山东省潍坊市临朐县第一中学2026-2027学年高二10月月考数学试题

2025级高二第1次阶段性检测（10月)数学试题答案 题号 4 8 答案 B D C C D A B 题号 0 10 11 答案 BCD BC ACD 7 5 12.V 213.214.7 15.(I)在长方体ABCD-ABCD中，可得DD,IBB且DD,=BB, 所以四边形DD,B,B是平行四边形.所以B./DB 且DB￠平面DBC,DBC平面DBC,所以BDI∥平面BCD (2)在长方体ABCD-ABCD中， AB=4,AD=AM=3,且CC1平面ABCD:'e-G='-c, 16.证明：(1)连接OE.O是AC的中点，E是PC的中点，∴.OEAP, 又OEC平面BDE,PA￠平面BDE,∴.PA∥平面BDE. (2)PO⊥平面ABCD,BDC平面ABCD.∴PO⊥BD.又：ABCD是正方形，：AC⊥BD, POc平面PAC,ACc平面PAC,且AC∩PO=O,:BD⊥平面PAC, BDC平面BDE, .平面PAC⊥平面BDE」 17.(1)证明：因为ABCD为正方形，则AD/BC, 且AD丈平面BCP,BCC平面BCP,可得AD∥平面BCP, 又因为DBPO为平行四边形，则DQIPB, 且DO￠平面BCP,PBc平面BCP,可得DQ∥平面BCP, 且AD∩DO=D,AD,DQc平面ADO,所以平面ADQI平面BCP. (2)证明：设AC∩BD=0,连接PO, 因为DMI∥平面ACP,DMc平面DBPO,平面ACP∩平面DBPO=PO,则MIIPO, 平行四边形DBPO中，BD=PO,又因为DOIIPM,则DOPM为平行四边形，则DO=PM, 且O为BD中点， DO-D-PMP 21 2 ,即 ,所以M是线段P的中点. (3)证明：因为ABCD为正方形，则AB⊥BC,AC⊥BD, 且平面PBA⊥平面ABCD,平面PBA∩平面ABCD=AB,BCC平面ABCD, 则BC⊥平面PBA,由PBC平面PBA可得BC⊥PB, 又因为平面DBPO⊥平面ABCD,平面DBPO∩平面ABCD=BD,ACC平面ABCD, 则AC⊥平面DBPO,由PBc平面DBPO可得AC⊥PB, 且BC∩AC=C,BC,ACc平面ABCD,所以PB⊥平面ABCD 18.(1)因为PA垂直于OO所在的平面，BCc⊙0所在的平面，所以PA⊥BC, 又AB是⊙O的直径，点C是圆周上的点，所以BC⊥AC,因为AC∩PA=A,AC,PAc平面 PAC, 所以BC⊥平面PAC. (2)由(1)可知BC⊥平面PAC, 所以∠BMC即为直线BM与平面PAC所成角的平面角， 因为PA垂直于⊙O所在的平面，ACc⊙O所在的平面，所以PA⊥AC, 又因为∠PCA=45°，AC=CB=3,所以PA=3, 因为AM=2MP,所以AM=2, 所以在Rt△AMC中CM=√AM+AC2=V4+9=V3, 因为CMC平面PAC,所以BC⊥CM, 在Rt△BMC中BM=VCM2+CB2=V13+9=V22 sin∠BMC=CB-3-3V22 所 BM2222, 3W22 即直线BM与平面PAC所成角的正弦值为22. P2=2 (3)在线段PC上存在点Q,使得NQ/平面ABC,且QC 理由如下： 取PC的三等分点为Q(靠近C),在△PCA中过点O作QEIIPA,QE∩AC=E, 则QEPA,且 NO-1AM “,因为N是BM中点，O是AB中点，所以NO/AM,且 又AM=2MP,所 BNO-PA ,所以QElINO且QE=NO. 所以四边形NOE0为平行四边形，所以QN/OE,又QN￠平面ABC,OEC平面ABC, P2=2 所以QN∥平面ABC,故线段PC上存在点，使得NO∥平面ABC,且QC ,=1-(∠APB+∠BPC+∠APC) 19.【详解】(1)由离散曲率的定义得 2π P,=1-(∠PAB+∠BAC+∠PAC)B=1-(∠PBA+∠ABC+∠PBC) 2π 2π =l2(PC4+∠nC4+∠PCB).+e,+p,+=4元 ×4π=2 ,所以 2π (2)因为PA⊥平面ABC,BCC平面ABC,所以PA⊥BC. 又AC⊥BC,AC∩PA=A,AC,PAc平面PAC,则BC⊥平面PAC. 又PCc平面PAC,所以BC⊥PC,即 ∠BCP=π 2 1(ZPCA+ZBCA+ZPCB)0=1 2π 解得 ∠PCA=T 4 过点A作AM⊥PC于点M, 因为BC⊥平面PAC,AMc平面PAC,所以BC⊥AM. C B 又BC∩PC=C,BC,PCC平面PCB,则AM⊥平面PCB, 因此线段AM的长即为点A到平面PCB的距离. AM-ACsinLPCA=8x4 在Rt△ACM中， 2 所以点A到平面PBC的距离为4V2 (3)依题意，PA=8,AB=V82+82=82,PB=V8+(8V2=8V5 in∠PBA=PAV5 则 PB3,cos∠PBA=B6 PB 3 ?-S7=OaM坶‘7-Sz=x搏‘0<x业 91 x *9/小 和屈 9 乙 F90*0007ue 00 EA 90097s0 ‘L 9N0097us =0097ue-0007:0-小=097us r000>s00 甲 91*号+9-9907m09392-08+,38=0D ‘中938V平 g=8d7s00a=98x r=87a0g-00(g%5>0小-=0g0 2025级高二第1次阶段性检测（10月）数学试题 审核：高二数学组 使用时间：2026年10月9日 一、单选题 1．如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ） A．4 B．12 C．8 D．6 2．八十年代初期，空间向量解决立体几何问题的思路得到了长足的发展，已知，，三点不共线，对空间任意一点，若，则，，，四点（ ） A．不共面 B．不一定共面 C．无法判断是否共面 D．共面 3．已知，是两条异面直线，，那么与的位置关系（ ） A．一定是异面 B．一定是相交 C．不可能平行 D．不可能相交 4．已知矩形所在的平面（如图），则图中互相垂直的平面有（ ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 5．如图，在正方体中，点为中点，则异面直线与所成角的余弦值为 A． B． C． D． 6．是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量的坐标是（ ） A． B． C． D． 7．“方斗”是中国古代盛米的一种重要容器，其形状是一个上大下小的正四棱台．如图所示，在一个盛满米的“方斗”容器中，，，若从中取出74 kg米后，米的高度下降一半，则剩余的米的质量为（ ） A．38 kg B．48 kg C．57 kg D．112 kg 8．在三棱锥中，，，若平面平面，则三棱锥外接球表面积为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 10．如图，在直三棱柱中，，，点P，Q，M，N分别是，，，的中点，则（ ） A．P，Q，M，N四点共面 B．线段为直三棱柱外接球的直径 C．三棱锥的体积为 D．异面直线与所成角为 11．如图，棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ） A．动点F轨迹的长度为 B．与不可能垂直 C．直线与平面所成角正弦值的最小值为 D．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 三、填空题 12．如图，直二面角，点，，C为垂足，，，D为垂足，若，，则的长为________． 13．如图，在长方体中，，，，，分别为，，的中点．点在平面内，若直线平面，则线段长度的最小值是________． 14．已知菱形的边长为2，且，将菱形沿对角线翻折成直二面角，则异面直线与所成角的余弦值是；二面角的余弦值是________． 四、解答题 15．已知长方体中，，． （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积． 16．如图，四棱锥中，点O是底面正方形的中心，平面，点E在棱上． （1）若E是的中点，求证：平面； （2）求证：平面平面． 17．如图，已知正方形所在平面和平行四边形所在平面互相垂直，平面平面，M是线段上的一点，且平面． 求证：（1）平面平面； （2）M是线段的中点； （3）平面． 18．如图，是的直径，垂直于所在的平面，点C是圆周上的点且，M在线段上且，N是的中点． （1）求证：直线平面； （2）已知，求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在点Q，使得平面？若存在，则求的值；若不存在，请说明理由． 19．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，……，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．已知三棱锥如图所示． （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）若平面，，，三棱锥在顶点处的离散曲率为．求点到平面的距离； （3）在（2）的前提下，又知点在棱上，过点作交于点，连接，若，求的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $