精品解析：天津经济技术开发区第一中学2026-2027学年度第一学期九年级阶段练习一（数学）

天津经济技术开发区第一中学2026-2027学年度第一学期九年级阶段练习一（数学） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分． 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将绕点O顺时针旋转变为，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 最大值为 D. 顶点坐标是 5. 对于反比例函数，下列说法正确的是 A. 图象经过点（1，﹣3） B. 图象在第二、四象限 C. x＞0时，y随x的增大而增大 D. x＜0时，y随x增大而减小 6. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 小明利用二次函数的图象估计方程x2－2x－2＝0的近似解，如表是小明探究过程中的一些计算数据．根据表中数据可知，方程x2－2x－2＝0必有一个实数根在( ) x 1.5 2 2.5 3 3.5 x2－2x－2 －2.75 －2 －0.75 1 3.25 A. 1.5和2之间 B. 2和2.5之间 C. 2.5和3之间 D. 3和3.5之间 8. 若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 电影《哪吒》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 10. 在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，D，E是斜边上两点，且，将绕点A顺时针旋转后，得到，连接．则下列结论不正确的是（ ） A. B. 为等腰直角三角形 C. 平分 D. 12. 四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为________． 14. 如图，一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形．建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为，当水面离桥拱顶点的高度为时，水面的宽度为___________． 15. 抛物线向下平移1个单位，再向右平移3个单位后的解析式是___________． 16. 抛物线与x轴只有一个公共点，则m的值为________． 17. 如图，在矩形中，，点为边上的一个动点，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．当点落在边上时，的度数为__________；当线段的长度最小时，的度数为__________． 18. 如图，在每个小正方形的边长为的网格中，四边形的顶点，，均在格点上，点是小正方形一边的中点． （1）线段的长为__________； （2）在如图所示的网格中，是边上一点，且满足，请用无刻度的直尺，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）________________________________________________________________________． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1）．（配方法） （2）．（因式分解法） 20. 如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，得到△ADC，连接OD，OA． （1）求∠ODC的度数； （2）试判断AD与OD的位置关系，并说明理由； （3）若OB＝2，OC＝3，求AO的长（直接写出结果）． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，点为二次函数图象的顶点，点在轴上． （1）求二次函数的解析式； （2）根据图象，求二次函数的函数值小于时，自变量的取值范围． 22. 某同学要利用长为24m的篱笆围成一个长方形花圃，形状如图，一边靠墙（墙的最大可用长度为9m），中间隔有一道篱笆，设AB长为x米，围成的花圃面积为S平方米． （1）求S关于x的函数解析式；并写出自变量x的取值范围． （2）当AB多长时，围成的花圃有最大面积？最大面积是多少？ 23. 为了预防“甲型”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为，请你根据题中提供的信息，解答下列问题： （1）药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？ （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能进入教室？ （3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于且持续时间不低于时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？ 24. 将两个等腰直角三角形纸片和放在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，，，，并将会绕点O顺时针旋转． （Ⅰ）当旋转至如图①的位置时，，求此时点C的坐标； （Ⅱ）如图②，连接，当旋转到y轴的右侧，且点B，C，D三点在一条直线上时，求的长； （Ⅲ）当旋转到使得的度数最大时，求的面积（直接写出结果即可）． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，对称轴为直线，点的坐标为． （1）该抛物线的表达式为_______________； （2）点为抛物线上一点（不与点重合），连接．当时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，点，是轴上的两个动点，点在点左侧且，当四边形周长取得最小值时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津经济技术开发区第一中学2026-2027学年度第一学期九年级阶段练习一（数学） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分． 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形即可判断出． 【详解】解：A项图形绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形； B项图形绕中心旋转后能与原图形重合，是中心对称图形； C项图形绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形； D项图形绕中心旋转后不能与原图形重合，不是中心对称图形． 2. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将各选项函数化为最简形式，再依据二次函数的定义判断是否符合条件． 【详解】解：A、，自变量的最高次项为一次，不是二次函数，不符合题意； B、含分式，不是二次函数，不符合题意； C、，是二次函数，符合题意； D、，自变量的最高次项为一次，不是二次函数，不符合题意． 3. 如图，将绕点O顺时针旋转变为，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．结合旋转的性质可得，即可得出答案． 【详解】解：∵将绕点O顺时针旋转变为， ∴，故B，C，D选项正确，不符合题意，选项A不正确，符合题意． 故选：A． 4. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 最大值为 D. 顶点坐标是 【答案】D 【解析】 【详解】解：， ， 抛物线开口向下，A错误； 由顶点式可得，对称轴为直线，B错误；顶点坐标为，D正确； 抛物线开口向下， 函数最大值为，C错误； 故选：D． 5. 对于反比例函数，下列说法正确的是 A. 图象经过点（1，﹣3） B. 图象在第二、四象限 C. x＞0时，y随x的增大而增大 D. x＜0时，y随x增大而减小 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据反比例函数的性质得出函数增减性以及所在象限和经过的点的特点分别分析： A、∵反比例函数，∴当x=1时，y=3≠﹣3，故图象不经过点（1，﹣3），故此选项错误； B、∵k＞0，∴图象在第一、三象限，故此选项错误； C、∵k＞0，∴x＞0时，y随x的增大而减小，故此选项错误； D、∵k＞0，∴x＜0时，y随x增大而减小，故此选项正确． 故选D． 6. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限． 【详解】解：原方程 展开并整理为标准形式： 其中 ，，． ∴，． ∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限． 故选：C． 7. 小明利用二次函数的图象估计方程x2－2x－2＝0的近似解，如表是小明探究过程中的一些计算数据．根据表中数据可知，方程x2－2x－2＝0必有一个实数根在( ) x 1.5 2 2.5 3 3.5 x2－2x－2 －2.75 －2 －0.75 1 3.25 A. 1.5和2之间 B. 2和2.5之间 C. 2.5和3之间 D. 3和3.5之间 【答案】C 【解析】 【详解】由表格得：2.5＜x＜3时，-0.75＜y＜1，二次函数y= x2－2x－2与x轴必有一个交点在2.5到3之间，所以x2－2x－2＝0必有一个实数根在2.5到3之间. 故选C. 点睛：要判断一元二次方程的实数根落在哪个范围内，即要判断二次函数与x轴的交点落在哪个范围，先判断出y=0落在哪两个y值之间，那么与x轴的交点落在两个y值对应的x值之间，即可确定出方程的实数根在哪两个数之间. 8. 若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值的大小关系，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， ∵点都在反比例函数的图象上，且， ∴； 故选D． 9. 电影《哪吒》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，需根据增长率模型逐日计算票房并累加得到前三天的总和．据此列出方程即可． 【详解】解：将增长率记作，则： 第一天票房约为2亿元； 第二天票房为亿元； 第三天票房为亿元； 前三天的累计票房为：． 故选：D． 10. 在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题可先由一次函数图象与二次函数的图象分别求出对应的a，b的范围，再相比较看是否一致即可． 【详解】解：观察一次函数的图象得：，由次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； B、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； C、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，有可能，故本选项符合题意； D、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 11. 如图，在中，，D，E是斜边上两点，且，将绕点A顺时针旋转后，得到，连接．则下列结论不正确的是（ ） A. B. 为等腰直角三角形 C. 平分 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知和旋转的性质可判断A项，进一步可判断C项；利用可证明，可得，根据三角形三边关系和等量代换即可判断D选项，容易证明是直角三角形，但是、不一定相等，所以、不一定相等，由此可判断B项，于是可得答案． 【详解】解：∵绕点A顺时针旋转后，得到， ∴，，，， ∵， ∴，所以A正确，不符合题意； ∴， ∴平分，所以C正确，不符合题意； ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 所以D正确，不符合题意； 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为直角三角形， 但是、不一定相等，所以、不一定相等，所以B不正确，符合题意 故选：B 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质，注意旋转前后的对应关系是解题的关键． 12. 四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要查了二次函数的性质，一元二次方程的应用．当时，点M在上，求出，可判断①；当时，点M在上，利用三角形面积公式求出的面积，利用二次函数的性质，可判断②；分两种情况：当点M在上时，点M在上，结合的面积为，列出方程，可判断③． 【详解】解：根据题意得：点M在上的运动时间为，点M在上的运动时间为，点N在上的运动时间为， ①当时，点M在上， 此时，， ∴， ∴，故①正确； ②当时，点M在上， 此时，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随t的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 即当时，的最大面积为，故②错误； ③当点M在上时， ∵的面积为， ∴， 解得：（舍去）， ∴当时，的面积为； 当点M在上时， ∵，， ∴，即， 此时， 解得：， ∴当时，的面积为； ∴有两个不同的值满足的面积为，故③正确． 故选：C 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：关于原点对称的两点横、纵坐标都互为相反数，故点关于原点对称的点的坐标为． 14. 如图，一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形．建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为，当水面离桥拱顶点的高度为时，水面的宽度为___________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解答本题的关键．根据题意可得B的纵坐标为，把代入解析式确定A、B的坐标，进而求得的长即可解答． 【详解】解：根据题意B的纵坐标为， 把代入，得， 解得， ∴，， ∴， 即水面宽度为． 故答案为：20． 15. 抛物线向下平移1个单位，再向右平移3个单位后的解析式是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：抛物线向下平移1个单位，再向右平移3个单位后的解析式是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键． 16. 抛物线与x轴只有一个公共点，则m的值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】由题意可得，即可得到关于m的方程，解出即可． 【详解】解：由题意得，解得． 故答案为：8． 【点睛】此题考查了二次函数与一元二次方程方程的关系，解答本题的关键是熟练掌握二次函数与一元二次方程方程的关系．当时，抛物线与x轴有两个公共点；当时，抛物线与x轴只有一个公共点；时，抛物线与x轴没有公共点． 17. 如图，在矩形中，，点为边上的一个动点，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．当点落在边上时，的度数为__________；当线段的长度最小时，的度数为__________． 【答案】 ①. ##度 ②. ##度 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 以为边向右作等边，连接，证明，得出，推出点在射线上运动，设交于点，当点落在上时，点与重合，得出的度数，当时，的长度最小，接下来证明，得出，进而可得出答案． 【详解】解：如图，以为边向右作等边，连接． 是等边三角形， ，，， ， 在和中 ，  ， ， ， 点在射线上运动， 如图中，设交于点， 当点落在上时，点与重合，此时， 当时，的长度最小，此时， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：，． 18. 如图，在每个小正方形的边长为的网格中，四边形的顶点，，均在格点上，点是小正方形一边的中点． （1）线段的长为__________； （2）在如图所示的网格中，是边上一点，且满足，请用无刻度的直尺，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）________________________________________________________________________． 【答案】 ①. ②. 取格点，连接交于点 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解； （2）取格点，连接交于点，证明出是等腰直角三角形，即可得到． 【详解】解：（1）根据勾股定理得，； （2）如图，连接，取格点F，G ∵，，， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1）．（配方法） （2）．（因式分解法） 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ∴，． 20. 如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，得到△ADC，连接OD，OA． （1）求∠ODC的度数； （2）试判断AD与OD的位置关系，并说明理由； （3）若OB＝2，OC＝3，求AO的长（直接写出结果）． 【答案】（1）60° （2） ． 由旋转的性质得，． ∵，∴． 即． （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得到三角形ODC为等边三角形即可求解； （2）将△BOC绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，得到△ADC，可知∠ADC=∠BOC=150°，即得∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°，故AD⊥OD； （3）在Rt△AOD中，由勾股定理即可求得AO的长． 【小问1详解】 由旋转的性质得：，． ∴，即． ∵为等边三角形，∴． ∴．∴为等边三角形，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由旋转的性质得，AD=OB=2， ∵△OCD为等边三角形， ∴OD=OC=3， 在Rt△AOD中，由勾股定理得： AO= = = 【点睛】本题考查等边三角形中的旋转变换，涉及直角三角形判定、勾股定理等知识，解题的关键是掌握旋转的性质，旋转不改变图形的大小和形状． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，点为二次函数图象的顶点，点在轴上． （1）求二次函数的解析式； （2）根据图象，求二次函数的函数值小于时，自变量的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）把点A代入一次函数解析式，求出一次函数解析式和点B的坐标，然后设出二次函数顶点式，把点B代入即可求出二次函数解析式； （2）由图像可知，x轴上面部分的二次函数值都大于0，根据二次函数与x轴的交点特征求得二次函数与x轴的交点即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵点在一次函数上， ∴把点代入，得 ， 解得， ∴一次函数解析式为， 令时，则， 解得， ∴点B的坐标为， ∵点为二次函数图象的顶点，点B在x轴上， ∴设二次函数解析式为， 把点代入， 解得， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）求得二次函数解析式为， 令，即， 解得：，， 由图像可知x轴下面部分的二次函数值都小于0，且二次函数与x轴交于点和， ∴自变量x的取值范围为或． 22. 某同学要利用长为24m的篱笆围成一个长方形花圃，形状如图，一边靠墙（墙的最大可用长度为9m），中间隔有一道篱笆，设AB长为x米，围成的花圃面积为S平方米． （1）求S关于x的函数解析式；并写出自变量x的取值范围． （2）当AB多长时，围成的花圃有最大面积？最大面积是多少？ 【答案】（1）S＝﹣3x2+24x（5≤x＜8）；（2）当AB＝5m时，围成的花圃有最大面积． 【解析】 【分析】（1）根据题意可以得到y与x的函数关系式以及x的取值范围； （2）配方后即可确定最值，注意x的取值范围． 【详解】（1）由题意可知：BC＝24﹣3x，0＜BC≤9 即 0＜24﹣3x≤9，解得5≤x＜8， ∴S＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x（5≤x＜8）； （2）由（1）可知S＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48（5≤x＜8） ∵a＝﹣3＜0，5≤x＜8 ∴当x＝5时S有最大值 ， 即：当AB＝5m时， 围成的花圃有最大面积． 【点睛】考查了根据实际问题列二次函数关系式的知识，解题的关键是能够表示出长方形的长与宽 23. 为了预防“甲型”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为，请你根据题中提供的信息，解答下列问题： （1）药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？ （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能进入教室？ （3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于且持续时间不低于时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？ 【答案】（1）药物燃烧时y关于x的函数关系式为；药物燃烧后y关于x的函数关系式为 （2）30分钟 （3）有效，理由如下： 把代入， 解得：， 把代入， 解得：， ∵， ∴这次消毒是有效的． 【解析】 【分析】（1）药物燃烧时，设出y与x之间的解析式，把点代入即可，从图上读出x的取值范围；药物燃烧后，设出y与x之间的解析式，把点代入即可； （2）把代入反比例函数解析式，求出相应的x即可； （3）把代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与10进行比较，大于等于10就有效． 【小问1详解】 解：设药物燃烧时y与x之间的解析式为， 把点代入， 得 解得：， 设药物燃烧后y与x之间的解析式为， 把点代入， 得， 解得：， 故药物燃烧时y与x的函数关系式为； 药物燃烧后y与x的函数关系式为． 【小问2详解】 解：把，代入，得； ∵， ∴随的增大而减小， 当时，， 即从消毒开始，至少需要30分钟后学生才能进入教室． 【小问3详解】 略 24. 将两个等腰直角三角形纸片和放在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，，，，并将会绕点O顺时针旋转． （Ⅰ）当旋转至如图①的位置时，，求此时点C的坐标； （Ⅱ）如图②，连接，当旋转到y轴的右侧，且点B，C，D三点在一条直线上时，求的长； （Ⅲ）当旋转到使得的度数最大时，求的面积（直接写出结果即可）． 【答案】（Ⅰ）点C的坐标为；（Ⅱ）；（Ⅲ）6 【解析】 【分析】（1）作轴于点E，根据含30°的直角三角形性质可解得CE、OE的长度，进而得到C点坐标； （Ⅱ）作于F，易证，得到AC=BD，再在利用三角函数性质得到OF长度，进而得到AC长度 （Ⅲ）先确定点C、D两点是以O为圆心，半径为OD=OC=4的圆上运动，当BC⊥OC，即BC与圆O相切时，∠OBC最大，作CE⊥y轴于E点，DF⊥x轴于F点，利用等面积法求得CE，再证△OFD≌△OEC，进而求得面积． 【详解】（Ⅰ）作轴于点E， ∵绕O点顺时针旋转， ∴， ∴， ∴点C的坐标为． （Ⅱ）作于F， ∵， ∴， 即 ∵，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． （Ⅲ）点C、D两点是以O为圆心，半径为OD=OC=4的圆上运动， 当BC⊥OC，即BC与圆O相切时，∠OBC最大，作CE⊥y轴于E点，DF⊥x轴于F点 ∵OB=5，OC=4 ∴由勾股定理BC=3 ∵S△BCD=BC·CO=OB·CE ∴CE= ∵∠COF+∠FOD=∠COD=90°，∠COF+∠COE=90° ∴∠FOD=∠COE 又∵∠OFD=∠OEC，OD=OC ∴△OFD≌△OEC ∴DF=CE= ∴S△OAD= 当C处于如图C’位置，同理可得面积也为6 ∴当∠OBC度数最大时，△OAD的面积为6． 【点睛】本题主要考查三角形的旋转以及圆的切线的性质，第三问能够确定C、D两点的运动路径是解题关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，对称轴为直线，点的坐标为． （1）该抛物线的表达式为_______________； （2）点为抛物线上一点（不与点重合），连接．当时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，点，是轴上的两个动点，点在点左侧且，当四边形周长取得最小值时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由对称轴得点坐标，用交点式写解析式； （2）构造全等三角形找直线，联立抛物线求； （3）如图，过作，过作，作关于轴的对称点，连接，可得，，，为定值，当三点共线时，四边形周长最小，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：对称轴为直线，点的坐标为， ， ． 【小问2详解】 解：过点作垂直于轴，交于，如图所示， ∵，， ∴ ， 为等腰直角三角形， ∴， ， ∵，， ， ， ． ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， 直线的解析式为， 令， 解得：（舍），， 此时， ． 【小问3详解】 解：如图，过作，过作，作关于轴的对称点，连接， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴四边形周长为， ∵，，， ∴，为定值， ∴当最小时，四边形周长最小， ∴当三点共线时，四边形周长最小， ∵点，点关于轴对称， ∴， 设直线为， ∴， ∴， ∴直线为， 当时，， 解得：， ∴，， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $