（　　） 　　A．(40 − x)(25 − 2x) = 600　　B．(40 − 2x)(25 − x) = 600 　　C．(40 − 2x)(25 − 2x) = 600　　D．40×25 − 2x = 600 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．若关于 x 的一元二次方程 (m − 3)x2 + 2x + m2 − 9 = 0 有一个根为 0，则 m = __________． 12．方程 3x(x − 2) = 5(2 − x) 的根是 __________． 13．若关于 x 的一元二次方程 x2 − 6x + k = 0 有两个相等的实数根，则 k = __________． 14．已知 x1，x2 是方程 x2 + 3x − 5 = 0 的两个根，则 1/x1 + 1/x2 的值是 __________． 15．某农场粮食产量由 2023 年的 100 万千克增长到 2025 年的 121 万千克，若两年的年平均增长率相同，则年平均增长率为 __________． 16．若 a 是方程 x2 − 3x − 1 = 0 的一个根，则代数式 2a2 − 6a + 2024 的值是 __________． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分。解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 17．（10 分）用适当的方法解下列方程： （1）2x2 − 7x + 3 = 0； （2） x2 − 4x − 1 = 0． 18．（12 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2 − (2k + 1)x + k2 + k = 0． （1）求证：无论 k 取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根 x1，x2 满足 x12 + x22 = 5，求 k 的值． 19． （12 分）某商店销售一种商品，进价为每件 40 元。当售价为每件 60 元时，每月可售出 200 件。商店决定涨价销售，经调查发现，售价每上涨 1 元，每月销量减少 5 件。若要使每月销售这种商品的利润为 4480 元，且要尽量让顾客得到实惠，则售价应定为每件多少元？ 20．（12 分）某工厂 2023 年生产某种零件 200 万个，2025 年生产 288 万个，且这两年产量的年平均增长率相同． （1）求这两年该厂产量的年平均增长率； （2）若继续保持相同的年平均增长率，预计 2026 年该厂的产量为多少万个？ 21．（13 分）如图，在长 35 m、宽 20 m 的矩形空地上，修建一条纵向道路和一条横向道路（道路宽度均为 x m），两条道路互相垂直，其余部分种花。若种花部分的面积为 594 m2，求道路的宽度 x． 22．（13 分）如图，在△ABC 中，∠B = 90°，AB = 10 cm，BC = 8 cm。点 P 从点 A 出发，沿 AB 边以 1 cm/s 的速度向点 B 移动；同时点 Q 从点 B 出发，沿 BC 边以 2 cm/s 的速度向点 C 移动。当点 Q 到达点 C 时，两点同时停止移动。设移动时间为 t（单位：s）． （1）用含 t 的代数式表示线段 PB 与 BQ 的长； （2）当 t 为何值时，△PBQ 的面积等于 16 cm2？ 参考答案与解析 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．D　　2．B　　3．D　　4．C　　5．A　　6．D　　7．C　　8．C　　9．A　　10．B 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11．−3 12．x1 = 2，x2 = −5/3 13．9 14．3/5 15．10% 16．2026 三、解答题（共 72 分） 17．（10 分）（1）因式分解，得 (2x − 1)(x − 3) = 0， ∴ 2x − 1 = 0 或 x − 3 = 0，∴ x1 = 1/2，x2 = 3． （2）移项，得 x2 − 4x = 1，配方，得 x2 − 4x + 4 = 1 + 4，即 (x − 2)2 = 5， ∴ x − 2 = ±√5，∴ x1 = 2 + √5，x2 = 2 − √5． 18．（12 分）（1）a = 1，b = −(2k + 1)，c = k2 + k， Δ = b2 − 4ac = [−(2k + 1)]2 − 4(k2 + k) = 4k2 + 4k + 1 − 4k2 − 4k = 1 > 0． ∵ Δ > 0 对任意实数 k 恒成立，∴ 无论 k 取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）由根与系数的关系，得 x1 + x2 = 2k + 1，x1x2 = k2 + k． ∵ x12 + x22 = (x1 + x2)2 − 2x1x2 = (2k + 1)2 − 2(k2 + k) = 4k2 + 4k + 1 − 2k2 − 2k = 2k2 + 2k + 1， ∴ 2k2 + 2k + 1 = 5，整理得 k2 + k − 2 = 0，即 (k + 2)(k − 1) = 0， ∴ k1 = −2，k2 = 1．经检验均满足 Δ > 0，∴ k = −2 或 k = 1． 19．（12 分）设每件商品涨价 x 元，则每件商品的利润为 (60 + x − 40) = (20 + x) 元，每月销售量为 (200 − 5x) 件． 由题意，得 (20 + x)(200 − 5x) = 4480． 整理，得 4000 + 100x − 5x2 = 4480，即 5x2 − 100x + 480 = 0， 两边同除以 5，得 x2 − 20x + 96 = 0，因式分解，得 (x − 8)(x − 12) = 0， ∴ x1 = 8，x2 = 12． ∵ 要尽量让顾客得到实惠，即售价尽量低，∴ 取涨价较少的 x = 8，此时售价为 60 + 8 = 68（元）． 答：售价应定为每件 68 元． 20．（12 分）（1）设这两年该厂产量的年平均增长率为 x． 由题意，得 200(1 + x)2 = 288，∴ (1 + x)2 = 1.44， ∴ 1 + x = ±1.2，∴ x1 = 0.2，x2 = −2.2（不合题意，舍去）． ∴ 这两年该厂产量的年平均增长率为 20%． （2）288 × (1 + 20%) = 288 × 1.2 = 345.6（万个）． 答：年平均增长率为 20%；预计 2026 年该厂的产量为 345.6 万个． 21．（13 分）设道路的宽度为 x m．由题意，得 (35 − x)(20 − x) = 594． 整理，得 700 − 55x + x2 = 594，即 x2 − 55x + 106 = 0， 因式分解，得 (x − 2)(x − 53) = 0，∴ x1 = 2，x2 = 53． ∵ 道路宽度 x 必须小于矩形的宽 20 m，∴ x = 53 不合题意，舍去． ∴ x = 2．答：道路的宽度为 2 m． 22．（13 分）（1）PB = (10 − t) cm，BQ = 2t cm． （2）∵ ∠B = 90°，∴ S△PBQ = ½ · PB · BQ = ½ (10 − t) · 2t = t(10 − t)． 由题意，得 t(10 − t) = 16． 整理，得 t2 − 10t + 16 = 0，即 (t − 2)(t − 8) = 0，∴ t1 = 2，t2 = 8． ∵ 点 Q 沿 BC 移动，BC = 8 cm，速度为 2 cm/s，∴ 0 ≤ t ≤ 4， ∴ t = 8 不合题意，舍去．∴ t = 2． 答：当 t = 2 s 时，△PBQ 的面积等于 16 cm2． 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $