精品解析：广东深圳市南山外国语学校（集团）大冲学校2026-2027学年九年级上学期数学10月学情自测

2026－2027学年度第一学期九年级10月份学情调查 数学学科 一、选择题（共8小题，共24分） 1. 如图所示几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图．从左边看得到的图形是左视图．根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从几何体的左面看，是一个带着圆心的圆，右边的圆柱底面从左边看不到，是一个用虚线表示的圆．只有符合题意． 故选：C． 2. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的概念是解决本题的关键． 根据一元二次方程的概念，即只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程，由此概念判断选项即可． 【详解】解：A选项，不是整式方程，不符合题意； B选项，中，若，方程就不是一元二次方程了，不符合题意； C选项，可变形为，满足一元二次方程的概念，符合题意； D选项，中未知数的最高次数是3，不符合题意． 故选：C ． 3. 生活中到处可见黄金分割的美，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点是的黄金分割点（），如果长为，那么的长约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点，掌握黄金分割是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，用分数表示为是解答本题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得·：， 故选：C． 4. 如图，已知，，若，则的长为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段成比例定理，由线段成比例定理可得，代入数据计算即可得解，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 5. 如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球，球在地面上的阴影的形状是一个圆，当把白炽灯向上远移时，圆形阴影的大小的变化情况是（　　） A. 越来越小 B. 越来越大 C. 大小不变 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【详解】当点光源在物体上方，向下照射物体时，点光源离物体越近，影子越大，点光源离物体越远，影子越小．故圆形阴影越来越小． 故选A. 6. 《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验. 如图所示的实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（　）． A. B. 4 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质的应用，“相似三角形对应高线的比等于相似比”，据此即可求解． 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形的性质得， 解得． 即蜡烛火焰的高度是． 故选：A 7. 下列说法正确的是（ ） A. 已知线段，点是的黄金分割点，则 B. 已知，，，，则，，，是成比例线段 C. 方程有两个实数解 D. 对角线相等且垂直的四边形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】根据黄金分割的含义，成比例线段，一元二次方程根的判别式的应用，正方形的判定，再逐一分析判断即可． 【详解】解：∵线段，点是的黄金分割点， ∴， ∴，故A符合题意； ∵，，，， ∴， ∴，，，不是成比例线段，故B不符合题意； ∵， ∴， ∴方程没有实数根；故C不符合题意； ∵对角线相等且垂直的平行四边形是正方形， ∴D不符合题意； 故选：A 【点睛】本题考查的是黄金分割的含义，成比例线段，一元二次方程根的判别式的应用，正方形的判定，掌握以上基础知识是解本题的关键． 8. 如图，四边形为正方形，延长至点E，使得，连接，过点C作于点H，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质．设，则，利用勾股定理求得，再证明，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴设，则，记与交于点， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（共5小题，共15分） 9. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据可设，再将代入计算可求解． 【详解】解：∵， ∴设， ． 10. 如图，菱形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，若AC=4cm，BD=6cm，则菱形ABCD的面积是___. 【答案】12 【解析】 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半解答． 【详解】∵AC=4cm，BD=6cm， ∴菱形ABCD的面积为 ×AC×BD=12（cm2）． 故答案为：12． 【点睛】此题考查菱形的性质，解题关键在于利用对角线求面积的方法，在求菱形的面积中用得较多，需要熟练掌握． 11. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】由于关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，由此可以得到，并且方程的判别式，由此即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且， 且． 12. 如图，在矩形中，点在边上，点是的中点，，，，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、直角三角形斜边中线定理、勾股定理，利用直角三角形斜边中线定理求出的长度是解题的关键． 由直角三角形斜边中线定理得，由勾股定理得，设，则，在中，由勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点是的中点， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 在中， ， ∴， 解得，即． 故答案为：． 13. 如图，点在内，，，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】作交的延长线于，作交的延长线于，则，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理可得，，从而得到，，再由含角的直角三角形的性质和勾股定理可得，证明，可得，从而得到，，计算出，最后再由勾股定理进行计算即可． 【详解】解：如图，作交的延长线于，作交的延长线于， ， 则， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解此题的关键． 三、解答题（共7小题，共61分） 14. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 整理得：， 直接开平方得：， 解得：； 【小问2详解】 解：， 因式分解得：， 或， 解得：． 15. 已知：在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长均是1个单位长度）． （1）画出向下平移4个单位长度得到的，点的坐标是_______； （2）以点为位似中心，在指定网格的范围中画出，使与位似，且位似比为，点的坐标是________： （3）根据图形，与是关于某一点为位似中心的位似图形，点的坐标为_______，位似比的值为_______； 【答案】（1） 如图：即为所求， （2） 如图：即为所画，点的坐标为． （3） 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中的图形变换（平移、位似），解题的关键是掌握平移的坐标变化规律和位似图形的性质． （1）根据平移的坐标变化规律，确定点的坐标； （2）以点为位似中心，按位似比缩放得到，确定的坐标； （3）根据位似图形的对应点连线交点确定位似中心，并计算位似比． 【小问1详解】 图形向下平移4个单位长度，坐标变化规律为“纵坐标减4”， 因为点的坐标为， 所以点的坐标为． 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图：连接并延长，其交点即为位似中心， 通过网格可得点的坐标为， 与的位似比为对应边的长度比，结合图形得位似比为． 故答案为：． 16. 如图，菱形的对角线、相交于点O． （1）尺规作图：过点D作，且，并使得点E在点D的左侧，连接，；（不用说明作图过程，保留作图痕迹） （2）在（1）的作图要求下，完成下边两问： ①求证：四边形为矩形； ②若菱形的边长为4，，求的长． 【答案】（1） 解：作图如下： （2） ①证明：由作法知：， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， 即， ∴四边形是矩形； ② 【解析】 【分析】本题考查了作三角形，平行四边形的判定与性质，矩形的判定，菱形的性质，等边三角形的判定与性质及勾股定理等知识，涉及较多的知识，熟练掌握这些知识并灵活运用是关键； （1）分别以D、C为圆心，以为半径画弧，两弧交于点E，则，且； （2）①由菱形的性质及作图即可证明； ②由题意得是等边三角形，则，，从而得的长，在中，利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，四边形是矩形， ∴，， 由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：． 17. 如图，，与交于点E，且，，． （1）求的长． （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，关键是根据题目灵活选取相似三角形的判定方法． （1）由可得，由相似三角形的性质即可求得结果； （2）证明，再根据，即可证明． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 18. 为了更好推广广东本地美食——绿豆饼，让我们一起制定销售方案吧： 主题：绿豆饼销售方案制定问题 广东本地美食绿豆饼历史悠久，为了能吸引不同口味需求的人流进店消费，某店推出“榴莲绿豆饼”，“抹茶绿豆饼”两个新品． 素材1 榴莲绿豆饼：每份21元 抹茶绿豆饼：每份19元 素材2 经统计，该店7月份“榴莲绿豆饼”销售量为500份，9月份销售量为720份；而“抹茶绿豆饼”9月份销售量为660份． 素材3 为了尽快减少库存，决定10月份对“抹茶绿豆饼”作降价促销，已知每份“抹茶绿豆饼”的成本为10元．经试验，发现该款抹茶绿豆饼每降价1元，月销售量就会增加110份． 问题解决 任务1 求该甜品店“榴莲绿豆饼”7月份到9月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 为了使该店10月份“抹茶绿豆饼”的总利润达到6160元，求该抹茶绿豆饼应该降价多少元？ 【答案】任务1：；任务2：2元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据增长率问题和利润问题的数量关系，建立一元二次方程求解． 任务1，设月平均增长率为，根据7月份销售量和9月份销售量的关系，列出一元二次方程求解； 任务2，设“抹茶绿豆饼”应该降价元，则每份的利润为元，月销售量为份，由题意列一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：任务1： 设月平均增长率为，根据7月份销售量和9月份销售量的关系，列出一元二次方程求解． 设该店“榴莲绿豆饼”7月份到9月份销售量的月平均增长率为， 由题意得， 解得； 任务2： 设“抹茶绿豆饼”应该降价元，则每份的利润为元，月销售量为份， ， 解得或， 为了尽快减少库存，， 答：为了使该店10月份“抹茶绿豆饼”的总利润达到6160元，求该抹茶绿豆饼应该降价2元． 19. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． （1）根据上述定义，是“________倍根方程”； （2）若关于的方程是“三倍根方程”，求的值； （3）直线：与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围． 【答案】（1）四 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与几何综合，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键． （1）利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义求解即可； （2）由题意可设这个方程的两个根分别为，则由根与系数的关系可得，据此求解即可； （3）利用待定系数法求出直线解析式为；再根据题意可得，则可得点P在直线上，求出直线与直线的交点坐标，直线与直线的交点坐标，根据点在的内部（不包含边界），结合函数 图象即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵， ∴是“四倍根方程”； 【小问2详解】 解：∵关于的方程是“三倍根方程”， ∴可设这个方程的两个根分别为， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设直线解析式为， 把代入到中得， ∴， ∴直线解析式为； ∵一个五倍根方程的两个根为和， ∴， ∴点P的坐标为， ∴点P在直线上， 联立，解得， 联立，解得， ∵点在的内部（不包含边界）， ∴． 20. 我们规定：有一组邻边相等的四边形，称为“等邻边四边形”．据此，请解决以下问题： （1）下列一定是等邻边四边形的是_____． ①平行四边形 ②菱形 ③矩形 ④正方形 （2）如图1，点是菱形对角线上一动点，将沿翻折至，点是点的对应点，与交于点，连接．求证：． （3）如图2，在（2）的条件下，点运动过程中，若线段恰好经过点，求证：四边形是等邻边四边形． （4）如图3，点是正方形对角线上一动点，将沿翻折至，点是点的对应点，，与交于点，连接．若四边形是等邻边四边形，请直接写出的值． 【答案】（1）②④ （2） 证明：四边形是菱形 ， 即． 由翻折可得， ． 又， ， ， 即. ， ； （3） 证明：四边形是菱形， 点、点关于对称， ． 由翻折可得， ， 由（2）可知， ， 为等边三角形，， 即四边形是等邻边四边形； （4）或 【解析】 【分析】对于（1），根据等邻边四边形的定义解答即可； 对于（2），根据菱形的性质得，再根据翻折的性质说明，可得，然后根据“两边成比例且夹角相等得两个三角形相似”得出答案； 对于（3），根据菱形的性质得，再说明为等边三角形，则此题可解； 对于（4），分两种情况：当时，可知为等边三角形，先求出，再根据勾股定理求出，此题可解；当时，可得，作，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵菱形和正方形的四边都相等， ∴有一组邻边相等， 所以等邻边四边形的是菱形，正方形； 故答案为：②④； 【小问2详解】 证明：略； 【小问3详解】 证明：略； 【小问4详解】 解：或． ∵， ∴翻折后，， ∴， ①当时，可知为等边三角形， 由翻折可得， 过作于， ． ， ， ， 解得， ； ②当时，可知， 由（2）得，， ， ， 过作于， 在中，， ∴． 在中，， ∴， ∴， ， ． 所以的值为或． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定，理解新定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年度第一学期九年级10月份学情调查 数学学科 一、选择题（共8小题，共24分） 1. 如图所示几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 生活中到处可见黄金分割的美，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点是的黄金分割点（），如果长为，那么的长约为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，，若，则的长为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 5. 如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球，球在地面上的阴影的形状是一个圆，当把白炽灯向上远移时，圆形阴影的大小的变化情况是（　　） A. 越来越小 B. 越来越大 C. 大小不变 D. 不能确定 6. 《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验. 如图所示的实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（　）． A. B. 4 C. D. 5 7. 下列说法正确的是（ ） A. 已知线段，点是的黄金分割点，则 B. 已知，，，，则，，，是成比例线段 C. 方程有两个实数解 D. 对角线相等且垂直的四边形是正方形 8. 如图，四边形为正方形，延长至点E，使得，连接，过点C作于点H，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，共15分） 9. 若，则______． 10. 如图，菱形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，若AC=4cm，BD=6cm，则菱形ABCD的面积是___. 11. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 12. 如图，在矩形中，点在边上，点是的中点，，，，则的长为_______． 13. 如图，点在内，，，，，则________． 三、解答题（共7小题，共61分） 14. 解方程： （1）； （2）． 15. 已知：在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为、、（正方形网格中每个小正方形的边长均是1个单位长度）． （1）画出向下平移4个单位长度得到的，点的坐标是_______； （2）以点为位似中心，在指定网格的范围中画出，使与位似，且位似比为，点的坐标是________： （3）根据图形，与是关于某一点为位似中心的位似图形，点的坐标为_______，位似比的值为_______； 16. 如图，菱形的对角线、相交于点O． （1）尺规作图：过点D作，且，并使得点E在点D的左侧，连接，；（不用说明作图过程，保留作图痕迹） （2）在（1）的作图要求下，完成下边两问： ①求证：四边形为矩形； ②若菱形的边长为4，，求的长． 17. 如图，，与交于点E，且，，． （1）求的长． （2）求证：． 18. 为了更好推广广东本地美食——绿豆饼，让我们一起制定销售方案吧： 主题：绿豆饼销售方案制定问题 广东本地美食绿豆饼历史悠久，为了能吸引不同口味需求的人流进店消费，某店推出“榴莲绿豆饼”，“抹茶绿豆饼”两个新品． 素材1 榴莲绿豆饼：每份21元 抹茶绿豆饼：每份19元 素材2 经统计，该店7月份“榴莲绿豆饼”销售量为500份，9月份销售量为720份；而“抹茶绿豆饼”9月份销售量为660份． 素材3 为了尽快减少库存，决定10月份对“抹茶绿豆饼”作降价促销，已知每份“抹茶绿豆饼”的成本为10元．经试验，发现该款抹茶绿豆饼每降价1元，月销售量就会增加110份． 问题解决 任务1 求该甜品店“榴莲绿豆饼”7月份到9月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 为了使该店10月份“抹茶绿豆饼”的总利润达到6160元，求该抹茶绿豆饼应该降价多少元？ 19. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． （1）根据上述定义，是“________倍根方程”； （2）若关于的方程是“三倍根方程”，求的值； （3）直线：与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围． 20. 我们规定：有一组邻边相等的四边形，称为“等邻边四边形”．据此，请解决以下问题： （1）下列一定是等邻边四边形的是_____． ①平行四边形 ②菱形 ③矩形 ④正方形 （2）如图1，点是菱形对角线上一动点，将沿翻折至，点是点的对应点，与交于点，连接．求证：． （3）如图2，在（2）的条件下，点运动过程中，若线段恰好经过点，求证：四边形是等邻边四边形． （4）如图3，点是正方形对角线上一动点，将沿翻折至，点是点的对应点，，与交于点，连接．若四边形是等邻边四边形，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $