精品解析：辽宁丹东市第十八中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

丹东18中九上第一次月考数学 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确) 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．据此解答即可． 【详解】解：A．整理后为，是一元二次方程，故选项A符合题意； B. 不是整式方程，故不是一元二次方程，故选项B不符合题意； C.当时，不是一元二次方程，故选项C不符合题意； D. 方程整理为，是一元一次方程，不是一元二次方程，故选项D不符合题意； 故选：A 2. 下列说法错误的是（ ） A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 四个角都相等的菱形是正方形 D. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形、菱形、矩形及平行四边形的判定，注意正方形是特殊的菱形或者矩形．熟练掌握各特殊四边形的判定定理是解题关键． 根据正方形、菱形、矩形及平行四边形的判定定理对各选项逐一判断即可得答案． 【详解】解：A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该选项说法正确，不符合题意， B． 对角线相等的平行四边形是矩形，故该选项说法正确，不符合题意， C． 四个角都相等的菱形是正方形，故该选项说法正确，不符合题意， D． 一组对边平行另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故该选项说法错误，符合题意， 故选D． 3. 下列四条线段不成比例的是（　　） A. a=3，b=6，c=2，d=4 B. a=，b=8，c=5，d=15 C. a=，b=2， c=3，d= D. a=1，b=，c=，d= 【答案】C 【解析】 【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A．2×6=3×4，能成比例，本选项不符合题意； B．，能成比例，本选项不符合题意； C．任两组数的积均不相等，故这四条线段不成比例，本选项符合题意； D．，能成比例，本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断． 4. 如图所示，在正方形中，点、分别在上，且，连接相交于点，则下列结论不正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质及全等三角形的判定和性质逐一判断即可. 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴，A选项正确； ∵， ∴， ∴，B选项正确； ∵ ∴即：， ∴，C选项正确； ∵，， ∴D选项不正确． 5. 一元二次方程 经过配方后，可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将常数项移到等式的右边，然后在方程两边都加上一次项系数一半的平方，配方得出完全平方公式即可． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即． 6. 如图，点 D， E分别在的边上，且．如果，那么与的面积比等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先说明，即可得出和的相似比为，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴和的相似比为， ∴和的面积比为． 7. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：，即可求解； 【详解】解：由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：， ∴， 故选：A 8. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义得到，根据一元二次方程有两个实数根得到，求出的取值范围． 【详解】解：一元二次方程有两个实数根， ， 解得， 又， 且． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式与方程的解的关系是解题的关键，切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 9. 如图，在菱形中，， E、F分别是的中点相交于点 G，连接．有下列结论: ①；②； ③；④，其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质说明，是等边三角形，可得，再根据等腰三角形的性质得，即可解答①；再根据“边边边”证明，可得，进而得出，即可说明②；然后根据直角三角形的性质可得，即可解答③；最后根据三角形中线的性质可得，即可得说明④即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴是等边三角形，且， ∴是等边三角形， ∴． ∵点E，F分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，则①正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，则②正确； ∵是直角三角形， ∴， ∴， ∴与不全等，则③不正确； ∵是等边三角形，点E，F分别是的中点， ∴， ∴， 即，则④正确， 所以正确的有3个． 10. 如图，点F是菱形对角线上一动点，点E是线段上一点，且，连接、，设的长为x，，点F从点B运动到点D时，y随x变化的关系图像，图像最低点的纵坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图1，连接，由对称的性质可得，所以，当A、F、E三点在同一直线上时，y取最小值，y的最小值为线段的长，根据图2可计算，如图3，作辅助线，构建直角三角形，计算的长可解答． 【详解】解：如图1，连接，，交于F1， ∵在菱形中点A，点C关于对称， ∴， ∴， 当A、F、E三点在同一直线上时，y取最小值，y的最小值为线段的长， 如图2，当时，， 设，则， ∴， ∴， ∴， 由图2知：， 如图3，连接交于G，连接，过点E作于H， ∵四边形是菱形， ∴，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即图像最低点的纵坐标是． 故选B． 【点睛】本题考查菱形的性质，动点问题的函数图像，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项之和为______________． 【答案】 【解析】 【分析】将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定各项系数后计算和即可． 【详解】解：对原方程去括号，得， 移项并合并同类项，得， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为， 则． 12. 如图，矩形的对角线、相交于点O，，，若，则四边形OCED的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先证明四边形为平行四边形，再证明四边形为菱形，根据矩形的性质可求解的长，再利用菱形的性质可求解． 【详解】解：， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形， 四边形为菱形， ， ， 菱形的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，菱形的判定和性质，掌握相关性质是解题的关键． 13. 如果一个矩形的宽与长的比值正好是黄金比，人们就称它为“黄金矩形”．现需设计一扇符合黄金矩形的窗户，若窗户的长为2米，则窗户的宽为________米（结果保留根号）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，利用黄金比的定义即可求出答案． 【详解】解：黄金矩形的宽与长之比为黄金比的倒数，即， 已知窗户的长为2米，则窗户宽为长乘以黄金比得倒数，即（米）． 故答案为：． 14. 若，是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程的解得到，根据根与系数的关系得到，将所求代数式变形后整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∵，是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系得， ∴． 15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为2，， 菱形 的顶点是线段上一个动点(不与O，B重合)，连接，当为直角三角形时，点的坐标为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】先求出，分两种情况进行讨论求解．①当时，先求出，再运用勾股定理，求出，从而得到点的坐标；②当时，设，则，同理运用勾股定理，求出，从而得到点的坐标． 【详解】解：∵菱形，， ∴， ∴． ①当时， ∵，， ∴， ∵菱形的边长为2， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为； ②当时， ∵，， ∴， 设，则， ∵菱形的边长为2， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，（舍）， ∴ ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） ， （2） ， （3） ， （4） ， 【解析】 【分析】（1）先移项，再将二次项系数化为1，然后开方即可； （2）仿照（1）看成整体解答； （3）直接开方，再计算可得解； （4）根据公式法求解． 【小问1详解】 解：， 移项，得， 整理，得， 开方，得， ∴； 【小问2详解】 解：， 移项，得， 整理，得， 开方，得， 即 ∴； 【小问3详解】 解：， 开方，得， 即或 ∴； 【小问4详解】 解：， 由题意，得， ∵， ∴， ∴． 17. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． （1）在第四象限画出以点O为位似中心的位似图形，与的位似比为； （2）在（1）的条件下，为内部任意一点，则变换后P的对应点的坐标为（_______，_______） （3）四边形的面积为_______． 【答案】（1） 解：如图：即为所作图形， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查位似变换，利用网格求面积，熟练掌握位似变换的性质是解此题的关键． （1）将，，的横纵坐标都乘以，得到，，的坐标，描点并连线即可得解； （2）根据坐标系中位似图形的坐标变化规律把横纵坐标都乘以，即可得到答案； （3）连接，根据四边形的面积，计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在（1）的条件下，为内部任意一点，则变换后P的对应点的坐标为， 故答案为： 【小问3详解】 解：如图，连接， 四边形的面积． 故答案为： 18. 如图，在中，，点D是中点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点D作于点F，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵，， 四边形是平行四边形， ，点是的中点， ， 平行四边形是菱形； （2）2 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明即可． （2）证明是等边三角形，可得，，证明，可得，可得，再进一步求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， 是等边三角形， ，， ∵， ， ∵， ， ， 四边形是菱形， ， ． 19. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G． （1）求证：△ABE∽△DEF． （2）若正方形的边长为8，求FG的长． 【答案】 （1）在正方形ABCD中， AB=AD=CD，∠A=∠D=90°， ∵AE＝ED，DF＝DC， ∴ ， ∴ ， ∴△ABE∽△DEF； （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，可得AB=AD=CD，∠A=∠D=90°，再由AE＝ED，DF＝DC，可得 ，即可求证； （2）可先证得△DEF∽△CGF，从而得到，再由勾股定理，求出，即可求解． 【详解】证明：（1） 略 （2）在正方形ABCD中， ， ∴△DEF∽△CGF， ∴ ， ∵正方形的边长为8， ∴CD=AD=8， ∵AE＝ED，DF＝DC， ∴DE=4，DF=2，CF=6， ∴ ， ∴ ， 解得： ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，得到相似三角形是解题的关键． 20. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某校统一安装了日光灯，日光灯中最易损坏的是灯管和镇流器． 素材2 该校后勤部准备补进灯管和镇流器共400 件．批发市场灯管的单价为20元，镇流器的单价为60元．商家为了促销且保证有一定的利润，当镇流器购买数量超过80件时，每多购买1件，单价下降1元，但单价不低于 30 元． 完成以下任务： （1）若镇流器补进90件，则学校补进镇流器和灯管共多少元? （2）设镇流器补进x件，若，则补进镇流器的单价为_________元，补进灯管的总价为_________元；(用含x的代数式表示) （3）在任务2的基础上，若学校后勤部补进镇流器和灯管共花 10000元，求补进镇流器多少件? 【答案】（1）10700 （2） （3）100 【解析】 【分析】（1）先用镇流器的实际售价乘以件数可得补进镇流器的总价，再求出补进灯管的总价，然后相加可得答案； （2）用镇流器的计划单价减去下降的钱数可得实际单价，再用补进灯管的单价乘以销售量表示出总价； （3）结合（2），用补进镇流器的总价加上补进灯管的总价等于10000列出方程，求出解即可． 【小问1详解】 解：（元），（元） 则（元）， 所以学校补进镇流器和灯管共10700元； 【小问2详解】 解：（元），（元）， 所以补进镇流器的单价为元，补进灯管的总价为元； 【小问3详解】 解：根据题意，得， 解得（舍去）， 所以补进镇流器100件． 21. 拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底B在同一水平地面上的E、G两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察A点，A、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度． 【答案】该古建筑的高度为 【解析】 【分析】设，则，通过证明，得到，即，同理得到，则可建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，则 ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 同理可证， ∴，即， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴该古建筑的高度为． 22. 已知是关于的一元二次方程的两实数根． （1）求的取值范围； （2）已知等腰的底边，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长； （3）阅读材料：若三边的长分别为，那么可以根据海伦-秦九韶公式可得： ，其中，在（2）的条件下，若和的角平分线交于点，根据以上信息，求的面积． （4） 【答案】（1）且 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，计算一元二次方程根的判别式大于或等于0，根据一元二次方程的定义得出，即可求解； （2）根据恰好是等腰的腰长，令，解一元二次方程求得，进而即可求解； （3）由(2)知：的三边长为，代入公式求得面积，进而根据角平分线的性质求得，再根据三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：，且， 解得：且； 【小问2详解】 解：由题意知：恰好是等腰的腰长， ∴， ∵是关于的一元二次方程的两实数根， ∴， 解得， ∴， 解得， ∵， ∴的周长为：； 【小问3详解】 解：由(2)知：的三边长为， ∴， ∴， 过分别作，，，垂足分别为， ∵是△ABC角平分线的交点， ∴， ∴ ， ∴， 解得， ∴． 23. 定义：在凸四边形中，若对角线相等且至少有一个内角为直角的四边形叫作“奋进四边形”． （1）下列四边形中，是“奋进四边形”的是_________； ①直角梯形；②矩形；③菱形；④正方形； （2）正方形中，点M，N分别为上一点，且，如图1，连接，过点M作于点M，交于点，连接 ，若四边形为“奋进四边形”． ①求证：； ②若，求的值； （3）如图2，中，，点P为右侧平面内一点，且四边形为“奋进四边形”，过点P作，交的延长线于点Q，若与是相似三角形，请直接写出的长． 【答案】（1）②④ （2）①证明：四边形为正方形， ，． 又， ， ． 四边形是“奋进四边形”， ， ； ②； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据各四边形的特征即可求解； （2）①证明得．根据四边形是“奋进四边形”得，即可求证； ②过点N作，可得四边形为矩形，推出，由①可得．根据题意可得、为等腰直角三角形，据此即可求解； （3）过点P作，垂足为D，先由勾股定理求解，分类讨论当时，当时，根据相似三角形的性质设未知数，再通过对运用勾股定理建立方程求解． 【小问1详解】 解：直角梯形的对角线不一定相等，矩形四个内角均为直角且对角线相等； 菱形的对角线不一定相等，正方形四个内角均为直角且对角线相等； ∴是“奋进四边形”的是②④； 【小问2详解】 ①略； ②如图1，过点N作，垂足为E， ∵四边形是正方形， ∴ ∴ 四边形为矩形， ． 由①知， ∵ ． ∵在正方形中，， 又∵ ，即， 为等腰直角三角形， ． ∵ ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ∴ ∴； 【小问3详解】 解：中，， 根据勾股定理得，， 四边形为“奋进四边形”， ． ∵， ∴ 第一种情况：当时， ∴， 设，则， ． 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得（舍去）， ； 第二种情况：当时， ， 设．则， ． 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得（舍去）， 综上：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丹东18中九上第一次月考数学 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确) 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法错误的是（ ） A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 四个角都相等的菱形是正方形 D. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 3. 下列四条线段不成比例的是（　　） A. a=3，b=6，c=2，d=4 B. a=，b=8，c=5，d=15 C. a=，b=2， c=3，d= D. a=1，b=，c=，d= 4. 如图所示，在正方形中，点、分别在上，且，连接相交于点，则下列结论不正确的是（   ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程 经过配方后，可变形为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点 D， E分别在的边上，且．如果，那么与的面积比等于（ ） A. B. C. D. 7. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 9. 如图，在菱形中，， E、F分别是的中点相交于点 G，连接．有下列结论: ①；②； ③；④，其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，点F是菱形对角线上一动点，点E是线段上一点，且，连接、，设的长为x，，点F从点B运动到点D时，y随x变化的关系图像，图像最低点的纵坐标是（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项之和为______________． 12. 如图，矩形的对角线、相交于点O，，，若，则四边形OCED的周长为______． 13. 如果一个矩形的宽与长的比值正好是黄金比，人们就称它为“黄金矩形”．现需设计一扇符合黄金矩形的窗户，若窗户的长为2米，则窗户的宽为________米（结果保留根号）． 14. 若，是方程的两个实数根，则的值为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为2，， 菱形 的顶点是线段上一个动点(不与O，B重合)，连接，当为直角三角形时，点的坐标为_________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解方程： （1） （2） （3） （4） 17. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． （1）在第四象限画出以点O为位似中心的位似图形，与的位似比为； （2）在（1）的条件下，为内部任意一点，则变换后P的对应点的坐标为（_______，_______） （3）四边形的面积为_______． 18. 如图，在中，，点D是中点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点D作于点F，，，求的长． 19. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G． （1）求证：△ABE∽△DEF． （2）若正方形的边长为8，求FG的长． 20. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某校统一安装了日光灯，日光灯中最易损坏的是灯管和镇流器． 素材2 该校后勤部准备补进灯管和镇流器共400 件．批发市场灯管的单价为20元，镇流器的单价为60元．商家为了促销且保证有一定的利润，当镇流器购买数量超过80件时，每多购买1件，单价下降1元，但单价不低于 30 元． 完成以下任务： （1）若镇流器补进90件，则学校补进镇流器和灯管共多少元? （2）设镇流器补进x件，若，则补进镇流器的单价为_________元，补进灯管的总价为_________元；(用含x的代数式表示) （3）在任务2的基础上，若学校后勤部补进镇流器和灯管共花 10000元，求补进镇流器多少件? 21. 拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底B在同一水平地面上的E、G两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察A点，A、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度． 22. 已知是关于的一元二次方程的两实数根． （1）求的取值范围； （2）已知等腰的底边，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长； （3）阅读材料：若三边的长分别为，那么可以根据海伦-秦九韶公式可得： ，其中，在（2）的条件下，若和的角平分线交于点，根据以上信息，求的面积． （4） 23. 定义：在凸四边形中，若对角线相等且至少有一个内角为直角的四边形叫作“奋进四边形”． （1）下列四边形中，是“奋进四边形”的是_________； ①直角梯形；②矩形；③菱形；④正方形； （2）正方形中，点M，N分别为上一点，且，如图1，连接，过点M作于点M，交于点，连接 ，若四边形为“奋进四边形”． ①求证：； ②若，求的值； （3）如图2，中，，点P为右侧平面内一点，且四边形为“奋进四边形”，过点P作，交的延长线于点Q，若与是相似三角形，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $