第二章一元二次方程 单元进阶卷 2026～2027 学年北师大版九年级上册数学

单元进阶卷第二章一元二次方程2026~2027 学年北师大版九年级上册数学 本卷包含小节：2.1 认识一元二次方程、2.2 一元二次方程的解法、2.3 一元二次方程的根与系数的关系、2.4 一元二次方程的应用 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．用直接开平方法解方程 ，得到的解是（　　） A．， B．， C．， D． 2．一元二次方程 的一次项系数与常数项分别是（　　） A．， B．， C．， D．， 3．利用求根公式计算 ，所得的结果是（　　） A． B． C． D． 4．若 是一个完全平方式，则 的值是（　　） A． B． C． D． 5．若 、 是一元二次方程 的两根，那么 等于（　　） A． B． C． D． 6．用一根长 40 厘米的铁丝围成一个矩形，要使这个矩形的面积为 96 平方厘米，设矩形的一条边长为 厘米，则可列方程（　　） A． B． C． D． 7．若实数 满足 ，则 的值是（　　） A． B． C． D． 8．已知 的两根为 、，则 的值为（　　） A． B． C． D． 9．若关于 的方程 有实数根，则 的取值范围是（　　） A． 且 B． C． D． 10．某企业 2023 年的利润为 100 万元，2024 年与 2025 年这两年的利润之和为 264 万元，且这两年每年的增长率相同。设年增长率为 ，则可列方程（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．方程 要成为关于 的一元二次方程， 应满足的条件是______． 12．方程 用求根公式解出的两个根中，较大的那个是______． 13．已知关于 的方程 的两个根分别是 与 ，则 的值是______． 14．一个数的 3 倍与它的平方之和等于 40，设这个数为 ，则可列方程______． 15．若 、 是 的两个根，那么 的值等于______． 16．已知实数 满足 ，则 的值是______． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）解下列方程： (1) ； (2) ． 18．（6 分）小明同学解方程 的过程如下： 小明：两边同除以 ，得 ，第一步 则 ，第二步 你认为小明的解法是否正确？若不正确，从第______步开始出现错误，并写出你的解答过程． 19．（6 分）某学校组织九年级班级篮球联赛，赛制为单循环制（即每两个班级之间都要比赛一场），全部比赛共进行了 45 场． (1) 求参加比赛的班级个数； (2) 求每个班级需要比赛的场数． 20．（6 分）一款保温杯的进价是每个 25 元，按每个 45 元出售时，网店每天能卖出 300 个．为了多赚一些，店主打算提价；调查发现，售价每提高 1 元，每天的销量就减少 10 个． (1) 若店主希望每天获得 6090 元的利润，每个保温杯的售价应定为多少元？ (2) 在 (1) 的条件下，若要让顾客得到更多实惠，店主应选择哪个售价？此时每天可卖出多少个？ 21．（6 分）在一块长 40 米、宽 30 米的矩形场地中央修建一个矩形花坛，花坛四周留下宽度相同的通道。已知花坛的面积是这块场地面积的一半，求通道的宽度． 22．（6 分）某公司 2024 年的产值为 800 万元，2026 年的产值为 968 万元，且 2025 年、2026 年每年的增长率相同． (1) 求这两年每年的增长率； (2) 求该公司 2025 年的产值． 23．（8 分）已知关于 的方程 有两个实数根 、． (1) 求 的取值范围； (2) 若 ，求 的值，并求出此时方程的两个根． 24．（8 分）一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为 8；把这个两位数的十位数字与个位数字对调后，所得的新两位数与原两位数的乘积为 1855．求原来的两位数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元进阶卷第二章一元二次方程2026~2027 学年北师大版九年级上册数学 本卷包含小节：2.1 认识一元二次方程、2.2 一元二次方程的解法、2.3 一元二次方程的根与系数的关系、2.4 一元二次方程的应用 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．用直接开平方法解方程 ，得到的解是（　　） A．， B．， C．， D． 2．一元二次方程 的一次项系数与常数项分别是（　　） A．， B．， C．， D．， 3．利用求根公式计算 ，所得的结果是（　　） A． B． C． D． 4．若 是一个完全平方式，则 的值是（　　） A． B． C． D． 5．若 、 是一元二次方程 的两根，那么 等于（　　） A． B． C． D． 6．用一根长 40 厘米的铁丝围成一个矩形，要使这个矩形的面积为 96 平方厘米，设矩形的一条边长为 厘米，则可列方程（　　） A． B． C． D． 7．若实数 满足 ，则 的值是（　　） A． B． C． D． 8．已知 的两根为 、，则 的值为（　　） A． B． C． D． 9．若关于 的方程 有实数根，则 的取值范围是（　　） A． 且 B． C． D． 10．某企业 2023 年的利润为 100 万元，2024 年与 2025 年这两年的利润之和为 264 万元，且这两年每年的增长率相同。设年增长率为 ，则可列方程（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．方程 要成为关于 的一元二次方程， 应满足的条件是______． 12．方程 用求根公式解出的两个根中，较大的那个是______． 13．已知关于 的方程 的两个根分别是 与 ，则 的值是______． 14．一个数的 3 倍与它的平方之和等于 40，设这个数为 ，则可列方程______． 15．若 、 是 的两个根，那么 的值等于______． 16．已知实数 满足 ，则 的值是______． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）解下列方程： (1) ； (2) ． 18．（6 分）小明同学解方程 的过程如下： 小明：两边同除以 ，得 ，第一步 则 ，第二步 你认为小明的解法是否正确？若不正确，从第______步开始出现错误，并写出你的解答过程． 19．（6 分）某学校组织九年级班级篮球联赛，赛制为单循环制（即每两个班级之间都要比赛一场），全部比赛共进行了 45 场． (1) 求参加比赛的班级个数； (2) 求每个班级需要比赛的场数． 20．（6 分）一款保温杯的进价是每个 25 元，按每个 45 元出售时，网店每天能卖出 300 个．为了多赚一些，店主打算提价；调查发现，售价每提高 1 元，每天的销量就减少 10 个． (1) 若店主希望每天获得 6090 元的利润，每个保温杯的售价应定为多少元？ (2) 在 (1) 的条件下，若要让顾客得到更多实惠，店主应选择哪个售价？此时每天可卖出多少个？ 21．（6 分）在一块长 40 米、宽 30 米的矩形场地中央修建一个矩形花坛，花坛四周留下宽度相同的通道。已知花坛的面积是这块场地面积的一半，求通道的宽度． 22．（6 分）某公司 2024 年的产值为 800 万元，2026 年的产值为 968 万元，且 2025 年、2026 年每年的增长率相同． (1) 求这两年每年的增长率； (2) 求该公司 2025 年的产值． 23．（8 分）已知关于 的方程 有两个实数根 、． (1) 求 的取值范围； (2) 若 ，求 的值，并求出此时方程的两个根． 24．（8 分）一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为 8；把这个两位数的十位数字与个位数字对调后，所得的新两位数与原两位数的乘积为 1855．求原来的两位数． 参考答案与详细解析 1．【答案】 C 【解析】 把 看成一个整体，开平方得 ； 当 时，，； 当 时，，； 所以 ，．选 C． 【解题提示】开平方要同时取正负两个值；括号里是 而不是 ，最后还要解一次一元一次方程． 2．【答案】 D 【解析】 一般形式为 ，这里 ，，； 把 写成 ； 所以一次项系数是 ，常数项是 ．选 D． 【解题提示】系数要连同前面的符号一起看： 的系数是 不是 ；二次项系数 不在本题的提问范围内． 3．【答案】 B 【解析】 这里 ，，； ； ； 所以 ．选 B． 【解题提示】 要化简后再与分母约分；，不要写成 ． 4．【答案】 A 【解析】 完全平方式形如 ； 由 得 ； 一次项系数 ； 检验：，．选 A． 【解题提示】完全平方式有两种可能（和的平方与差的平方），所以一次项系数要取正负两个值，不能只写一个． 5．【答案】 D 【解析】 由根与系数的关系，，； ； ．选 D． 【解题提示】平方和一定要先化成「和的平方减 2 倍积」；本题积为负数，减去负数等于加上正数，别算成 ． 6．【答案】 C 【解析】 周长 40 厘米，所以相邻两边之和为 厘米； 一条边为 厘米，则另一条边为 厘米； 由面积公式得 ．选 C． 【解题提示】周长给的是「四条边的总和」，要先除以 2 得到相邻两边之和，再表示另一条边． 7．【答案】 A 【解析】 由 移项得 ； 把所求式子整理成含 的形式： ； 整体代入得 ．选 A． 【解题提示】这类题不需要把 解出来（解出来是无理数）；先提公因数凑出 ，再整体代换． 8．【答案】 B 【解析】 由根与系数的关系，，； ； ．选 B． 【解题提示】倒数和先通分成「和除以积」；两个负数相除得正数，符号别弄错． 9．【答案】 C 【解析】 题目只说「方程」，没有说「一元二次方程」，所以要分两种情况讨论； 当 时，方程化为 ，解得 ，有实数根，符合； 当 时，方程是一元二次方程，由 得 ； 综合两种情况，．选 C． 【解题提示】这是最容易丢分的一类题： 时方程退化为一次方程，它仍然有实数根，必须单独讨论；只有题目明确写「一元二次方程」才能默认二次项系数不为 0． 10．【答案】 A 【解析】 2024 年的利润为 万元； 2025 年在 2024 年的基础上再增长，利润为 万元； 题目给的是这两年利润的「和」，不是某一年的利润； 所以 ．选 A． 【解题提示】读题要分清「两年后的量」与「两年的总量」：后者是把 与 相加；增长率不能叠加成 ． 11．【答案】 【解析】 一元二次方程要求二次项系数不为 0； 这里二次项系数是 ； 由 得 ． 【解题提示】判断一元二次方程只看二次项系数是否为 0，一次项和常数项取什么值都不影响这个判断． 12．【答案】 【解析】 这里 ，，； ； ； 较大的根是 ． 【解题提示】，化简后与分母 2 约分得到 ；问「较大的根」就取加号的那个． 13．【答案】 【解析】 由根与系数的关系，，； 两根之和为 ，所以 ，； 两根之积为 ，所以 ； 因此 ． 【解题提示】注意 的两根之和是 而不是 ；求出 、 后再算 ，别把符号弄反． 14．【答案】 【解析】 这个数为 ，它的 3 倍是 ，它的平方是 ； 由「两者之和等于 40」得 ． 【解题提示】列方程时不必先化成一般形式，按题意直接写出等量关系即可；若继续求解可得 或 ． 15．【答案】 【解析】 由根与系数的关系，，； 通分：； ； 所以原式 ． 【解题提示】分式型对称式先通分，分子化成「平方和」，再用和与积表示；分母就是两根之积． 16．【答案】 【解析】 把 看成一个整体，记为 ，则原方程化为 ； 因式分解得 ，所以 或 ； 检验： 即 ，也就是 ，此时 ，不存在这样的实数 ，舍去； 即 ，此时 ，成立； 所以 ． 【解题提示】换元之后求出的两个值都要「还原检验」：令 ，还要看关于 的方程是否真的有实数解． 17．【答案】 (1) ，；(2) ， 【解析】 (1) 十字相乘：； 由 得 或 ； 所以 ，； (2) 移项得 ，两边同除以 3 得 ； 开平方得 ，即 ，． 【解题提示】十字相乘找两数：积为 6、和为 ，即 与 ；(2) 二次项系数不是 1 时，先化成 再开平方． 18．【答案】 不正确，从第一步开始出错；正确的是 ， 【解析】 小明的解法不正确，从第一步开始出错； 因为 的值可能为 ，等式两边不能同时除以一个可能为 的式子，直接除以 会漏掉 这个根； 正确解法：移项得 ； 提取公因式得 ，即 ； 由 或 得 ，； 检验：把 代入原方程，左边 、右边 ，成立；把 代入，左边 、右边 ，成立． 【解题提示】解方程时不能在两边同除以含有未知数的式子，若该式子可能为零就会丢根；正确做法是先移项并提取公因式，把方程化成「两个因式的积等于零」． 19．【答案】 (1) 个；(2) 场 【解析】 设参加比赛的班级有 个； 每个班级都要与其他 个班级各赛一场，而每一场比赛都被两个班级各算了一次； 所以比赛的总场数为 ； 由题意得 ； 整理得 ； 因式分解得 ，解得 或 ； 检验：班级个数不可能是负数，所以 不符合题意，舍去； 所以参加比赛的班级有 个； (2) 每个班级都要与其他 个班级各赛一场，所以每个班级需要比赛 场； 检验：，与题意相符． 【解题提示】单循环赛的总场数公式是 ，因为每两个班级之间只赛一场，而 把每一场都数了两次；解出的根要用「班级个数是正整数」这条实际意义舍去负根． 20．【答案】 (1) 元或 元；(2) 元，每天卖出 个 【解析】 设每个保温杯的售价提高 元； 此时每个的利润为 元，每天的销量为 个； 由「每天的利润 每个的利润 每天的销量」得； 展开得 ； 整理得 ； 因式分解得 ，解得 或 ； 所以每个保温杯的售价为 元或 元； 检验： 时 ，符合题意； 时 ，也符合题意； (2) 要让顾客得到更多实惠，应取较低的售价，即每个 元； 此时每天的销量为 个． 【解题提示】每个的利润是「售价减进价」：进价不变，售价提高 元，每个的利润就增加 元；两个根都能使利润等于 6090 元，还要根据「让顾客得到更多实惠」这一实际要求选出合适的一个． 21．【答案】 米 【解析】 原场地面积为 平方米，花坛面积为 平方米； 设通道宽 米，则花坛的长为 米、宽为 米； 由题意得 ； 展开得 ； 整理得 ； 因式分解得 ； 解得 或 ； 检验：场地宽只有 30 米，通道宽必须满足 ，即 ，所以 不合实际，舍去； 所以通道的宽度为 米． 【解题提示】四周留通道，长和宽都要减去 （两端各一段）；解出的两个根要用「剩余长度必须为正」这条实际约束来舍去． 22．【答案】 (1) ；(2) 万元 【解析】 (1) 设年增长率为 ，由题意得 ； ； 因为 ，所以 ，； (2) 2025 年的产值为 （万元）． 【解题提示】 的算术平方根是 ，这是常用数；「中间那一年的量」用前一年乘 一步就能得到． 23．【答案】 (1) ；(2) 时两根为 ； 时两根为 与 【解析】 (1) 方程有两个实数根，所以 ； ； ； 由 得 ； (2) 由根与系数的关系，，； ； ； 由 得 ； 解得 或 ，两者都满足 ； 当 时，方程为 ，两根为 ； 当 时，方程为 ，即 ，两根为 与 ． 【解题提示】含参方程的第二问求出的参数值，必须逐一代回第一问的范围检验；两个值都合格时，要分别写出对应的方程与两根，不能只写一个． 24．【答案】 或 【解析】 设原两位数的十位数字为 ，则个位数字为 ； 原两位数为 ； 对调后的新两位数为 ； 由题意得 ； 展开得 ； 整理得 ； 两边同除以 81，得 ； 因式分解得 ； 解得 或 ； 当 时，个位数字为 ，原两位数为 ，检验 ，符合； 当 时，个位数字为 ，原两位数为 ，检验 ，符合； 所以原来的两位数是 或 ． 【解题提示】两位数要写成「 乘十位数字加个位数字」，不能直接把两个数字拼成 ；展开后二次项系数较大时，先提取公因数再分解会简单很多． 学科网（北京）股份有限公司 $