精品解析：安徽芜湖市镜湖区芜湖荟萃中学2026-2027学年上学期九年级 数学教学质量诊断测试(一)

初三年级教学质量诊断测试（一） 数 学 注意事项：满分为150分，时间为120分钟． 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）． 1. 下列各式中，是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如（，为常数）的整式函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是分式，不是整式，不符合定义，该选项不符合题意； B、整理得，符合，符合二次函数定义，该选项符合题意； C、中x的最高次数为1，是一次函数，该选项不符合题意； D、中，一个x对应两个不同的y值，y不是x的函数，该选项不符合题意． 2. 一元二次方程的常数项是（ ） A. B. 1 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a、b、c是常数且），特别要注意的条件．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a、b、c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．据此作答即可． 【详解】解：一元二次方程化为一般形式为， 则常数项是， 故选：D． 3. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要是利用顶点式解析式写顶点的方法，需熟记． 根据二次函数的顶点式，顶点坐标为，直接读取给定抛物线的顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 故选：C． 4. 将抛物线向上平移，关于平移前后的抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口大小改变 B. 开口方向改变 C. 对称轴不变 D. 顶点位置不变 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与几何变换，熟练掌握二次函数的图象及平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质前后，图象形状不变，位置改变，结合平移方式和二次函数图象进行判断即可． 【详解】解：A． 将抛物线向上平移，抛物线的形状不变， ∴开口大小不改变，故A不符合题意； B．将抛物线向上平移，a的正负符号不变， ∴开口方向不改变，故B不符合题意； C．将抛物线向上平移，对称轴不变，故C符合题意； D．将抛物线向上平移，顶点坐标发生改变，故D不符合题意； 故选：C． 5. 下列关于的方程必有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式，通过计算每个方程的判别式，判断其是否恒非负，只有选项C的判别式恒大于零，因此必有实数根． 【详解】解：A、，∵，不恒成立； B、，∵，不恒成立； C、，∵，∴，恒成立； D、，∵，不恒成立． 故选：C． 6. 若二次函数的图象经过，，三点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据当时，y随x的增大而增大，即可得出答案． 【详解】解：， 图象的开口向上，对称轴是直线， 当时，y随x的增大而增大， 点关于直线的对称点为， ， ． 故选：A． 7. 秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，关键是根据传染模型正确列出方程．初始有人患流感，每轮传染中平均一个人传染人，经过两轮传染后总人数为，据此列方程． 【详解】解：设每轮传染中平均一人传染人． 初始患病人数为， 第一轮后患病人数为：， 第二轮新增患病人数为：， 两轮后总患病人数为：． 故选：B． 8. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过抛物线开口、对称轴、与坐标轴交点判断，，符号；利用抛物线对称性，把的函数值转移到；再将代入的函数不等式，化简判断的正负． 【详解】A：抛物线开口向下；对称轴为直线， 因为，所以； 因为抛物线与轴交于正半轴，所以； 所以，A正确． B：利用对称性：对称轴为直线，与关于对称． 从图像：时，， 所以时函数值同样小于，所以时，，正确． C：由对称轴，得，移项：，C正确． D：时，， 又， 代入：，D错误． 【点睛】二次函数图像题的关键：①开口定；对称轴判断关系式；轴交点定；②抛物线上关于对称轴对称的两点，函数值相等；③把用替换，可化简代数式，判断式子正负． 9. 对关于的一元二次方程，将其一次项系数变为相反数，得到方程，则称这两个方程为“共轭方程”．若为方程的根，为其共轭方程的根，其中为整数，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用方程根的定义得到两个等式，通过两式相减因式分解分情况讨论，结合已知条件求解k． 【详解】解：∵m是方程的根，n是方程的根， ∴，， 得， 因式分解得， 分两种情况： 当时，则， 代入，得， 解得（已检验）， 将代入①，得， 解得，不是整数，舍去． 当时，则， 代入，得，即 ，得． 由完全平方公式得． 将和③代入上式，得． 化简得，解得，符合整数条件． 10. 如图，在边长为4的菱形中，，动点P从点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止，过点P作的垂线交菱形的边于另一点Q，在点P运动的过程中，记的面积为y，点P运动的路程为x，则y与x之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形性质，以及点的运动情况分三种情况讨论，①当点P在边上，且点Q在边上，②当点P在边上，且点Q在边上，③当点P在边上，且点Q在边上，再结合解直角三角形的计算，直角三角形性质，以及三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：边长为4的菱形中，， ， ①当点P在边上，且点Q在边上，即时， 如图1，，，， 即图象为开口向上的抛物线； ②当点P在边上，且点Q在边上，即时， 如图2，，，， 即图象为直线； ③当点P在边上，且点Q在边上，即时， 如图3，， ，， ， ，，， 结合②可知，， ，即图象为开口向下的抛物线． 综上所述，y与x之间的函数图象大致是． 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】已知是一元二次方程的一个根，将根代入原方程即可求解的值． 【详解】解：把代入方程，得，解得． 12. 若抛物线有最高点，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线有最高点说明开口向下，二次项系数小于0，据此列不等式求解． 【详解】∵ 抛物线有最高点， ∴ 抛物线开口向下，二次项系数满足． 解不等式得． 13. 已知，是抛物线上两点，则正数__________． 【答案】 【解析】 【分析】已知两点纵坐标相等，都在抛物线上，将两点坐标代入抛物线解析式，得到关于的等式，分类讨论舍去不符合题意的，即可得到正数的值． 【详解】解：∵是抛物线上的点， ∴，整理得， ∴． ∵是抛物线上的点， ∴，整理得， ∴． 当时，若，得，不符合两点是不同点的条件，舍去； 若，得，不是正数，舍去． 当时，若，得，不符合条件，舍去； 若，得，符合正数要求． 综上，正数． 14. 已知抛物线经过点． （1）的值为__________； （2）若点为抛物线上一动点，作轴，交一次函数的图象于点，当时，的长度随的增大而增大，则的取值范围是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）将已知点坐标代入抛物线解析式，解方程即可得到的值； （2）先表示出点和点的坐标，得到长度关于的二次函数，根据二次函数的性质列出不等式求解的范围． 【详解】解：（1）将点代入抛物线得： 整理得，解得． （2）由得抛物线解析式为． ∵点在抛物线上， ∴的坐标为． ∵轴，交于点， ∴的坐标为． 如图，当在点上方时，长度随的增大而先减小后增大，不符合题意 ∴在点下方， ∴ 该二次函数二次项系数为，开口向下，因此在对称轴左侧随的增大而增大． 该二次函数的对称轴为， ∵当时，的长度随的增大而增大， ∴， 解得． 三．（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，计算根的判别式，代入求根公式求解． 【详解】解：对于方程，可得，， 解得：， 16. 已知抛物线经过点，它的对称轴是直线，求这条抛物线的函数表达式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据二次函数的对称性求函数值，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据“抛物线 经过点”得出，根据“对称轴是直线”得出，解方程组即可求解． 【详解】解∶∵抛物线 经过点，它的对称轴是直线， ∴， 解得， ∴． 四．（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 大自然是人类赖以生存发展的基本条件，尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．绿色是大自然的底色，我国坚持科学开展大规模国土绿化行动，不断扩大森林面积、提升森林质量．某校连续三年组织师生参加义务植树活动，植树量逐年增加，第一年共植树棵，第三年共植树棵．求该校植树棵数的年平均增长率． 【答案】该校植树棵数的年平均增长率为． 【解析】 【分析】设年平均增长率为未知数，根据第一年与第三年的植树量关系列方程，结合实际意义取舍根． 【详解】解：设该校植树棵数的年平均增长率为． 由题意得． 化简得． 解得，． ∵植树量逐年增加，增长率为正． ∴不符合题意，舍去． 答：该校植树棵数的年平均增长率为． 18. 已知关于的一元二次方程有两个不同的实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）一元二次方程有两个不等实数根，则判别式，代入系数列不等式求解范围； （2）利用韦达定理写出、，展开，代入得到关于的方程，解出后结合（1）的范围舍去不符合的解． 【小问1详解】 解：方程有两个不相等的实数根， ， ， ， 解得：． 【小问2详解】 解：根据一元二次方程根与系数的关系：， 展开： ， ， 将代入： ， ， ， ， 用求根公式： ， 由（1）知： ，满足； ，舍去， ． 五．（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，抛物线与轴交于点，顶点为，点在抛物线上，点的纵坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，交轴于点．若，求抛物线的解析式． 【答案】抛物线的解析式为  【解析】 【分析】通过配方法或对称轴公式​计算得到对称轴，因为抛物线与y轴交点的横坐标为0，代入解析式即可得到C点纵坐标．将顶点D的横坐标代入抛物线解析式，得到用参数a表示的D点纵坐标，确定D点坐标的含a表达式．因为点P纵坐标为2，可知Ｅ点纵坐标，求出抛物线与ｙ轴交点Ｃ的纵坐标，得到的长度，根据同底三角形面积比等于高的比列方程，求解得到a的值，即可确定抛物线解析式． 【详解】对抛物线， 令，得， ∴与y轴交点； 由对称轴公式，代入得对称轴为． ∵轴，且点P纵坐标为2， ∴线段上所有点的纵坐标都为2， ∵E是与y轴的交点， 故． ∵和共享底边， ∴面积比等于边上的高的比： 中，边的高是C到直线（）的距离：； 设顶点D的纵坐标为， ∵D在对称轴上， ∴， ∴中边的高是D到直线（）的距离： ． ∵​， ∴高的关系：，∴ 解得或（舍去）． ∴抛物线解析式． 20. 某农场要建一个大饲养场（矩形），两面靠墙，位置的墙最大可用长度为17米，位置的墙最大可用长度为12米，围成如图所示的矩形场地，每个场地留一个1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长34米．设木栏的长为米． （1）若饲养场面积为160平方米时，求的长； （2）饲养场面积能达到170平方米吗？若能，请求出的长，若不能，请说明理由． 【答案】（1）10米 （2）解：饲养场（矩形）的面积不能达到170平方米．理由如下： 设木栏的长为x米，则矩形的长米， 依题意，得：， 即， ∵， ∴没有实数根， ∴饲养场（矩形）的面积不能达到170平方米． 【解析】 【分析】（1）设木栏的长为x米，则矩形的长米，依题意，得：，解方程即可； （2）列出方程，根据一元二次方程根的判别式计算． 【小问1详解】 解：设木栏的长为x米，则矩形的长米， 依题意，得：， 即， 解得：，， 当时，，舍去， 当时，，同时，符合题意， 答：饲养场面积为160平方米时，此时边的长为10米． 【小问2详解】 解：略． 六．（本题满分12分） 21. 已知抛物线经过点． （1）求该抛物线的对称轴； （2）点和分别在抛物线和上（，与原点不重合）．当时，若是一个与无关的定值，求的值． 【答案】（1）该抛物线的对称轴为直线 （2）的值为 【解析】 【分析】（1）抛物线过原点与，两点都是轴交点，利用抛物线对称性，两个交点中点横坐标即为对称轴； （2）先把点坐标代入对应抛物线解析式，化简条件，设（定值），代入式子，令含项的系数为，即可求出． 【小问1详解】 解：抛物线， 当时，，， 解得或， 抛物线与轴交点为、． 因为，得， 对称轴． 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∴抛物线解析式：． 点在上：． 已知，且不与原点重合，， 交叉相乘：， 代入：， 两边同时除以：（）， 设定值，则，代入上式：， 整理：， 又是与无关的定值，说明式子对任意满足条件的恒成立， 则含的系数、常数项都必须等于： ， 由解得：，此时是定值，符合题意． 七．（本题满分12分） 22. 对于关于x的代数式，若存在实数m，使得当时，代数式的值也等于m，则称m为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． （1）关于x的代数式的不动值是________； （2）已知关于x的代数式． ①若此代数式仅有一个不动值，求a的值； ②若此代数式有两个不动值，且两个不动值的差为整数，直接写出正整数a的值． 【答案】（1）3或； （2）①；②或2 【解析】 【分析】（1）根据新定义，列出一元二次方程进行求解即可； （2）①根据新定义，列出一元二次方程，根据此代数式仅有一个不动值，得到方程有两个相等的实数根，进而根据判别式求出的值即可；②利用根与系数的关系进行求解即可. 【小问1详解】 解：由题意得，即， ， ，， 【小问2详解】 解：①由题意得， ， ∵仅有一个不动值， ，即， 整理得， ， ， 解得（不合题意，舍去）或， ； ②由题意得， 整理得， 设该方程的两个解分别为s，t， ，， ， 为整数， 为整数， ∵为正整数， ∴或2． 八．（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的表达式为．（t是常数） （1）若该抛物线可由抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到，求t的值． （2）已知该抛物线经过点，点抛物线上任意一点，恒有 ①若该抛物线经过点且时，判断和的大小关系并说明理由． ②若该抛物线经过点且，求证：． 【答案】（1） （2）①，理由见解析； ②证明：抛物线经过点且， 点是这条抛物线上不同的两点． ，． ． ， ， ， ． ． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的平移，二次函数的图像和性质，二次函数的最值； （1）根据二次函数的平移得到二次函数的解析式，然后根据二次函数的对应系数相等解答即可； （2）① 根据题意可得对称轴为直线，求出t值，得到抛物线的解析式，然后根据二次函数的增减性解答即可； ②把两点代入函数解析式，求出和的值，然后求和化为关于s的二次函数，根据二次函数的最值解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得， ，解得． 【小问2详解】 解：根据题意可知抛物线的对称轴是直线，解得． ∴抛物线的表达式为． ①，理由如下： ， ， ． ， ． ∴点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离． 又∵抛物线开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小 ． ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三年级教学质量诊断测试（一） 数 学 注意事项：满分为150分，时间为120分钟． 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）． 1. 下列各式中，是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的常数项是（ ） A. B. 1 C. 3 D. 3. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 4. 将抛物线向上平移，关于平移前后的抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口大小改变 B. 开口方向改变 C. 对称轴不变 D. 顶点位置不变 5. 下列关于的方程必有实数根的是（ ） A. B. C. D. 6. 若二次函数的图象经过，，三点，则（ ） A. B. C. D. 7. 秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 对关于的一元二次方程，将其一次项系数变为相反数，得到方程，则称这两个方程为“共轭方程”．若为方程的根，为其共轭方程的根，其中为整数，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在边长为4的菱形中，，动点P从点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止，过点P作的垂线交菱形的边于另一点Q，在点P运动的过程中，记的面积为y，点P运动的路程为x，则y与x之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值是______． 12. 若抛物线有最高点，则实数的取值范围是__________． 13. 已知，是抛物线上两点，则正数__________． 14. 已知抛物线经过点． （1）的值为__________； （2）若点为抛物线上一动点，作轴，交一次函数的图象于点，当时，的长度随的增大而增大，则的取值范围是__________． 三．（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 16. 已知抛物线经过点，它的对称轴是直线，求这条抛物线的函数表达式． 四．（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 大自然是人类赖以生存发展的基本条件，尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．绿色是大自然的底色，我国坚持科学开展大规模国土绿化行动，不断扩大森林面积、提升森林质量．某校连续三年组织师生参加义务植树活动，植树量逐年增加，第一年共植树棵，第三年共植树棵．求该校植树棵数的年平均增长率． 18. 已知关于的一元二次方程有两个不同的实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，满足，求的值． 五．（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，抛物线与轴交于点，顶点为，点在抛物线上，点的纵坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，交轴于点．若，求抛物线的解析式． 20. 某农场要建一个大饲养场（矩形），两面靠墙，位置的墙最大可用长度为17米，位置的墙最大可用长度为12米，围成如图所示的矩形场地，每个场地留一个1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长34米．设木栏的长为米． （1）若饲养场面积为160平方米时，求的长； （2）饲养场面积能达到170平方米吗？若能，请求出的长，若不能，请说明理由． 六．（本题满分12分） 21. 已知抛物线经过点． （1）求该抛物线的对称轴； （2）点和分别在抛物线和上（，与原点不重合）．当时，若是一个与无关的定值，求的值． 七．（本题满分12分） 22. 对于关于x的代数式，若存在实数m，使得当时，代数式的值也等于m，则称m为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． （1）关于x的代数式的不动值是________； （2）已知关于x的代数式． ①若此代数式仅有一个不动值，求a的值； ②若此代数式有两个不动值，且两个不动值的差为整数，直接写出正整数a的值． 八．（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的表达式为．（t是常数） （1）若该抛物线可由抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到，求t的值． （2）已知该抛物线经过点，点抛物线上任意一点，恒有 ①若该抛物线经过点且时，判断和的大小关系并说明理由． ②若该抛物线经过点且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $