精品解析：广东惠州市铁路学校2026-2027学年上学期第一次阶段考九年级数学试卷

2026-2027学年上学期第一次阶段考 九年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】各选项均为整式方程，只需依据未知数个数与最高次数逐一判断是否为一元二次方程． 【详解】解：选项A：只含1个未知数，最高次数为1，不符合题意； 选项B：只含1个未知数，最高次数为2，符合题意； 选项C：只含1个未知数，最高次数为3，不符合题意； 选项D：含2个未知数，不符合题意． 2. 若，是方程的两根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：方程中，，， 由根与系数的关系得，． 3. 抛物线的顶点坐标（　　） A. （1，3） B. （） C. （） D. （） 【答案】C 【解析】 【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标． 【详解】解：由， 根据，顶点坐标是， 可知顶点坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数顶点式，顶点坐标是，对称轴是，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 4. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数根等价于根的判别式大于等于0，列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵ 一元二次方程有实数根， ∴根的判别式， 方程中，代入得 ， 即， 解得． 5. 已知点和都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的增减性，并利用增减性比较函数值的大小问题，能够理解在二次函数中比较函数值大小的方法并灵活运用是解决问题的关键．利用二次函数的增减性比较大小即可． 【详解】解；由题知：抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线开口向下， 离对称轴越远则函数值越小， 题中三个点离直线距离由远及近为， 故选：B． 6. 将抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则，左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的抛物线的解析式为； 故选：B． 7. 对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ） A. 开口向下 B. 顶点坐标为 C. 当时，函数有最大值3 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵二次函数中， ∴图象开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值， 当时，随的增大而减小， ∴选项A、C、D正确，B错误． 8. 二次函数的图象大致是（ ） A.   B. C. D.     【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式的性质，由的符号判断开口方向，由确定顶点位置及对称轴． 【详解】解：， 抛物线开口向下，故 C、D不符合题意； 顶点坐标为， 顶点在第二象限，对称轴为直线在轴左侧，故A不符合题意，故B符合题意． 9. 随着人工智能技术的飞速发展，某科技公司投入研发资金进行人工智能项目开发．已知该公司在2023年投入研发资金为110万元，到2025年累计共投入研发资金384万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，求该公司投入研发资金的年平均增长率是多少？设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程解决增长率问题，关键点是“累计共投入”，包括2023年、2024年和2025年的投入总和，设年平均增长率为x，则2024年投入为万元，2025年投入为万元，累计投入为万元． 【详解】解：∵ 2023年投入为110万元， 设年平均增长率为x， ∴ 2024年投入为万元， 2025年投入为万元， ∵ 累计投入为384万元， ∴． 故选：D． 10. 在长为，宽为的长方形田地中开辟三条宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为，求道路的宽度．设道路的宽度为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余田的面积为468列出方程即可． 【详解】解：设入口的宽度为x m，由题意得： （30-2x）（20-x）=468． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知△ABC的两条边分别是2和3，第三边长是方程x2－7x＋10＝0的一个根，则△ABC的周长为_________ 【答案】7 【解析】 【分析】先解方程，然后利用三角形三边关系确定三角形的第三边长，最后求三角形的周长. 【详解】解：解方程x2－7x＋10＝0得：（x-2）(x-5)=10 ∴ ∵2+3=5， ∴三角形第三边长为2 ∴△ABC的周长为2+2+3=7. 【点睛】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系，熟练掌握因式分解法解方程及三角形两边之和大于第三边是本题的解题关键. 12. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据列出关于的方程解答即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 13. 已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义将转化为含的代数式，代入所求式子化简后，结合根与系数的关系计算结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，， 即， 则 ． 14. 某种药原来每瓶售价为40元，经过两次降价，现在每瓶售价为25.6元，若设平均每次降低的百分率为，根据题意列出方程为______________________． 【答案】 【解析】 【分析】设平均每次降低的百分率为x，根据某种药原来每瓶为40元，经过两次降价，现在每瓶售价25.6元列出方程，解方程即可． 【详解】设平均每次降低的百分率为x，根据题意得：40（1﹣x）2=25.6． 故答案为40（1﹣x）2=25.6． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 15. 如图，一名男生将实心球从A处掷出，球所经过的路线是抛物线的一部分，则这个男生将球掷出的水平距离为___________m． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用——投球问题．解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系． 球的落地点为，解一元二次方程即可． 【详解】时，， 解得（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴球掷出的水平距离OB为， 故答案为：10． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 解下列方程： （1）（用因式分解法）； （2）（用公式法）； （3）（用配方法）． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【小问1详解】 解：因式分解得， 则或， 解得； 【小问2详解】 解：， ，，，， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：整理得， 配方得，即， 开方得， 解得． 17. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）若该方程的一个实数根为1，求另一个实数根； （2）若，是该方程的两个根，且，求的值． 【答案】（1）另一个实数根为 （2）或 【解析】 【分析】（1）设该方程的另一个实数根为m，由根与系数的关系得到，解方程组即可得到答案； （2）由根与系数的关系得到，根据完全平方公式的变形得到，即，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：设该方程的另一个实数根为m， 由根与系数的关系得， 解得， ∴另一个实数根为； 【小问2详解】 解：∵，是该方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或； 当时，，满足题意； 当时，，满足题意； 综上所述，a的值为或． 18. 若函数是二次函数． （1）求k的值； （2）当时，求自变量x的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程． （1）根据二次函数的定义得到，，进而求解即可； （2）当时，，求解即可． 【小问1详解】 解：∵函数是二次函数， ∴，， ∴，， 即； 【小问2详解】 解：由（1）可得，该二次函数为， 当时， ∴， 解得：，． 19. 已知关于x的方程． （1）求证：无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程有一个根为2，求代数式的值． 【答案】（1）证明：将原方程整理为一般形式，得， ∴， 又∵， ∴，即， ∴ 无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）利用判别式求解即可； （2）把代入原方程推出，再根据代入求值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵该方程有一个根为2， ∴， ∴， ∴， ∴． 20. 利民商场销售一种成本为20元/千克的水果，按24元/千克销售，每天可售出320千克．经过市场调查发现：每千克涨价1元，每天销售量就减少20千克，商场规定售价不低于24元/千克． （1）当这种水果售价为28元/千克时，分别求出每天的销售量和利润； （2）当商场这种水果每天销售利润为1500元时，求这种水果的售价； （3）请通过计算说明，这种水果每天销售利润能否达到2200元？如果能，求出相应售价．如果不能，请说明理由． 【答案】（1）每天销售量为240千克，每天利润为1920元 （2）25元/千克或35元/千克 （3）不能，设这种水果的售价为元/千克，依题意可列方程为， 整理得：， 此时方程，方程无实数解， 这种水果每天销售利润不能达到2200元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是根据题意，列出方程． （1）求出每天销售量，即可求解； （2）设这种水果的售价为元/千克，依题意列出方程，再解一元二次方程，即可解答本题； （3）设这种水果的售价为元/千克，，依题意列出方程，再利用判别式解答即可． 【小问1详解】 解：当这种水果售价为28元/千克时， 每天销售量为：（千克）， 每天利润为：（元）， 当这种水果售价为28元／千克时，每天销售量为240千克，每天利润为1920元． 【小问2详解】 解：设这种水果的售价为元/千克， 依题意可列方程为，， 整理得， 解得 当时，销售量为300千克；当时，销售量为100千克． 这种水果的售价为25元/千克或35元／千克时，商场每天销售利润为1500元． 【小问3详解】 略 21. 已知抛物线． （1）图象的开口方向为__________，对称轴是__________，顶点坐标是__________； （2）分别求出抛物线与x轴，y轴的交点坐标； （3）在给出的平面直角坐标系中，作出（1）（2）中的点和线； （4）观察图象：当时，x的取值范围为__________；当时，y的最小值为__________，最大值为__________． 【答案】（1）向下；直线； （2）抛物线与x轴交点坐标为或；与y轴交点坐标为 （3）作出（1）（2）中的点和线如下： （4）；； 【解析】 【分析】（1）根据a的正负，判断开口方向，把解析式利用配方法得到顶点式，可得出顶点坐标； （2）令，解一元二次方程，求出x的值，即可得出抛物线与x轴的交点坐标，令，得出y的值，即可得出抛物线与y轴的交点坐标； （3）根据给出的交点、顶点及对称轴可画出图象； （4）根据函数图象求得即可． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴图象开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问2详解】 解：令，即， 解得，或， 令，则， ∴抛物线与x轴交点坐标为或；与y轴交点坐标为； 【小问3详解】 解：略 【小问4详解】 解：由图象可知，当时，x的取值范围为； 当时，y的最小值为，最大值为． 22. 阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ∵，∴， ∴当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 【类比应用】 （2）已知，（a为任意实数），判断M与N的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）当时，代数式有最小值，最小值为． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴，即． 【解析】 【分析】（1）仿照例题求解即可； （2）利用作差法得到，结合偶次方的非负性可得结论． 【小问1详解】 解： ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最小值，最小值为； 【小问2详解】 略 23. 已知二次函数（m为常数）． （1）求该函数图象的对称轴； （2）若函数在时的最小值为，求m的值； （3）若点，，均在该函数图象上，是否存在实数m使得？ 【答案】（1） （2）或 （3）不存在 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用对称轴公式求解即可； （2）分三种情况讨论求解即可； （3）首先表示出，，，然后根据得到关于t的方程，然后利用根的判别式求解即可． 【小问1详解】 ，， 对称轴为； 【小问2详解】 ①当时， 当时，y随x的增大而增大，最小值在处取得， ， ， 即， 解得：或； ②当时，最小值在对称轴处取得， ，解得（舍去）； ③当时， 当时，y随x的增大而减小，最小值在处取得， ， ， 即， ， 该方程无实数根； 综上所述，m的值为或； 【小问3详解】 将点，，代入函数解析式得， ，，， ， ， 令， ， 整理得，， ，显然矛盾， 因此，不存在实数m使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上学期第一次阶段考 九年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，是方程的两根，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标（　　） A. （1，3） B. （） C. （） D. （） 4. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点和都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 7. 对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ） A. 开口向下 B. 顶点坐标为 C. 当时，函数有最大值3 D. 当时，y随x的增大而减小 8. 二次函数的图象大致是（ ） A.   B. C. D.     9. 随着人工智能技术的飞速发展，某科技公司投入研发资金进行人工智能项目开发．已知该公司在2023年投入研发资金为110万元，到2025年累计共投入研发资金384万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，求该公司投入研发资金的年平均增长率是多少？设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在长为，宽为的长方形田地中开辟三条宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为，求道路的宽度．设道路的宽度为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知△ABC的两条边分别是2和3，第三边长是方程x2－7x＋10＝0的一个根，则△ABC的周长为_________ 12. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值等于______． 13. 已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 14. 某种药原来每瓶售价为40元，经过两次降价，现在每瓶售价为25.6元，若设平均每次降低的百分率为，根据题意列出方程为______________________． 15. 如图，一名男生将实心球从A处掷出，球所经过的路线是抛物线的一部分，则这个男生将球掷出的水平距离为___________m． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 解下列方程： （1）（用因式分解法）； （2）（用公式法）； （3）（用配方法）． 17. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）若该方程的一个实数根为1，求另一个实数根； （2）若，是该方程的两个根，且，求的值． 18. 若函数是二次函数． （1）求k的值； （2）当时，求自变量x的值． 19. 已知关于x的方程． （1）求证：无论m取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程有一个根为2，求代数式的值． 20. 利民商场销售一种成本为20元/千克的水果，按24元/千克销售，每天可售出320千克．经过市场调查发现：每千克涨价1元，每天销售量就减少20千克，商场规定售价不低于24元/千克． （1）当这种水果售价为28元/千克时，分别求出每天的销售量和利润； （2）当商场这种水果每天销售利润为1500元时，求这种水果的售价； （3）请通过计算说明，这种水果每天销售利润能否达到2200元？如果能，求出相应售价．如果不能，请说明理由． 21. 已知抛物线． （1）图象的开口方向为__________，对称轴是__________，顶点坐标是__________； （2）分别求出抛物线与x轴，y轴的交点坐标； （3）在给出的平面直角坐标系中，作出（1）（2）中的点和线； （4）观察图象：当时，x的取值范围为__________；当时，y的最小值为__________，最大值为__________． 22. 阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ∵，∴， ∴当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 【类比应用】 （2）已知，（a为任意实数），判断M与N的大小关系，并说明理由． 23. 已知二次函数（m为常数）． （1）求该函数图象的对称轴； （2）若函数在时的最小值为，求m的值； （3）若点，，均在该函数图象上，是否存在实数m使得？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $