四川省内江市第一中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试卷

四川省内江市第一中学2026-2027学年九年级上学期第一次月考数学试卷 A（共100分） 一、单选题（共12题，共36分） 1．下列方程属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（　　） A． += B． =2 C． •= D．÷=2 3．下列各二次根式中，可以与合并的是（        ） A． B． C． D． 4．用配方法解方程，配方后所得的方程是（　　） A． B． C． D． 5．如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为32和2，则图中阴影部分的面积为（    ） A. B． C．6 D．8 6．实数、在轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为(   ) A． B． C． D． 7．如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为米，则根据题意可列方程为（      ） A． B． C． D． 8．对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程1☆x=6的解为（     ） 9．若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 10．一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共握了次手．若设这次会议到会的人数为x人，依题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 11．若，是方程的两个实数根，则的值是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 12．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（共4题，共16分） 13．函数中自变量的取值范围是______． 14．已知，则 ______． 15．设、是一元二次方程的两实数根，则的值为______． 16．观察式子：，， ，…，由此得到的规律，请你用含n（n是大于等于1的正整数）的式子表示出来_____． 三、解答题（共5题，共48分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤.） 17．（8分）计算： (1)； (2) 18．（10分）解方程： (1)(配方法)； (2)（因式分解法）． 19．（10分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料： （1）如何设计，可使矩形花园的面积为300； （2）矩形花园的面积可以为315吗？若能，如何设计；若不能，请说明理由. 20．（10分）已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程有两个实数根，求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根为x1，x2，且，求m的值． 21．（10分）“我运动，我健康，我快乐！”随在人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从年的万人增加到年的万人． (1)求该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率． (2)其网店以每组30元的进价购进一批哑铃组．当每组售价为元时，月份售出了组，随着市民健身热情的增加，该网店的哑铃组十分畅销．为了回馈顾客，该网店决定从1月份起采用降价促销的方式．经调查发现，该哑铃组每组每降价1元，销售量就增加组，该网店计划1月份售卖哑铃组获利元，为了尽可能多的让利于顾客，该哑铃组每组应降价多少元？ B（共60分） 一、填空题（共4题，共24分） 22．已知，则代数式的值为______ ． 23．已知，则的值为 ． 24．已知为等腰三角形，一边长为3，它的另两条边的长度分别是方程的两个根，那么m的值是__________． 25．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的取值范围是_____． 二、解答题（共3题，共36分） 26．阅读材料：像；；…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：． 小明利用上述材料内容解决了问题：已知，求值． ∴，∴，∴即， ∴，∴， 请你利用上述内容，解答下列问题： (1)与____互为有理化因式，将分母有理化得_______； (2)根据上面的规律，计算下列式子的值： ． (3)，求的值． 27．如图，在矩形中，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动，设运动时间为秒． (1)________；________，（用含的代数式表示）； (2)为多少时，四边形的面积为： (3)为多少时，点和点的距离为． 28．阅读材料： 材料1．若一元二次方程的两根为、，则，． 材料2．已知实数m、n满足、，且，求+ 的值． 解：由题知m、n是方程的两个不相等的实数根， 根据材料1得，． ∴． 根据上述材料解决下面问题： (1)一元二次方程的两根为、，则　　，　　． (2)已知实数m、n满足、，且，求的值． (3)已知实数p、q满足、，且，求的值 试卷第4页（共4页） 试卷第3页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B D C B C A A A 题号 11 12 答案 C D 1．C 【详解】A.属于二元二次方程，故错误； B.属于二元一次方程，故错误；     C.属于一元二次方程，正确；     D.属于分式方程，故错误； 故选C． 2．D 【详解】解：A.与不能合并，所以A选项错误，不符合题意； B.原式=3，所以B选项错误，不符合题意； C.原式==，所以C选项错误，不符合题意； D.原式==2，所以D选项正确，符合题意． 故选D． 3．B 【详解】A. ∵=2，∴与不能合并； B. ∵=，∴与能合并； C. ∵=，∴与不能合并； D. ∵=，∴与不能合并； 故选B． 4．D 【详解】方程移项得：， 配方得：，即． 故选：D． 5．C 【详解】解：由题意可得，大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴题图中阴影部分的面积为． 故选：C． 6．B 【详解】∵由数轴可知，，且， ∴， ∴． 故选：B． 7．C 【详解】解：设道路的宽应为米，由题意得， ， 故选：C． 8．A 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． 9．A 【详解】解：①当时，方程为，是一元一次方程， 解得，符合题意； ②当时，方程是一元二次方程， ∵于x的方程有实数根， ∴， ∴， 即， ∴， ∴方程为一元二次方程时，m的取值范围是且， 综上所述：m的取值范围是． 故选：A． 10．A 【详解】解：设这次会议到会的人数为x人， 依题意得，， 故选：A． 11．C 【详解】∵ 是方程 的根， ∴ ，即 ． ∵ ， 是方程的两个实数根， ∴ ． ∴ ． 故选 ：C 12．D 【详解】设，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴原式， 故选D． 13．x≥2且x≠3 【详解】解：由题意得：， 解得：x≥2且x≠3． 故答案为：x≥2且x≠3． 14． 【详解】解：， ， 解得：， ， ， 故答案为：． 15． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 16． 【详解】解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …， 以此类推，第n个等式：． 17．(1) (2) 18．(1)， (2)， 19 解：（1）设AB=x米，则BC=（50-2x）米 , 根据题意可得，x（50-2x）=300, 解得：x1=10，x2=15 当x=10，BC=50-2×10=30＞25，故x1=10不合题意舍去， 所以只取x=15 答：可以围成AB的长为15米，BC长为20米，可使矩形花园的面积为300． （2）假设能围成矩形花园的面积为315，根据题意得 x（50-2x）=315 -2x2+50x-315=0 因为△=b2-4ac=502-4×(-2)×(-315)=-20＜0. 所以不能围成315㎡的矩形花园. 20．（1）；（2）． 【详解】解：（1）由题意可知：△， ， ∴； （2）由题意可知：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得：，或； ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴， 21．(1)； (2)降价元 【详解】（1）解：设该市，这两年参加健身运动人数的年均增长率， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市2023，2024这两年参加健身运动人数的年均增长率为； （2）解：设该哑铃组每组应降价m元， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 答：为了尽可能多的让利于顾客，该哑铃组每组应降价元， 22.1 23．-1 24．3或4 【详解】解：设方程的两个根为和，则，． 由于是等腰三角形且一边长为3， ①若3为底边，则两腰和相等，即，此时，三边分别为2、2、3，满足三角形三边关系（两短边之和大于第三边）． ②若3为腰，则另一腰也为3，底边为方程的另一根，设，则，此时，三边分别为3、3、1，满足三角形三边关系． 故的值为3或4， 故答案为：3或4． 25．≤． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两根 方程的根的判别式 即 解得 ， 由根与系数的关系可得： ， 代入得： 移项，系数化为1得： ≤． 26．(1) (2) (3) （2） （3）将进行分母有理化得， 两边平方得， ， ， ， 则， ∴ 27．(1)， (2) (3)当为或时，点和点的距离为． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，， ∴，． 故答案为：，． （2）依题意得：， 整理得：， 解得：． 答：当为时，四边形的面积为． （3）过点作于点，则，如图所示． 依题意得：， 即， 解得，． 答：当为或时，点和点的距离为． 28．(1)， (2) (3)43 【详解】（1）解：的两根为、， ，， 故答案为：，； （2）解：实数、满足、，且， 、是一元二次方程的两个相等的实数根， ，， 则原式 ； （3）解：， ，即． 又，即， 、是方程的两个不相等的实数根， ，， ． 答案第6页（共9页） 答案第7页（共9页） 学科网（北京）股份有限公司 $