精品解析：天津市二十八中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

2026-2027学年度第一学期九年级数学学科大单元检测试卷 一、单选题（本大题共12小题，共36分） 1. 下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，熟记定义解答即可． 【详解】解：A、当时是一元二次方程，故不是一元二次方程； B、整理后得，不含二次项，故不是一元二次方程； C、符合定义，故是一元二次方程； D、含有分式，故不是一元二次方程； 故选：C． 2. 二次函数 的图像的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了的图象和性质，对于二次函数，其顶点坐标为，据此及可求解． 【详解】解：二次函数 的图像的顶点坐标是, 故选：D． 3. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象和性质，即可得，，的大小关系． 【详解】解：反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，随增大而增大， ∵ 点，，都在反比例函数的图象上， ∴点在第二象限，，在第四象限， ∴，，，， ∴． 4. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象开口向上 B. 图象关于直线对称 C. 图象过点 D. 当时，y随x增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，根据二次函数的顶点式，分析开口方向、对称轴、点坐标和增减性． 【详解】解：∵， ∴，抛物线开口向下，故A错误； 对称轴为直线，故B正确； 当时，，故图象不过点，C错误； ∵，当时，y随x增大而减小，故D错误． 故选：B． 5. 一个学习小组有人，春节期间，每两人互送贺卡一张，若全组共送出贺卡张，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，由这个小组有人，则每人需送出贺卡张，根据全组共送出贺卡张，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：因为这个小组有人，则每人需送出贺卡张， 依题意得：． 故选：C． 6. 已知m、n是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 先根据n方程的实数根得出，结合根与系数的关系求出，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵m、n是方程的两个实数根， ∴，即， ∴， ∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ∴． 故选：C． 7. 抛物线可由抛物线如何平移得到的（　　） A. 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 B. 先向左平移6个单位，再向上平移7个单位 C. 先向上平移2个单位，再向左平移3个单位 D. 先回右平移3个单位，再向上平移2个单位 【答案】A 【解析】 【分析】先将抛物线化为顶点式，然后按照“左加右减，上加下减”的规律进行求解即可． 【详解】因为， 所以将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位即可得到抛物线， 故选A． 【点睛】本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的规律是解题的关键. 8. 根据下表： … 4 5 6 13 5 … 5 13 确定方程的解的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了估算一元二次方程的近似解．观察已知表格，根据代数式的值的变化确定出方程解的范围即可． 【详解】解：由表格得：时，， 时，； 时，； 时，， 可得方程的解取值范围是或． 故选：A． 9. 已知关于的一元二次方程的两根是和，且，则的值是（ ） A. B. 2.25 C. 或 D. 或2.25 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根．熟练掌握一元二次方程的根的定义 、根与系数的关系 以及根的判别式，是解题的关键． 分情况分析条件  的含义，当时， 当时，两种情况解答． 【详解】解：∵ ∴或． 当时，， 代入原方程，得． 化简，得． 即． ∴． 此时，，符合． 当时，， ∴． 解得． 此时原方程为 ． 即 ． 根为 ​． 满足，符合条件． ∴k的值为 或 ． 10. 某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果每个月比上一个月的增长率都相同，均为x，则由题意列方程应为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．第一季度包括一月、二月和三月，每月增长率相同为x，分别表示各月营业额后求和得到总营业额方程． 【详解】解：一月份营业额为万元，每月增长率为， 二月份营业额为万元， 三月份营业额为万元， 第一季度总营业额为， 方程为． 故选：D． 11. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ） A.   B.   C.   D.   【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点，一次函数经过的象限，再结合相关图象即可求出结果． 【详解】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的， ∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误； 当时，二次函数开口向上，一次函数必经过一、三象限，故C选项错误； 当时，二次函数开口向下，一次函数必经过二、四象限，故A选项错误，D选项正确． 12. 飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式为．有下列结论： ①滑行的时间为时，滑行的距离是； ②飞机停下前最后内滑行的距离是； ③飞机着陆后滑行了才停下来． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，将函数解析式配方成顶点式再逐个分析即可得． 【详解】解：∵， ∴当时，， 即滑行的时间为时，滑行的距离是； 当时，s有最大值，此时， ∴飞机从落地到停下来共需20秒，滑行距离为600m， ∴飞机前10秒滑行的距离为， 即飞机停下前最后内滑行的距离是 当时，y取得最大值600， 即飞机着陆后滑行600米才能停下来， 所以，正确的结论是①③，共2个， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 13. 关于 x 的一元二次方程有一根为，则 n 的值为____________． 【答案】4 【解析】 【分析】把代入原方程，解关于n的一元一次方程即可． 【详解】解：∵关于 x 的一元二次方程有一根为， ∴， 解得， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义即使得一元二次方程左右两边相等的未知数的值，正确理解定义，灵活代入计算是解题的关键． 14. 若是关于x的二次函数，则m 的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义：一般地，形如（a，b，c为常数，且）的函数是二次函数．根据二次函数的定义求解即可． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴，， ∴． 故答案为：2． 15. 已知二次函数的顶点坐标为(1，4)，且其图象经过点(－2，－5)，求此二次函数的解析式________． 【答案】y=-（x-1）2+4 【解析】 【分析】已知二次函数的顶点坐标为，可设抛物线的顶点式为,将图像上的点代入求出即可. 【详解】解：设二次函数的解析式为：, 因为图象经过点，代入可得： ， 解得：， 所以二次函数的解析式为： 【点睛】本题考查了使用顶点式求抛物线解析式的方法. 16. 若二次函数的图象与轴有公共点．则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的关系，抛物线与轴的交点个数由决定，当时，抛物线与轴有两个交点，当时，抛物线与轴有一个交点，当时，抛物线与轴没有交点． 【详解】解：二次函数的图象与轴有公共点， ，即， 解得：， 故答案为：． 17. 已知二次函数，当时，函数的最小值为，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数在区间上的最值，掌握好二次函数的图象与性质是解题关键． 先判断图象的开口方向和对称轴，根据区间与对称轴的相对位置进行分类讨论，结合二次函数的增减性，求出的值． 【详解】解：二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越近，函数值越大， 当和关于对称轴对称时，，解得， ①当时， ∵， ∴当时，取得最小值， ∴， 化简，得， 解得或， ∵， ∴； ②当时， ∵， ∴当时，取得最小值， ∴， 化简，得， 解得或， ∵， ∴； 综上所述，或． 故答案为：或． 18. 已知二次函数图象的一部分如图，以下结论： ①； ②若m为任意实数，则有； ③方程的解是，； ④； 其中正确的有______个． 【答案】 3 【解析】 【分析】根据二次函数图像开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点位置判断 的符号及关系；利用对称轴公式及顶点坐标性质判断最值问题；利用抛物线的对称性求方程的解；根据对称轴公式判断 的数量关系． 【详解】解：由图像可知，抛物线开口向下，则 抛物线与轴交于正半轴，则 对称轴为直线，则，即 ∵ ∴ ∴，故①正确； 抛物线开口向下，对称轴为直线 ∴当时，函数取得最大值，最大值为 ∴对于任意实数，都有 ∴，故②正确； ∵抛物线与轴的一个交点为，对称轴为直线 ∴抛物线与轴的另一个交点为 ∴方程的解是，，故③正确； ∵， ∴ ∵， ，故④错误； 综上所述，正确的结论有①②③，共 3 个． 三、解答题（本大题共7小题，共66分） 19. 解下列方程． （1）． （2）． （3）． （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： 两边开平方，或， 解得或 ∴； 【小问2详解】 解： ∴； 【小问3详解】 解： 或 ∴； 【小问4详解】 解： 或 ∴． 20. 已知关于x的一元二次方程kx2-4x+2=0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若△ABC中，AB=AC=2，AB、BC的长是方程kx2-4x+2=0的两根，求BC的长． 【答案】（1）k≤2且k≠0；（2）． 【解析】 【分析】（1）已知一元二次方程有实数根，可得△=b2-4ac≥0，建立关于k的不等式，即可求出k的取值范围； （2）由于AB=2是方程kx2-4x+2=0，所以可以确定k的值，进而再解方程求出BC的值． 【详解】解：（1）∵关于x的方程有实数根， ∴△=（-4）2-8k≥0， 解得k≤2， 又k≠0， ∴k的取值范围为k≤2且k≠0． （2）∵AB=2是方程的根， ∴4k-8+2=0, 解得k=， 则原方程为， 解得， ∴BC的长为． 【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 21. 已知，是一元二次方程的两个根．求： （1）的值 （2）的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由根与系数的关系得到两根和与两根积，将变形后代入计算； （2）将通分变形，代入两根和与两根积计算． 【小问1详解】 解：，是一元二次方程的两个根， 由根与系数的关系得， ； 【小问2详解】 解：，是一元二次方程的两个根， 由根与系数的关系得， ． 22. 已知二次函数． （1）直接写出对称轴和顶点坐标； （2）求出抛物线与轴的交点坐标； （3）当时，求的取值范围． 【答案】（1）直线，顶点坐标为： （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的对称轴、顶点坐标、与x轴交点及函数值范围，解题关键是运用二次函数的性质，结合方程求解与分析函数在区间内的最值． （1）根据二次函数对称轴公式和顶点纵坐标公式，将，，代入计算，得出对称轴和顶点坐标． （2）令，得到一元二次方程，化简后因式分解求解，得到方程的根，即抛物线与轴交点的横坐标，从而确定交点坐标． （3）先由二次函数的值判断开口方向，结合对称轴确定最小值；再计算区间端点和（不在区间内）的函数值，进而确定的取值范围． 【小问1详解】 解：在二次函数中，，，， 将，代入对称轴公式，得 ， 将，，代入得 ， ∴对称轴为直线，顶点坐标为． 【小问2详解】 解：令，则 ， 或， 解得， ， ∴抛物线与轴的交点坐标为，． 【小问3详解】 解：由（1）知二次函数的对称轴为，，抛物线开口向上， ∴函数在对称轴处取得最小值， 分别计算区间端点和处的函数值： 当时，， 当时，， ∵不在这个区间内， ∴当时，的取值范围为． 23. 已知：如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动．当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为秒， 求几秒后，的面积等于？ 求几秒后，的长度等于？ 运动过程中，的面积能否等于？说明理由． 【答案】（1）或秒后的面积等于；（2）当或时，的长度等于；（3）的面积不能等于． 【解析】 【分析】（1）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于6平方厘米，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解． （2）根据PQ=5，利用勾股定理BP2+BQ2=PQ2，求出即可； （3）通过判定得到的方程的根的判别式即可判定能否达到8cm2． 【详解】(1)设 经过x秒以后△PBQ面积为6                 ×(5−x)×2x=6 整理得：x2−5x+6=0 解得：x=2或x=3 答：2或3秒后△PBQ的面积等于6cm2. 当时，在中，∵， ∴， ， ， ，， ∴当或时，的长度等于． 设经过秒以后面积为， 整理得： ∴的面积不能等于． 【点睛】本题考查了勾股定理与一元二次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握勾股定理与一元二次方程的应用. 24. 某款童装，每件售价60元，每星期可卖100件．为了促销，该店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖10件．已知该款童装每件成本价30元． 设该款童装每件售价元，每星期的销售量为件． （1）根据题意，填写下表： 每件售价（元） 60 59 58 每星期售出商品的数量（件） 100 110 　　 　　 每星期售出商品的利润（元） 3000 3190 　　 　　 （2）求与之间的函数解析式； （3）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）120，3360，， （2） （3）每件降价定为10元时，每星期的销售利润最大，最大利润4000元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及一次函数及应用，解题的关键是构建二次函数解决最值问题． （1）根据每降价1元，每星期可多卖10件及利润每件利润乘销售量即可得到答案； （2）根据售量（件与售价（元件）之间的关系即可得到结论； （3）设每星期利润为元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题． 【小问1详解】 解：每件售价58元，可卖120件，每件利润为元， 所以每星期售出商品的利润元， 每件售价元，可卖件，每件利润为元， 所以每星期售出商品的利润元， 填写表格如下： 每件售价（元） 60 59 58 每星期售出商品的数量（件） 100 110 120　 每星期售出商品的利润（元） 3000 3190 3360 【小问2详解】由题意，得：； 【小问3详解】 设每星期利润为元， ， 时，最大值． 当每件售价为50元时，即降价了（元， 每件降价定为10元时，每星期的销售利润最大，最大利润4000元． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线（a、b为常数，）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）若，． ①求该抛物线的解析式； ②设D为线段上的点，且满足，求点D的坐标． （2）若，P是直线与抛物线的交点，若M、N（点M在点N的左侧）为线段上的两个动点，且，当的最小值为，求a的值． 【答案】（1）①；② （2）1 【解析】 【分析】（1）①将点，代入抛物线，利用待定系数法求解即可； ②先求出，从而得到，，再结合已知条件，得到，过点作轴，求出，，即可得到点D的坐标． （2）由题意可得对称轴为直线，，作点关于轴的对称点，过点作轴于点，在上取点，使得，连接，则，证明四边形是平行四边形，得到，即当点在上时，有最小值为，再利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：①抛物线与x轴交于点，， ，解得：， 该抛物线的解析式为； ②抛物线与y轴交于点C， 令，则， ， ， ，， ， ，， 如图，过点作轴，则， ， ， ， 点D的坐标为． 【小问2详解】 解：， 抛物线，对称轴为直线， 令，则， ， 如图，作点关于轴的对称点，过点作轴于点，在上取点，使得，连接，则， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 即当点在上时，有最小值为， 的最小值为， ， 在中，，， ， 整理得：， 解得：或（舍）， 即a的值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质求最短线段，平行四边形的判定和性质，一元二次方程的应用，利用数形结合的思想解决问题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期九年级数学学科大单元检测试卷 一、单选题（本大题共12小题，共36分） 1. 下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数 的图像的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象开口向上 B. 图象关于直线对称 C. 图象过点 D. 当时，y随x增大而增大 5. 一个学习小组有人，春节期间，每两人互送贺卡一张，若全组共送出贺卡张，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知m、n是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线可由抛物线如何平移得到的（　　） A. 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 B. 先向左平移6个单位，再向上平移7个单位 C. 先向上平移2个单位，再向左平移3个单位 D. 先回右平移3个单位，再向上平移2个单位 8. 根据下表： … 4 5 6 13 5 … 5 13 确定方程的解的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 9. 已知关于的一元二次方程的两根是和，且，则的值是（ ） A. B. 2.25 C. 或 D. 或2.25 10. 某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果每个月比上一个月的增长率都相同，均为x，则由题意列方程应为（） A. B. C. D. 11. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ） A.   B.   C.   D.   12. 飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式为．有下列结论： ①滑行的时间为时，滑行的距离是； ②飞机停下前最后内滑行的距离是； ③飞机着陆后滑行了才停下来． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 13. 关于 x 的一元二次方程有一根为，则 n 的值为____________． 14. 若是关于x的二次函数，则m 的值为______． 15. 已知二次函数的顶点坐标为(1，4)，且其图象经过点(－2，－5)，求此二次函数的解析式________． 16. 若二次函数的图象与轴有公共点．则的取值范围是____________． 17. 已知二次函数，当时，函数的最小值为，则______． 18. 已知二次函数图象的一部分如图，以下结论： ①； ②若m为任意实数，则有； ③方程的解是，； ④； 其中正确的有______个． 三、解答题（本大题共7小题，共66分） 19. 解下列方程． （1）． （2）． （3）． （4）． 20. 已知关于x的一元二次方程kx2-4x+2=0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若△ABC中，AB=AC=2，AB、BC的长是方程kx2-4x+2=0的两根，求BC的长． 21. 已知，是一元二次方程的两个根．求： （1）的值 （2）的值 22. 已知二次函数． （1）直接写出对称轴和顶点坐标； （2）求出抛物线与轴的交点坐标； （3）当时，求的取值范围． 23. 已知：如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动．当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为秒， 求几秒后，的面积等于？ 求几秒后，的长度等于？ 运动过程中，的面积能否等于？说明理由． 24. 某款童装，每件售价60元，每星期可卖100件．为了促销，该店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖10件．已知该款童装每件成本价30元． 设该款童装每件售价元，每星期的销售量为件． （1）根据题意，填写下表： 每件售价（元） 60 59 58 每星期售出商品的数量（件） 100 110 　　 　　 每星期售出商品的利润（元） 3000 3190 　　 　　 （2）求与之间的函数解析式； （3）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？ 25. 在平面直角坐标系中，抛物线（a、b为常数，）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）若，． ①求该抛物线的解析式； ②设D为线段上的点，且满足，求点D的坐标． （2）若，P是直线与抛物线的交点，若M、N（点M在点N的左侧）为线段上的两个动点，且，当的最小值为，求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $