第一章 特殊平行四边形 单元练习题 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学上册特殊平行四边形单元卷，通过选择、填空、解答题系统考查菱形、矩形、正方形性质与判定，基础巩固与能力提升结合，适配单元复习，培养几何直观与推理意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|菱形性质（1题）、矩形判定（5题）、正方形计算（10题）|基础概念辨析，如7题对比矩形与菱形性质| |填空题|4|菱形周长（11题）、勾股定理应用（12题）|结合文化情境，如12题青朱出入图阴影面积计算| |解答题|9|菱形面积（15题）、正方形旋转（16题）、新定义“筝形”（23题）|分层设计，23题新定义探究体现创新意识，21题测量湖长强化应用能力|

北师大版九年级数学上册第一章 特殊平行四边形单元练习题 一、单选题 1．如图，在菱形中，对角线，相交于点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，正方形边长为6，，M、N分别是和的中点，则长为（　　） A． B． C． D． 3．如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（　　） A． B． C． D． 4．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对边相等 C．对角相等 D．对角线互相平分 5．如图，根据平行四边形中所标注的角的度数、边的长度，能判定其为菱形的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，E是正方形的边延长线上的一点，且，则（　　） A． B． C． D． 7．矩形具有而菱形不具有的性质是(　　) A．对角线互相平分 B．四条边相等 C．四个角相等 D．对角线互相垂直 8．如图是一块矩形ABCD的场地，长米，宽米，从A，B两处入口的路宽都为1米，两小路汇合处路口宽为2米，其余部分种植草坪面积为（　　） A． B． C． D． 9．如图，中，，，．点D是边上的动点，过点D作边，垂足分别为E，F．连接，则的最小值为（　　） A．3 B．2.4 C．4 D．2.5 10．如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点 E 作EF⊥AB 于点F，EG⊥BC 于点G，连接DE，FG.下列结论：①DE=FG；②DE⊥FG；③∠BFG=∠ADE；④FG的最小值为3.其中正确的结论有(　　). A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．如图，在菱形中，与相交于点O，点P是的中点，，则菱形的周长是　 　． 12．青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图2中的阴影部分面积为　 　． 13．如图，在菱形中，，，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，，有下列结论：①；②；③；④，⑤若点P在上，连接，则的最小值为，其中正确的结论有　 　．（填写序号） 14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD 相交与点O，以C 为圆心，CO 长为半径作弧，交CB 于点E，连接OE，过点E 作OE 的垂线交AB 于点F，EF=OE. 若 则AF 的长是　 　. 三、解答题 15．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB=5，AO=4，求菱形ABCD的面积． 16．如图，正方形 ABCD 的边长为4，点 E，F 分别在AB，AD 上，若( 且∠ECF=45°，求CF 的长. 17．如图，四边形是边长为的菱形，其中对角线长．求： （1）对角线的长度； （2）菱形的面积． 18．如图，在四边形中，，，，，． （1）求的长； （2）求四边形的面积． 19．如图， Rt△ABD和Rt△BCD分别位于BD异侧， ，点O是BD的中点，连接AC， AO， OC. （1）求证：△AOC为等腰三角形 （2） 若∠ADB = 30°， ∠BDC =40°， 求∠AOC的度数： （3） 若锐角∠ADC =α， 求∠AOC的度数（用α的代数式表示）. 20．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，且，．若、为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点、的“相关矩形”，如图①为点、的“相关矩形”示意图．若点，点． （1）当时，在图②中画出点、的“相关矩形”并求它的周长． （2）若点、的“相关矩形”为正方形，求的值． （3）已知一次函数的图象交轴于点，交轴于点，若在线段上存在一点，使得点、的“相关矩形”是正方形，直接写出的取值范围． 21．某学校数学兴趣小组准备利用所学知识测量该市一公园人工湖的长度，如图所示，两名同学分别站在相距米的水平线上点和点处，另有两名同学分别站在湖的两端点和点处，，均垂直于，且测得，． （1）如图1，请计算人工湖两端点B，E之间的距离；（结果保留根号） （2）如果最后一名同学所站的点C处恰好到点B和点E距离相等，如图2．请计算C，A两点间的距离． 22．已知点 E 是矩形 ABCD 的对角线 BD 上的一点，且BE=BC，AB=3，BC=4，点P 是EC 上的一动点，且PQ⊥BC 于点Q，PR⊥BD 于点R. （1）如图①，当点 P 为线段EC 中点时，求证： （2）如图②，当点 P 为线段EC 上任意一点(不与点 E、点C 重合)时，其他条件不变，则(1)中的结论是否仍成立?若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由. （3）如图③，当点 P 为线段EC 延长线上任意一点时，其他条件不变，则PR 与PQ之间又具有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想. 23．【新知学习】 定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫做“筝形”.如在凸四边形ABCD中，若，，则四边形ABCD是“筝形”. （1）如图1，在边长为1的正方形网格中，画出“筝形”ABCD，要求点是格点； （2）【问题探究】 如图2，在矩形ABCD中，，“筝形”EFGH的顶点是AB的中点，点，G，H分别在BC，CD，AD上，且，求对角线EG的长； （3）【拓展思考】 如图3，在“筝形”ABCD中，分别是BC、CD上的点，AE平分，求“筝形”ABCD的面积. 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：B． 【分析】根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组对角，据此即可求解 2．【答案】A 3．【答案】A 4．【答案】A 5．【答案】B 6．【答案】C 7．【答案】C 【解析】【解答】解：A.矩形和菱形都是平行四边形，则对角线一定互相平分，属于矩形具有且菱形一定有，错误； B.矩形和菱形都是平行四边形，则四条边一定相等属于矩形不具有且菱形一定有，错误； C.矩形的四个角相等，而菱形的四个角不一定相等，属于矩形具有而菱形不一定具有的，正确； D.矩形的对角线不一定垂直，而菱形的对角线一定垂直，属于矩形不具有而菱形具有，错误； 故答案为：C. 【分析】根据矩形的性质和菱形的性质可知：它们都是平行四边形，故对边平行且相等，对角相等，对角线一定互相平分，所不同的是矩形的四个角都相等且都等于90度，对角线相等；而菱形的对角线互相垂直；据此即可做出选择. 8．【答案】B 【解析】【解答】解：由图可知，矩形中去掉小路后，草坪正好可以拼成一个新矩形， 且它的长为：99-2=97(m) 宽为：41-1=40(m) ∴草坪的面积应该是长×宽=97×40=3880(m2) 故答案为：B. 【分析】根据已知将道路平移，再利用矩形的性质求出长和宽，再进行解答. 9．【答案】B 10．【答案】C 【解析】【解答】解：①连接BE，交FG于点O，如图， ∵EF⊥AB，EG⊥BC， ∴∠EFB=∠EGB=90°. ∵∠ABC=90°， ∴四边形EFBG为矩形. ∴FG=BE，OB=OF=OE=OG， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°. 在△ABE和△ADE中， ∴△ABE≌△ADE(SAS) ∴BE=DE ∴DE=FG. ∴①正确； ②延长DE，交FG于M，交FB于点H， ∵△ABE≌△ADE， ∴∠ABE=∠ADE， 由①知：OB=OF ∴∠OFB=∠ABE ∴∠OFB=∠ADE ∵∠BAD=90°， ∴∠ADE+∠AHD=90°. ∴∠OFB+∠AHD=90°. 即：∠FMH=90° ∴DE⊥FG. ∴②正确； ③由②知：∠OFB=∠ADE 即：∠BFG=∠ADE. ∴③正确； ④∵点E为AC上一动点， ∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小. ∵AD=CD=4，∠ADC=90°， ∴. ∴. 由①知：FG=DE， ∴FG的最小值为. ∴④错误. 综上，正确的结论为：①②③. 故答案为：C . 【分析】①连接BE，易知四边形EFBG为矩形，可得BE=FG；由△AEB≌△AED可得DE=BE，所以DE=FG；②延长DE，交FG于M，交FB于点H，由矩形EFBG可得OF=OB，则∠OBF=∠OFB；由 ∠OBF=∠ADE，则∠OFB=∠ADE；由四边形ABCD为正方形可得∠BAD=90°，即∠AHD+∠ADH=90°，所以∠AHD+∠OFH=90°，即∠FMH=90°，可得DE⊥FG；③由②中的结论可得∠BFG=∠ADE；④由于点E为AC上一动点，当DE⊥AC时，根据垂线段最短可得此时DE最小，最小值为，由①知FG=DE，所以FG的最小值为. 11．【答案】16 12．【答案】 【解析】【解答】解：∵朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b， ∴，， ∵朱入与朱出的三角形全等， ∴， ∴， ∵两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， ∴，， ∴，， ∴阴影部分面积为 ， ∵，， ∴， 即阴影部分的面积为， 故答案为：． 【分析】本题考查全等三角形，勾股定理．根据可以求出，即可得到图2中的阴影部分面积为，用a，b表示后计算即可． 13．【答案】①②⑤ 14．【答案】5 【解析】【解答】解：过点O作( 于点H，如图所示： ∴∠EHO=∠CHO=90°， 设BF=a， EB=x， 其中， a>0， x>0， ∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O， ∴∠ABC=90°， OA=OC=OB， ∴AB⊥BC， ∠FBE=90°， ∴∠FBE=∠EHO=90°， 在△FBE中， ∠FBE=90°， ∴∠BFE+∠BEF=90°， ∴∠FEO=90°， ∴∠HEO+∠BEF=180°-∠FEO=90°， ∴∠BFE=∠HEO， 在△BFE和△HEO中， ∴△BFE≌△HEO(AAS)， ∴BF=HE=a， EB=OH=x， ∴BH=EB+HE=x+a， 在△OBC中， OC=OB， OH⊥BC于点H， ∴CH=BH=x+a， ∴EC=CH+EH=x+a+a=x+2a， ∵以C为圆心，CO长为半径作弧，交CB于点E， ∴OC=EC=x+2a， 在△OCH中， ∠CHO=90°， 在△OCH中， ∠CHO=90°， 由勾股定理得： 整理得： ∴(x-3a)(x+a)=0， ∵a>0， x>0， ∴x+a>0， ∴x-3a=0， ∴x=3a， ∴EB=OH=x=3a， 在△FBE中， ∠FBE=90°， 由勾股定理得： 在△EOF中， ∠FEO=90°， EF=OE， 由勾股定理得： 解得：a=1， 于点H， 又∵OA=OC， ∴OH是 的中位线， 故答案为：5. 【分析】过点O作 于点H，设BF=a，EB=x，证明△BFE和 全等得BF=HE=a，EB=OH=x，则BH=EB+HE=x+a，进而得CH=BH=x+a，则OC=EC=x+2a，在 中，由勾股定理得x=3a，则EB=OH=x=3a，在 中，由勾股定理得EF= 再在 中，由勾股定理得 求出a的值，则OH=3a=3，BF=a=1，证明OH是 的中位线得AB=2OH=6，继而求出AF长即可. 15．【答案】24 16．【答案】解：如图， 把△FCD绕点C逆时针旋转90°得△F'CB，此时E，B，F'三点共线，连接EF， 则△CBF'≌△CDF，∴CF＝CF'. ∵∠FCF'＝90°，∠ECF＝45°， ∴∠ECF＝∠ECF'＝45°. ∵CE＝CE，∴△CEF≌△CEF'（SAS）， ∴EF＝EF'. 在Rt△EBC中，BE＝＝＝＝2， ∴AE＝AB－BE＝2. 设DF＝x，则AF＝4－x. ∵DF＝BF'， ∴EF＝EF'＝BE＋BF'＝2＋x. 在Rt△AEF中，EF2＝AE2＋AF2， ∴（2＋x）2＝22＋（4－x）2，解得x＝. 在Rt△CDF中，DF＝，CD＝4， ∴CF2＝42＋（）2，解得CF＝. 【解析】【分析】把△FCD绕点C逆时针旋转90°得△F'CB，此时E，B，F'三点共线，连接EF，利用SAS定理证明△CEF≌△CEF'，从而可得EF＝EF'，利用勾股定理计算BE的长度，利用线段的长度关系确定EF的表达式，进而求解即可得到答案. 17．【答案】（1）；（2） 18．【答案】（1）4 （2）3 19．【答案】（1）证明：∵在Rt△ABD和Rt△BCD中，∠DAB=∠BCD=90°，点O是BD的中点， ∴， ∴AO=CO ∴△AOC为等腰三角形 （2）解：∵在Rt△ABD和Rt△BCD中，∠DAB=∠BCD=90°，点O是BD的中点， ∴，， ∴∠OAD=∠ADB=30° ∠OCD=∠BDC=40° ∴∠AOB=∠OAD+∠ADB=60° ∠COB=∠OCD+∠BDC=80°， ∴∠AOC=∠AOB+∠COB=140° （3）解：∵在Rt△ABD和Rt△BCD中，∠DAB=∠BCD=90°，点O是BD的中点 ∴，， ∴∠OAD=∠ADB，∠OCD=∠BDC ∴∠AOB=∠OAD+∠ADB=2∠ADB ∠COB=∠OCD+∠BDC=2∠BDC ∵∠ADC=α ∴∠AOC=∠AOB+∠COB =2∠ADB+2∠BDC =2(∠ADB+∠BDC) =2∠ADC =2α 【解析】【分析】(1)由直角三角形斜边中线可得，，继而等量代换即可证明； (2)先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，再根据等腰三角形的性质可得∠OAD=∠ADB=30°，∠OCD=∠BDC=40°，从而可得∠AOB=60°，∠COB=80°，由此即可得； (3)先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，再根据等腰三角形的性质可得∠OAD=∠ADB，∠OCD=∠BDC，然后根据三角形的外角性质可得∠AOB=2∠ADB，∠COB=2∠BDC，由此即可得. 20．【答案】（1）解：当时，，点、的“相关矩形”如图所示： 四边形是矩形， ， 矩形的周长； （2）解：， 轴，轴，轴，轴， ， ， 四边形是正方形， ， ， 或； （3）或 【解析】【解答】（3）解：在一次函数中，令，得， 令，得， ， 在线段上， 设，且，则，， 得点、的“相关矩形”是正方形， 即四边形是正方形， ，即， 或 当时， ，即； 当时， ，即； 综上所述，的取值范围为或． 【分析】（1）根据点、的“相关矩形”的定义画出图形，利用矩形的周长公式即可求出点、的“相关矩形”的周长. （2）利用点、的“相关矩形”的定义可得：，即，根据正方形的性质得到，即，解方程即可得到答案； （3）设，且，则，，得到，根据正方形的性质得到，得到，利用不等式的性质进行计算即可． ​​​​​​ （1）解：当时，，点、的“相关矩形”如图所示： 四边形是矩形， ， 矩形的周长； （2）解：， 轴，轴，轴，轴， ， ， 四边形是正方形， ， ， 或； （3）解：在一次函数中，令，得， 令，得， ， 在线段上， 设，且，则，， 得点、的“相关矩形”是正方形， 即四边形是正方形， ，即， 或 当时， ，即； 当时， ，即； 综上所述，的取值范围为或． 21．【答案】（1）解：如图，过点E作于F，， ，均垂直于 ， 四边形是矩形， ，， ∴． ． （2）解：设，则，由题意可得：， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． ​​​​​​ 【解析】【分析】（1）过点E作于F，证明四边形是矩形，得到，，根据勾股定理计算即可得到答案； （2）设，则，在Rt△ABC和Rt△CDE中，根据勾股定理及已知条件BC=CE，列出方程，解方程即可． （1）解：如图，过点E作于F， ， ，均垂直于 ， 四边形是矩形， ，， ∴． ． （2）解：设，则， 由题意可得：， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 22．【答案】（1）解：连接BP， ∵点P为线段EC中点，故PB是∠EBC的角平分线， ∴PQ=PR， ∵BC=BE， ∴S△BEC=2S△BPC， 则 解得， ∴ （2）解：结论仍成立； 证明：连接BP，过C点作CK⊥BD于点K， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BCD=90°， 又∵CD=AB=3，BC=4， ∴， ∵， ∴3×4=5CK ∴ ∵，，，且S△BCE=S△BEP+S△BCP， ∴， 又∵BE=BC， ∴， ∴CK=PR+PQ， 又∵ ∴ （3）解：过C作CF⊥BD交BD于F，作CM⊥PR交PR于M，连接BP， S△BPE-S△BCP=S△BEC，S△BEC是固定值，BE=BC为两个底，PR，PQ分别为高，图中的结论是 【解析】【分析】(1)用两种方法表示△BCE的面积即可求解； (2)连接BP，过C点作CK⊥BD于点K.根据矩形的性质及勾股定理求出BD的长，根据三角形面积相等可求出CK的长，最后通过等量代换即可证明； (3)过C作CF⊥BD交BD于F，作CM⊥PR交PR于M，连接BP，根据S△BPE-S△BCP=S△BEC，S△BEC是固定值，且底相等，进而即可得出结论. 23．【答案】（1）解：如图. （2）解：如图2-1，当EF=EH时，HG=FG， 是筝形EFGH的对称轴， 由轴对称的性质可得EG也是矩形ABCD的对称轴， ； 如图2-2，当EF=FG时，作， 四边形ABCD是矩形， ， 点是AB的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，EG的长是12或. （3）72 解：如图，作， 设， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，解得， ， . 【解析】【分析】(1)利用网格画出AD=AB=5，BC=CD=即可. (2)当EF=EH时，利用轴对称的性质可得EG是矩形ABCD的对称轴，故EG=BC=12；当EF=FG时，利用勾股定理求得CG的长度，进而得到PE的长度，再通过勾股定理计算出EG的长度. (3)设，利用角平分线的定义可得，再通过ASA判定得到AG=AD，然后通过HL判定得到，进而表示出CF、CE的长度，再通过勾股定理解得x的值，即可计算出“筝形”ABCD的面积. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $