精品解析：河南省周口市鹿邑县第二高级中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

高三年级10月供题训练 数学 试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．考查范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题：“，”，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 某工厂生产一种产品，年产量为万件（），总成本（单位：万元），若每件产品售价为9元，且产品生产出来就可以卖出，则当年利润最大时，年产量为（ ） A. 3万件 B. 3.5万件 C. 4万件 D. 4.5万件 4. 已知幂函数在区间上单调递减，且为偶函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数（且）在区间上的最大值与最小值之差为1，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 2或 7. 已知函数的定义域为，对任意，满足，且，．则（ ） A. B. 0 C. D. 2 8. 已知函数，若存在实数，满足，，且对任意，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知集合，，若集合，则（ ） A. B. 或 C. 集合中的最大元素为5 D. 集合中的元素个数为6 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 的图象关于点对称 B. 在上单调 C. 有且仅有2个极值点 D. 若实数，满足，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知命题，为真命题，则实数的取值范围是________． 13. 已知定义在上的可导函数满足，且当时，，则不等式的解集为________． 14. 已知函数，则方程的所有实数根之和为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16. 某共享储能电站参与电网调频调峰服务，其核心PCS储能变流器的年运维总成本由固定折旧成本和可变损耗成本构成，其中年度固定折旧成本为1万元．经测算，可变损耗成本（单位：万元）与年启停次数（单位：次，）满足函数关系．已知当年启停次数为2时，年运维总成本为6万元；若将视为区间上的连续变量，则当时，年运维总成本取得最小值． （1）求，的值； （2）受区域电网调度能力限制，该变流器年启停次数最多为5次． （i）求年运维总成本的最小值及对应的启停次数； （ii）若恒成立，求实数的最小值． 17. 已知函数，其中． （1）讨论的单调性； （2）若在区间上的最大值为，求的值． 18. 已知定义在上的多项式函数满足：对任意实数，，都有，且． （1）求和的值； （2）求的解析式，并用定义法证明在区间上单调递增； （3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 参考结论：若一个多项式有无穷多个零点，则该多项式恒为零，即非零多项式仅有有限个零点． 19. 已知函数，．对任意，方程在区间上有唯一实根，记为． （1）由恒等式求的表达式（用表示），并证明在区间上严格递减； （2）证明：对任意，有且； （3）证明：对任意，，有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级10月供题训练 数学 试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．考查范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题：“，”，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】根据全称量词命题否定法则可知： 命题：“，”的否定为“，” 2. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知，定义域是，， 切点为，所以切线斜率， 因为切点为，斜率为0，所以切线方程为，即. 3. 某工厂生产一种产品，年产量为万件（），总成本（单位：万元），若每件产品售价为9元，且产品生产出来就可以卖出，则当年利润最大时，年产量为（ ） A. 3万件 B. 3.5万件 C. 4万件 D. 4.5万件 【答案】B 【解析】 【详解】设总利润为， 则， 由二次函数的性质可得当时，总利润最大， 所以年产量为3.5万件. 4. 已知幂函数在区间上单调递减，且为偶函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】因为函数在区间上单调递减， 所以， 所以可取0,1,2， 当时，为奇函数，舍去； 当时，，符合题意； 当时，为奇函数，舍去； 综上. 5. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先借助指数函数，对数函数的单调性判断取值范围，再排序. 【详解】因为，所以指数函数在上单调递增，所以，即， 因为，所以对数函数在上单调递增，因为， 所以，故， 因为，所以指数函数在上单调递减，，所以，即， 因为，所以对数函数在上单调递减，，故，即， 所以，故. 6. 已知函数（且）在区间上的最大值与最小值之差为1，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】先求出二次内层函数在指定区间的值域，再根据对数底数的范围分单调性两种情况，利用最值差值为1列方程求解参数. 【详解】设，对称轴为直线，定义域为，则在上单调递增， 当，当，得， ，分两种情况讨论对数函数的单调性： ①当，在上单调递增，最大值为，最小值为，所以，得，得，满足 ②当，在上单调递减，最大值为，最小值为，所以，得，得，满足 综上，或. 7. 已知函数的定义域为，对任意，满足，且，．则（ ） A. B. 0 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，，再迭代可得，进而得到函数的周期为，然后利用周期性结合赋值法求值即可． 【详解】由题可得，， 则， ， 则， ，即，， ，则函数的周期为， ， 由条件，令，得，即， 解得，故． 8. 已知函数，若存在实数，满足，，且对任意，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，将用表示出来，然后令，将转化为恒成立， 再利用导数判断函数单调性，根据单调性和求出范围，再将转化为关于的函数，利用导数求最值. 【详解】的导数为，由，得，即； 由，得，将代入，得，即. 令，则，不等式变为：将代入左边，化简得：， 因此不等式变为：. 设，则； 当时，， 若（即），则，单调递增； 结合，得时，单调递增，故，满足条件. 若（即），则存在，使得， 又因为单调递增，所以当时，，则单调递减， 所以，则单调递减，因此，不符合题意. 所以即. 所以，令，则. 当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减. 所以在处取得最大值，因此的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据各选项的结构选择对应的不等式性质判断. 【详解】对于选项A：由，，可得，A正确， 对于选项B：由，两边同时除以正数，得，即，B错误， 对于选项C：由得​，又，不等式两边同乘负数，不等号方向改变，因此，C正确， 对于选项D：由得，又，不等式两边同乘负数，不等号方向改变，因此，D错误. 10. 已知集合，，若集合，则（ ） A. B. 或 C. 集合中的最大元素为5 D. 集合中的元素个数为6 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，令，解得，得到，故A正确； 对于B，令，解得，得到， 可得，故B错误； 对于C，由题意得，得到, 而， 可得，集合中的最大元素是，故C正确； 对于D，由已知得，得到集合中的元素个数为6，故D正确. 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 的图象关于点对称 B. 在上单调 C. 有且仅有2个极值点 D. 若实数，满足，则 【答案】AC 【解析】 【分析】分析可知函数的定义域为.对于A：可证，即可判断对称中心；对于BC：求导，利用判断函数的单调性和极值点；对于D：分析可知方程有3个零点，0，，且，举反例说明即可. 【详解】因为，可知函数的定义域为. 对于选项A：因为， 所以的图象关于点对称，故正确； 对于选项BC：因为， 可知在上单调递增，且，， 则存在唯一实数，使得， 当时，；当时，； 且，可知函数为偶函数， 当时，；当或时，； 可知在内单调递减，在，内单调递增， 则函数有且仅有2个极值点，故B错误，C正确； 对于选项D：因为在内单调递减，在，内单调递增， 则，即， 且当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于； 可知方程有3个零点，0，，且， 例如，，则，但，故错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知命题，为真命题，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数开口向上，对全体实数恒大于0，等价于判别式. 【详解】命题，为真命题， 因为，二次项系数，所以二次函数开口向上， 要使得对全体实数恒成立，则，即， 解得，即实数的取值范围是. 13. 已知定义在上的可导函数满足，且当时，，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】先构造函数令，由题意判断出的奇偶性和单调性，将不等式转化成，由函数单调性及奇偶性可得到，进而求解即可． 【详解】由于，则， 令，则， 又的定义域为，关于原点对称，所以为偶函数， 当时，，则，则在上单调递减， 又，则， 则， 又，即，即， 又为偶函数，则，即，解得， 所以不等式的解集为． 14. 已知函数，则方程的所有实数根之和为________． 【答案】 【解析】 【分析】令，得到，再令，先判断出为奇函数，再求，求出的单调区间，从而画出函数的大致图象，再将求方程所有实数根之和转化为求两函数图象交点的横坐标之和，进而结合奇函数的性质即可求解． 【详解】令，则，则， 令，且， 又的定义域为，关于原点对称，所以为奇函数， 又， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 所以在处取得极大值，且极大值为； 在处取得极小值，且极小值为， 又时，；时，， 所以函数的大致图象如下， 又，则， 要求方程的所有实数根之和，等价于要求的所有实数根之和， 令，即等价于要求与图象交点的横坐标之和， 结合上图，显然与的图象有三个交点，不妨设交点的横坐标分别为，，， 又为奇函数，则， 又，，显然得到，，， 又，则，则，即， 结合上图，显然方程有三个实数根，不妨设为，，， 则，即， 同理方程和分别有三个实数根，且每个方程的实数根之和均为， 又方程的所有实数根由，，的所有实数根组成， 所以方程的所有实数根之和为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先解分式不等式得，然后解二次不等式得，再根据集合的交并补运算求解； （2）由题可知集合是集合的真子集，即时，恒成立，然后利用参变分离求参数范围即可． 【小问1详解】 ，则， 解得，则， ，，解得， ，或， 或； 【小问2详解】 若“”是“”的充分不必要条件， 则集合是集合的真子集， 即时，恒成立， 在上恒成立， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，，当时，， 故， ， 即实数的取值范围为． 16. 某共享储能电站参与电网调频调峰服务，其核心PCS储能变流器的年运维总成本由固定折旧成本和可变损耗成本构成，其中年度固定折旧成本为1万元．经测算，可变损耗成本（单位：万元）与年启停次数（单位：次，）满足函数关系．已知当年启停次数为2时，年运维总成本为6万元；若将视为区间上的连续变量，则当时，年运维总成本取得最小值． （1）求，的值； （2）受区域电网调度能力限制，该变流器年启停次数最多为5次． （i）求年运维总成本的最小值及对应的启停次数； （ii）若恒成立，求实数的最小值． 【答案】（1）， （2）（i）年运维总成本最小值为6万元，对应启停次数为次或次；（ii）8 【解析】 【分析】（1）利用对勾函数最小值点的横坐标公式建立与的等量关系，结合时的总成本列方程，联立求解参数； （2）（i）结合对勾函数的单调性，在限定的正整数范围内计算关键点的函数值，比较得到总成本的最小值；（ii）将恒成立不等式分离参数，构造函数并分析单调性，其最大值即为的最小值. 【小问1详解】 年运维总成本为固定成本加可变损耗成本，即， 对于对勾函数，由基本不等式可知，当即时，函数取得最小值， 由题知最小值点为，因此 ， 又当时，年运维总成本为6万元，代入得 ， 将代入上式得，得，因此， 所以，； 【小问2详解】 （i）由（1）得总成本函数为， 由题意，启停次数且，即， 对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，因此只需比较和处的函数值， ， ， 所以年运维总成本最小值为万元，对应启停次数为次或次； （ii）由得，对恒成立， 令，则， 则， 该二次函数开口向上，对称轴为， 因此时单调递增，所以时取得最大值为， 故，即实数的最小值为. 17. 已知函数，其中． （1）讨论的单调性； （2）若在区间上的最大值为，求的值． 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）先确定函数的定义域，求导得到，讨论导数的符号：当，在定义域内恒正，直接判断单调性；当，解得到极值点，再分区间判断导数符号，确定单调区间； （2）结合（1）的单调性，对参数继续分类讨论，分析在区间上的最大值，令最大值等于，解方程求出. 【小问1详解】 函数的定义域为，对其求导得： .​ 若，则对任意，，即恒成立，因此在上单调递增； 若，令，得，令，解得，单调递增； 令，解得，单调递减. 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由（1）可知： 当时，在上单调递增，最大值为，令，得，与矛盾，舍去； 当即时，在上单调递减，最大值为，令，得，符合条件； 当即时，在上单调递增，最大值为，令，得，与矛盾，舍去； 当即时，在上单调递增，在上单调递减，最大值为， 令，得，与矛盾，舍去. 综上，. 18. 已知定义在上的多项式函数满足：对任意实数，，都有，且． （1）求和的值； （2）求的解析式，并用定义法证明在区间上单调递增； （3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 参考结论：若一个多项式有无穷多个零点，则该多项式恒为零，即非零多项式仅有有限个零点． 【答案】（1），； （2）， 任取,则 . 由，得，故，即， 因此在区间上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）令代入已知函数方程，可求；令代入方程，结合可求； （2）令，可得，结合累加法和多项式性质得，再利用单调性定义证明函数的单调性； （3）先将不等式转化为关于的二次不等式，分离参数，转化为求对应函数在上的最值问题. 【小问1详解】 令，，得，故， 令，，得，故. 【小问2详解】 令，得， 即. 当，且时，由累加法得: , 当时，也符合上式， 所以当时，. 记, 由上述累加法可知所有正整数均满足，即函数有无穷个零点， 根据参考结论可得，， 所以，. 单调性证明略 【小问3详解】 不等式，即. 令，解得或. 因此原不等式等价于对任意,恒有或, 整理得或对任意恒成立. 设，由对勾函数性质， 在区间上单调递减,在区间上单调递增，， 故在区间上的最大值为3. 因此，即， 设，由对勾函数性质，在区间上单调递增，最小值为. 因此，即. 综上,实数的取值范围为. 19. 已知函数，．对任意，方程在区间上有唯一实根，记为． （1）由恒等式求的表达式（用表示），并证明在区间上严格递减； （2）证明：对任意，有且； （3）证明：对任意，，有． 【答案】（1）， 设，  ，  当时，,且等号不能同时成立，故. 所以在上单调递增，又， 所以当时，， 结合时，，可得当时，， 所以，，故， 且（，）， ， 因此， 所以函数，即在上严格递减， （2）设，， 则，所以在上单调递增， 所以对任意，， 所以对任意，由，又， 所以. 取，则， 故. 对任意，因为， 所以. 取，则， 即. 两边取对数,得. （3）令，. 则. 由（1）知在区间上严格递减，又， 故， 从而. 所以在区间上严格递减. 又, 因此当时，. 令，得， 即. 【解析】 【分析】（1）对恒等式两边关于求导，结合的导数表达式，求解得到的表达式，令，对求导，根据导数符号以及的取值范围，判断的符号即可证明； （2）利用导数证明对任意，都有，由此证明，取，即可证明，再通过证明，证明； （3）令，，证明函数在区间上严格递减，由此证明当时，，令，即可证明结论. 【小问1详解】 由题意， 对左右两边同时求导， 得，故. 证明略； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $