精品解析：四川成都市龙泉驿区第七中学校2026-2027学年九年级上学期数学10月学情自 测卷

2026年10月基于最近发展区错题训练 九年级数学 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的班级、姓名填写在答题卷上，并注意检查条形码．考试结束，只交答题卷． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 一、选择题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴，． 2. 如图，菱形的对角线与相交于点，且，则该菱形的周长是（ ） A. B. 8 C. D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质和勾股定理求得即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，，， 在中，， ∴该菱形的周长是． 3. 下列四条线段是成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据成比例线段的定义，若最短线段与最长线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则这四条线段是成比例线段，据此逐项判断即可． 【详解】解：、，不是成比例线段，故选项不符合题意； B、，不是成比例线段，故选项不符合题意； C、，不是成比例线段，故选项不符合题意． D、，是成比例线段，故选项符合题意． 4. 如图，在中，，若，，，则的长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】根据证明，再运用相似三角形的性质可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ 5. 方程化为一元二次方程的一般形式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 6. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对边分别相等 B. 对角分别相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形和菱形的性质进行判断即可得出答案． 【详解】解：矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等． 7. 如图， 在菱形中， 已知， 若菱形的周长为16，则的长度为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质和判定， 先根据菱形的性质得，，即可得出是等边三角形，则此题可解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，周长为16， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． 故选：A． 8. 某商品原价500元，连续两次降价a%后售价为432元，下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】降价前的价格×（1-降价率）=降价后的价格，根据已知条件可以表示两次降价后的价格为，由此列出方程即可. 【详解】某商品原价500元，连续两次降价a%后售价为432元，由此列出方程为：， 故选A. 【点睛】本题是对一元二次方程运用的考查，准确理解题意列出方程是解决本题本题的关键. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据比例的基本性质可得关于a、b的关系式，进而可得答案. 【详解】解：∵，∴，整理得：，∴. 故答案为： 【点睛】本题考查了比例的基本性质，属于基本题型，熟练掌握比例的性质是解题关键. 10. 若关于x的方程2x2＋mx＋n＝0的两个根是－2和1，则nm的值为_____. 【答案】16 【解析】 【详解】【分析】由方程的两根结合根与系数的关系可求出m、n的值，将其代入nm中即可求出结论． 【详解】∵关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是-2和1， ∴， ∴m=2，n=-4， ∴nm=（-4）2=16． 故答案为16 【点睛】本题考查了根与系数的关系，根据方程的两根结合根与系数的关系求出m、n的值是解题的关键． 11. 已知a、b、b、c是比例线段，其中，则线段b的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查成比例线段，掌握成比例线段的定义是解题的关键． 根据成比例线段的定义列式计算即可． 【详解】解：∵a、b、b、c是比例线段，其中， ∴，即，解得：或（不合题意舍弃）． 故答案为：6． 12. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，，，垂足为点E．则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出，求出和，求出AD，根据菱形的面积公式求出即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理，能求出菱形的边长是解此题的关键． 13. 在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，点A，B，C，D均为格点，连接，相交于点E．设小正方形的边长为1，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据勾股定理计算的长，再根据，对应边成比例，得到，所以设，则，从而求出的长． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴ 设，则， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查勾股定理和相似三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 求下列方程的解： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】（1）先配方，再开平方求解一元二次方程； （2）先提取公因式，转化为一次方程再求解； （3）利用十字相乘法因式分解后求解； （4）先将完全平方式展开整理，再配方变形，开平方求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 解得， 【小问2详解】 ， ， 或， 解得，； 【小问3详解】 ， ， 或， 解得，； 【小问4详解】 ， ， ， ， ， ， ， ， 解得，． 15. 如图，点，是中边上的点，． （1）求证： （2）若、，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）根据得到对应角相等，从而证明所求的两三角形相似； （2）根据相似三角形的性质，得到比例式，代入数据即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵、，， ∴， ∴． 16. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程的两根的差为3，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴此方程总有两个实数根． （2）或 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式，即可得证； （2）根据根与系数的关系可得，，进一步可得，再根据方程的两根差为3列方程，即可求出的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设方程的两个根为，， ∴，， ∴， ∴， ∵此方程的两根的差为3， ∴或，解得或． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，完全平方公式等，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 17. 如图，平行四边形ABCD的对角线，相交于点O，且，，． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是平行四边形， ． ， 平行四边形是矩形， ． ． 平行四边形是菱形 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质和菱形的判定证明即可； （2）由菱形的性质可得，，，可求，，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得：四边形是矩形，四边形是菱形， ，，，， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质等知识；灵活运用有关性质是解题的关键． 18. 如图，四边形为边长为8的正方形，点为边中点，，分别为边，上两动点，于. （1）求证：； （2）若点为中点，连接并延长交于点，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为点，证明即可； （2）延长交的延长线于点，由点为中点且，可得，又由点为中点，得，即． 【小问1详解】 （1）证明：过点作，垂足为点， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴． ∵四边形为正方形，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：（2）延长交的延长线于点， ∵点为中点且， ∴， 又∵点为中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成比例定理，综合运用以上知识是解题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知，是关于的一元二次方程的两根，且，则的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到和的表达式，代入已知等式求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，， ∵， ∴， 解得． 20. 如图，在线段上找到一个点，且，满足，设，则线段_________. 【答案】 【解析】 【分析】设AC的长为xm，则BC=（1﹣x）m，代入求解即可． 【详解】解：设AC的长为xm，则BC=（1﹣x）m， ∵， ∴， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查成比例线段和解一元二次方程，设出未知数，根据题意列方程是解题的关键． 21. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，，则的长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：，，， ． 22. 如图，正方形的边长为2，点为边上的一个动点，以为边向外作正方形，连结，点为中点，连结，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】延长至K，使得，连接，，易证是的中位线，证明K必在上，时，取最小，过B作交于，由勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：延长至K，使得，连接，，， ∵E、H分别是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴K必在上， ∴时，取最小， 过B作交于， ∵， ∴， ∵， ∴（负值舍去）， ∴的最小值为． 23. 如图，将一张正方形纸片折叠，折痕为，折叠后，点B的对应点落在正方形内部的点F处，连接并延长交于点G．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理和相似三角形的判定与性质，过作于点，过作于点，由题意可知，，，证明，，由性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：过作于点，过作于点， 由题意可知，，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，在中，由勾股定理得： ，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 我国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化．某茶商购进一批进价为100元/盒的茶叶，当销售价为120元/盒时，每天可售出20盒．经市场调查发现，若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒．现该茶商计划降价销售，请回答下列问题： （1）当销售价为110元/盒时，每天的销售量为__________盒，每天盈利__________元； （2）当每盒茶叶降价多少元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元？ 【答案】（1）， （2）当每盒茶叶降价或元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元 【解析】 【分析】（1）根据“若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒”，列式计算即可得出结果； （2）设每盒茶叶降价元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒， ∴当销售价为110元/盒时，每天的销售量为盒，每天盈利元； 【小问2详解】 解：设每盒茶叶降价元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元， 由题意得， 整理得， 解得，， ∴当每盒茶叶降价或元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元． 25. 如图在平面直角坐标系中，已知直线交轴于点，交轴于点．直线与直线相交于点，交轴于点，交轴于点． （1）直接写出点的坐标______； （2）若点是线段上的一个动点，设点的横坐标是，的面积是，求与之间的函数解析式； （3）平面直角坐标系内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）、、 【解析】 【分析】（1）联立直线和直线的解析式，解方程组即可． （2）令和，可求点，点，点，点坐标；分当点在轴左侧和当点在轴右侧两种情况讨论，由三角形的面积公式可求解； （3）分三种情况讨论，由平行四边形的性质可求解． 【小问1详解】 直线与直线相交于点， ， 解得：， 点的坐标是． 【小问2详解】 直线交轴于点，交轴于点， 点，点， 直线交轴于点，交轴于点． 点，点； ， 点的横坐标是， 点坐标为， 如图1，点当点在轴左侧时， 的面积是； 如图2，当点在轴右侧时， 的面积是； 综上所述，所求的函数关系式是； 【小问3详解】 存在，设点， 若，为边时， 四边形是平行四边形， 与互相平分， ，， ，， 点为； 若，为边， 四边形是平行四边形， 与互相平分， ，， ，； 若，为边， 四边形是平行四边形， 与互相平分， ，， ，， 点为； 综上所述：点的坐标分别是、、． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，平行四边形的性质，中点坐标公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 26. 矩形ABCD一条边AD=6，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处． （1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA． ①求证：OCP∽PDA； ②若OCP与PDA的面积比为1：4，求边AB的长． （2）在图1中，若点P恰好是CD边的中点，求证： （3）如图2，在（1）的条件下，擦去AO和OP，连接BP．动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E． 试问动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由． 【答案】（1）①见解析；②；（2）见解析；（3）在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为 【解析】 【分析】（1）①根据矩形和折叠的性质可以得到解答；②根据相似三角形相似比与面积比的关系及勾股定理可以得到解答； （2）由已知和矩形的性质可得△ADP∽△ABO，再根据三角形相似的性质可以得到解答； （3）作，交PB于点Q，可以证得△MFQ≌△NFB及EF=，再根据（1）的结论及勾股定理可以得到EF的值 ． 【详解】解：(1)①如图1，由折叠可得∠APO=∠B=90°， ∴∠1+∠2=90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C=∠D=90∘， ∴∠1+∠3=90°， ∴∠2=∠3， 又∵∠D=∠C， ∴△OCP∽△PDA； ②如图1，∵△OCP与△PDA的面积比为1：4， ∴， ∴CP=3，设OP=x=OB，则CO=6−x， 在Rt△PCO中，∠C=90°， 由勾股定理得 x2=(6−x)2+32， 解得：x=， ∴AB=AP=2OP=， ∴边AB的长为； (2)∵点P是CD边的中点， ∴DP，AP=AB=CD， ∴DP， ∴∠DAP=， ∴∠BAP=，又∠OAP=∠OAB ∴∠OAB==∠DAP 又∠PDA=∠ABO= ∴△ADP∽△ABO； ∴ ∴，又AB=CD=2DP=2PC ∴ (3)作，交PB于点Q，如图2， ∵AP=AB，， ∴∠APB=∠ABP=∠MQP. ∴MP=MQ， ∵BN=PM， ∴BN=QM. ∵MP=MQ，ME⊥PQ， ∴EQ. ∵， ∴∠QMF=∠BNF， 在△MFQ和△NFB中， ∠QFM=∠NFB，∠QMF=∠BNF，MQ=BN， ∴△MFQ≌△NFB(AAS). ∴QF， ∴EF=EQ+QF+=， 由(1)中的结论可得：PC=3，BC=6，∠C=90°， ∴PB=， ∴EF==， ∴在(1)的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为. 【点睛】本题考查折叠和矩形的综合应用，熟练掌握三角形相似的判定和性质 、三角形全等的判定和性质、勾股定理及矩形的性质是解题关键 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年10月基于最近发展区错题训练 九年级数学 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的班级、姓名填写在答题卷上，并注意检查条形码．考试结束，只交答题卷． 3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 一、选择题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 2. 如图，菱形的对角线与相交于点，且，则该菱形的周长是（ ） A. B. 8 C. D. 16 3. 下列四条线段是成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 4. 如图，在中，，若，，，则的长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 5. 方程化为一元二次方程的一般形式是（ ） A. B. C. D. 6. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对边分别相等 B. 对角分别相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 7. 如图， 在菱形中， 已知， 若菱形的周长为16，则的长度为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 某商品原价500元，连续两次降价a%后售价为432元，下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 已知，则______. 10. 若关于x的方程2x2＋mx＋n＝0的两个根是－2和1，则nm的值为_____. 11. 已知a、b、b、c是比例线段，其中，则线段b的长为______． 12. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，，，垂足为点E．则_______． 13. 在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，点A，B，C，D均为格点，连接，相交于点E．设小正方形的边长为1，则的长为_________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 求下列方程的解： （1）； （2）； （3）； （4）． 15. 如图，点，是中边上的点，． （1）求证： （2）若、，，求的长． 16. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程的两根的差为3，求的值． 17. 如图，平行四边形ABCD的对角线，相交于点O，且，，． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求的长． 18. 如图，四边形为边长为8的正方形，点为边中点，，分别为边，上两动点，于. （1）求证：； （2）若点为中点，连接并延长交于点，求的长． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知，是关于的一元二次方程的两根，且，则的值为__________． 20. 如图，在线段上找到一个点，且，满足，设，则线段_________. 21. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，，则的长为________． 22. 如图，正方形的边长为2，点为边上的一个动点，以为边向外作正方形，连结，点为中点，连结，则的最小值为__________． 23. 如图，将一张正方形纸片折叠，折痕为，折叠后，点B的对应点落在正方形内部的点F处，连接并延长交于点G．若，，则的长为______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 我国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化．某茶商购进一批进价为100元/盒的茶叶，当销售价为120元/盒时，每天可售出20盒．经市场调查发现，若每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒．现该茶商计划降价销售，请回答下列问题： （1）当销售价为110元/盒时，每天的销售量为__________盒，每天盈利__________元； （2）当每盒茶叶降价多少元时，商家销售该茶叶平均每天能盈利432元？ 25. 如图在平面直角坐标系中，已知直线交轴于点，交轴于点．直线与直线相交于点，交轴于点，交轴于点． （1）直接写出点的坐标______； （2）若点是线段上的一个动点，设点的横坐标是，的面积是，求与之间的函数解析式； （3）平面直角坐标系内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 矩形ABCD一条边AD=6，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处． （1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA． ①求证：OCP∽PDA； ②若OCP与PDA的面积比为1：4，求边AB的长． （2）在图1中，若点P恰好是CD边的中点，求证： （3）如图2，在（1）的条件下，擦去AO和OP，连接BP．动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E． 试问动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $