精品解析：辽宁省沈阳市辽中区第二初级中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

十月份综合素质评价九年级数学试卷 试题满分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将符合题目要求的选项字母填写在下表中对应的题号下面） 1. 下列方程属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】明确一元二次方程的判定条件需同时满足三个要求：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数为2 ；③是整式方程（分母不含未知数）． 【详解】解：选项A，方程含x、y两个未知数，不属于一元二次方程，不符合题意； 选项B，方程只含有1个未知数x，未知数的最高次数为2，且是整式方程，同时满足三个判定要求，属于一元二次方程，符合题意； 选项C，方程的分母中含未知数x，是分式方程，不属于一元二次方程，不符合题意； 选项D，方程的未知数最高次数为3，不属于一元二次方程，不符合题意． 2. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A. 对边平行 B. 对边相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质、平行四边形的性质逐项进行判断即可． 【详解】A.对边平行是菱形和一般平行四边形都具有的性质，故A不正确； B.对边相等是菱形和一般平行四边形都具有的性质，故B不正确；           C.对角线互相平分是菱形和一般平行四边形都具有的性质，故C不正确；           D.对角线互相垂直是菱形具有而一般平行四边形不具有的性质，故D正确；      故选：D． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，菱形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用菱形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，菱形的对角线互相垂直． 3. 若一元二次方程的两个根分别为和，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵ 在方程中，，， ∴ ． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 有一个角是直角的四边形是矩形 B. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的四边形是正方形 D. 对角线相等的四边形是矩形 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，原说法错误，不符合题意； B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，原说法正确，符合题意； C、对角线互相垂直的矩形是正方形，原说法错误，不符合题意； D、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，不符合题意； 5. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方程两边同时加16即可配方. 【详解】由题得方程为，方程可变为，进行配方后可得；方程式最后可得. 故答案选C. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的方式，注重考查了配方法，仔细审题，并熟悉一元二次方程的变形公式即可解题. 6. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA=2，则BD的长为( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】因为矩形的对角线相等且互相平分，已知OA=2，则AC=2OA=4，又BD=AC，故可求． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形 ∴OC=OA，BD=AC 又∵OA=2， ∴AC=OA+OC=2OA=4 ∴BD=AC=4 故选A． 【点睛】本题考查矩形的对角线的性质．熟练掌握矩形对角线相等且互相平分是解题的关键. 7. 某商品原价每件200元，连续两次降价，每次降价百分率为x，现价128元，列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连续两次降价的每次计算基数为上一次降价后的价格． 【详解】解：第一次降价后售价为元． 第二次在第一次降价后的售价基础上降价，售价为元． 已知现价为128元，列方程得． 8. 如图，在菱形中，，，交 于点O，于点E，连接，则的长为 （ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识点，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半成为解题的关键．由菱形的性质可得，再运用勾股定理可得，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：∵在菱形中，， ， ， ， ， ， 故选：A． 9. 如图，将两条等宽的纸条重叠在一起，重叠部分为四边形，若，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与性质，平行四边形的面积公式，理解纸条等宽的条件是解题关键． 先由纸条对边平行判定四边形为平行四边形，再结合纸条等宽，利用面积公式推导出邻边相等，确定其为菱形，最后根据菱形四边相等的性质计算出周长． 【详解】解：如图，过点作于点E，于点F，则， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形， ， 四边形的周长为． 故选：． 10. 如图，将矩形对折，使与边重合，得到折痕，再将点A沿过点D的直线折叠到上，对应点为，折痕为，，，则的长度为（ ） A. B. 4 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，折叠问题，勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键．由折叠的性质得，，，，由勾股定理求出的长，再证四边形是矩形，即可求出的长． 【详解】解：由折叠的性质得，，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故选： A． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解为_____________． 【答案】， 【解析】 【分析】将方程移项整理后，提取公因式因式分解，即可求出方程的解． 【详解】解： ， ， 或 ， ，． 12. 如图，点是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则________． 【答案】＃＃50度 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．首先需要确定矩形的性质，包括对角线的长度和角度，然后通过比较线段长度来确定角度关系，最后通过计算来确定所求的角度． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴, ∴, ∵, ∴， ∴． 故答案为：． 13. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是______． 【答案】 且 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，方程有实数根可得根的判别式，列出不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ∴，解得； 方程有实数根， ∴， 化简得； 解得； 综上，实数的取值范围为且． 14. 在矩形中，，，动点P，Q同时出发，点P从点A出发以的速度向点B运动，到点B处停止运动，点Q从点C出发以的速度向点D运动，当点P和点Q之间的距离是时，P，Q两点出发了_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】作于点，设运动时间为，证明四边形是矩形，由题意分别表示出，，，由勾股定理得， 解方程即可． 【详解】解：作于点，设运动时间为， ， 矩形中，，，， ，，， 四边形是矩形， ，， 点P从点A出发以的速度向点B运动，点Q从点C出发以的速度向点D运动， ，， ， ， ， 解得，或． 15. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于A，B两点，直线的函数表达式为，M为线段的中点，N为直线上一点，P为坐标平面内一点，若以点O，M，N，P为顶点且为边的四边形为矩形，则点N的坐标为_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】求出点、、的坐标，求出点、的坐标；以点O，M，N，P为顶点且为边的四边形为矩形则是以为直角边的直角三角形，据此分情况讨论计算即可． 【详解】解：对于直线， 当时，，则； 当时，，解得，则； 为线段的中点， ； ∵N为直线上一点，直线的函数表达式为， ∴设， ∴，，， ∵P为坐标平面内一点，若以点O，M，N，P为顶点且为边的四边形为矩形， ∴是以为直角边的直角三角形，即或， 当时，， ∴， 解得， ， ∴； 当时，， ∴， 解得， ， ∴； 综上所述，点的坐标为或． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解下列一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）用配方法解方程即可； （2）化成一般形式后，用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ． 【小问2详解】 ， 整理得：， 这里， ， ． 17. 如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB．过点A作，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是正方形． 又， 【解析】 【分析】根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到，根据，即可得出，从而证出，得到． 【详解】略 【点睛】考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 18. 如图，要利用一面墙（墙长为），用的围栏建羊圈，基本结构为三个大小相同的矩形．如果围成的总面积为，求羊圈的边，长各为多少． 【答案】， 【解析】 【分析】设，则，由题意列不等式求出的范围，再根据总面积列方程即可求解． 【详解】解：设，则， 由题意得， 解得， 围成的总面积为， ，即， 解得，， ， ，即， ， 答：羊圈的边，． 19. 如图，在菱形ABCD中，AB＝3，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN． （1）求证：四边形AMDN是平行四边形； （2）填空：①当AM的值为　 　时，四边形AMDN是矩形； ②当AM的值为　 　时，四边形AMDN是菱形． 【答案】（1）见解析；（2）①1.5；②3． 【解析】 【分析】（1）求出△DNE≌△AME，根据全等的性质得出NE＝ME，根据平行四边形的判定得出即可； （2）①根据等边三角形的判定得出△ABD是等边三角形，根据等边三角形的性质求出DM⊥AB，根据矩形的判定得出即可； ②求出△ABD是等边三角形，求出M和B重合，根据菱形的判定得出即可． 【详解】（1）证明：∵点E是AD边的中点， ∴AE＝DE， ∵四边形ABCD是菱形， ∴DC∥AB， ∴∠DNE＝∠AME， 在△DNE和△AME中 ， ∴△DNE≌△AME（AAS）， ∴NE＝ME， ∵AE＝DE， ∴四边形AMDN是平行四边形； （2）解：①当AM＝1.5时，四边形AMDN是矩形， 理由是：连接BD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB＝3， ∵∠DAB＝60°， ∴△ADB是等边三角形， ∴AD＝BD＝3， ∵AM＝1.5，AB＝3， ∴AM＝BM， ∴DM⊥AB， 即∠DMA＝90°， ∵四边形AMDN是平行四边形， ∴四边形AMDN是矩形， 即当AM＝1.5时，四边形AMDN是矩形， 故答案为：1.5； ②当AM＝3时，四边形AMDN是菱形， 理由是，此时AM＝AB＝3， 即M和B重合， ∵由①知：△ABD是等边三角形， ∴AM＝MD， ∵四边形AMDN是平行四边形， ∴四边形AMDN是菱形， 故答案为：3． 【点睛】本题考查菱形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解题关键． 20. 安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量（千克）与每千克降价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求与之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？ 【答案】（1）；（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元． 【解析】 【分析】（1）根据图象可得：当，，当，；再用待定系数法求解即可； （2）根据这种干果每千克的利润×销售量=2090列出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）设一次函数解析式为：，根据图象可知：当，；当，； ∴，解得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）由题意得：， 整理得：，解得：．， ∵让顾客得到更大的实惠，∴. 答：商贸公司要想获利2090元，这种干果每千克应降价9元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和一次函数的应用，读懂图象信息、熟练掌握待定系数法、正确列出一元二次方程是解题的关键． 21. 如图，在四边形中，，，点E是的中点，且平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）已知，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再由等腰三角形的判定求得，进而由菱形的判定定理得结论； （2）根据（1）可得，，证明，再根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， 根据（1）可得，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】该题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 22. 如图，在菱形中，对角线相交于点，点分别是边，线段上的点，连接与相交于点． （1）如图1，连接．当时，试判断点是否在线段的垂直平分线上，并说明理由； （2）如图2，若，且， ①求证：； ②当时，设，求的长（用含的代数式表示）． 【答案】（1）点在线段的垂直平分线上 （2） ①证明：如图，∵四边形是菱形， ， ，， ， ， ． ， ． ， ， ， ． 在中，， ． ． ， ；     ② 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质及垂直平分线的判定证明即可； （2）①根据菱形的性质得出，再由各角之间的关系得出，由含30度角的直角三角形的性质求解即可；③连接．利用等边三角形的判定和性质得出，再由正切函数及全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：如图，点在线段的垂直平分线上． 理由如下：连接． ∵四边形是菱形，对角线相交于点， ． ， ， ∴点在线段的垂直平分线上． 【小问2详解】 ① 略 ②如图，连接． ， ∴是等边三角形． ∵， ∴， 在中，， ， ． ，， ， ． ， ， ． 在中，， 由勾股定理得， ． 【点睛】题目主要考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质及解直角三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 23. 已知函数是自变量．x的函数，当时，称函数为函数的“加和函数”．在平面直角坐标系中，对于函数的图象上一点，称点为点A关于函数的“加和点”，点B在函数的“加和函数”的图象上． 例如：函数，当时，称函数是函数的“加和函数”．在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点A关于函数的“加和点”，点B在函数的“加和函数”的图象上． （1）已知点在函数的图象上． ①n的值为_____________．点A关于函数的“加和点”的坐标为_____________． ②求函数的“加和函数”的函数表达式． （2）点A在函数的图象上，点A关于函数的“加和点”为点B，点B在点A的上方，设点A的横坐标为m． ①当时，求m的值； ②在①的条件下，函数的“加和函数”为函数，直线交y轴于点C，在矩形中，点，，．若将的边构成的图形记为T，矩形的边与图形“T”的交点有两个． （i）请直接写出t的取值范围； （ii）若点E在图形“T”的内部（不包含边界），矩形与图形“T”重叠部分的面积记为，请直接写出t的值． 【答案】（1）①；，② （2）①，②（i）或；（ii） 【解析】 【分析】（1）由“加和点”与“加和函数”的定义即可求解； （2）①由题意得，由“加和点”定义得：，即，则，解方程即可；②（Ⅰ）先求出“加和函数”为，可得，根据点与直线、的相对位置讨论矩形的边与图形“T”的交点个数即可求解，（Ⅱ）根据重合部分为直角三角形，根据面积列二元一次方程求解即可． 【小问1详解】 解：①∵点在函数的图象上， ∴点代入得：， 由定义得：“加和点”为， ∴“加和点”为， 故答案为：，； ②∵， ∴由“加和函数”定义得函数的“加和函数”为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①由题意得， 由“加和点”定义得：，即， ∵在上方，且， ∴， 解得：； ②（Ⅰ）∵， ∴， 函数的“加和函数”为， 当时，， ∴ 当时， ， ， 即：直线与函数交点坐标， 直线与函数交点坐标， ∵矩形，点，，． ∴点， 如图： 当在下方时，此时，矩形的边与图形“T”无交点， 当在上方、下方时，此时，此时矩形的边、与各有一个公共点，两个图形共有两个交点， 当点E与重合时，此时，矩形的边、与各有一个公共点，两个图形共有三个交点， 当在上方、下方时，此时，矩形的边、与各有一个公共点，也与各有一个公共点，两个图形共有四个交点， 当在上时，此时，矩形的边与、各有一个交点，边经过点C，两个图形共有三个交点， 当在上方时，此时矩形的边与、各有一个交点，边与无交点，两个图形共有两个交点， 综上所述：当或，矩形的边与图形“T”有两个公共点， （Ⅱ）记与矩形的边分别交于点，， 则，， 将代入，得， ∴， ∴，， 由矩形与图形“T”重叠部分的面积为，得 ， 解得：，， ∵点E在图形“T”的内部（不包含边界），即， ∴不合题意舍去， 综上所述：． 【点睛】正确理解题意，找出临界状态是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 十月份综合素质评价九年级数学试卷 试题满分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将符合题目要求的选项字母填写在下表中对应的题号下面） 1. 下列方程属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A. 对边平行 B. 对边相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 3. 若一元二次方程的两个根分别为和，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 1 4. 下列说法正确的是（ ） A. 有一个角是直角的四边形是矩形 B. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的四边形是正方形 D. 对角线相等的四边形是矩形 5. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA=2，则BD的长为( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 某商品原价每件200元，连续两次降价，每次降价百分率为x，现价128元，列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，，，交 于点O，于点E，连接，则的长为 （ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 9. 如图，将两条等宽的纸条重叠在一起，重叠部分为四边形，若，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将矩形对折，使与边重合，得到折痕，再将点A沿过点D的直线折叠到上，对应点为，折痕为，，，则的长度为（ ） A. B. 4 C. D. 3 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解为_____________． 12. 如图，点是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则________． 13. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是______． 14. 在矩形中，，，动点P，Q同时出发，点P从点A出发以的速度向点B运动，到点B处停止运动，点Q从点C出发以的速度向点D运动，当点P和点Q之间的距离是时，P，Q两点出发了_____________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于A，B两点，直线的函数表达式为，M为线段的中点，N为直线上一点，P为坐标平面内一点，若以点O，M，N，P为顶点且为边的四边形为矩形，则点N的坐标为_____________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解下列一元二次方程： （1） （2） 17. 如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB．过点A作，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：． 18. 如图，要利用一面墙（墙长为），用的围栏建羊圈，基本结构为三个大小相同的矩形．如果围成的总面积为，求羊圈的边，长各为多少． 19. 如图，在菱形ABCD中，AB＝3，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN． （1）求证：四边形AMDN是平行四边形； （2）填空：①当AM的值为　 　时，四边形AMDN是矩形； ②当AM的值为　 　时，四边形AMDN是菱形． 20. 安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量（千克）与每千克降价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求与之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？ 21. 如图，在四边形中，，，点E是的中点，且平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）已知，，求线段的长． 22. 如图，在菱形中，对角线相交于点，点分别是边，线段上的点，连接与相交于点． （1）如图1，连接．当时，试判断点是否在线段的垂直平分线上，并说明理由； （2）如图2，若，且， ①求证：； ②当时，设，求的长（用含的代数式表示）． 23. 已知函数是自变量．x的函数，当时，称函数为函数的“加和函数”．在平面直角坐标系中，对于函数的图象上一点，称点为点A关于函数的“加和点”，点B在函数的“加和函数”的图象上． 例如：函数，当时，称函数是函数的“加和函数”．在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点A关于函数的“加和点”，点B在函数的“加和函数”的图象上． （1）已知点在函数的图象上． ①n的值为_____________．点A关于函数的“加和点”的坐标为_____________． ②求函数的“加和函数”的函数表达式． （2）点A在函数的图象上，点A关于函数的“加和点”为点B，点B在点A的上方，设点A的横坐标为m． ①当时，求m的值； ②在①的条件下，函数的“加和函数”为函数，直线交y轴于点C，在矩形中，点，，．若将的边构成的图形记为T，矩形的边与图形“T”的交点有两个． （i）请直接写出t的取值范围； （ii）若点E在图形“T”的内部（不包含边界），矩形与图形“T”重叠部分的面积记为，请直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $