精品解析：辽宁辽阳市第一中学（西藏班）2026-2027学年九年级上学期十月统一练习数学试卷

26-27学年度上学期十月统一练习 （九年级）（数学学科） 时间100分钟 满分100分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 将一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程的两根之和是（ ） A. B. C. D. 6. 为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请 个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请个互不相同的好友转发倡议书．以此类推，已知经过两轮传播后，共有人参与了传播活动，则的值是（ ）． A. B. C. D. 7. 某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. 48（1﹣x）2=36 B. 48（1+x）2=36 C. 36（1﹣x）2=48 D. 36（1+x）2=48 8. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（      ） A. B. C. D. 9. 若点，，都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数 （a，b，c为常数，且）的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是 （ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 一元二次方程的根是_____________． 12. 若抛物线开口向下，则________． 13. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为______． 14. 已知抛物线的对称轴为直线，则实数b的值为________． 15. 若m是方程的一个根，则的值为__________ 16. 已知二次函数．当时，则的取值范围__________． 三、计算题（每题3分，共12分） 17. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） 四、解答题（共40分） 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根； （2）若一元二次方程的两根为，，且满足，求的值． 19. 已知某二次函数的图象的顶点为，且过点． （1）求此二次函数的关系式． （2）判断点是否在这个二次函数的图象上，并说明理由． 20. 已知二次函数． （1）如果二次函数的图像与x轴有两个交点，求m的取值范围； （2）如图，二次函数的图像过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图像的对称轴交于点P，求点P的坐标． 21. 2020年是脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”．销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于50元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示． 销售单价x（元） 30 40 45 销售数量y（件） 100 80 70 （1）求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？ （3）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 26-27学年度上学期十月统一练习 （九年级）（数学学科） 时间100分钟 满分100分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A：方程含有2个未知数，不是一元二次方程． 选项B：方程未明确，当时无二次项，不符合要求． 选项C：方程只含1个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，属于一元二次方程． 选项D：方程分母含未知数，不符合整式方程要求，不是一元二次方程． 2. 将一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式及方程的化简，将原方程化为一元二次方程的一般形式后匹配选项即可． 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 3. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由题得 ∵方程有两个不相等的实数根 ∴，即 解得． 4. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数顶点式的顶点坐标为，直接匹配参数即可得出答案． 【详解】解：∵是顶点形式，其中，， ∴顶点坐标为． 故选：D． 5. 一元二次方程的两根之和是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题意得，  则可设方程的两根为，， ∵，， ∴． 6. 为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请 个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请个互不相同的好友转发倡议书．以此类推，已知经过两轮传播后，共有人参与了传播活动，则的值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，找到“等量关系”列方程是解决问题的关键． 第一轮传播了个人，第二轮传播了个人，根据两轮传播后，共有111人参与列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得， ， 解得，（舍去），， 的值是， 故选：C． 7. 某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. 48（1﹣x）2=36 B. 48（1+x）2=36 C. 36（1﹣x）2=48 D. 36（1+x）2=48 【答案】D 【解析】 【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设教育经费的年平均增长率为x，然后根据已知条件可得出方程． 【详解】∵某超市一月份的营业额为36万元，每月的平均增长率为x， ∴二月份的营业额为36（1+x），三月份的营业额为36（1+x）×（1+x）=36（1+x）2. ∴根据三月份的营业额为48万元，可列方程为36（1+x）2=48. 故选D. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律. 8. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（      ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律即可得出答案． 【详解】由抛物线向右平移2个单位，得：；再向上平移2个单位，得：，所以A、C、D错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数图像的平移，熟练掌握平移方法是解题的关键． 9. 若点，，都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定抛物线的开口方向与对称轴，通过比较三点到对称轴的距离，结合增减性判断函数值大小． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数为， ∴抛物线开口向下． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴开口向下时，抛物线上的点到对称轴的距离越近，对应的值越大． ∵点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 且， ∴． 10. 已知二次函数 （a，b，c为常数，且）的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是 （ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口朝下， ∴， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴ ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴， ∴，故①错误； 根据图象知道抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴，故②错误； 根据图象知道当时，， 故③错误； ∵抛物线开口向下，时抛物线与x轴相交， ∴时的抛物线位于x轴下方，即， ∴当时， 故④正确． 故选∶A． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 一元二次方程的根是_____________． 【答案】， 【解析】 【分析】将原方程移项整理为一元二次方程的标准形式，再通过因式分解法求解即可． 【详解】解：移项，得， 因式分解得， 则或， 解得，． 12. 若抛物线开口向下，则________． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据二次函数开口向下的条件即可求解. 【详解】∵，∴，∵，∴，∴当时，这个函数都是二次函数，∵，∴，故本题答案为-1. 【点睛】本题考查了二次函数的性质及概念，掌握二次函数开口向下的条件是解题关键. 13. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据单循环赛总比赛场数的公式和计划总比赛场数，建立方程，即可作答． 【详解】解：参赛队有 个，每两个队之间比赛一场，则总比赛场数为， ∵赛程计划安排7天，每天安排4场比赛， ∴总比赛场数为， ∴， 故答案为：． 14. 已知抛物线的对称轴为直线，则实数b的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的对称轴为直线求解即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查抛物线的对称轴公式．掌握二次函数的对称轴为直线是解题关键． 15. 若m是方程的一个根，则的值为__________ 【答案】2024 【解析】 【分析】是方程的根，满足方程，可得，将所求代数式变形后整体代入即可计算出结果． 【详解】解：∵是方程的一个根 ∴ 将代入方程得 整理得 对所求代数式变形可得： 将代入上式得：原式． 16. 已知二次函数．当时，则的取值范围__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的解析式化为顶点式，二次函数的性质，已知自变量的值求函数值，正确理解二次函数的性质是解题的关键．将二次函数的解析式化为顶点式，得到二次函数顶点坐标为，抛物线开口向上，再分别计算出当时，当时的函数值，即可得到答案． 【详解】解：， ∴二次函数顶点坐标为，抛物线开口向上， 当时，； 当时，， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． 三、计算题（每题3分，共12分） 17. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【小问1详解】 解： 解得，； 【小问2详解】 解： 或 解得，； 【小问3详解】 解： 或 解得，； 【小问4详解】 解： 解得，． 四、解答题（共40分） 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根； （2）若一元二次方程的两根为，，且满足，求的值． 【答案】（1） 证明：△ ； 又， ， 无论取任何实数，方程总有实数根； （2）5或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根,还考查了一元二次方程根与系数关系． （1）利用根的判别式求出关于的代数式，整理成非负数的形式即可判定； （2）根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把，转换为，然后利用前面的等式即可得到关于的方程，解方程即可求出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， ， ， 整理得， 解得：， 故的值为5或． 19. 已知某二次函数的图象的顶点为，且过点． （1）求此二次函数的关系式． （2）判断点是否在这个二次函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1）； （2）点不在这个二次函数的图象上． ∵当时，， ∴点不在这个二次函数的图象上． 【解析】 【分析】（1）由题意，设二次函数的解析式是，再把点代入，即可求出，即可得出解析式； （2）把点P的坐标分别代入，看看两边是否相等即可． 【详解】解：（1）由顶点，可设关系式为：， 将点代入上式可得：， 解得：， ∴此二次函数的关系式为． （2）略 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征的应用，能正确求出函数的解析式是解此题的关键． 20. 已知二次函数． （1）如果二次函数的图像与x轴有两个交点，求m的取值范围； （2）如图，二次函数的图像过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图像的对称轴交于点P，求点P的坐标． 【答案】（1）m＞﹣1；（2）P（1，2） 【解析】 【分析】（1）由二次函数的图像与x轴有两个交点，得到△＞0于是得到m的取值范围； （2）把点A（3，0）代入二次函数的解析式得到m的值，于是得到二次函数的解析式，再求出直线AB的解析式和对称轴方程x=1联立成方程组，即可得到结果． 【详解】解：（1）∵二次函数的图像与x轴有两个交点， ∴△=， ∴m＞﹣1； 故答案为：m＞﹣1； （2）∵二次函数的图像过点A（3，0）， ∴， ∴m=3， ∴二次函数的解析式为：， 令x=0，则y=3，∴B（0，3）， 设直线AB的解析式为：，∴，解得：， ∴直线AB的解析式为：， ∵抛物线的对称轴为：x=1， ∴，解得：， ∴P（1，2）． 21. 2020年是脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”．销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于50元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示． 销售单价x（元） 30 40 45 销售数量y（件） 100 80 70 （1）求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？ （3）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）销售单价定为40元时，每天的销售利润为800元 （3）销售单价定为50元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是1200元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用． （1）设该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式为，用待定系数法求解即可； （2）根据每件的利润乘以销售量等于利润800元，列出方程并求解，再结合单价不低于成本价，且不高于50元销售，可得符合题意的答案； （3）根据每件的利润乘以销售量等于利润得出关于的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案． 【小问1详解】 解：设该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式为， 将点、代入一次函数关系式得： ， 解得：， 函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得：， 解得：，． 单价不低于成本价，且不高于50元销售， 不符合题意，舍去． 答：销售单价定为40元时，每天的销售利润为800元； 【小问3详解】 解：由题意得： ， ，故当时，随的增大而增大，而， 当时，有最大值，此时，， 答：销售单价定为50元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是1200元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $