精品解析：辽宁省辽阳市第一中学2025-2026学年九年级上学期学业水平质量监测数学试卷

2025-2026学年度上学期第一次学业水平质量监测 九年级数学试卷 全卷满分为120分，时间为120分钟 一、选择题（共10个小题，每小题3分） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 把方程化成一般式，则，，的值分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（ ） A. B. 2021 C. D. 2025 4. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ） A. B. C. D. 7. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象的开口向下 B. 函数图象的顶点坐标是 C. 该函数有最大值，最大值是5 D. 当时，y随x的增大而增大 8. 抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（ ） A. B. C. D. 4 9. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④．其中正确的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（共6个小题，每小题3分） 11. 当____时，关于的方程是一元二次方程． 12. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是__________． 13. 要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为________． 14. 把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为___． 15. 如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，．则关于的方程的解为______． 16. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知，不等式的解集为___________． 三、解答题（共10个小题，共72分） 17. 解方程：． 18. 解方程：． 19. 探究二次函数及其图象的性质，请填空： ①图象的开口方向是 　　； ②图象的对称轴为直线 　　； ③图象与轴的交点坐标为 　　； ④当　　时，函数有最小值，最小值为 　　． 20. 已知抛物线的图象顶点为，且过，试求a、b．c的值． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根． （2）若该方程的两根互为相反数，求m的值． 22. 列方程（组）解应用题 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同． （1）求该商场投入资金的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ 23. 已知二次函数． （1）将二次函数的解析式化为的形式； （2）求二次函数图象与轴，轴的交点坐标． 24. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 25. 一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．设每件服装降价x元， （1）则每天销售量增加________件，每件服装盈利________元（用含x的代数式表示）； （2）在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ （3）求其最大利润． 26. 已知二次函数的图象与直线的图象如图所示． （1）判断的图象的开口方向，并说出此抛物线的对称轴、顶点坐标； （2）设直线与抛物线的交点分别为A，B，如图所示，试确定A，B两点的坐标； （3）连接，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期第一次学业水平质量监测 九年级数学试卷 全卷满分为120分，时间为120分钟 一、选择题（共10个小题，每小题3分） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的识别．本题根据一元二次方程的定义解答． 【详解】解：A、当时，是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是一元二次方程，故本选项符合题意； C、变形为不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、含有分式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B 2. 把方程化成一般式，则，，的值分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式为，其中叫做一次项，叫作一次项系数，解答即可． 本题考查了一元二次方程的一般形式及其相关概念，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：由， 得， ∴，，的值分别是，，， 故选：D． 3. 如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（ ） A. B. 2021 C. D. 2025 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一个解是，得到即，代入计算即可． 【详解】∵一元二次方程的一个解是， ∴， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握定义是解题的关键． 4. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得． 【详解】解：方程中的， 是方程的两个根， ，， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 5. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方即计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键． 6. 将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出平移后的抛物线为，再把化为顶点式即可． 【详解】解：抛物线向下平移2个单位后， 则抛物线变为， ∴化成顶点式则为 ， 故选：A． 7. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象的开口向下 B. 函数图象的顶点坐标是 C. 该函数有最大值，最大值是5 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的表达式和函数的性质逐一求解即可． 【详解】解：对于y=（x-1）2+5， ∵a=1>0，故抛物线开口向上，故A错误； 顶点坐标为（1，5），故B错误； 该函数有最小值，最小值是5，故C错误； 当时，y随x的增大而增大，故D正确， 故选：D． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 8. 抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线与x轴只有一个公共点，得到根的判别式等于0，即可求出c的值． 【详解】解：∵y=x2+x+c与x轴只有一个公共点， ∴x2+x+c=0有两个相等的实数根， ∴△=1-4c=0， 解得：c=． 故选：B． 【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，弄清根的判别式的意义是解本题的关键． 9. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数与一次函数的图象可知，，，从而判断出二次函数的图象． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∵次函数的图象经过一、三、四象限， ∴，， 对于二次函数的图象， ∵，开口向上，排除A、B选项； ∵，， ∴对称轴， ∴D选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数的图象和一次函数图象经过的象限，找出，，是解题的关键． 10. 如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④．其中正确的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图像与性质，逐一判断即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于点A、B， ∴抛物线对应的一元二次方程有两个不相等的实数根， 即，故①正确； 对称轴为， 整理得4a＋b＝0，故②正确； 由图像可知，当y＞0时，即图像在x轴上方时， x＜－2或x＞6，故③错误， 由图像可知，当x＝1时，，故④正确． ∴正确的有①②④， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质与一元二次方程的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键． 二、填空题（共6个小题，每小题3分） 11. 当____时，关于的方程是一元二次方程． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，注意一元二次方程中，方程最高次数为二次；二次项系数． 【详解】解：由题意可得：，且， 解得：． 故答案为：． 12. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键． 根据一元二次方程的定义和根的判别式计算即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴实数的取值范围是且． 故答案为：且． 13. 要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解．设共有x个队参加比赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛90场，可列出方程． 【详解】赛制为双循环形式，每个队都要和其他队赛两场，则比赛总场数为场， 已知共比赛90场， 所以． 故答案为：． 14. 把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为___． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”进行计算即可． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位长度， 再向下平移3个单位长度， 得到的抛物线的解析式为：， 即： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查函数图像的平移，熟记函数图像的平移方式“上加下减，左加右减”是解题的关键． 15. 如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，．则关于的方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数图象与方程的关系，方程的解就是两个函数交点的横坐标，据此即可求解． 【详解】解：∵方程的解就是二次函数与一次函数两个函数交点的横坐标， ∵一次函数与二次函数的图象相交于点，． ∴的解为； 故答案为：． 16. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知，不等式的解集为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的应用，能够根据二次函数图象特点求出函数与轴的两个交点，数形结合解不等式是解题的关键． 由图象判断是对称轴，与轴一个交点是，则另一个交点，结合函数图象即可求解． 【详解】解：由图象可知二次函数的对称轴是直线， 与轴一个交点坐标， 由函数的对称性可得，，则与轴另一个交点是， ∴的解集为或， 故答案为：或． 三、解答题（共10个小题，共72分） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用公式法解方程即可，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∴， 解得，． 18. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 19. 探究二次函数及其图象的性质，请填空： ①图象的开口方向是 　　； ②图象的对称轴为直线 　　； ③图象与轴的交点坐标为 　　； ④当　　时，函数有最小值，最小值为 　　． 【答案】①向上；②；③；④3， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，有最小值， 令，则， 图象与轴的交点坐标为， 故答案为：①向上；②；③；④3，． 20. 已知抛物线的图象顶点为，且过，试求a、b．c的值． 【答案】，， 【解析】 【分析】由题意设出抛物线为，把代入即可求出；本题主要考查二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】解：由题意设抛物线为； 把代入，得： 解得： ∴ ∴，， 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根． （2）若该方程的两根互为相反数，求m的值． 【答案】（1） 证明：， ∴，，， ∵， ∴该方程总有两个不相等的实数根． （2）4 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程列出根的判别式，即可做出判断； （2）根据一元二次方程根与系数关系列式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵该方程的两根互为相反数， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系，熟练掌握相关知识并准确计算是解题的关键． 22. 列方程（组）解应用题 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同． （1）求该商场投入资金的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？ 【答案】（1）该商场投入资金的月平均增长率 （2）预计该商场七月份投入资金将达到万元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设该商场投入资金的月平均增长率为，根据“四月份投入资金20万元，六月份投入资金24.2万元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （2）根据（1）中求得的增长率，即可求得七月份投入资金． 【小问1详解】 解：设该商场投入资金的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴该商场投入资金的月平均增长率； 【小问2详解】 解：（万元）， ∴预计该商场七月份投入资金将达到万元． 23. 已知二次函数． （1）将二次函数的解析式化为的形式； （2）求二次函数图象与轴，轴的交点坐标． 【答案】（1） （2）与轴的交点坐标为和，与轴的交点坐标为 【解析】 【分析】（）利用配方法解答即可； （）把和代入二次函数解析式解答即可求解； 本题考查了二次函数的顶点式，二次函数图象与坐标轴的交点问题，掌握配方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：， 即； 【小问2详解】 解：把代入，得， 解得，， ∴二次函数图象与轴的交点坐标为和， 把代入，得， ∴二次函数图象与轴的交点坐标为． 24. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈； （2） 解：不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到． 【解析】 【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【小问1详解】 解：设矩形的边，则边． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． 25. 一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．设每件服装降价x元， （1）则每天销售量增加________件，每件服装盈利________元（用含x的代数式表示）； （2）在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ （3）求其最大利润． 【答案】（1）， （2）元 （3） 【解析】 【分析】（1）根据每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件即可得到答案． （2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销量为件，根据题意列出等式； （3）设利润为，由（2）可得利润的表达式为，利用二次函数的性质得到最大值，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设每件服装降价x元，由于每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件， 故则每天销售量增加件，每件服装盈利元． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销量为件， 依题意得， 整理得， 解得，， 由于要对顾客更有利， ． 故答案为：每件服装降价元时，商家平均每天能盈利1200元． 【小问3详解】 解：设利润为． 由（2）可得利润的表达式为， 化简得， 当时，有最大值． ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用及二次函数的应用，找准等量关系是解题的关键． 26. 已知二次函数的图象与直线的图象如图所示． （1）判断的图象的开口方向，并说出此抛物线的对称轴、顶点坐标； （2）设直线与抛物线的交点分别为A，B，如图所示，试确定A，B两点的坐标； （3）连接，，求的面积． 【答案】（1）抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为 （2）A点坐标为，B点坐标为 （3）3 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质、待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标与二次函数解析式的关系是解答本题的关键． （1）根据二次函数的性质求解即可； （2）联立二次函数和一次函数解析式求解即可； （3）首先得到与y轴交点的坐标为，进而求解即可． 【小问1详解】 抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为； 【小问2详解】 由题意得，即， 解得或， 则或， ∴A点坐标为，B点坐标为； 【小问3详解】 ∵与y轴交点的坐标为， ∴的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $