精品解析：辽宁鞍山市华育外国语实验学校2026-2027学年上学期九年级第一次学情自测数学试题

华外九年级第一次学情质量检测（数学） 数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（　　） A. ax2+bx+c=0 B. x2﹣2=（x+3）2 C. 2x+3x﹣5=0 D. x2﹣1=0 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义进行判断． 【详解】A、当a=0时，该方程不是一元二次方程，故本选项错误； B、由原方程得到：6x+11=0，不含有二次项，该方程不是一元二次方程，故本选项错误； C、该方程不是一元二次方程，故本选项错误； D、符合一元二次方程的定义，故本选项正确． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数． 2. 将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，得：； 再向上平移5个单位长度，得：， 故选：B． 【点睛】此题主要考查的是二次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 3. 已知方程的两根分别为和，则的值等于（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系：，熟记关系式是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵方程的两根分别为和， ∴， 故选：D． 4. 抛物线y＝5（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（　　） A. （2，﹣3） B. （2，3） C. （﹣2，3） D. （﹣2，﹣3） 【答案】A 【解析】 【分析】由于抛物线y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），由此即可求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点式为，顶点为 ∴抛物线的顶点是坐标为． 故选A． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点坐标公式即可解决问题． 5. 已知二次函数的图象与轴的交点坐标为，，则关于的一元二次方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次函数图象与轴交点的横坐标即为对应一元二次方程的解的关系求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于点，， ∴一元二次方程的解为，． 6. 一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度（单位：米）与经过的时间（单位：秒）满足函数关系式，那么球弹起后又回到地面所经过的时间是（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 【答案】B 【解析】 【分析】球回到地面时高度，代入，然后解方程并检验即可． 【详解】解：当时，，即， 解得或， ∵为球弹起的初始时刻， ∴球弹起后回到地面的时间为秒． 7. 已知二次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知图象可以得到图象与x轴的交点是，又时，图象在x轴下方，由此可以求出x的取值范围． 【详解】解：由图象可知， 当时，的取值范围是， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当时，自变量x的范围，注意数形结合思想的运用. 8. 为传承中华优秀传统文化，某校开展“古法数学趣题探究”活动．同学们以《增删算法统宗》中的“圆中方”问题为素材，设计了如下校园景观方案：在一块圆形空地的正中间修建一个正方形水池，水池的每条边到圆周的距离都相等（如图）均为3米．水池以外的区域全部种植绿植．已知绿植部分的面积为72平方米，设正方形水池的边长为米．下列方程中，能正确表示圆面积、正方形面积与绿植面积之间数量关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形确定圆的半径与正方形边长的关系，利用“绿植面积圆面积正方形面积”列出方程即可． 【详解】解：设正方形水池的边长为米， 水池的每条边到圆周的距离均为米，且正方形中心到边的距离为边长的一半， 圆的半径． 绿植部分的面积为平方米， 圆面积正方形面积， 即． 9. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 图象开口向上 B. 图象的对称轴是直线 C. 图象与x轴只有一个交点 D. 图象经过原点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．根据二次函数解析式，得出该函数图象的信息，然后依次判断各选项即可． 【详解】解：∵， ∴图象开口向下， 图象的对称轴是直线， ∵， ∴图象与x轴有两个交点， 当时，， ∴图象经过原点， 观察四个选项，D选项正确， 故选：D． 10. 新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是（ ） A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，一元二次方程的定义，理解题目中的新定义是解题的关键；利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”， ∴， ∴， ， 解得：， ， ∵， ∴， 当时，能取的最小值是2024， 故选：． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解是 _____． 【答案】 ， 【解析】 【详解】解：原方程移项得， 提取公因式得，即， ∴或， 解得，. 12. 关于x的一元二次方程的两个根分别是与，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用直接开平方法解方程得到方程的两根互为相反数，则，则可计算出即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 13. 某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为，则的长为___________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点，熟练掌握该知识点并准确计算是解题的关键．将代入，求得点的坐标，然后根据对称性，得到的长度，最后求得的长度即可． 【详解】解：将代入，得到， 解得，或（舍） ， ， 从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同， ， ， 故答案为：18． 14. 如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，若种植花苗的面积为，则道路的宽为 _______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设道路的宽为，则剩余空地可合成长为，宽为的矩形，根据种植花苗的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设道路的宽为，则剩余空地可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴道路的宽为． 故答案为：1． 15. 抛物线如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是_______． 【答案】；5 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数最值问题，根据解析式求出对称轴，开口方向和顶点坐标，进而得到离对称轴越远函数值越大，再确定当且仅当时，函数有最大值并计算出最大值即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，即最小值为 ∴离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴当时，当且仅当时，函数有最大值，最大值为， 故答案为；；5． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （）移项，利用直接开平方法解答即可； （）移项，利用公式法解答即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 即或， 解得，； 【小问2详解】 ， ， ，，， ∵ ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 17. 已知关于的方程． （1）当该方程的一个根为时，求方程的另一个根； （2）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1） 方程的另一个根为； （2） 证明：∵方程中，，，， ∴， ∵不论取何实数，， ∴，即， ∴ 不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】（1）将已知根代入方程求出参数，再解方程得到另一根； （2）计算一元二次方程的判别式，配方后证明其恒大于0． 【小问1详解】 解：将代入方程， 则， ， 解得， ∴ 原方程为， ， ， 或， ，， ∴方程的另一个根为．  【小问2详解】 略 18. 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染多少台电脑？ 【答案】8台 【解析】 【详解】试题分析：解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染台电脑 依题意得：， 解得 （舍去）， ∴ ． 答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台． 考点：二元一次方程的实际应用 点评：该题是常考题，主要考查学生对二元一次方程实际应用中对题意的分析和列式． 19. 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ 【答案】 每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑 【解析】 【分析】设每轮平均一台电脑感染的台数为未知数，根据两轮感染后总感染台数为81列一元二次方程，舍去不合题意的负根得解. 【详解】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑， 根据题意，得 ， 解得，， ∵ 感染台数不能为负数， ∴  不符合题意，舍去， ∴ 答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑. 20. 综合与实践： 灵山是“中国荔枝之乡”，灵山荔枝以果大核小、清甜多汁闻名遐迩，探索国家地理标志保护、请你根据下面信息和素材，运用数学知识帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在农科院技术人员的正确指导下，果农对荔枝种植养护技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2024年荔枝年产量是5000千克，2026年达到了7200千克，年增长率基本相同． 素材二 荔枝一般用长方体包装盒包装后进行售卖． （1）任务1：求荔枝年产量的平均增长率； （2）任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2），为了装下适当数量的荔枝，需要设计底面积为的纸盒，计算此时纸盒的高． （3） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设荔枝年产量的年平均增长率为，根据连续年增长后年产量增长为千克，列方程求解； （2）设裁掉的正方形的边长为，则长方体纸盒的底面长为，宽为，根据长方体纸盒底面积为，列方程求出裁掉的正方形的边长，正方形的边长即为长方体的高． 【小问1详解】 解：设荔枝年产量的年平均增长率为， 根据题意可得：， 解得，(不符合题意，舍去)； 答：荔枝平均年产量的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：设裁掉的正方形的边长为，则长方体纸盒的底面长为，宽为， 根据题意可得：， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：此时长方体纸盒的高为． 21. 金石滩风景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求每天的销售利润（元）与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）每件销售价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查二次函数和一次函数的应用， （1）设与的函数解析式为，将、代入得到关于、的二元一次方程组，求解即可； （2）根据“总利润每件的利润销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解即可； 解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质． 【小问1详解】 解：设与的函数解析式为，过点、， ∴， 解得：， ∴与的函数解析式为； 【小问2详解】 根据题意知， ， ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴每件销售价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 22. 大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，？ 经过研究，这个问题的一般结论是，其中n是正整数，现在我们来研究一个类似的问题：？ 观察下面三个特殊的等式： 将这三个等式的两边相加，可以得到 读完这段材料，请你计算： （1） （2） （3）． 【答案】（1）343400 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目中提供的方法进行变形替换，再提取公因式，剩下括号内的项达到抵消的目的，从而简便计算； （2）根据题目中提供的方法进行变形替换，再提取公因式，剩下括号内的项达到抵消的目的，从而简便计算； （3）根据题目中提供的方法进行变形替换，再提取公因式，剩下括号内的项达到抵消的目的，从而简便计算． 【小问1详解】 【小问2详解】 【小问3详解】 【点睛】考本题考查了有理数的混合运算，数字的变化规律，解题的关键是找到题目中的规律，从而进行化简． 23. 对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于，则称为这个代数式的“逆值”．把该代数式的最大逆值与最小逆值的差称为“逆域值”．例如：对于关于的代数式，当时，代数式的值等于0；当=1时，代数式的值等于，我们就称0和1都是这个代数式的逆值，逆域值为． （1）代数式的逆值是______________． （2）①若关于的代数式的逆域值为0，求的值； ②若关于的代数式的逆域值为正整数，求整数的值． 【答案】（1）和2 （2）①；②1，，2 【解析】 【分析】（1）令，通过因式分解的方法解一元二次方程即可； （2）①令，由于逆域值为0，则说明有两个相等解，通过判别式，解出的值即可； ②令，设方程的两根为，，由韦达定理得出逆域值为：，化简得到，由于逆域值为正整数，且b为整数，求出或，验证的值是否满足题意即可． 【小问1详解】 解：令 移项得 因式分解得 令或 解得或 故答案为：和2； 【小问2详解】 解：①令， 移项得， 由于关于x的代数式的逆域值为0， 则此方程有两个相等的实数根， 所以， 整理得：，即， 解得：； ②令， 移项得， 设方程的两根为， 由韦达定理得， ，， 逆域值为：， 先将化简： ∵ , ， 所以， 由于逆域值为正整数，且b为整数，所以或， 当时，；当时，； 当时，；当时，，舍去， 因此整数b的值为1，，2． 24. 已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标是抛物线的顶点横坐标的2倍． （1）b的值为 ． （2）已知点在抛物线上，点在抛物线上． ①若，，求m的值； ②若，且，求t的最小值． 【答案】（1）8 （2）①或；②当时，t有最小值，最小值为 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线的图像和性质，熟练掌握抛物线的图像和性质是解题的关键． （1）先求出抛物线的顶点横坐标，再根据题意求出抛物线的顶点横坐标，即可得到答案； （2）①根据题意求出，根据题意得到，即可得到答案； ②由题意得，，得到，解得，当时，t有最小值，最小值为． 【小问1详解】 解：的顶点横坐标为， 抛物线（b为常数）的顶点横坐标是抛物线的顶点横坐标的2倍， 抛物线的顶点横坐标为， ， ； 故答案为：． 【小问2详解】 解：①点在抛物线上，， ． 点在抛物线上，， ， 整理，得， 解得或． ②由题意得，． ． ． ， ． ， ，解得． 易得对称轴为直线． ，且． 当时，t有最小值，最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华外九年级第一次学情质量检测（数学） 数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（　　） A. ax2+bx+c=0 B. x2﹣2=（x+3）2 C. 2x+3x﹣5=0 D. x2﹣1=0 2. 将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 已知方程的两根分别为和，则的值等于（ ） A. 2 B. C. D. 4. 抛物线y＝5（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（　　） A. （2，﹣3） B. （2，3） C. （﹣2，3） D. （﹣2，﹣3） 5. 已知二次函数的图象与轴的交点坐标为，，则关于的一元二次方程的解为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度（单位：米）与经过的时间（单位：秒）满足函数关系式，那么球弹起后又回到地面所经过的时间是（ ） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 7. 已知二次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 8. 为传承中华优秀传统文化，某校开展“古法数学趣题探究”活动．同学们以《增删算法统宗》中的“圆中方”问题为素材，设计了如下校园景观方案：在一块圆形空地的正中间修建一个正方形水池，水池的每条边到圆周的距离都相等（如图）均为3米．水池以外的区域全部种植绿植．已知绿植部分的面积为72平方米，设正方形水池的边长为米．下列方程中，能正确表示圆面积、正方形面积与绿植面积之间数量关系的是（ ） A. B. C. D. 9. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 图象开口向上 B. 图象的对称轴是直线 C. 图象与x轴只有一个交点 D. 图象经过原点 10. 新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是（ ） A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解是 _____． 12. 关于x的一元二次方程的两个根分别是与，则________． 13. 某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为，则的长为___________． 14. 如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，若种植花苗的面积为，则道路的宽为 _______． 15. 抛物线如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是_______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知关于的方程． （1）当该方程的一个根为时，求方程的另一个根； （2）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 18. 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染多少台电脑？ 19. 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ 20. 综合与实践： 灵山是“中国荔枝之乡”，灵山荔枝以果大核小、清甜多汁闻名遐迩，探索国家地理标志保护、请你根据下面信息和素材，运用数学知识帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在农科院技术人员的正确指导下，果农对荔枝种植养护技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2024年荔枝年产量是5000千克，2026年达到了7200千克，年增长率基本相同． 素材二 荔枝一般用长方体包装盒包装后进行售卖． （1）任务1：求荔枝年产量的平均增长率； （2）任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2），为了装下适当数量的荔枝，需要设计底面积为的纸盒，计算此时纸盒的高． （3） 21. 金石滩风景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求每天的销售利润（元）与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 22. 大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，？ 经过研究，这个问题的一般结论是，其中n是正整数，现在我们来研究一个类似的问题：？ 观察下面三个特殊的等式： 将这三个等式的两边相加，可以得到 读完这段材料，请你计算： （1） （2） （3）． 23. 对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值等于，则称为这个代数式的“逆值”．把该代数式的最大逆值与最小逆值的差称为“逆域值”．例如：对于关于的代数式，当时，代数式的值等于0；当=1时，代数式的值等于，我们就称0和1都是这个代数式的逆值，逆域值为． （1）代数式的逆值是______________． （2）①若关于的代数式的逆域值为0，求的值； ②若关于的代数式的逆域值为正整数，求整数的值． 24. 已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标是抛物线的顶点横坐标的2倍． （1）b的值为 ． （2）已知点在抛物线上，点在抛物线上． ①若，，求m的值； ②若，且，求t的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $