山东省实验中学2026-2027学年第一学期高二第一次学情检测数学试题

数学试题答案 2026.10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A B D B C D B ABD BCD ACD 12.2或V2 13.5V2 14.V6 15.【答案】解：(1)因为直线l1:2x+3y-2=0,l2:mx+(2m-1)y+1=0,1/八2时， 侧吗=+之解得m=2 此时直线l2的方程为2x+3y+1=0, 所以两条直线间的距离d=2-旦=-3飞 V22+32 13: -63 (2)当m=1时，则直线2的方程为：x+y+1=0, 联21260，解符x=-5y4 即两条直线的交点P的坐标为(-5,4， 又因为所求的直线垂直于x-2y+4=0,设所求的直线方程为2x+y+a=0, 将P点的坐标代入可得2×(-5)+4+a=0, 解得a=6. 所以直线的方程为2x+y+6=0. -13 16.【答案】解：设cA=d,CB=b,CC=, 根据题意得|==，a.万=万.c=d.a=0, (1)i证明：易知c正=方+，ArD=-+B-a 正.46(6++2五- -32+3=0. .CEIA'D,即CE1A'D. (2)易知AC=-a+,…AC=√2， 又c压=6+，c函=牙1， “ac.正=(a+06+2到 =2=12, 试卷第1页（共4页） ..cos<ACi,CE>= _ 2xa2 10 即异面直线CE与AC'所成角的余弦值为四 -15 10 17.【答案】解：(1)如图，设线段AD的中点为M,线段BC的中点为N, 连接PM,MN,PN. 因为D为EC中点， 所以PD=PA=1. 又因为PM是等腰△PAD底边上的中线， 所以PM⊥AD 同理可得PN L BC. 因为ABCE是矩形， 所以CD/AB,AB⊥BC. 因为M,N是中点， 所以MN是梯形ABCD的中位线. 所以MN/AB,从而MN⊥BC. 因为MNc平面PMN,PNc平面PMN,MN O PN=N, 所以BCI平面PMN. 因为PMc平面PMN, 所以BC⊥PM. 因为ADC平面ABCD,BCC平面ABCD,AD和BC相交 所以PMI平面ABCD. 因为PMC平面PAD, 所以平面PADI平面ABCD (2)易得AD1BD.由(1)可知PMI平面ABCD, BDC平面ABCD,所以PM⊥BD 因为ADC平面PAD,PMC平面PAD,PM∩AD=M, 试卷第2页（共4页） 所以BDI平面PAD 以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向， 建立如图所示空间直角坐标系D一xyz, 则A20,0)B0,V2,0),P,0,, AB=(←V2V2,0):P=(70,7 设器=1>0，则厅=在A正+A肥 可得V2(1+)A7=(-21-1,21,1) 由BD1平面PAD,得平面PAD的一个法向量元=(0,1,0). 设直线AT与平面PAD所成角为8， 则sn0=1os<元，F≥1=周a 2 =6 √(-21-1)2+2)2+1 6, 化简得81°-21-1=0，解得1=或1=-（舍）. 2 所以当器-封，直线47与平面PAD所成角的正弦值为 -15 18(1)设A(,x,B,2),则AB的中点为百十五，-2)， 2 2 因为AB的中点在直线x-2y=0上， 所以+5-2×2五=0，即X=56, 2 2 所以直线AB的斜率k=+2=7=7 x-x34x34 7 所以直线AB的方程为y=4-D,即7x-4y-7=0.-一 (2)设直线AB的方程为x=my+1, 联立 x=y+1 xy=O得=ym,所以A(m<D 1-m1-m x=my+1 gx+yo阳xm中+m以吗n 1 1 联立 试卷第3页（共4页） 因为2-2m>0,2m+1>0, 所以1+1 、1_+1)×2-2m+2m+1 )x 、2-2m2m+12-2m2m+1 3 =31+1+ 2m+1,2-2m、1 2m+1×2-2m)=4 2-2m2m+1 22+22-2m×2m+=3 1 当且仅当m=二时，等号成立， 所以Sa的最小值为此时m=子直线AB的方程为x=子礼，印4-y4=0川 4 1 (3)由(2)知，1PAF-m ,1-+Ly=m+1 1-m 1-m -102+ IPBF2m+1 22 2Wm2+1 2m+1 2+1 所以PA-PBEVm+1x2m+1_2m2+2 2 2(m2+1) 1-m2m+1-2m2+m+1-20m+0+m+3-2+m+3, m2+1 ,m+3 t t 一10 1 令m+3=e号4，则0-》1-6+10+0 5 62t 6 206当且仅当1=而，即m=0-3时，取得最大伯，1PAPB取得最小位，此时直线 1 m2+1 AB的方程为x=(10-3)y+1,即x-(N10-3)y-1=0.-- ----17 19【详解11)因为直线4的方程为号-y=-(-小，即分”0-号 1-1 可得直线1上一个点的坐标为(1,0,1)，直线4的一个方向向量为4=（2,1，-1).------4 （2)直线4的方程为-(-)=号-号即分-号 -142 可知直线2过点P(3,1,0),直线2的一个方向向量42=（-1,4,2)， 因为1-前以直线4注友P10叭.且关-个方向向量为4-2L-少 2-1 则P(3,1,0)为平面au内一点， 设平面a的法向量为i=(x,,乙，)， 万巧=-6+4奶+22=0’令5=2，则%=-山名=3，可得元=(2，-1,3)， i4=2x+y-z=0 则 所以平面C的方程为2x-y+3z=2×3+(-1)×1+3×0,即2x-y+3z=5.-------10? (3)由集合M={(x,y,z)川x+y+z=2}可知， 试卷第4页（共4页） 多面体Q与坐标轴交于各点M(2,0,0),N(0,2,0),R(-2,0,0),S(0,-2,0),E(0,0,2), F(0,0,-2),如图所示， r M 可知四边形MNRS为正方形，边长MN=V(2-0)2+(0-2)2+02=2V2, 所以正方形MNRS的面积为(2√2)2=8， 而正四棱锥E-MNRS的高为OE-2,则s=×2x8= 3 3 所以多面体n的体积为y=2少5-n=2×1=32 、3-3 由集合M={(x,y,z)川x+|y川+|z=2所有的点构成了多面体2的各个面， 点M(2,0,0),N(0,2,0),E(0,0,2)均满足方程x+y+z=2, 可知平面MWE的方程为x+y+z=2,且该平面的一个法向量为ā=(1,1,1)： 同理可知，平面ENR的方程为-x+y+z=2,该平面的一个法向量为b=（-1,1,1), 平面MNF的方程为x+y-z=2,该平面的一个法向量为c=(1,l,-1), 的3s号a小-- a.b11 由对称性可知，任意相邻两平面的夹角的余弦值都为3， 故多面体Ω相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为3， 1 综上。Q的体积为子，相名两个面所在平面的夹角的余弦值为 ·--17 试卷第5页（共4页）山东省实验中学2026~2027学年第一学期高二第一次 学情检测 数学试题 2026.10 说明：本试卷满分150分，分为第1卷（选择题)和第川卷（非选择题）两部分，第1卷为第1页 至第2页，第川卷为第3页至第4页。试题答案请用2B铅笔或0.5m签字笔填涂到答题卡规定位置上， 书写在试题上的答案无效。考试时间120分钟。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1.已知空间向量a=(m,n,8),b=(-2,1,-4,且a/6,则m+n= A.2 B.-1 C.1 D.-2 2.直线2ax+y-2=0与直线x-(a+1)y+2=0互相垂直，则这两条直线的交点坐标为 A.(,-) B.后) c.G-) D.() 3.如图，已知斜三棱柱ABC-AB,C,设AB=,AC=b,AA=c.M,N分 别为AC与BC的中点，则MN= A. 1 B.2a+B+29 2 、6 c+6 2°2 a B 4.已知立是空间中直线1的方向向量，n是平面α的一个法向量，那么“)Ln”是“直线I与平面C平 行”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知直线c-y-2k+l=0恒过定点A,点A也在直线mx+心-mn=0上，其中m、n均为正数，则 2m+n的最小值为 A.2 B.4 C.6 D.8 6.己知三条直线l:y=x+1,I2:y=-2x+4,I3:mx+y+1=0不能围成三角形，则实数m的取值集合为 A.{1,-2} B.1,-2,3 C.{-1,2,-3} D.{-1,2} 7.在棱长为2的正方体ABCD-ABC,D中，E为其体对角线BD,上的动点，点P在该正方体表面上运 动，球O为该正方体的内切球，MN为球O的一条直径.则 试卷第1页（共4页） A.当点E在体对角线BD上运动时，AEB,C的值也在随之变化 B.当点P在底面AB,CD内运动时，APAA的值也在随之变化 C.AE.DC的取值范围是[O,2] D.PM,PW的最大值为2 8.在三棱柱ABC-A1BC1中，AE=(02,-3),AC=（-2V30,-3),AA=（-V3,0,),则三棱锥 A,ABC的体积为 B.2V3 c v3 D./3 4 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知直线l:(a+2)x+3y+4=0,12:x+y-4=0,则 A.当a=0时，直线41的一个方向向量为(3-2) B若16：则a= C.若1与12相互平行，则a=-3或1 D.若l1不经过第二象限，则a≤-2 10.给出下列命题，其中是真命题的为 A.若直线的方向向量a=(0,1,-1),平面a的法向量元=(1，-1，-1)，则l1a B.若直线的方向向量a=(1,-1,2),直线m的方向向量6=（2,1，-)，则1与m垂直 C.若平面，B的法向量分别为m=(-2,0,1),2=(1,0,2),则a1B D.若平面a经过三点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量元=(1，u,t)是平面a的法向量，则u+ t=1 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD一A1B1C1D1中，P是线段B1D1上的动点（包含端点），则下列结论正 确的是 D A在三棱锥P-A1BD中，点P到平面A1BD的距离为定值2 3 B.过点P且平行于平面A1BD的平面被正方体ABCD-A1B1C1D1截得的 多边形的面积为2√5 v3 √6 C.直线PA1与平面A1BD所成角的正弦值的取值范围是 3’3 D.当P为B1D1的中点时，三棱锥P-A1BD的外接球的表面积为11π 试卷第2页（共4页） 第川卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.如图所示，两条异面直线a、b所成的角为牙，在直线a、b上分别取点 A、E和点A、F,使得AA'上a且AA'⊥b.已知AE=AF=AA=1,则 EF= 13.著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实 上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：√x-α)2+y-b)2可以转化为平面上点 M(x,y)与点N(a,b)之间的距离，结合.上述观点，可得√x2-4x+20+√x2-2x+10的最小值 为一· 14.如图，在四棱锥P-ABCD中，PAL底面ABCD,且AB⊥AD, ABIICD,PA=AB=AD=。CD=1,若在△PBC内有一动点M, D M PM=1,在线段PD上有一动点N,则MN的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过 程或演算步骤。 15.(本小题13分) 已知直线l1:2x+3y-2=0,l2:mx+(2m-1)y+1=0,其中m为实数. (1)当l//几2时，求直线L1,12之间的距离： (2)当m=1时，求过直线L1,l2的交点，且垂直于直线x-2y+4=0的直线方程. 16.(本小题15分) 如图，在直三棱柱ABC-AB'C中，AC=BC=AA',∠ACB=90°，D,E分别为AB,BB'的中 点 (1)求证CE⊥A'D: (2)求异面直线CE与AC'所成角的余弦值. D 试卷第3页（共4页） 17.(本小题15分) 如图，在矩形ABCE中，AB=2,BC=1,D为EC中点，将△EAD沿AD翻折至△PAD,使得PB= PC. E D (1)证明：平面PAD1平面ABCD: ②线PB是吾存布一点T,使相7平面AD所成角的正装值为，若存在，求男的宜若不 TB 存在，请说明理由. 18.(本小题17分) 在平面直角坐标系中，已知射线OA:x-y=0(x20),OB:2x+y=0(x≥0).过点P(1,0) 作直线分别交射线OA,OB于点A,B. (1)当AB的中点在直线x-2y=0上时，求直线AB的方程； (2)当△AOB的面积取最小值时，求直线AB的方程； (3)当|PA|PB|取最小值时，求直线AB的方程， 19.(本小题17分) 在空间直角坐标系0xyz中，过点P(xo,o,2o)且以元=(a,b,c)为方向向量的直线方程可表示为二= a y-业-(abc≠0)，过点P(x,yo,o)且以i=(a,b,c)为法向量的平面方程可表示为 h ax+by+cz=axo+byo+CZo. ()已知直线的方程为2y=-(:-),请写出直线么上一个点的坠标和直线么的一个方向向 量： 2)若直线：号-y=(-)与4：(-)--都在平面a内，求平面心的方程， (3)若集合M={(x,y,z)川x+|y+|z=2}中所有的点构成了多面体2的各个面，求2的体积和相邻两 个面所在平面的夹角的余弦值. 试卷第4页（共4页）