第一章 特殊的平行四边形 单元测试（C卷·提高卷）2026-2027学年北师大版九年级数学上册

北师大版九年级数学 第一章《特殊的平行四边形》单元测试卷（C卷·提高卷） （满分 120 分　考试时间 120 分钟） 班级：__________　姓名：__________　学号：__________　得分：__________ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个正确选项） 1．下列命题中，是真命题的是（　　） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 2．若菱形的两条对角线长分别为 6 和 8，则这个菱形的高为（　　） A．5　　B．2.4　　C．4.8　　D．9.6 3．在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD 是斜边 AB 上的中线，若 CD = 5，AC = 6，则 BC 的长为（　　） A．10　　B．4　　C．2 　　D．8 4．在菱形 ABCD 中，∠DAB = 60°，则 AC ∶ BD 等于（　　） A．1 ∶ 1　　B．1 ∶ 　　C． ∶ 1　　D．1 ∶ 2 5．在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，若 ∠AOD = 120°，AB = 4，则 AC 的长为（　　） A．4　　B．8　　C．6　　D．8 6．下列条件中，能判定四边形 ABCD 是正方形的是（　　） A．对角线互相垂直的四边形 B．对角线相等的平行四边形 C．对角线互相平分的四边形 D．对角线互相垂直平分且相等的四边形 7．若菱形的周长为 16，一条对角线长为 4，则另一条对角线的长为（　　） A．4√3　　B．8　　C．2 　　D．6 8．在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 6，BC = 8，点 D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点，则四边形 CEDF 的周长为（　　） A．10　　B．12　　C．14　　D．16 9．顺次连接四边形 ABCD 各边的中点所得到的四边形是矩形，则四边形 ABCD 一定是（　　） A．对角线相等的四边形 B．对角线互相平分的四边形 C．菱形 D．对角线互相垂直的四边形 10．如图，在菱形 ABCD 中，∠ABC = 120°，对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 O 作 OE ⊥ AB 于点 E，若 AB = 4，则 OE 的长为（　　） 　　A． 　　B．2　　C．2　　D．3 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．若菱形的边长为 5，一条对角线的长为 6，则这个菱形的面积为 __________． 12．在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，∠A = 30°，D 是斜边 AB 的中点，若 AC = 4 ，则 CD = __________． 13．若正方形的面积为 16，则它的对角线的长为 __________． 14．在矩形 ABCD 中，AB = 4，BC = 3，点 E 是 CD 上一点，将△ADE 沿 AE 折叠，使点 D 恰好落在对角线 AC 上的点 F 处，则 DE 的长为 __________． 15．在菱形 ABCD 中，对角线 AC = 10，BD = 24，点 E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点，则四边形 EFGH 的周长为 __________． 16．在正方形 ABCD 中，点 E 是 AB 的中点，若正方形的边长为 4，则 DE 的长为 __________． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分。解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 17．（10 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 O 作 OE ⊥ AB 于点 E．若 AC = 8，BD = 6． （1）求菱形 ABCD 的边长与面积； （2）求 OE 的长． 18．（12 分）如图，在△ABC 中，AB = AC，AD ⊥ BC 于点 D，延长 AD 到点 E，使 DE = AD，连接 BE、CE．求证：四边形 ABEC 是菱形． 19．（12 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB = 6，BC = 8，将矩形沿 EF 折叠，使点 A 与点 C 重合（点 E 在 AD 上，点 F 在 BC 上）． （1）判断四边形 AECF 的形状，并说明理由； （2）求折痕 EF 的长． 20．（12 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 边上一点，点 F 是 CD 边上一点，且 BE = CF，AE 与 BF 相交于点 G． （1）求证：△ABE ≌ △BCF； （2）判断 AE 与 BF 的位置关系，并说明理由； （3）若 AB = 4，BE = 3，求线段 BG 的长． 21．（13 分）如图，在四边形 ABCD 中，AC = BD，且 AC ⊥ BD，点 E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点． （1）求证：四边形 EFGH 是菱形； （2）若 AC = BD = 10，求四边形 EFGH 的面积． 22．（13 分）如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点，过点 A 作 AF ∥ BC，交 BE 的延长线于点 F，连接 CF． （1）求证：四边形 ADCF 是平行四边形； （2）当△ABC 满足什么条件时，四边形 ADCF 是矩形？并说明理由； （3）在（2）的条件下，若 AB = 5，BC = 6，求矩形 ADCF 的面积． 参考答案与解析 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．B　　2．C　　3．D　　4．C　　5．B　　6．D　　7．A　　8．C　　9．D　　10．A 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11．24 12．4 13．4√2 14．1.5 15．34 16．2√5 三、解答题（共 72 分） 17．（10 分）（1）∵ 菱形的对角线互相垂直平分，AC = 8，BD = 6， ∴ AO = ½AC = 4，BO = ½BD = 3，且 ∠AOB = 90°． 在 Rt△AOB 中，AB = √(AO2 + BO2) = √(42 + 32) = 5． 菱形 ABCD 的面积 S = ½ · AC · BD = ½ × 8 × 6 = 24． （2）∵ OE ⊥ AB，在 Rt△AOB 中 OE 是斜边 AB 上的高， 由面积关系得 ½ · AB · OE = ½ · AO · BO，即 5 × OE = 4 × 3， ∴ OE = 12 ÷ 5 = 2.4． 答：菱形的边长为 5，面积为 24，OE 的长为 2.4． 18．（12 分）证明：∵ AB = AC，AD ⊥ BC， ∴ BD = DC（等腰三角形底边上的高也是底边上的中线）． ∵ DE = AD，且点 E 在 AD 的延长线上，∴ AD = DE，即 AE 与 BC 互相平分于 D． ∴ 四边形 ABEC 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 又 AE ⊥ BC（∵ AD ⊥ BC），即对角线 AE 与 BC 互相垂直， ∴ 平行四边形 ABEC 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 19．（12 分）（1）四边形 AECF 是菱形． 理由：由折叠可知，点 A 与点 C 关于折痕 EF 对称，即 EF 是 AC 的垂直平分线， ∴ EA = EC，FA = FC． ∵ AD ∥ BC，∴ ∠AEF = ∠CFE（两直线平行，内错角相等）． 又由折叠知 ∠AEF = ∠CEF，∴ ∠CEF = ∠CFE，∴ CE = CF． ∴ EA = EC = CF = FA，∴ 四边形 AECF 是菱形． （2）∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ ∠D = 90°，DC = AB = 6． 在 Rt△ABC 中，AC = √(AB2 + BC2) = √(62 + 82) = 10． 设 AE = EC = x，则 ED = AD − AE = 8 − x． 在 Rt△EDC 中，ED2 + DC2 = EC2，即 (8 − x)2 + 62 = x2， 整理得 100 = 16x，解得 x = 6.25，即 AE = EC = 6.25． 设 O 为 AC 的中点，则 AO = ½AC = 5，且 EF ⊥ AC． 在 Rt△AOE 中，OE = √(AE2 − AO2) = √(6.252 − 52) = √(14.0625) = 3.75． 又 O 是 EF 的中点，∴ EF = 2OE = 7.5． 答：四边形 AECF 是菱形，折痕 EF 的长为 7.5． 20．（12 分）（1）证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AB = BC，∠ABE = ∠BCF = 90°． 又 BE = CF，∴ △ABE ≌ △BCF（SAS）． （2）AE ⊥ BF． 理由：由 △ABE ≌ △BCF 得 ∠BAE = ∠CBF． ∵ ∠ABE = 90°，∴ ∠BAE + ∠AEB = 90°． 又 ∠CBF + ∠ABF = ∠ABC = 90°，∴ ∠ABF = 90° − ∠CBF = 90° − ∠BAE． 在△ABG 中，∠GAB = ∠BAE，∠GBA = ∠ABF = 90° − ∠BAE， ∴ ∠AGB = 180° − ∠BAE − (90° − ∠BAE) = 90°，即 AE ⊥ BF． （3）在 Rt△ABE 中，∠ABE = 90°，AB = 4，BE = 3， ∴ AE = √(AB2 + BE2) = √(42 + 32) = 5． ∵ AE ⊥ BF，∴ BG 是 Rt△ABE 斜边 AE 上的高． 由面积关系得 ½ · AE · BG = ½ · AB · BE，即 5 × BG = 4 × 3， ∴ BG = 12 ÷ 5 = 2.4． 答：BG 的长为 2.4． 21．（13 分）（1）证明：∵ E、F 分别是 AB、BC 的中点， ∴ EF ∥ AC，且 EF = ½AC． 同理，GH ∥ AC，GH = ½AC；FG ∥ BD，FG = ½BD；EH ∥ BD，EH = ½BD． ∴ EF ∥ GH 且 EF = GH，∴ 四边形 EFGH 是平行四边形． 又 AC = BD，∴ EF = ½AC = ½BD = EH． ∴ 平行四边形 EFGH 是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）． （2）∵ EF ∥ AC，EH ∥ BD，且 AC ⊥ BD，∴ EF ⊥ EH，即 ∠FEH = 90°． ∴ 菱形 EFGH 是正方形． ∵ AC = BD = 10，∴ EF = ½AC = 5． ∴ 四边形 EFGH 的面积 = 52 = 25． 答：四边形 EFGH 的面积为 25． 22．（13 分）（1）证明：∵ AF ∥ BC，∴ ∠AFE = ∠DBE（两直线平行，内错角相等）． ∵ E 是 AD 的中点，∴ AE = DE． 又 ∠AEF = ∠DEB（对顶角相等），∴ △AFE ≌ △DBE（AAS），∴ AF = DB． ∵ D 是 BC 的中点，∴ DB = DC，∴ AF = DC． 又 AF ∥ BC，即 AF ∥ DC，∴ 四边形 ADCF 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． （2）当 AB = AC 时，四边形 ADCF 是矩形． 理由：∵ AB = AC，D 是 BC 的中点，∴ AD ⊥ BC，∴ ∠ADC = 90°． ∴ 平行四边形 ADCF 有一个角是直角，故四边形 ADCF 是矩形． （3）∵ AB = AC = 5，BC = 6，D 是 BC 的中点， ∴ DC = ½BC = 3，且 AD ⊥ BC． 在 Rt△ADC 中，AD = √(AC2 − DC2) = √(52 − 32) = 4． ∴ 矩形 ADCF 的面积 = AD · DC = 4 × 3 = 12． 答：矩形 ADCF 的面积为 12． 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $