精品解析：安徽省宣城市皖东南初中四校 2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026－2027学年度九年级第一次学情调研－数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断二次函数的核心是最高次项次数为且二次项系数不为． 【详解】解：选项，未明确，当时不是二次函数； 选项，的最高次项次数为，是一次函数； 选项，，最高次项次数为，是一次函数； 选项，符合二次函数的要求． 2. 对于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线与x轴有两个交点 C. 抛物线的对称轴是直线 D. 抛物线的顶点坐标是 【答案】B 【解析】 【分析】借助抛物线顶点式直接得到顶点坐标、对称轴与开口方向，无需展开即可判断与轴的交点情况． 【详解】解：抛物线是二次函数的顶点式， ∵二次项系数， ∴抛物线开口向上，故A正确，该选项不符合题意； ∵抛物线为顶点式， ∴对称轴是直线，顶点坐标为，故C、D正确，这两个选项均不符合题意； ∵抛物线开口向上，顶点纵坐标为， ∴抛物线与轴没有交点，故B错误，该选项符合题意． 3. 黄山毛峰产于黄山一带，是安徽最具代表性的绿茶之一．新茶上市以来深受市场欢迎，某网上专卖店第一天销售额为元，之后每天销售额按相同的增长率增长，第三天的销售额为元．设增长率为，则关于的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式是解题的关键．根据第一天销售额为元，之后每天销售额按相同的增长率x增长，第三天的销售额为元列出关于的函数关系式即可． 【详解】解：根据题意可知：， 故选C 4. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则抛物线的顶点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了抛物线与一元二次方程的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式和二次函数的顶点坐标公式． 先求出抛物线的顶点坐标，再利用方程有两个不等实根的条件得到m的范围，从而确定顶点纵坐标的符号，结合横坐标的符号判断象限． 【详解】解：∵ 抛物线的顶点横坐标， ∴ 顶点纵坐标． ∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴ 判别式，即， ∴ ． ∴ 顶点坐标为 ，其中 ，， ∴ 顶点在第三象限． 故选：C． 5. 将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，根据二次函数图像平移规律“左加右减，上加下减”进行计算即可求解．根据抛物线的函数表达式可知：抛物线的顶点坐标是，根据抛物线平移的方向和距离，可知平移后的抛物线的顶点是，利用顶点坐标式写出平移后的抛物线的函数表达式即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位， 得到的新抛物线的顶点坐标是， 平移后的抛物线的函数表达式是， 整理可得：． 故选：B． 6. 如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】延长交y轴于D，则四边形为矩形．根据反比例函数系数k的几何意义，得出，，则四边形的面积． 【详解】解：如图，延长交y轴于D，则四边形为矩形． ∵点在双曲线上，点在双曲线上， ∴，， ∴四边形的面积． 7. 已知关于x的二次函数的图象与x轴有两个交点，则关于x的一次函数与反比例函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质以及反比例函数的图象与性质，先通过二次函数的图象确定a、b、c的正负，然后确定一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解． 【详解】解：当时，抛物线的开口向下，对称轴为y轴，与y轴正半轴交于一点， 即，，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴反比例函数的图象经过第二、四象限．C选项符合题意 当时，抛物线的开口向上，对称轴为y轴，与y轴负半轴交于一点， 即，， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴反比例函数的图象经过第一、三象限． 故选：C． 8. 已知函数的自变量与函数值之间满足下列表格中的数量关系，那么的值为（　　） A. 1 B. 1 C. 9 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系． 由抛物线经过可得抛物线的对称轴，从而可得的值，再由抛物线的对称性及点可得的值，进而求解． 【详解】解：抛物线经过， 抛物线对称轴为直线， ， 抛物线经过，对称轴为直线， 抛物线经过，即， ， 故选：A． 9. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：（ ） ① ②当时，； ③若且，则； ④若，则； 其中正确的个数有（ ）个 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由二次函数的图象和对称轴可得，，，即可判定①；由二次函数的性质可判定②；由二次函数的对称性可判定③；求出点坐标，得到，即得，再把代入得到，即得可判定④，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：①∵抛物线开口向下，与轴的正半轴交于点， ∴，， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，故①错误； ②∵抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴时，函数取最大值，最大值， ∴当时，有， 即，故②正确； ③当且时，则直线和直线关于对称轴对称， ∴，即，故③错误； ④当时，， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确结论的有个， 故选：． 10. 某电子游戏中，角色所处地形的高度（单位：米）与水平坐标（单位：米）满足，其中m为常数，且．已知角色位于水平坐标时，地形高度低于海平面（即）；那么当角色位于水平坐标时，地形高度满足（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】抛物线的二次项系数大于0，则抛物线开口向上，且当时，，可知抛物线与轴有2个不同的交点，求出对称轴与抛物线与轴的交点后即可画出抛物线的草图，结合对称轴和抛物线与轴的交点可知的范围，进而确定与的范围，再根据抛物线的增减性即可判断时，与的大小关系． 【详解】解：∵，， ∴对称轴是直线，时，，抛物线开口向上， 又当时，， ∴设为的两个根，作抛物线图象如下： 则 故由对称性， ∵当时，， ∴， ∴， 又当时，随的增大而减小， ∴当时，． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 关于的方程的解是__． 【答案】1 【解析】 【分析】通过去分母，移项、合并同类项解方程即可． 【详解】， 去分母，得， 移项、合并同类项，得． 故答案是：1． 【点睛】本题考查了解一元一次方程．解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化． 12. 某校航模兴趣小组共有位同学，他们的年龄分布如表： 年龄/岁 人数 5 由于表格污损，和岁人数不清，则关于年龄的统计量：平均数、中位数、方差、众数其中可以确定的统计量是______． 【答案】中位数，众数 【解析】 【分析】一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，若数据的个数是奇数，则中间位置的数就是这组数据的中位数；若数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；而一组数据中出现次数最多的那个数就是众数． 【详解】解：一共有人，中位数是从小到大排列后处在第、位两个数的平均数，而岁的有人，岁的有人，因此从小到大排列后，处在第、位两个数都是岁，因此中位数是岁，不受岁，岁人数的影响；因为岁有人，而岁的有人，岁、岁共有人，因此众数是岁；因此可以确定的统计量是中位数、众数． 13. 如图，已知正比例函数（为常数，）与反比例函数图象的交点坐标分别为、，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用反比例函数的解析式求出点的坐标，利用反比例函数和正比例函数的性质，得出点关于原点对称，求出，即可求解． 【详解】解：将代入得， ， ∴， ∵反比例函数图象关于原点对称，直线关于原点对称， ∴点关于原点对称， ∴， ∴． 14. 当时，抛物线取得最大值4，并且抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A、B． （1）直接写出抛物线的解析式______． （2）对于二次函数图象上的两点，当，时均满足，请结合函数图象，直接写出t的取值范围______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）利用顶点式设抛物线，代入C点求系数，化为一般式；（2）根据二次函数开口向下的性质和对称性，确定满足条件的所在区间，列不等式组求解即可得出的范围． 【详解】解：（1）∵时抛物线取得最大值 ∴抛物线顶点坐标为 设抛物线解析式为， ∵抛物线过点， 代入得， 解得， 展开得， ∵抛物线的解析式为， ∴，开口向下，对称轴为直线． 设关于直线的对称点横坐标为， 由对称轴是两点横坐标的平均数可得： ， 解得． 当与时，函数的函数值相等． 抛物线开口向下，在这个范围内，所有点对应的函数值都大于或等于处的函数值； 当时，所有点对应的函数值都小于或等于处的函数值． ∵在范围内的每一个，都要满足． ∴的取值范围整体落在与之间，区间左端点不能小于，区间右端点不能大于． ∴ 解不等式，得， 解不等式，得． 的取值范围是． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 16. 已知抛物线的对称轴是直线，且经过点和，求抛物线的函数表达式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法确定二次函数表达式，先由抛物线性质设抛物线的函数表达式为，再将和代入二次函数表达式解二元一次方程组即可得到答案，熟练掌握待定系数法确定二次函数表达式的方法是解决问题的关键． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 设抛物线的函数表达式为， 抛物线经过点和， ， 解得， 抛物线的函数表达式为． 四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 为检测一种玩具气球的质量情况，需往气球里充满一定量的气体，当温度不变时，气球里的气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）求反比例函数的表达式；（不用写自变量取值范围） （2）若气球内气体的压强不能超过，为安全起见，则其体积要控制在什么范围? 【答案】（1） （2）气体的体积应不小于 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的应用． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）把代入（1）中的函数解析式，求出，根据反比例函数的增减性进行解答即可 【小问1详解】 解：设，由题意知 ，即； 【小问2详解】 当时，． 在第一象限，随的增大而减小， 当时，， 为了安全起见，气体的体积应不小于． 18. 已知二次函数和一次函数． （1）在给出的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象； （2）结合图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1） 两个函数的图象如图所示： （2）或 【解析】 【分析】此题考查了画二次函数和一次函数的图象、根据图象解不等式等知识． （1）利用列表、描点、连线的步骤画图象即可； （2）根据图象的位置关系写出答案即可． 【小问1详解】 解：列表： 函数 0 2 4 6 7 7 1 【小问2详解】 由图象可知，函数与函数的图象交于点（和， 当或时，函数的图象在函数的图象上方， 不等式的解集为或． 五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，等腰直角三角形中，；是角平分线，交于．求证：． 【答案】证明：连接，设相交于点， ∵是角平分线，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【解析】 【分析】由是角平分线和可证，得，从而可证，得，，结合可得是等腰直角三角形即可得证． 【详解】略 20. 如图，已知抛物线y=－x2－x+2与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C． (1)求点A，B，C的坐标； (2)点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积. 【答案】（1）点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0），点C坐标（0，2）． （2）以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积 ． 【解析】 【详解】试题解析： 令得 或 ∴点坐标点坐标 令，得，∴点坐标 （2）由图象可知只能为平行四边形的边， 对称轴 ∴点的横坐标为或， ∴点E坐标或，此时点. ∴以为顶点的平行四边形的面积 六、（本题满分12分） 21. 如图，在一个的正方形网格中，每个小正方形边长都为1个单位长，我们把顶点都在格点上的三角形称为格点三角形，图中的就是一个格点三角形． （1）的面积为______平方单位； （2）请用无刻度直尺在网格中作图（保留作图痕迹）； ①如图，作边上的高； ②如图，在边上找一点E，连接，使和的面积相等； ③如图，作格点，使和的面积相等；（作出一个即可） （3）图中与全等的格点三角形（不包括）可作出______个（只填结果，不作图）． 【答案】（1）9.5 （2）①如图，线段即为所求； ②如图，线段即为所求； ③如图，即为所求； （3）47 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质，找到的格点Q，连接交于点，则即为所求； （2）①取格点R，连接交于点D，由网格特点得到，即是边上的高； ②取格点Q，W，连接交于点E，连接，由网格特点得到点E是中点，即是的中线，即可得到和的面积相等； ③取格点P，连接，，由可得和的面积相等； （3）根据网格的特点找到12个三角形，进而根据轴对称的性质可得47个与之全等的三角形，即可求解． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，将上下左右平移可得个与之全等的三角形， 由（2）可得，同理通过平移可得个与全等的三角形， 综上所述有个三角形， 根据网格的特点，是的网格，共有4条对称轴， ∴与全等的格点三角形（不包括），可作出个． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在凸四边形中，O为边的中点，，，于点E． （1）求证： （2）若，设，，求y关于x的函数解析式（顶点式） 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵O为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由，O为边的中点，可得，再由，可得垂直平分，即可证明结论； （2）由（1）可知，，，，可得，是的中位线，则，则，再由，可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵O为边的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，，在中，， ∴， ∴， 整理得， ∴y关于x的函数解析式（顶点式）为． 八、（本题满分14分） 23. 已知二次函数． （1）函数图像过原点，求此时的顶点坐标； （2）无论a为何值，函数图像恒过定点，求此定点坐标； （3）当时，对于每一个x的值，始终成立，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）由函数图像过原点，可得，则，代入函数解析式即可求解； （2）整理二次函数解析式为，根据无论a为何值，函数图像恒过定点，可得，即可求解； （3）由，可得，令，可得函数对称轴是直线，再分和两种情况，即可求解． 【小问1详解】 解：∵函数图像过原点， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， ∴顶点坐标为． 【小问2详解】 解：∵二次函数， ∵无论a为何值，函数图像恒过定点， ∴， 解得，， 当时，， 当时，， ∴定点为，． 【小问3详解】 解：∵， ∴，即， 令， 当时， ∵的对称轴是直线，开口向上， ∴在范围，随增大而增大，又恒成立， ∴时，， ∴， ∴； 当时， ∵的对称轴是直线，开口向下， ∴在范围，随增大而减小，又恒成立， ∴时，， ∴， ∴； 综上所述，a的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年度九年级第一次学情调研－数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 对于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线与x轴有两个交点 C. 抛物线的对称轴是直线 D. 抛物线的顶点坐标是 3. 黄山毛峰产于黄山一带，是安徽最具代表性的绿茶之一．新茶上市以来深受市场欢迎，某网上专卖店第一天销售额为元，之后每天销售额按相同的增长率增长，第三天的销售额为元．设增长率为，则关于的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则抛物线的顶点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 7. 已知关于x的二次函数的图象与x轴有两个交点，则关于x的一次函数与反比例函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的自变量与函数值之间满足下列表格中的数量关系，那么的值为（　　） A. 1 B. 1 C. 9 D. 3 9. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：（ ） ① ②当时，； ③若且，则； ④若，则； 其中正确的个数有（ ）个 A. B. C. D. 10. 某电子游戏中，角色所处地形的高度（单位：米）与水平坐标（单位：米）满足，其中m为常数，且．已知角色位于水平坐标时，地形高度低于海平面（即）；那么当角色位于水平坐标时，地形高度满足（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 关于的方程的解是__． 12. 某校航模兴趣小组共有位同学，他们的年龄分布如表： 年龄/岁 人数 5 由于表格污损，和岁人数不清，则关于年龄的统计量：平均数、中位数、方差、众数其中可以确定的统计量是______． 13. 如图，已知正比例函数（为常数，）与反比例函数图象的交点坐标分别为、，则的值为________． 14. 当时，抛物线取得最大值4，并且抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A、B． （1）直接写出抛物线的解析式______． （2）对于二次函数图象上的两点，当，时均满足，请结合函数图象，直接写出t的取值范围______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： 16. 已知抛物线的对称轴是直线，且经过点和，求抛物线的函数表达式． 四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 为检测一种玩具气球的质量情况，需往气球里充满一定量的气体，当温度不变时，气球里的气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）求反比例函数的表达式；（不用写自变量取值范围） （2）若气球内气体的压强不能超过，为安全起见，则其体积要控制在什么范围? 18. 已知二次函数和一次函数． （1）在给出的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象； （2）结合图象，直接写出不等式的解集． 五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，等腰直角三角形中，；是角平分线，交于．求证：． 20. 如图，已知抛物线y=－x2－x+2与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C． (1)求点A，B，C的坐标； (2)点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积. 六、（本题满分12分） 21. 如图，在一个的正方形网格中，每个小正方形边长都为1个单位长，我们把顶点都在格点上的三角形称为格点三角形，图中的就是一个格点三角形． （1）的面积为______平方单位； （2）请用无刻度直尺在网格中作图（保留作图痕迹）； ①如图，作边上的高； ②如图，在边上找一点E，连接，使和的面积相等； ③如图，作格点，使和的面积相等；（作出一个即可） （3）图中与全等的格点三角形（不包括）可作出______个（只填结果，不作图）． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在凸四边形中，O为边的中点，，，于点E． （1）求证： （2）若，设，，求y关于x的函数解析式（顶点式） 八、（本题满分14分） 23. 已知二次函数． （1）函数图像过原点，求此时的顶点坐标； （2）无论a为何值，函数图像恒过定点，求此定点坐标； （3）当时，对于每一个x的值，始终成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $