精品解析：湖南衡阳市四校2026-2027学年九年级上学期9月阶段检测数学试题

2026年下学期九年级数学学科第一次检测卷 试卷说明：本卷共三大题24小题，共计120分，时量120分钟． 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，解不等式即可确定x的取值范围，进而选出正确选项． 【详解】解：要使在实数范围内有意义， 需满足被开方数， 解得． ∴符合． 故选：D． 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握乘法法则是解答本题的关键． 二次根式相乘，把系数相乘作为积的系数，被开方数相乘，并化为最简二次根式即可． 【详解】解：． 故选B． 3. 计算的结果是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简，根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：． 故选：A 4. 下列二次根式中，最简二次根式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念：被开方数中不含有分母且被开方数中所有因式的幂的指数都小于，逐个排除即可． 【详解】解： ，被开方数含能开得尽方的因数， B不是最简二次根式． 、的被开方数均含分母，C、D不是最简二次根式． 的被开方数是整数，且不含能开得尽方的因数，A是最简二次根式． 5. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的加法、减法、乘法、除法运算等知识点，明确二次根式加减乘除运算的计算法则是解答本题的关键． 根据二次根式的加法、减法、乘法、除法运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A． 和不是同类二次根式，不能相加减，故选项A错误，不符合题意； B． ，故选项B错误，不符合题意； C． ，故选项C错误，不符合题意； D． ，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 6. 将关于的一元二次方程化为一般形式为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先去括号，再通过移项整理成一元二次方程一般形式． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴关于的一元二次方程化为一般形式为． 7. 方程的解正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题关键．利用直接开方法解方程，即可得到答案． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ． 故选：B． 8. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，根据因式分解法求出方程的解，即可． 【详解】解： ∴或 解得，． 故选：D． 9. 一元二次方程可配方成的形式．则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．通过配方法将一元二次方程化为完全平方形式，比较得出m和n的值，再求它们的和，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵一元二次方程可配方成的形式， ∴， ∴ ， 故选：C． 10. 已知，，其中m，n为实数，则（ ） A. 0 B. 或0 C. D. 或0 【答案】B 【解析】 【分析】先分别解方程求得m，n的值，再把m，n的值分别组合出不同的情形计算求解即可． 【详解】解：由3m2−2m−5=0，得m1=−1，； 由5n2+2n−3=0，得，n2=−1， ， ①当m=−1，时，原式； ②当m=−1，n=−1时，原式=0； ③当，时，原式=0； ④当，n=−1时，原式， 综上所述，或， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，代数的求值问题，此题因两个字母都取两个值，需讨论不同的取值组合情况． 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是_______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的性质，通过计算，即可完成求解． 【详解】∵是最简二次根式，且最简二次根式与是同类二次根式 ∴ ∴ ∴ 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次根式和一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握最简二次根式和同类二次根式的性质，从而完成求解． 12. 计算：的结果是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可. 【详解】解：原式=. 【点睛】本题考查了二次根式的化简计算，掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键. 13. 已知是一元二次方程一个根，则的值为_____． 【答案】2026 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义等知识，根据是一元二次方程一个根，得到变形为，把变形为，整体代入即可求解． 【详解】解：∵ 是一元二次方程一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2026． 14. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是_____． 【答案】k＜﹣1 【解析】 【分析】根据方程没有实数根可得△＝b2−4ac＜0，列出关于k的不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根， ∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）＝4+4k＜0， 解得：k＜﹣1， ∴k的取值范围是：k＜﹣1， 故答案为k＜﹣1． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2−4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 15. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是掌握：对于有两个实数根的一元二次方程，，． 利用即可解答． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为，另一个根为a， ∴， 解得：， 则另一根是2． 故答案为：2． 16. 如图1，将面积为4的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形，则长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于图形的剪拼的一元二次方程的应用，正确理解题目的意思，然后会根据题目隐含条件找到数量关系是解题关键． 已知图中的①和②，③和④形状大小分别完全相同，结合图中数据可知①④能拼成一个直角三角形，②③能拼成一个直角三角形，并且这两个直角三角形形状大小相同，利用这两个直角三角形即可拼成矩形；利用拼图前后的面积相等列出方程求解即可得出答案． 【详解】解：如图 图1中的正方形面积为4 正方形边长为2 直角三角形①中的长直角边为2 解得：（负值已舍去） 故答案为：． 三、解答题（共8小题，满分72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并同类项即可． 【详解】原式 ． 【点睛】此题考查二次根式的混合运算，解此题的关键是掌握运算法则． 18. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，列不等式组求出的值，再根据的值求出的值，最后代入求解． 【详解】解：根据题意，可得， ∴， ∴， ∴． 19. 阅读材料，解答下列问题：材料：已知，求的值． 解答示例： ． 又，， 这种方法称为“构造乘积对偶法”． 问题：已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）仿照题干方法进行求解即可； （2）结合已知条件和（1）的结果，推出，进行求解即可. 【小问1详解】 解：，  ∵， ∴， 【小问2详解】 解：由（1）可知： 又∵， 得， ∴， 两边平方得，解得. 当时，，符合题意； 故. 20. 我们知道，一元二次方程的两个实数根、与系数、、之间有如下关系：，．这一结论称为一元二次方程根与系数的关系．请完成下列各题： （1）若、是一元二次方程的两个实数根，求代数式的值； （2）若互异实数、满足方程和，求代数式的值． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）由根与系数的关系得到，，再把所求式子去括号并代入求值即可； （2）根据题意可得、为一元二次方程的两根，，，再根据所求式子的特点代入求值即可． 【小问1详解】 解：、是一元二次方程的两个实数根， ，， ； 【小问2详解】 解：∵互异实数、满足方程和， 、为一元二次方程的两根， ，， ，， ． 21. 已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求证：无论为何值时，方程总有两个不相等的实数根． （2）为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形． （3）为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长． 【答案】 （1）∵ ， （2）当时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；（3）或，周长为14或16. 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=1＞0，由此即可得出方程有两个不相等的实数根； （2）利由一元二次方程根与系数的关系，得：，，根据BC=5利用勾股定理即可得出关于k的一元二次方程，解方程即可得出k的值； （3）根据（1）结论可得出AB≠AC，由此可找出△ABC是等腰三角形分两种情况，分AB=BC、AC=BC两种情况考虑，根据两边相等找出关于k的一元一次方程，解方程求出k值，进而可得出三角形的三边长，再根据三角形的周长公式即可得出结论． 【详解】解：(1)略． ∴无论为何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)∵AB、AC的长是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴由一元二次方程根与系数的关系，得：，， 又∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，由勾股定理，得：， 即， ∴， 整理，得：，解得：，， ∵AB、AC是△ABC的两条边，∴AB＞0，AC＞0，∴AB+AC＞0 而当时，AB+AC＝2×（-5）＋3＝-7＜0，∴不合题意，舍去，故， ∴当时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形； （3）由（1）的结论可知，，∴BC边只能是腰， ∴AB、AC中必有一边长为5，不妨设AB＝5， 也就是说关于的一元二次方程必有一根为5， ∴，整理得：，解得：，， 当时，原方程为，两根为：，，这时有AB＝5，AC＝4，BC＝5能构成一个等腰三角形，其周长为14， 当时，原方程为，两根为：，，这时有AB＝5，AC＝6，BC＝5能构成一个等腰三角形，其周长为16. 【点睛】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及等腰三角形的判定，熟练掌握“当根的判别式△＞0时，方程有两个不等实数根．”是解题的关键． 22. 如图，某劳动小组借助一个直角墙角围成一个矩形劳动基地，墙角两边和足够长，用总长的篱笆围成另外两边和．设的长为，矩形的面积为． （1）的长为____________m，的取值范围是____________； （2）当为何值时，劳动基地的面积为； （3）点处有一棵树（树的粗细忽略不计），它到墙的距离是，到墙的距离是，如果这棵树需在劳动基地内部（包括边界），则劳动基地面积的最大值是_________，最小值是_________． 【答案】（1）； （2）当为或时，劳动基地的面积为 （3）196；160 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，解题关键是根据题意列出等式，掌握二次函数求最值的方法． （1）篱笆总长，的长为，则，边长为正数，故且，即可得； （2）根据题意列一元二次方程，求解即可； （3）设，则，矩形的面积为，可得，依据二次函数的性质可得结论． 【小问1详解】 解：根据题意得：篱笆总长，的长为，则， 又边长为正数，故且， ∴； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：设的长为，则，根据题意得： ， 整理得， 解得或， ∴当为或时，劳动基地的面积为； 【小问3详解】 解：设，则，矩形的面积为，根据题意得： ， 解得， ∴， ∵，， ∴当时，S有最大值，最大值为， 当时，S有最小值，最小值为， 故答案为：196；160． 23. 小红在学完一元二次方程后发现可以用配方法求二次三项式的最值，于是对最值问题产生了浓厚兴趣，决定进行深入研究．下面是她收集的素材，汇总如下，请你根据素材帮助她完成相应的任务． 实践与探索：关于最值问题的探究 素材1 “主元法”是指在有多个字母的代数式或方程中，选取其中一个字母为主元（未知数），将其它字母视为常数，就能把一些陌生的代数式或方程转化为我们熟悉的代数式或方程．例如：当时，可以看作关于的一元二次方程．但若把看成“主元”，看作常数，则可以转化为关于的一元一次方程． 素材2 对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求它的最值外，还有其他的方法，比如：令，然后移项可得，再利用根的判别式来确定的取值范围，这种方法称为判别式法． 问题解决： （1）任务1：感受新知：用判别式法求代数式的最小值． （2）任务2：探索新知：若实数、满足，求代数式的最大值．对于这一问题，小红有下面大致的解题思路，请你帮助她写出具体的解题过程．思路： ①令，由此得到用含、的式子表示的代数式． ②将得到的代数式代入，整理得到关于的一元二次方程． ③利用判别式法得到代数式的最大值． （3）任务3：应用新知：如图，在中，，，记，．当的值最大时，求的值． 【答案】（1） （2）令，则． 将代入，得 整理得． 把看作是关于的一元二次方程， 由得， 解得， ， 的最大值为； （3） 【解析】 【分析】（1）利用素材中的判别式法求解； （2）根据素材中思路求解即可； （3）过点作于点，表示出，，然后利用勾股定理得到，令，然后利用判别式法求出的最大值为26，然后代入求解即可． 【小问1详解】 解：令， 整理得． 令，即， 解得，故的最小值为； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点． 根据题意，，，． ∵在中，， ，， ． ∵在中，，即． 整理得． 令，则，将之代入上式得到关于的一元二次方程， 由得，解得， 的最大值为26，即的最大值为26． 把代入得，， 整理得， 解得． ∴当的值最大时，． 24. 若关于的一元二次方程的两个实数根均为整数，则称该方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式必为完全平方数．现规定为“快乐方程”的“快乐数”．例如：两个实数根均为整数的“快乐方程”的“快乐数”为． （1）求“快乐方程”的“快乐数”的值； （2）若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该“快乐方程”的“快乐数”； （3）已知是“快乐数”为的“快乐方程”．若，则称与互为“开心数”．若“快乐方程”与（、均为整数）的“快乐数”互为“开心数”，求的值． 【答案】（1） （2），“快乐数”为 （3）0或3 【解析】 【分析】（1）根据“快乐数”的定义求解即可； （2）求出，根据m的取值范围求出的取值范围，结合定义可得的完全平方数，据此可得方程，解方程求出m的值，从而确定原方程，再根据“快乐数”的定义求解即可； （3）对于关于的一元二次方程，求出，可设（t为整数），可推出，可证明和都是整数；根据与的奇偶性相同，得到对应的方程组，求出的值，再求出对应的“快乐数”；对于关于的一元二次方程，求出，则．再根据“开心数”的定义求解即可。 【小问1详解】 解：由题意得，方程的“快乐数”为； 【小问2详解】 解：依题意知 ， ， ， ∵任何一个“快乐方程”的判别式必为完全平方数，即为完全平方数， 依题意得或， 解得（不合题意，舍去）， 把代入并整理得， ∴“快乐方程”的“快乐数”； 【小问3详解】 解：对于关于的一元二次方程， ， ∵方程是“快乐方程”， ∴可设（t为整数）， ∴ ∴， ∵m是整数， ∴和都是整数； 与的奇偶性相同， 或或或， 解得或， 当时，“快乐方程”为， 此时； 当时，“快乐方程”为， ． 对于关于的一元二次方程， ， ． ∵“快乐方程”与的“快乐数”互为“开心数”， ∴当时，由， 解得或（不是整数，不合题意，舍去）， 当时，由， 解得． 综上所述，的值为0或3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年下学期九年级数学学科第一次检测卷 试卷说明：本卷共三大题24小题，共计120分，时量120分钟． 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 2 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果是（ ） A. 2 B. C. D. 4. 下列二次根式中，最简二次根式为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 将关于的一元二次方程化为一般形式为（　　） A. B. C. D. 7. 方程的解正确的是（ ）． A. B. C. D. 8. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. ， 9. 一元二次方程可配方成的形式．则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 10. 已知，，其中m，n为实数，则（ ） A. 0 B. 或0 C. D. 或0 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是_______． 12. 计算：的结果是__________. 13. 已知是一元二次方程一个根，则的值为_____． 14. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是_____． 15. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则另一个根是______． 16. 如图1，将面积为4的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形，则长为________． 三、解答题（共8小题，满分72分） 17. 计算：． 18. 已知，求的值． 19. 阅读材料，解答下列问题：材料：已知，求的值． 解答示例： ． 又，， 这种方法称为“构造乘积对偶法”． 问题：已知． （1）求的值； （2）求的值． 20. 我们知道，一元二次方程的两个实数根、与系数、、之间有如下关系：，．这一结论称为一元二次方程根与系数的关系．请完成下列各题： （1）若、是一元二次方程的两个实数根，求代数式的值； （2）若互异实数、满足方程和，求代数式的值． 21. 已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求证：无论为何值时，方程总有两个不相等的实数根． （2）为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形． （3）为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长． 22. 如图，某劳动小组借助一个直角墙角围成一个矩形劳动基地，墙角两边和足够长，用总长的篱笆围成另外两边和．设的长为，矩形的面积为． （1）的长为____________m，的取值范围是____________； （2）当为何值时，劳动基地的面积为； （3）点处有一棵树（树的粗细忽略不计），它到墙的距离是，到墙的距离是，如果这棵树需在劳动基地内部（包括边界），则劳动基地面积的最大值是_________，最小值是_________． 23. 小红在学完一元二次方程后发现可以用配方法求二次三项式的最值，于是对最值问题产生了浓厚兴趣，决定进行深入研究．下面是她收集的素材，汇总如下，请你根据素材帮助她完成相应的任务． 实践与探索：关于最值问题的探究 素材1 “主元法”是指在有多个字母的代数式或方程中，选取其中一个字母为主元（未知数），将其它字母视为常数，就能把一些陌生的代数式或方程转化为我们熟悉的代数式或方程．例如：当时，可以看作关于的一元二次方程．但若把看成“主元”，看作常数，则可以转化为关于的一元一次方程． 素材2 对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求它的最值外，还有其他的方法，比如：令，然后移项可得，再利用根的判别式来确定的取值范围，这种方法称为判别式法． 问题解决： （1）任务1：感受新知：用判别式法求代数式的最小值． （2）任务2：探索新知：若实数、满足，求代数式的最大值．对于这一问题，小红有下面大致的解题思路，请你帮助她写出具体的解题过程．思路： ①令，由此得到用含、的式子表示的代数式． ②将得到的代数式代入，整理得到关于的一元二次方程． ③利用判别式法得到代数式的最大值． （3）任务3：应用新知：如图，在中，，，记，．当的值最大时，求的值． 24. 若关于的一元二次方程的两个实数根均为整数，则称该方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式必为完全平方数．现规定为“快乐方程”的“快乐数”．例如：两个实数根均为整数的“快乐方程”的“快乐数”为． （1）求“快乐方程”的“快乐数”的值； （2）若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该“快乐方程”的“快乐数”； （3）已知是“快乐数”为的“快乐方程”．若，则称与互为“开心数”．若“快乐方程”与（、均为整数）的“快乐数”互为“开心数”，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $