精品解析：辽宁营口市育才初级中学2026—2027学年 九年级上学期数学第一次学情检测

2026—2027学年人教版九年级上学期数学第一次学情检测 全卷共6页，23小题，考试时间120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，多选、错选、不选均不给分．） 1. 一元二次方程3x2＋1＝6x的一次项系数为6，二次项系数和常数项分别为（ ） A. 3，1 B. －3，－1 C. 3，－1 D. －3x2，－1 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般式即可求出答案． 【详解】解：∵一元二次方程3x2＋1＝6x的一次项系数为6， ∴化为一般式为：-3x2+6x-1＝0 ∴二次项系数和常数项分别为：-3，-1． 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的一般式，解题的关键是熟练运用一元二次方程的一般式，本题属于基础题型． 2. 用配方法解方程时，方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程．先把常数项移到方程的右边，再两边都加上一次项系数一半的平方，再配方即可判断． 【详解】解：， 移项得， 配方得，即； 故选：A． 3. “立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆约200人次，第三个月进馆约288人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据月增长率，第三个月的进馆人次是第一个月的倍，直接列方程即可。 【详解】解：∵第一个月进馆200人次，月增长率为x， ∴第三个月进馆人次为， 又∵第三个月进馆288人次， ∴． 故选：A． 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，掌握相关知识是解决问题的关键．一元二次方程有两个不相等的实数根，则，据此解答即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， ， 四个选项中，只有， 故选：D． 5. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数中的正负确定图象的象限与增减性，分象限比较的大小. 【详解】解：∵ 反比例函数中， ∴ 其图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小. ∵ 点，在第三象限，且， ∴ . ∵ 点在第一象限， ∴ . ∴ . 6. 把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线平移的规律，左加右减自变量，上加下减常数项进行整理即可． 【详解】解：图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位， 得， 故选：C． 【点睛】本题主要考查抛物线的平移规律，熟练地掌握图象的平移规律是解决问题的关键． 7. 公路上行驶的汽车，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行才能停下来，若急刹车时汽车的行驶路程s（米）与时间t（秒）的函数关系式为，则下列说法正确的是（ ） A. 汽车滑行2秒时停止 B. 汽车可以滑行4秒后才停止 C. 滑行速度先变大后变小 D. 滑行的最远距离是30米 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，将路程函数配方成顶点形式，当s有最大值时，汽车停止，据此确定汽车停止滑行的时间和最远距离，根据实际情形可知，刹车滑行过程中速度应该逐渐减小，据此可得答案． 【详解】解：∵，且， ∴当时，s有最大值，最大值为20， ∴汽车滑行2秒时停止，滑行的最远距离是20米， 从实际出发，刹车滑行过程中，汽车的速度应该逐渐变小， ∴只有A选项的说法正确，符合题意， 故选：A． 8. 已知二次函数的图象上有两点和，则的值等于（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．由点A和B在二次函数图象上且纵坐标相同，可得a和b是方程的两个根，利用根与系数的关系得到，并由方程变形得，代入所求表达式化简计算即可． 【详解】解：∵和在函数图象上， ∴，即， 同理， ∴ a，b是方程的两个根， 由根与系数关系得：， 由，得， ∴， 代入， ∴原式． 故选：D． 9. 设函数（a，h，k是常数，），当时，；当时，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质；将点和代入函数解析式，通过消去得到与的关系式，从而判断的符号． 【详解】∵函数经过点和， 两式相减： ∴ ∴ 解得： A、若，则 B、若，则 C、若，则 D、若，则 故选：C． 10. 如图1，在矩形中，，动点以的速度自A点出发沿折线方向运动至D点停止，动点以的速度自A点出发运动至D点停止，若点同时出发，运动时间为秒，记的面积为，且s与之间的函数关系的图像如图2所示，则图像中的值为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，当点P在上运动时，，则，根据图2可得，当时，，求出，得出动点以的速度自A点出发沿折线方向运动至D点停止，且当时，点Q到达点D，当点P在上运动时，．当点P在上运动时，．将点代入即可求出． 【详解】解：当点P在上运动时，， 则， 根据图2可得，当时，，解得：， 即动点以的速度自A点出发沿折线方向运动至D点停止，且当时，点Q到达点D， 当点P在上运动时，． 当点P在上运动时，． 将点代入可得，解得：， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，满分15分） 11. 已知二次函数 ，当 时，y的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】将二次函数化为顶点式，得到开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远函数值越大，即可求解． 【详解】解：， 开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远函数值越大， 当时，有最小值为1， ， 当时，有最大值为， y的取值范围为． 12. 关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．利用一元二次方程的根的判别式解答，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得：且． 故答案为：且． 13. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、D分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象经过正方形顶点C，若点、，则_____． 【答案】24 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法可得求出C的坐标，代入，利用待定系数法求出k． 【详解】解：如图，作轴于M， 由正方形的性质可知，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点、， ∴，， ∴，， ∴， ∵反比例函数的图象经过正方形顶点C， ∴． 14. 参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手21次，参加聚会的有__________人． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，设有人参加聚会，每个人都与另外的人握手一次，则每个人握手次，且其中任何两人的握手只有一次，因而共有次，设出未知数列方程解答即可． 【详解】解：设有人参加聚会，根据题意列方程得，， 解得，（不合题意，舍去）； 答：有7人参加聚会． 故答案为：7． 15. 如图，函数经过点，对称轴为直线；①；②；③；④若点、在抛物线上，则；⑤（m为任意实数），其中结论正确的有______． 【答案】①⑤##⑤① 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据函数图象可知二次函数与x轴有两个不同的交点，可判断①；二次函数开口向上，与y轴交于负半轴，可得，再由对称轴为直线，得到，据此可判断②；当时，，据此可判断③；当时，y随x增大而增大，据此可判断④；函数的最小值为，据此可判断⑤． 【详解】解：由函数图象可知二次函数与x轴有两个不同的交点， ∴，故①正确； ∵二次函数开口向上，与y轴交于负半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵函数经过点， ∴函数经过点， ∴当时，， ∴，故③错误； ∵二次函数开口向上， ∴当时，y随x增大而增大， ∵， ∴，故④错误； ∵二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴函数的最小值为 ∴，即，故⑤正确； 故答案为：①⑤． 三、解答题（需写出必要的解题过程，书写规范） 16. 解下列方程． （1） （2） （3）用公式法解方程： （4） 【答案】（1） ， （2） ， （3） ， （4） ， 【解析】 【小问1详解】 解： ∴，； 【小问2详解】 解： 或 ∴，； 【小问3详解】 解： ，， ∴，； 【小问4详解】 解： 或 ∴，． 17. 关于x的方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围； （2）若，是方程的两根，且，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，解题的关键：①正确掌握一元二次方程根的判别式，②正确掌握一元二次方程根与系数的关系． （1）根据“有两个不相等的实数根”，结合一元二次方程根的判别式，得到关于a的一元一次不等式，解之即可， （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得：，，结合，再进一步解答即可． 【小问1详解】 解：∵有两个不相等的实数根， ∴， 整理得：， 解得：， 即a的取值范围为：； 【小问2详解】 解：根据题意得： ，， ∵， ∴， ∴， 整理，得． 解得，． ∵当时，结合（1）可得： 故a的值是． 18. 如图为二次函数的图象，试观察图象回答下列问题： （1）写出方程的解为________，________； （2）当时，直接写出的取值范围为________； （3）方程有实数根，的取值范围是________； （4）当时，直接写出的取值范围是________． 【答案】（1），1 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法，即可求解； （2）根据二次函数图象在x轴上方部分所对自变量的取值范围解答即可； （3）根据二次函数图象即可求解； （4）把解析式转化成顶点式，可得时，y的最小值为，再把代入得，，即可求解． 【小问1详解】 解： ∴，， 故答案为：，1； 【小问2详解】 解：∵的根为，1， ∴二次函数的图象与x轴交于点，， 由图象可得，时，的取值范围为， 故答案为：； 【小问3详解】 ∵方程有实数根， ∴方程有实数根， ∴， 即：； 故答案为：； 【小问4详解】 解：∵， ∴时，y的最大值为， 把代入得，， 把代入得，， ∴当时，y的取值范围是． 【点睛】本题考查二次函数图象与性质，二次函数与x轴的交点坐标，注重数形结合的思想是解题的关键． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且． （1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式； （2）求点B的坐标； （3）观察图象，直接写出时，x的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将点A分别代入到两个函数解析式即可解答； （2）联立一次函数和反比例函数的表达式即可解答； （3）观察函数图象得出反比例函数在一次函数上方或相等时x的取值范围即可； 【小问1详解】 解：将点代入中得， ， ∴一次函数表达式为， 将点代入中得，解得：， ∴反比例函数表达式为； 【小问2详解】 解：联立与，得，即， 解得：或2， 经检验均是方程的解， 当时，， ∴点B的坐标为； 【小问3详解】 解：∵，， 根据函数图象可得，当时，或． 20. 如图，为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园，生态园一面靠墙，若墙长为，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长． （1）要围成生态园的面积为，请求出的长． （2）围成生态园的面积能否达到？请说明理由． 【答案】（1）的长为米． （2） 解：由（1）得：， 整理得：， ∴， ∴方程无解， ∴围成生态园的面积不能达到． 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，根的判别式的应用，确定相等关系建立方程是解本题的关键； （1）设米，则米，再根据面积建立方程即可； （2）由面积可得，再结合根的判别式可得答案． 【小问1详解】 解：设米，则米，根据题意得， ， 解得：， 当时，不符合题意，舍去， 答：的长为米． 【小问2详解】 略 21. 某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为元，经市场预测，销售定价为元，可售出个；定价每增加元，销售量将减少个． （1）商店若准备获得利润元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？ （2）商店若要获得最大利润，则每个定价增加多少元？获得的最大利润是多少？ 【答案】（1）每个定价为元，应进货个 （2）每个定价增加元时可获得最大利润，可获得的最大利润是元 【解析】 【分析】（1）设每个定价增加元，根据题意列一元二次方程，解方程求出的值，根据进货量较少，确定符合题意的的值，进而可得出答案； （2）设每个定价增加元，获得利润为元，可得，根据二次函数的性质求出的最大值即可得出答案． 【小问1详解】 解：设每个定价增加元， ∵每个进价为元，销售定价为元，可售出个；定价每增加元，销售量将减少个，准备获得利润元， ∴， 解得：，， ∵要使进货量较少， ∴每个定价为（元），应进货（个）． 答：每个定价为元，应进货个． 【小问2详解】 解：设每个定价增加元，获得利润为元， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 答：每个定价增加元时，可获得最大利润，最大利润是元． 22. 窑洞的历史可以追溯到四千多年前的龙山文化时期．在黄土高原上，先民们利用厚实的黄土层，开凿出一个个拱顶的窑洞，作为居住的场所．如图1是一个窑洞的拱形窑门，其顶部形状可视为抛物线的一部分，如图2，小奕以水平地面为轴、拱形窑门的左边缘所在直线为轴建立平面直角坐标系．经测量，拱形窑门的点处距离地面，窑洞最高处点与的水平距离为，距离水平地面．在窑洞上方有一个平行于地面的横梁，横梁距离地面． （1）求拱形窑门的顶部所在抛物线的表达式； （2）求横梁的长度． 【答案】（1） （2）横梁的长度为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）首先推导出抛物线的顶点坐标为，，设拱形窑门的顶部所在抛物线的表达式为，代入即可得解； （2）首先得到点C、D的纵坐标均为3.46，代入求得，，进一步解答即可得解． 【小问1详解】 解：由题意得，抛物线顶点的坐标为，， 设拱形窑门的顶部所在抛物线的表达式为， 将点的坐标代入，得， 解得， 该拱形窑门的顶部所在抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：将代入，得， 解得，． ， 答：横梁的长度为． 23. 如图，二次函数的图象与轴的交点坐标分别是，． （1）求a，c的值； （2）点在该函数的图象上，当时，有最大值3，求的值； （3）点，都在该函数的图象上，若且，求的取值范围． 【答案】（1）a，c的值分别为 （2）或2 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）分三种情况考虑即可； （3）利用求根公式表示抛物线上点的横坐标，按点与对称轴的位置分类，结合函数增减性确定代数式的取值范围． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与轴分别交于点，， ∴， 解得， 即a，c的值分别为； 【小问2详解】 解：抛物线的解析式为，其对称轴为直线，最大值为， 当时，；当时，； 当时，， 则当时，函数值随自变量的增大而增大， ∴， 解得（舍去）或； 当时，，函数值随自变量先增加后减小，从而在顶点处取得最大值4，不符合题意； 当时，函数值随自变量的增大而减小，此时函数当时取得最大值， ∴， 解得（舍去）或； 综上，满足题意的值为或2； 【小问3详解】 解：抛物线的对称轴为直线，最大值为4，且抛物线开口向下， 当时，则，， 作直线交抛物线于点，且在的左侧，如图，作直线交抛物线于点，且在的左侧， 令，解得或， ∴，， 令，解得或， ∴，， ∵， ∴点M在曲线段上，点N在曲线段或上， ①当点N在曲线段上时， 把，分别代入， 得， 两式相减，整理得， ∴， 当取得最小值时，取得最小值，当取得最大值时，取得最大值， 当点M在A处，点N在点处时，取得最小值，且最小值为，此时， 当点M在处，点N在点处时，取得最大值，且最大值为，此时， ∴； ②当点N在曲线段上，点M在A处，点N在点处时， 取得最大值，且为， 当点M在处，点N在点处时，取得最小值，且为， ∴； 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年人教版九年级上学期数学第一次学情检测 全卷共6页，23小题，考试时间120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，多选、错选、不选均不给分．） 1. 一元二次方程3x2＋1＝6x的一次项系数为6，二次项系数和常数项分别为（ ） A. 3，1 B. －3，－1 C. 3，－1 D. －3x2，－1 2. 用配方法解方程时，方程可变形为（ ） A. B. C. D. 3. “立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆约200人次，第三个月进馆约288人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可以是（ ） A. B. C. D. 5. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 7. 公路上行驶的汽车，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行才能停下来，若急刹车时汽车的行驶路程s（米）与时间t（秒）的函数关系式为，则下列说法正确的是（ ） A. 汽车滑行2秒时停止 B. 汽车可以滑行4秒后才停止 C. 滑行速度先变大后变小 D. 滑行的最远距离是30米 8. 已知二次函数的图象上有两点和，则的值等于（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 9. 设函数（a，h，k是常数，），当时，；当时，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图1，在矩形中，，动点以的速度自A点出发沿折线方向运动至D点停止，动点以的速度自A点出发运动至D点停止，若点同时出发，运动时间为秒，记的面积为，且s与之间的函数关系的图像如图2所示，则图像中的值为（ ） A. B. 3 C. D. 4 二、填空题（每小题3分，满分15分） 11. 已知二次函数 ，当 时，y的取值范围为________． 12. 关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、D分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象经过正方形顶点C，若点、，则_____． 14. 参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手21次，参加聚会的有__________人． 15. 如图，函数经过点，对称轴为直线；①；②；③；④若点、在抛物线上，则；⑤（m为任意实数），其中结论正确的有______． 三、解答题（需写出必要的解题过程，书写规范） 16. 解下列方程． （1） （2） （3）用公式法解方程： （4） 17. 关于x的方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围； （2）若，是方程的两根，且，求a的值． 18. 如图为二次函数的图象，试观察图象回答下列问题： （1）写出方程的解为________，________； （2）当时，直接写出的取值范围为________； （3）方程有实数根，的取值范围是________； （4）当时，直接写出的取值范围是________． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且． （1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式； （2）求点B的坐标； （3）观察图象，直接写出时，x的取值范围． 20. 如图，为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园，生态园一面靠墙，若墙长为，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长． （1）要围成生态园的面积为，请求出的长． （2）围成生态园的面积能否达到？请说明理由． 21. 某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为元，经市场预测，销售定价为元，可售出个；定价每增加元，销售量将减少个． （1）商店若准备获得利润元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？ （2）商店若要获得最大利润，则每个定价增加多少元？获得的最大利润是多少？ 22. 窑洞的历史可以追溯到四千多年前的龙山文化时期．在黄土高原上，先民们利用厚实的黄土层，开凿出一个个拱顶的窑洞，作为居住的场所．如图1是一个窑洞的拱形窑门，其顶部形状可视为抛物线的一部分，如图2，小奕以水平地面为轴、拱形窑门的左边缘所在直线为轴建立平面直角坐标系．经测量，拱形窑门的点处距离地面，窑洞最高处点与的水平距离为，距离水平地面．在窑洞上方有一个平行于地面的横梁，横梁距离地面． （1）求拱形窑门的顶部所在抛物线的表达式； （2）求横梁的长度． 23. 如图，二次函数的图象与轴的交点坐标分别是，． （1）求a，c的值； （2）点在该函数的图象上，当时，有最大值3，求的值； （3）点，都在该函数的图象上，若且，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $