精品解析：安徽省芜湖市华强中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

数学九年级（人教版）卷一 试题卷 注意事项： 1．本试卷共八大题23小题，满分150分．考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．考试范围：第章． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列等式中，一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是关于的二次函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程，此方程可化为（ ） A B. C. D. 4. 将二次函数配方化成形式是（ ） A. B. C. D. 5. 某地政府为推行“构建和谐社会，关注居民健康”的惠民政策，年度拨出专项经费万元用于辖区内所有社区居民血压、血脂、血糖检查，年度拨出专项经费万元．若专项经费年平均增长率为，则下列方程中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，两点在抛物线上，如果，那么下列结论一定成立的是（ ）． A. B. C. D. 7. 2025年9月3日，在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式中，某徒步方队由解放军官兵组成．该方队每横排的人数比每纵列人数的2倍少3人，加上走在方队前面的2名指挥员，一共352人，则方队每横排的人数为（ ） A. 25 B. 26 C. 28 D. 30 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图像可能是（ ） A. B. C. D. 9. 小明想制作一个“五角星”风筝，他通过上网查询风筝结构，其结构示意图如图所示，已知．若，则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 10. 如图所示的是二次函数的部分图像，图像过点且对称轴为直线．下列四个结论：①；②；③；④对于任意实数都成立，其中正确结论的个数为（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 抛物线的开口方向是向______（填“上”或“下”）． 12. 如图①是塔克拉玛干沙漠某处的抛物线形沙丘，若该抛物线形沙丘满足的函数关系式为（如图②），则沙丘最低点到最高点的垂直高度为___________． 13. 已知关于的一元二次方程，其中为的三条边的长度，如果方程有两个相等的实数根，则的度数为___________． 14. 已知二次函数（x取任意实数，） （1）当，且时，此函数值为___________． （2）已知两点都在该二次函数的图像上，则的取值范围是___________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程： （1）． （2）． 16. 已知抛物线经过点． （1）求抛物线的解析式． （2）求该抛物线的对称轴和顶点坐标． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，分别为，，且，求的值． 18 如图，同学们玩“摆石子”游戏，第1个图形有6个石子，第2个图形有10个石子，第3个图形有16个石子，第4个图形有24个石子，．．．，依此规律，回答下列问题． （1）第五个图形有___________个石子． （2）若第个图形有160个石子，求的值． （3）是否存在某个图形有216个石子，请说明理由． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知关于的一元二次方程，如果满足，那么我们称这个方程为“智慧方程”． （1）试判断一元二次方程是否为“智慧方程”． （2）已知关于的一元二次方程是“智慧方程”，且是这个方程的一个根，求的值． 20. 如图，在中，，，，点沿方向以的速度从点向点运动，同时点沿方向以的速度从点向点运动，当点运动到点时，点也停止运动． （1）设运动时间为时，则___________，___________． （2）当为何值时，的面积为． （3）求四边形面积的最小值． 六、（本题满分12分） 21. 如图，某农科所的工作人员准备在实验园区利用一段长的围墙，再围三面围栏，围成一个矩形试验田，现已备足长的围栏材料． （1）当长度是多少时，矩形试验田的面积为？ （2）能否围成面积为的矩形试验田？请说明理由． 七、（本题满分12分） 22. 已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两个根的3倍． 解：设所求方程的根为，则， 把代入，得，化简得， 这种利用方程的代换求新方程的方法称为“换元法”．请按照这种方法解决下列问题． （1）已知方程的两个根分别为和，求一个关于的方程，使得它的两个根分别为：，，则所求方程为___________（要求写成二次项系数为1，且为一般形式）． （2）已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的两个根与已知方程的两个根互为倒数． （3）已知关于一元二次方程的两个实数根分别为和，求关于的一元二次方程的两个实数根． 八、（本题满分14分） 23. 抛物线经过点，其中为常数． （1）若抛物线的对称轴为直线，求的值． （2）已知抛物线与轴的交点为，试比较与的大小． （3）若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学九年级（人教版）卷一 试题卷 注意事项： 1．本试卷共八大题23小题，满分150分．考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．考试范围：第章． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列等式中，一定是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐项判断即可，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：、当时，是关于的一元二次方程，所以原选项不符合题意； 、是分式方程，原选项不符合题意； 、是关于的一元二次方程，原选项符合题意； 、是分式方程，原选项不符合题意； 故选：． 2. 若是关于的二次函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的定义求解． 【详解】解：由题意得， 解得； 故选：C 【点睛】本题考查二次函数的定义，由二次函数定义建立不等式是解题的关键． 3. 用配方法解一元二次方程，此方程可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，根据配方法进行移项，配方即可得出选项，掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解： ∴， 故选：． 4. 将二次函数配方化成的形式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的一般式化为顶点式，利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 5. 某地政府为推行“构建和谐社会，关注居民健康”的惠民政策，年度拨出专项经费万元用于辖区内所有社区居民血压、血脂、血糖检查，年度拨出专项经费万元．若专项经费年平均增长率为，则下列方程中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设专项经费年平均增长率为，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设专项经费年平均增长率为， 根据题意得，， 故选：． 6. 已知，两点在抛物线上，如果，那么下列结论一定成立的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据抛物线解析式求得对称轴，根据开口方向可知当时，y随x的增大而增大，据此即可解答． 【详解】解：∵图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，y随x的增大而增大，， ∵，在抛物线上，， ∴． 故选：C． 7. 2025年9月3日，在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式中，某徒步方队由解放军官兵组成．该方队每横排的人数比每纵列人数的2倍少3人，加上走在方队前面的2名指挥员，一共352人，则方队每横排的人数为（ ） A. 25 B. 26 C. 28 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程实际应用，设每纵列的人数为x人，则每横排的人数为人，根据一共有352人建立方程求解即可． 【详解】解：设每纵列的人数为x人，则每横排的人数为人， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， ∴， ∴方队每横排的人数为25人， 故选：A． 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数，二次函数图象的性质，掌握函数图象的性质是解题的关键． 根据一次函数图象，二次函数中的正负与图象的关系是解题的关键． 【详解】解：当时，一次函数经过第一、二、三象限，二次函数的图象开口向上，与y轴交于正半轴，一次函数，二次函数同时过点，根据选项的图象可得A，B，C，D均不符合题意； 当时，一次函数经过第一、三、四象限，二次函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴，一次函数，二次函数同时过点，根据选项的图象可得A，B，C，D均不符合题意； 当时，一次函数经过第一、二、四象限，二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴，一次函数，二次函数同时过点，根据选项的图象可得A，C，D均不符合题意，B选项符合题意； 当时，一次函数经过第二、三、四象限，二次函数的图象开口向下，与y轴交于负半轴，一次函数，二次函数同时过点，根据选项的图象可得A，B，C，D均不符合题意； 故选：B ． 9. 小明想制作一个“五角星”风筝，他通过上网查询风筝结构，其结构示意图如图所示，已知．若，则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程与图形的综合，理解题意，掌握解一元二次方程的计算是关键． 根据题意得到，设，则，由此列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 设，则， ∴，整理得，， ∴， ∴（不符合题意，舍去），， ∴， 故选：D ． 10. 如图所示的是二次函数的部分图像，图像过点且对称轴为直线．下列四个结论：①；②；③；④对于任意实数都成立，其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解图示，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 根据图示，由二次函数图象得到：二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，与x轴有两个交点，与y轴交于负半轴，由此得到系数之间的关系，逐一判定即可． 【详解】解：二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，与x轴有两个交点，与y轴交于负半轴， ∴，对称轴直线， ∴， ∴，故①正确； ∵图像过点且对称轴为直线， ∴二次函数与x轴的另一个交点坐标为， ∴当时，，即，故②错误； 当时，，即， 又， ∴，故③错误； ∵二次函数图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，二次函数有最小值，即， ∴对于任意实数，都成立， ∴对于任意实数，都成立，故④正确； 综上所述，正确的有①④，共2个， 故选：B ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 抛物线的开口方向是向______（填“上”或“下”）． 【答案】下 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，对于二次函数（a是常数且），当时，二次函数开口向上，当时，二次函数开口向下，据此求解即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为，， ∴抛物线的开口方向是向下， 故答案为：下． 12. 如图①是塔克拉玛干沙漠某处的抛物线形沙丘，若该抛物线形沙丘满足的函数关系式为（如图②），则沙丘最低点到最高点的垂直高度为___________． 【答案】144 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的运用，掌握函数值的计算是关键． 根据题意，把点B代入计算得到h的值，再运用两点之间距离的计算方法即可求解． 【详解】解：抛物线形沙丘满足的函数关系式为，点在函数图象上， ∴， ∴沙丘最低点到最高点的垂直高度为， 故答案为：144 ． 13. 已知关于的一元二次方程，其中为的三条边的长度，如果方程有两个相等的实数根，则的度数为___________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，勾股定理逆定理判定定理的运用，理解一元二次方程有两个相等的实数根的含义是解题的关键． 根据一元二次方程有两个相等的实数根得到，结合勾股定理逆定理得到，由此得到是直角三角形，是斜边，即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程化为一般式得，， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∵为的三条边的长度， ∴， ∴，即， ∴是直角三角形，是斜边， ∴， 故答案为： ． 14. 已知二次函数（x取任意实数，） （1）当，且时，此函数值为___________． （2）已知两点都在该二次函数的图像上，则的取值范围是___________． 【答案】 ①. 48 ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握函数值的计算，二次函数对称轴直线，增减性的判定方法是解题的关键． （1）把代入计算即可； （2）根据二次函数解析式得到对称轴直线为，由对称轴直线的计算方法解得，，由此得到，代入得到关于的二次函数，由二次函数图象的增减性即可求解． 【详解】解：（1）二次函数（x取任意实数，），， ∴； （2）二次函数对称轴直线为， ∵两点都在该二次函数的图像上， ∴， 解得，， ∴， 当时，， ∵， ∴关于的函数图象开口向上，对称轴直线为， ∵， ∴点随的增大而增大， 当时，有最小值，最小值为，当时，有最大值，最大值为， ∴的取值范围是； 故答案为：①；② ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握直接开方法，因式分解法的计算是关键． （1）移项，直接开方即可求解； （2）移项，因式分解即可求解． 【小问1详解】 解： 移项，合并同类项得，， ∴， 直接开方得，， ∴原方程的解为． 【小问2详解】 解：， 移项得，， 提取公因式得，， ∴或， 解得，． 16. 已知抛物线经过点． （1）求抛物线的解析式． （2）求该抛物线的对称轴和顶点坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为． （2）抛物线的对称轴为，顶点坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数，掌握待定系数法，二次函数顶点式的计算是关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）将二次函数化为顶点式即可求解． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为，抛物线经过点， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，分别为，，且，求的值． 【答案】的值为或 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，运用完全平方公式变形，得到，再解一元二次方程即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∵， ∴，整理得，， 解得，， 当时，原一元二次方程为，则，符合题意； 当时，原一元二次方程为，则，符合题意； ∴的值为或． 18. 如图，同学们玩“摆石子”游戏，第1个图形有6个石子，第2个图形有10个石子，第3个图形有16个石子，第4个图形有24个石子，．．．，依此规律，回答下列问题． （1）第五个图形有___________个石子． （2）若第个图形有160个石子，求的值． （3）是否存在某个图形有216个石子，请说明理由． 【答案】（1）34 （2）的值为 （3）不存在，理由见详解 【解析】 【分析】本题主要考查图形规律，理解图示，找出规律是解题的关键． （1）根据图示，由图的序号与图形中的石子数量得到第5个图形有个石子，由此即可求解； （2）结合（1）中的数量关系得到第个图形有（个）石子，由此列式求解即可； （3）结合（2）中的数量关系方程求解即可． 【小问1详解】 解：第1个图形有6个石子，， 第2个图形有10个石子，， 第3个图形有16个石子，， 第4个图形有24个石子，， ∴第5个图形有个石子， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据（1）可得，第个图形有（个）石子， ∴，整理得，， 因式分解得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴的值为； 【小问3详解】 解：不存在，理由如下， 根据题意得到，整理得，， ∵， ∴， ∵是无理数， ∴不存在某个图形有216个石子． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知关于的一元二次方程，如果满足，那么我们称这个方程为“智慧方程”． （1）试判断一元二次方程是否为“智慧方程”． （2）已知关于的一元二次方程是“智慧方程”，且是这个方程的一个根，求的值． 【答案】（1）一元二次方程是“智慧方程” （2）的值为或 【解析】 【分析】本题主要考查定义新运算，一元二次方程，理解“智慧方程”的定义，解一元二次方程的方法是关键． （1）根据“智慧方程”的定义判定即可； （2）根据“智慧方程”的定义得到，根据是这个方程的一个根得到，，根据解一元二次方程的方法得到的值，代入验证即可． 【小问1详解】 解：一元二次方程中，， ∴， ∴一元二次方程是“智慧方程”； 【小问2详解】 解：一元二次方程是“智慧方程”， ∴， ∴， ∵是这个方程的一个根， ∴，， ∴，， 关于b的一元二次方程因式分解得，， 解得，， 当时，，则，符合题意； 当时，，则，符合题意； ∴的值为或． 20. 如图，在中，，，，点沿方向以的速度从点向点运动，同时点沿方向以的速度从点向点运动，当点运动到点时，点也停止运动． （1）设运动时间为时，则___________，___________． （2）当为何值时，的面积为． （3）求四边形面积的最小值． 【答案】（1）， （2）当或时，的面积为 （3）当时，四边形面积的最小值，最小面积为 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，动点的计算，二次函数图象的性质，一元二次方程的应用，理解图示中动点的运用，二次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据勾股定理得到，根据点的运动，线段长度的计算即可求解； （2）结合（1）的计算，根据面积公式计算即可； （3）根据题意，，，则，由此列式，结合二次函数图象的性质即可求解． 【小问1详解】 解：在中，，，， ∴， 点沿方向以的速度从点向点运动，同时点沿方向以的速度从点向点运动， 设运动时间为， ∴，， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：根据题意，点从的时间为，点从的时间为， 由面积公式得，， 整理得，， 解得，， ∴当或时，的面积为； 【小问3详解】 解：，， ∴ ， ∵， ∴当时，四边形面积的最小值，最小面积为． 六、（本题满分12分） 21. 如图，某农科所的工作人员准备在实验园区利用一段长的围墙，再围三面围栏，围成一个矩形试验田，现已备足长的围栏材料． （1）当长度是多少时，矩形试验田的面积为？ （2）能否围成面积为的矩形试验田？请说明理由． 【答案】（1）当时，矩形试验田的面积为 （2）矩形试验田的面积不能为 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系，掌握解一元二次方程的方法是关键． （1）根据题意，设，则，由面积公式列方程，解一元二次方程即可； （2）根据面积公式列方程，由一元二次方程的判别式即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴设，则， ∴，整理得，， 解得，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴当时，矩形试验田的面积为； 【小问2详解】 解：根据题意，，整理得，， ∵， ∴原方程无解， ∴矩形试验田的面积不能为． 七、（本题满分12分） 22. 已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两个根的3倍． 解：设所求方程的根为，则， 把代入，得，化简得， 这种利用方程的代换求新方程的方法称为“换元法”．请按照这种方法解决下列问题． （1）已知方程的两个根分别为和，求一个关于的方程，使得它的两个根分别为：，，则所求方程为___________（要求写成二次项系数为1，且为一般形式）． （2）已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的两个根与已知方程的两个根互为倒数． （3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，求关于的一元二次方程的两个实数根． 【答案】（1） （2）所求方程为 （3）关于的一元二次方程的两个实数根为 【解析】 【分析】本题主要考查了定义新运算，一元二次方程的计算，理解定义新运算的概念及计算，掌握解一元二次方程的方法是关键． （1）根据题意得到，结合题意的计算即可求解； （2）令方程的根为，设所求方程的根为，结合题意的计算即可求解； （3）根据题意变形得到关于的一元二次方程为，结合题意的计算即可求解． 【小问1详解】 解：关于的方程，两个根分别为：，， ∴， 关于的方程的两个根分别为和， ∴， 解得，， ∴所求方程为， 故答案：； 【小问2详解】 解：令方程的根为，设所求方程的根为， ∴，则， ∴， 整理得，，即， ∴所求方程为； 【小问3详解】 解：关于的一元二次方程变形得， ， 由（2）可知，关于的一元二次方程与关于的一元二次方程的两根互为倒数， ∴与互为倒数或与互为倒数， ∴或， 解得，或， ∴关于的一元二次方程的两个实数根为． 八、（本题满分14分） 23. 抛物线经过点，其中为常数． （1）若抛物线的对称轴为直线，求的值． （2）已知抛物线与轴的交点为，试比较与的大小． （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）当时，；当时， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握对称轴直线，顶点坐标的计算，函数值的计算，待定系数法的计算是关键． （1）根据抛物线对称轴的计算方法求解即可； （2）根据二次函数图象开口，对称轴直线，顶点坐标，二次函数与y轴交点特点分类判定即可； （3）运用待定系数法得到抛物线解析式，把顶点坐标代入得到，结合题意即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线经过点， ∴二次函数对称轴直线为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴； 【小问2详解】 解：∵抛物线的对称轴为， ∴点为抛物线的顶点坐标， ∴当时，抛物线图象开口向上，对称轴在y轴右侧， ∵， ∴； 当时，抛物线图象开口向下，对称轴在y轴右侧， ∵， ∴； 综上所述，当时，；当时，； 【小问3详解】 解：抛物线经过点， ∴， 解得，， ∴抛物线解析式为， 化为顶点式得，， ∵点为抛物线的顶点坐标， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $